प्रमेय: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| (4 intermediate revisions by 3 users not shown) | |||
| Line 3: | Line 3: | ||
[[File:Pythagorean Proof (3).PNG|thumb|200px|right|[[पाइथागोरस प्रमेय]] के कम से कम 370 ज्ञात प्रमाण हैं<ref name='Loomis'>{{cite web|url=http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf|author=Elisha Scott Loomis |title=पायथागॉरियन प्रस्ताव: इसके प्रदर्शनों का विश्लेषण और वर्गीकरण, और चार प्रकार के प्रमाणों के डेटा के लिए स्रोतों की ग्रंथ सूची|access-date=2010-09-26 |work=[[Education Resources Information Center]] |publisher=[[Institute of Education Sciences]] (IES) of the [[U.S. Department of Education]] }} Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.</ref>]]गणित में, एक प्रमेय एक [[कथन (तर्क)]] है जो [[गणितीय प्रमाण]] हो चुका है, या सिद्ध किया जा सकता है।{{efn|In general, the distinction is weak, as the standard way to prove that a statement is provable consists of proving it. However, in mathematical logic, one considers often the set of all theorems of a theory, although one cannot prove them individually.}}<ref>{{Cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/theorem|title=प्रमेय की परिभाषा|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2019-11-02}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.lexico.com/en/definition/theorem|archive-url=https://web.archive.org/web/20191102041621/https://www.lexico.com/en/definition/theorem|url-status=dead|archive-date=November 2, 2019|title=प्रमेय {{!}} लेक्सिको द्वारा प्रमेय की परिभाषा|website=Lexico Dictionaries {{!}} English|language=en|access-date=2019-11-02}}</ref> एक प्रमेय का प्रमाण एक [[तार्किक तर्क]] है जो एक निगमनात्मक प्रणाली के अनुमान नियमों का उपयोग यह स्थापित करने के लिए करता है कि प्रमेय [[स्वयंसिद्ध]]ों और पहले सिद्ध प्रमेयों का एक [[तार्किक परिणाम]] है। | [[File:Pythagorean Proof (3).PNG|thumb|200px|right|[[पाइथागोरस प्रमेय]] के कम से कम 370 ज्ञात प्रमाण हैं<ref name='Loomis'>{{cite web|url=http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf|author=Elisha Scott Loomis |title=पायथागॉरियन प्रस्ताव: इसके प्रदर्शनों का विश्लेषण और वर्गीकरण, और चार प्रकार के प्रमाणों के डेटा के लिए स्रोतों की ग्रंथ सूची|access-date=2010-09-26 |work=[[Education Resources Information Center]] |publisher=[[Institute of Education Sciences]] (IES) of the [[U.S. Department of Education]] }} Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.</ref>]]गणित में, एक प्रमेय एक [[कथन (तर्क)]] है जो [[गणितीय प्रमाण]] हो चुका है, या सिद्ध किया जा सकता है।{{efn|In general, the distinction is weak, as the standard way to prove that a statement is provable consists of proving it. However, in mathematical logic, one considers often the set of all theorems of a theory, although one cannot prove them individually.}}<ref>{{Cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/theorem|title=प्रमेय की परिभाषा|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2019-11-02}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.lexico.com/en/definition/theorem|archive-url=https://web.archive.org/web/20191102041621/https://www.lexico.com/en/definition/theorem|url-status=dead|archive-date=November 2, 2019|title=प्रमेय {{!}} लेक्सिको द्वारा प्रमेय की परिभाषा|website=Lexico Dictionaries {{!}} English|language=en|access-date=2019-11-02}}</ref> एक प्रमेय का प्रमाण एक [[तार्किक तर्क]] है जो एक निगमनात्मक प्रणाली के अनुमान नियमों का उपयोग यह स्थापित करने के लिए करता है कि प्रमेय [[स्वयंसिद्ध]]ों और पहले सिद्ध प्रमेयों का एक [[तार्किक परिणाम]] है। | ||
