अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)

Not to be confused with Orientation (geometry).

बाएं हाथ का अभिविन्यास बाईं ओर दिखाया गया है, और दाएं हाथ का दाईं ओर।

एक वास्तविक सदिश समष्टि का अभिविन्यास(ओरिएंटेशन ऑफ़ रियल वेक्टर स्पेस) या एक सदिश समष्टि का अभिविन्यास मनमाना विकल्प है जिसके क्रमबद्ध आधारक (रैखिक बीजगणित) सकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त होते हैं तथा नकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त होते हैं। त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में, दक्षिणवर्ती आधारक को आम तौर पर सकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त घोषित किया गया है, लेकिन यह स्वेच्छाचारी विकल्प है, क्योंकि उन्हें नकारात्मक अभिविन्यास भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। चयनित अभिविन्यास के साथ एकसदिश स्थल को एक अभिविन्यस्त सदिश स्थल कहा जाता है, जबकि बिना अभिविन्यास चयनित सदिश स्थल को अनिश्चित कहा जाता है।

गणित में, अभिविन्यास एक व्यापक धारणा है, जो दो आयामों में, यह कहने की अनुमति देती है कि जब एक विपाश(संस्थिलिकी) दक्षिणावर्त या वामावर्त दिशा में घूमता है, और तीन आयामों में, जब कोई आकृति वामावर्त या दक्षिणावर्ती होती है। वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बीजगणित में, अभिविन्यास की धारणा स्वेच्छाचारी परिमित आयाम में समझ में आती है, और यह एक प्रकार की असममिति(असिमेट्री) है, जो एक साधारण विस्थापन के माध्यम सेप्रतिबिंब (गणित) कि प्रतिलिपि बनाने में असक्षम बना देता है। इस प्रकार, तीन आयामों में, एक मानव आकृति के वामावर्त को केवल विस्थापन लागू करके आकृति के दक्षिणावर्त में बनाना असंभव है,परन्तु दर्पण में आकृति को प्रतिबिंबित करके ऐसा करना संभव है। नतीजतन, त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में, दो संभावित आधारक अभिविन्यासों को दक्षिणावर्त एवं वामावर्त नियम कहा जाता है (या दाएं-चिरल और बाएं-चिरल)।

परिभाषा

मान लीजिए वी एक परिमित-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि है और मान लीजिए बी₁ और बी₂ , वी के लिए दो आदेशित आधारक हैं। यह रैखिक बीजगणित में एक मानक परिणाम है, कि एक अद्वितीयरैखिक परिवर्तन मौजूद होता है : वी → वी जो बी₁ को बी₂ तक लेकर जाता है। आधारक बी₁ और बी₂ के लिए कहा जाता है, कि उनका एक ही अभिविन्यास है (या लगातार उन्मुख होना) यदि ए एक सकारात्मक निर्धारक है; अन्यथा उनकी विपरीत अभिविन्यास होती हैं। समान अभिविन्यास होने कि विशेशता वी के लिए सभी क्रमित आधारकों के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है। यदि V गैर-शून्य है, तो इस संबंध द्वारा निश्चित रूप से दो तुल्यता वर्ग निर्धारित होते हैं। V पर एक 'अभिविन्यास' एक तुल्यता वर्ग के लिए +1 और दूसरे के लिए −1 का नियतन है। प्रत्येक आदेशित आधार एक तुल्यता वर्ग या किसी अन्य में रहता है। इस प्रकार वी के लिए विशेषाधिकार प्राप्त आधार का कोई भी विकल्प एक अभिविन्यास निर्धारित करता है: विशेषाधिकार प्राप्त आधार के अभिविन्यास वर्ग को सकारात्मक घोषित किया जाता है।

उदाहरण के लिए, 'R' पर मानक आधार ⁿ 'R' पर 'मानक अभिविन्यास' प्रदान करता हैⁿ (बदले में, मानक आधार का अभिविन्यास कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अभिविन्यास पर निर्भर करता है जिस पर इसे बनाया गया है)। वी और 'आर' के बीच एक रैखिक समरूपता का कोई भी विकल्पⁿ तब V पर एक अभिविन्यास प्रदान करेगा।