गणित की मुख्यधारा में, अभिगृहीत और अनुमान नियम सामान्यतः अंतर्निहित छोड़ दिए जाते हैं, और, इस स्थिति में, वे लगभग हमेशा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के होते हैं, जिसमें [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] या कम शक्तिशाली सिद्धांत होता है, जैसे कि पीनो (peano) अंकगणित। एक उल्लेखनीय अपवाद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण है, जिसमें [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड]] प्रयोग हैं जिनके अस्तित्व के लिए सेट सिद्धांत के लिए एक नया स्वयंसिद्ध जोड़ना आवश्यक है।{{efn|The fact that Wiles's proof involves Grothendieck universes does not mean that the proof cannot be improved for avoiding this, and many specialist think that it is possible. Nevertheless, it is rather astonishing that the proof of a theorem that is stated in terms of elementary [[arithmetics]] involves the existence of Grothendieck universes, which are very large infinite sets.}}सामान्यतः, एक अभिकथन जिसे स्पष्ट रूप से प्रमेय कहा जाता है, एक सिद्ध परिणाम है जो अन्य ज्ञात प्रमेयों का तत्काल परिणाम नहीं है। इसके | गणित की मुख्यधारा में, अभिगृहीत और अनुमान नियम सामान्यतः अंतर्निहित छोड़ दिए जाते हैं, और, इस स्थिति में, वे लगभग हमेशा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के होते हैं, जिसमें [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] या कम शक्तिशाली सिद्धांत होता है, जैसे कि पीनो (peano) अंकगणित। एक उल्लेखनीय अपवाद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण है, जिसमें [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड]] प्रयोग हैं जिनके अस्तित्व के लिए सेट सिद्धांत के लिए एक नया स्वयंसिद्ध जोड़ना आवश्यक है।{{efn|The fact that Wiles's proof involves Grothendieck universes does not mean that the proof cannot be improved for avoiding this, and many specialist think that it is possible. Nevertheless, it is rather astonishing that the proof of a theorem that is stated in terms of elementary [[arithmetics]] involves the existence of Grothendieck universes, which are very large infinite sets.}}सामान्यतः, एक अभिकथन जिसे स्पष्ट रूप से प्रमेय कहा जाता है, एक सिद्ध परिणाम है जो अन्य ज्ञात प्रमेयों का तत्काल परिणाम नहीं है। इसके अतिरिक्त, कई लेखक केवल सबसे महत्वपूर्ण परिणाम प्रमेय के रूप में अर्हता प्राप्त करते हैं, और कम महत्वपूर्ण प्रमेय के लिए शब्द प्रमेयिका, प्रस्ताव और परिणाम का उपयोग करते हैं। | ||