आधार में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण है। भिन्न क्रम वाले दो आधार कुछ क्रमचय से भिन्न होंगे। इस क्रमपरिवर्तन का हस्ताक्षर (क्रमपरिवर्तन) ±1 है या नहीं, इसके अनुसार उनके समान/विपरीत झुकाव होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि क्रमचय मैट्रिक्स का निर्धारक संबंधित क्रमचय के हस्ताक्षर के बराबर है।

इसी तरह, A को सदिश स्थान 'R' का एक गैर-एकवचन रैखिक मानचित्रण होने देंⁿ से 'आर'^एन. यदि इसका निर्धारक सकारात्मक है तो यह मानचित्रण 'अभिविन्यास-संरक्षण' है। उदाहरण के लिए, R . में³ Z कार्टेशियन अक्ष के चारों ओर α कोण से घूमना अभिविन्यास-संरक्षण है:

$$\mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$$

जबकि एक्सवाई कार्टेशियन विमान द्वारा प्रतिबिंब अभिविन्यास-संरक्षण नहीं है:

$$\mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$$

शून्य-आयामी मामला

अभिविन्यास की अवधारणा शून्य-आयामी मामले में पतित हो जाती है। एक शून्य-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में केवल एक बिंदु होता है, शून्य वेक्टर। नतीजतन, शून्य-आयामी वेक्टर स्थान का एकमात्र आधार खाली सेट है $\emptyset$. इसलिए, क्रमबद्ध आधारों का एक एकल तुल्यता वर्ग है, अर्थात् वर्ग $\{\emptyset \}$ जिसका एकमात्र सदस्य खाली सेट है। इसका मतलब है कि शून्य-आयामी अंतरिक्ष का अभिविन्यास एक कार्य है

$$\{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.$$

इसलिए एक बिंदु को दो अलग-अलग तरीकों से उन्मुख करना संभव है, सकारात्मक और नकारात्मक।

क्योंकि केवल एक ही आदेशित आधार है $\emptyset$, एक शून्य-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष आदेशित आधार के साथ शून्य-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के समान होता है। का चयन $\{\emptyset \}\mapsto +1$ या $\{\emptyset \}\mapsto -1$ इसलिए प्रत्येक शून्य-आयामी सदिश स्थान के प्रत्येक आधार का एक अभिविन्यास चुनता है। यदि सभी शून्य-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान इस अभिविन्यास को असाइन किए जाते हैं, तो, क्योंकि शून्य-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के बीच सभी आइसोमोर्फिज़्म आदेशित आधार को संरक्षित करते हैं, वे अभिविन्यास को भी संरक्षित करते हैं। यह उच्च-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के मामले के विपरीत है जहां अभिविन्यास चुनने का कोई तरीका नहीं है ताकि यह सभी समरूपताओं के तहत संरक्षित हो।

हालांकि, ऐसी स्थितियां हैं जहां अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग अभिविन्यास देना वांछनीय है। उदाहरण के लिए, कलन की मूलभूत प्रमेय को स्टोक्स की प्रमेय के उदाहरण के रूप में लें। एक बंद अंतराल [a, b] सीमा के साथ एक आयामी कई गुना है, और इसकी सीमा निर्धारित है {a, b}. कैलकुलस के मौलिक प्रमेय का सही कथन प्राप्त करने के लिए, बिंदु b सकारात्मक रूप से उन्मुख होना चाहिए, जबकि बिंदु a नकारात्मक दिशा में होना चाहिए।