[[गणितीय तर्क]] में, उनके बारे में गणितीय तर्क की अनुमति देने के लिए प्रमेय और प्रमाण की अवधारणा [[औपचारिक प्रणाली]] रही है। इस संदर्भ में कथन कुछ [[औपचारिक भाषा]] के सुव्यवस्थित सूत्र बन जाते हैं। एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] में कुछ आधार कथन होते हैं जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है, और कुछ निगमन नियम (कभी-कभी स्वयंसिद्धों में सम्मलित होते हैं)। सिद्धांत के प्रमेय वे कथन हैं जो व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं।{{efn|A theory is often identified with the set of its theorems. This is avoided here for clarity, and also for not depending on [[set theory]].}} इस औपचारिकता ने प्रमाण सिद्धांत को जन्म दिया, जो प्रमेयों और प्रमाणों के बारे में सामान्य प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रत्येक संगति सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं पर सही कथन हैं जो सिद्धांत के प्रमेय नहीं हैं (अर्थात वे सिद्धांत के भीतर सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं)। | [[गणितीय तर्क]] में, उनके बारे में गणितीय तर्क की अनुमति देने के लिए प्रमेय और प्रमाण की अवधारणा [[औपचारिक प्रणाली]] रही है। इस संदर्भ में कथन कुछ [[औपचारिक भाषा]] के सुव्यवस्थित सूत्र बन जाते हैं। एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] में कुछ आधार कथन होते हैं जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है, और कुछ निगमन नियम (कभी-कभी स्वयंसिद्धों में सम्मलित होते हैं)। सिद्धांत के प्रमेय वे कथन हैं जो व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं।{{efn|A theory is often identified with the set of its theorems. This is avoided here for clarity, and also for not depending on [[set theory]].}} इस औपचारिकता ने प्रमाण सिद्धांत को जन्म दिया, जो प्रमेयों और प्रमाणों के बारे में सामान्य प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रत्येक संगति सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं पर सही कथन हैं जो सिद्धांत के प्रमेय नहीं हैं (अर्थात वे सिद्धांत के भीतर सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं)। | ||
| Line 11: | Line 11: | ||
== प्रमेय और सत्य == | == प्रमेय और सत्य == | ||
19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी [[गणितीय सिद्धांत]]ों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक [[रेखा (गणित)]] है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था अभिधारणाएँ या | 19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी [[गणितीय सिद्धांत]]ों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक [[रेखा (गणित)]] है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था, उन्हें अभिधारणाएँ या स्वयंसिद्ध कहा जाता था; उदाहरण के लिए यूक्लिड की अभिधारणाएँ। सभी प्रमेयों को स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से इन मूल गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, और, इन मूल गुणों के प्रमाण के कारण, एक सिद्ध प्रमेय को एक निश्चित सत्य माना जाता था, जब तक कि प्रमाण में कोई त्रुटि न हो। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के [[आंतरिक कोण]]ों का योग 180° के बराबर होता है, और इसे एक निस्संदेह तथ्य माना जाता था। | ||
गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, चूंकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, [[सेट (गणित)]] के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में परिचालन करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है। | गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, चूंकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, [[सेट (गणित)]] के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में परिचालन करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है। | ||
गणित की नींव को और अधिक [[गणितीय कठोरता]] बनाने के लिए इस संकट को हल किया गया है। इन नई नींवों में, एक प्रमेय एक गणितीय सिद्धांत का एक सुनिर्मित सूत्र है जिसे सिद्धांत के स्वयंसिद्धों और [[अनुमान नियम]]ों से सिद्ध किया जा सकता है। इसलिए, त्रिभुज के कोणों के योग पर उपरोक्त प्रमेय बन जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों और अनुमान नियमों के | गणित की नींव को और अधिक [[गणितीय कठोरता]] बनाने के लिए इस संकट को हल किया गया है। इन नई नींवों में, एक प्रमेय एक गणितीय सिद्धांत का एक सुनिर्मित सूत्र है जिसे सिद्धांत के स्वयंसिद्धों और [[अनुमान नियम]]ों से सिद्ध किया जा सकता है। इसलिए, त्रिभुज के कोणों के योग पर उपरोक्त प्रमेय बन जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों और अनुमान नियमों के अनुसार , त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है। इसी तरह, रसेल का विरोधाभास गायब हो जाता है, क्योंकि एक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अधिक शुद्ध रूप से, यदि सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका तात्पर्य है कि सिद्धांत [[असंगत]] है, और हर अच्छी तरह से गठित अभिकथन, साथ ही साथ इसकी अस्वीकृति, एक प्रमेय है। | ||
इस संदर्भ में, किसी प्रमेय की वैधता केवल उसकी उपपत्ति की सत्यता पर निर्भर करती है। यह सत्य से स्वतंत्र है, या स्वयंसिद्धों के महत्व से भी। इसका मतलब यह नहीं है कि स्वयंसिद्धों का महत्व अरुचिकर है, बल्कि केवल यह है कि एक प्रमेय की वैधता स्वयंसिद्धों के महत्व से स्वतंत्र है। यह स्वतंत्रता गणित के कुछ क्षेत्र के परिणामों के उपयोग की अनुमति देकर स्पष्ट रूप से असंबद्ध क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है। | इस संदर्भ में, किसी प्रमेय की वैधता केवल उसकी उपपत्ति की सत्यता पर निर्भर करती है। यह सत्य से स्वतंत्र है, या स्वयंसिद्धों के महत्व से भी। इसका मतलब यह नहीं है कि स्वयंसिद्धों का महत्व अरुचिकर है, बल्कि केवल यह है कि एक प्रमेय की वैधता स्वयंसिद्धों के महत्व से स्वतंत्र है। यह स्वतंत्रता गणित के कुछ क्षेत्र के परिणामों के उपयोग की अनुमति देकर स्पष्ट रूप से असंबद्ध क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है। | ||
गणित के बारे में सोचने के इस | गणित के बारे में सोचने के इस विधियों का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि यह गणितीय सिद्धांतों और प्रमेयों को [[गणितीय वस्तु]]ओं के रूप में परिभाषित करने और उनके बारे में प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय इसका उदाहरण हैं। विशेष रूप से, अच्छी तरह से गठित अभिकथन हैं जो परिवेश सिद्धांत के प्रमेय नहीं प्रमाणित हो सकते हैं, चूंकि वे एक व्यापक सिद्धांत में सिद्ध हो सकते हैं। एक उदाहरण गुडस्टीन का प्रमेय है, जिसे पीनो अंकगणित में कहा जा सकता है, लेकिन पीनो अंकगणित में प्रमाणित नहीं किया जा सकता है। तथापि, यह कुछ और सामान्य सिद्धांतों में सिद्ध है, जैसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत। | ||
== ज्ञानमीमांसा संबंधी विचार == | == ज्ञानमीमांसा संबंधी विचार == | ||
| Line 52: | Line 52: | ||