एक लाइन पर

एक-आयामी मामला एक ऐसी रेखा से संबंधित है जिसे दो दिशाओं में से एक में पार किया जा सकता है। एक रेखा (ज्यामिति) के लिए दो अभिविन्यास होते हैं, जैसे कि एक सर्कल में दो अभिविन्यास होते हैं। एक रेखा खंड (एक लाइन का एक कनेक्टेड सबसेट) के मामले में, दो संभावित अभिविन्यास के परिणामस्वरूप लाइन सेगमेंट # डायरेक्टेड लाइन सेगमेंट होता है। एक उन्मुखता में कभी-कभी चयनित अभिविन्यास होता है जो सतह पर लंबवत रेखा के उन्मुखीकरण द्वारा इंगित किया जाता है।

वैकल्पिक दृष्टिकोण

बहुरेखीय बीजगणित

किसी भी एन-डायमेंशनल रियल वेक्टर स्पेस V के लिए हम V की kth-बाहरी शक्ति बना सकते हैं, जिसे Λ द्वारा दर्शाया गया है।^केवी. यह आयाम द्विपद गुणांक का वास्तविक सदिश समष्टि है|${\tbinom {n}{k}}$. सदिश स्थान ΛⁿV (जिसे शीर्ष बाहरी शक्ति कहा जाता है) का आयाम 1 है। अर्थात, ΛⁿV केवल एक वास्तविक रेखा है। इस रेखा पर कौन सी दिशा सकारात्मक है इसका कोई प्राथमिक विकल्प नहीं है। एक अभिविन्यास सिर्फ एक ऐसा विकल्प है। . पर कोई भी अशून्य रैखिक रूप ⁿV ω(x) > 0 होने पर यह घोषित करके कि x धनात्मक दिशा में है, V का अभिविन्यास निर्धारित करता है। आधार बिंदु के दृष्टिकोण से जुड़ने के लिए हम कहते हैं कि सकारात्मक रूप से उन्मुख आधार वे हैं जिन पर ω मूल्यांकन करता है एक सकारात्मक संख्या के लिए (चूंकि ω एक एन-फॉर्म है, हम इसे 'आर' का तत्व देकर एन वैक्टर के आदेशित सेट पर मूल्यांकन कर सकते हैं)। फॉर्म ω को 'अभिविन्यास फॉर्म' कहा जाता है। यदि {ई_i} V और {e के लिए एक विशेषाधिकार प्राप्त आधार है_i^∗} दोहरा आधार है, तो मानक अभिविन्यास देने वाला अभिविन्यास रूप है e₁^∗ ∧ e₂^∗ ∧ … ∧ e_n^∗.

निर्धारक दृष्टिकोण के साथ इसका संबंध है: एक एंडोमोर्फिज्म का निर्धारक $T:V\to V$ शीर्ष बाहरी शक्ति पर प्रेरित क्रिया के रूप में व्याख्या की जा सकती है।

झूठ समूह सिद्धांत

मान लीजिए B, V के लिए सभी क्रमित आधारों का समुच्चय है। फिर सामान्य रैखिक समूह GL(V) समूह क्रिया (गणित) B पर स्वतंत्र रूप से और संक्रमणीय रूप से। (फैंसी भाषा में, B एक GL(V) -torsor है)। इसका मतलब यह है कि कई गुना के रूप में, बी (गैर-विहित) होमियोमॉर्फिक से जीएल (वी) है। ध्यान दें कि समूह जीएल (वी) जुड़ा हुआ स्थान नहीं है, बल्कि इसके अनुसार दो जुड़े हुए स्थान हैं कि क्या परिवर्तन का निर्धारक सकारात्मक या नकारात्मक है (जीएल को छोड़कर)₀, जो तुच्छ समूह है और इस प्रकार एक जुड़ा हुआ घटक है; यह शून्य-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष पर विहित अभिविन्यास से मेल खाता है)। जीएल (वी) के पहचान घटक को जीएल द्वारा निरूपित किया जाता है⁺(V) और सकारात्मक निर्धारक के साथ उन परिवर्तनों से मिलकर बनता है। GL . की कार्रवाई⁺(V) B पर सकर्मक नहीं है: दो कक्षाएँ हैं जो B के जुड़े घटकों के अनुरूप हैं। ये कक्षाएँ ठीक ऊपर उल्लिखित समकक्ष वर्ग हैं। चूँकि B का कोई विशिष्ट तत्व नहीं है (अर्थात एक विशेषाधिकार प्राप्त आधार) इसलिए कोई स्वाभाविक विकल्प नहीं है कि कौन सा घटक सकारात्मक है। इसकी तुलना जीएल (वी) से करें, जिसमें एक विशेषाधिकार प्राप्त घटक है: पहचान का घटक। बी और जीएल (वी) के बीच होमोमोर्फिज्म का एक विशिष्ट विकल्प विशेषाधिकार प्राप्त आधार के विकल्प के बराबर है और इसलिए एक अभिविन्यास निर्धारित करता है।