उदाहरण के लिए, कोलॉज(Collatz) अनुमान और रीमैन परिकल्पना दोनों प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याएं हैं; अनुभवजन्य जाँच के माध्यम से उनका व्यापक अध्ययन किया गया है, लेकिन वे अप्रमाणित हैं। कोलॉज अनुमान को लगभग 2.88 × 10 तक के शुरुआती मानों के लिए सत्यापित किया गया है<sup>18</sup>. [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] के पहले 10 ट्रिलियन गैर-तुच्छ शून्यों को धारण करने के लिए रीमैन परिकल्पना को सत्यापित किया गया है। चूंकि अधिकांश गणितज्ञ यह मानकर सहन कर सकते हैं कि अनुमान और परिकल्पना सत्य हैं, इनमें से किसी भी प्रस्ताव को सिद्ध नहीं माना जाता है। | उदाहरण के लिए, कोलॉज(Collatz) अनुमान और रीमैन परिकल्पना दोनों प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याएं हैं; अनुभवजन्य जाँच के माध्यम से उनका व्यापक अध्ययन किया गया है, लेकिन वे अप्रमाणित हैं। कोलॉज अनुमान को लगभग 2.88 × 10 तक के शुरुआती मानों के लिए सत्यापित किया गया है<sup>18</sup>. [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] के पहले 10 ट्रिलियन गैर-तुच्छ शून्यों को धारण करने के लिए रीमैन परिकल्पना को सत्यापित किया गया है। चूंकि अधिकांश गणितज्ञ यह मानकर सहन कर सकते हैं कि अनुमान और परिकल्पना सत्य हैं, इनमें से किसी भी प्रस्ताव को सिद्ध नहीं माना जाता है। | ||
इस तरह के प्रमाण नहीं बनते। उदाहरण के लिए, मर्टेंस अनुमान प्राकृतिक संख्याओं के बारे में एक कथन है जो अब असत्य के रूप में जाना जाता है, लेकिन कोई स्पष्ट प्रति उदाहरण नहीं है ( | इस तरह के प्रमाण नहीं बनते। उदाहरण के लिए, मर्टेंस अनुमान प्राकृतिक संख्याओं के बारे में एक कथन है जो अब असत्य के रूप में जाना जाता है, लेकिन कोई स्पष्ट प्रति उदाहरण नहीं है (अर्थात, एक प्राकृतिक संख्या n जिसके लिए मर्टेंस फ़ंक्शन M(n) n के वर्गमूल के बराबर या उससे अधिक है) है ज्ञात: 10 से कम सभी संख्याएँ<sup>14</sup> के पास मर्टेंस गुण है, और सबसे छोटी संख्या जिसके पास यह गुण नहीं है, केवल 1.59 × 10 के घातीय फलन से कम के रूप में जानी जाती है<sup>40</sup>, जो लगभग 10 की घात 4.3 × 10 है<sup>39</sup>. चूंकि ब्रह्मांड में कणों की संख्या को सामान्यतः 10 की शक्ति 100 (एक [[इसे काट दें]]) से कम माना जाता है, संपूर्ण खोज द्वारा एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण खोजने की कोई आशा नहीं है। | ||
शब्द सिद्धांत भी गणित में उपस्थित है, गणितीय सिद्धांतों, परिभाषाओं और प्रमेयों के एक निकाय को निरूपित करने के लिए, उदाहरण के लिए, [[समूह सिद्धांत]] (गणितीय सिद्धांत देखें)। विज्ञान, विशेष रूप से भौतिकी और इंजीनियरिंग में भी प्रमेय हैं, लेकिन उनके पास प्रायः विवरण और प्रमाण होते हैं जिनमें भौतिक धारणाएं और अंतर्ज्ञान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं; भौतिक सिद्धांत जिन पर इस तरह के प्रमेय आधारित होते हैं, स्वयं मिथ्या होते हैं। | शब्द सिद्धांत भी गणित में उपस्थित है, गणितीय सिद्धांतों, परिभाषाओं और प्रमेयों के एक निकाय को निरूपित करने के लिए, उदाहरण के लिए, [[समूह सिद्धांत]] (गणितीय सिद्धांत देखें)। विज्ञान, विशेष रूप से भौतिकी और इंजीनियरिंग में भी प्रमेय हैं, लेकिन उनके पास प्रायः विवरण और प्रमाण होते हैं जिनमें भौतिक धारणाएं और अंतर्ज्ञान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं; भौतिक सिद्धांत जिन पर इस तरह के प्रमेय आधारित होते हैं, स्वयं मिथ्या होते हैं। | ||
| Line 102: | Line 102: | ||
{{Clear}}<!-- stop picture bleeding into completely unrelated next section --> | {{Clear}}<!-- stop picture bleeding into completely unrelated next section --> | ||