अधिक औपचारिक रूप से: $\pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}$, और स्टिफ़ेल कई गुना ऑफ़ एन-फ़्रेम्स इन $V$ एक है $\operatorname {GL} (V)$-टोरसर, तो $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ एक टॉर्सर ओवर है $\{\pm 1\}$, यानी इसके 2 बिंदु, और उनमें से एक का चुनाव एक अभिविन्यास है।

ज्यामितीय बीजगणित

समान दृष्टिकोण, परिमाण और अभिविन्यास के समानांतर समतल खंड, सभी एक ही बायवेक्टर के अनुरूप हैं a ∧ b.

ज्यामितीय बीजगणित की विभिन्न वस्तुओं को तीन विशेषताओं या विशेषताओं से चार्ज किया जाता है: रवैया, अभिविन्यास और परिमाण। उदाहरण के लिए, एक यूक्लिडियन सदिश के पास उसके समानांतर एक सीधी रेखा द्वारा दिया गया दृष्टिकोण होता है, इसकी भावना द्वारा दिया गया एक अभिविन्यास (अक्सर तीर के सिरे द्वारा इंगित किया जाता है) और इसकी लंबाई द्वारा दिया गया एक परिमाण। इसी तरह, तीन आयामों में एक bivector के पास इसके साथ जुड़े विमान (ज्यामिति) के परिवार द्वारा दिया गया एक रवैया है (संभवतः इन विमानों के लिए स्पर्शरेखा और सामान्य घटक ों द्वारा निर्दिष्ट) ), एक अभिविन्यास (कभी-कभी विमान में एक घुमावदार तीर द्वारा चिह्नित) अपनी सीमा (इसके परिसंचरण) के ट्रैवर्सल की भावना के विकल्प का संकेत देता है, और इसके दो वैक्टरों द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र द्वारा दिया गया एक परिमाण।

कई गुना पर अभिविन्यास

Main article: Orientability

File:Surface Orientation.pdf|thumb|वॉल्यूम का अभिविन्यास इसकी सीमा पर अभिविन्यास द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, जो परिसंचारी तीरों द्वारा इंगित किया गया है।

एन-डायमेंशनल डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर प्रत्येक बिंदु पी में एक स्पर्शरेखा स्थान टी होता है_pM जो एक n-आयामी वास्तविक सदिश समष्टि है। इनमें से प्रत्येक वेक्टर रिक्त स्थान को एक अभिविन्यास सौंपा जा सकता है। कुछ अभिविन्यास बिंदु से बिंदु तक आसानी से भिन्न होते हैं। कुछ टोपोलॉजी प्रतिबंधों के कारण, यह हमेशा संभव नहीं होता है। एक मैनिफोल्ड जो अपने स्पर्शरेखा स्थानों के लिए उन्मुखता के एक सहज विकल्प को स्वीकार करता है उसे ओरिएंटेबिलिटी कहा जाता है।

यह भी देखें

• संकेत सम्मेलन
• तीन आयामों में रोटेशन औपचारिकता एं
• चिरायता (गणित)
• दाएँ हाथ का नियम
• सम और विषम क्रमपरिवर्तन
• कार्तीय समन्वय प्रणाली
• स्यूडोवेक्टर
• एक वेक्टर बंडल का अभिविन्यास

बाहरी संबंध

• "Orientation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]