[[File:Formal languages.svg|thumb|300px|right|यह आरेख [[सिंटेक्स (तर्क)]]तर्क) दिखाता है जिसे औपचारिक भाषाओं से बनाया जा सकता है। [[प्रतीक (औपचारिक)]] और [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] को लगभग [[बकवास]] और सुगठित सूत्रों में विभाजित किया जा सकता है। एक औपचारिक भाषा को उसके सुव्यवस्थित सूत्रों के समुच्चय के समान माना जा सकता है। सुगठित सूत्रों के समुच्चय को [[बकवास|लगभग]] प्रमेयों और गैर-प्रमेयों में विभाजित किया जा सकता है।]]व्युत्पन्नता संबंध के | [[File:Formal languages.svg|thumb|300px|right|यह आरेख [[सिंटेक्स (तर्क)]]तर्क) दिखाता है जिसे औपचारिक भाषाओं से बनाया जा सकता है। [[प्रतीक (औपचारिक)]] और [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] को लगभग [[बकवास]] और सुगठित सूत्रों में विभाजित किया जा सकता है। एक औपचारिक भाषा को उसके सुव्यवस्थित सूत्रों के समुच्चय के समान माना जा सकता है। सुगठित सूत्रों के समुच्चय को [[बकवास|लगभग]] प्रमेयों और गैर-प्रमेयों में विभाजित किया जा सकता है।]]व्युत्पन्नता संबंध के अनुसार एक सिद्धांत को बंद करने के लिए, इसे औपचारिक प्रणाली डिडक्टिव सिस्टम से जोड़ा जाना चाहिए जो निर्दिष्ट करता है कि प्रमेय कैसे व्युत्पन्न होते हैं। डिडक्टिव सिस्टम को स्पष्ट रूप से कहा जा सकता है, या यह संदर्भ से स्पष्ट हो सकता है। तार्किक परिणाम के संबंध के अंतर्गत खाली सेट को बंद करने से वह सेट प्राप्त होता है जिसमें केवल उन वाक्यों को सम्मलित किया जाता है जो निगमनात्मक प्रणाली के प्रमेय हैं। | ||
जिस व्यापक अर्थ में इस शब्द का उपयोग तर्क के भीतर किया जाता है, एक प्रमेय का सत्य होना जरूरी नहीं है, क्योंकि जिस सिद्धांत में यह सम्मलित है वह किसी दिए गए शब्दार्थ के सापेक्ष ध्वनि हो सकता है, या अंतर्निहित भाषा के मानक [[व्याख्या (तर्क)]] के सापेक्ष हो सकता है। . एक सिद्धांत जो संगति है [[मॉडल सिद्धांत]] में प्रमेय के रूप में सभी वाक्य हैं। | जिस व्यापक अर्थ में इस शब्द का उपयोग तर्क के भीतर किया जाता है, एक प्रमेय का सत्य होना जरूरी नहीं है, क्योंकि जिस सिद्धांत में यह सम्मलित है वह किसी दिए गए शब्दार्थ के सापेक्ष ध्वनि हो सकता है, या अंतर्निहित भाषा के मानक [[व्याख्या (तर्क)]] के सापेक्ष हो सकता है। . एक सिद्धांत जो संगति है [[मॉडल सिद्धांत]] में प्रमेय के रूप में सभी वाक्य हैं। | ||
| Line 126: | Line 126: | ||
=== सिंटेक्स और शब्दार्थ === | === सिंटेक्स और शब्दार्थ === | ||
{{Main|सिंटैक्स (तर्क)|औपचारिक शब्दार्थ (तर्क)}} | {{Main|सिंटैक्स (तर्क)|औपचारिक शब्दार्थ (तर्क)}} | ||
एक औपचारिक प्रमेय की अवधारणा मौलिक रूप से वाक्यात्मक है, एक सच्चे प्रस्ताव की धारणा के विपरीत, जो शब्दार्थ का परिचय देती है। व्युत्पत्ति नियमों ( | एक औपचारिक प्रमेय की अवधारणा मौलिक रूप से वाक्यात्मक है, एक सच्चे प्रस्ताव की धारणा के विपरीत, जो शब्दार्थ का परिचय देती है। व्युत्पत्ति नियमों (अर्थात [[विश्वास]], [[औचित्य का सिद्धांत]] या अन्य [[मॉडल तर्क]]) के अनुमानों के आधार पर विभिन्न निगमनात्मक प्रणालियां अन्य व्याख्याएं उत्पन्न कर सकती हैं। एक औपचारिक प्रणाली की सुदृढ़ता इस बात पर निर्भर करती है कि इसके सभी प्रमेय भी [[वैधता (तर्क)]] हैं या नहीं। एक वैधता एक सूत्र है जो किसी भी संभावित व्याख्या के अनुसार सत्य है (उदाहरण के लिए, शास्त्रीय प्रस्तावपरक तर्क में, वैधता पुनरुक्ति (तर्क) है)। एक औपचारिक प्रणाली को [[पूर्णता (तर्क)]] माना जाता है जब उसके सभी प्रमेय भी पुनरुक्ति होते हैं। | ||
=== एक औपचारिक प्रमेय की व्याख्या === | === एक औपचारिक प्रमेय की व्याख्या === | ||
| Line 224: | Line 224: | ||
{{Mathematical logic}} | {{Mathematical logic}} | ||
{{Authority control}} | {{Authority control}} | ||
[[डी: प्रमेय]] | [[डी: प्रमेय]] | ||
[[Category:AC with 0 elements]] | |||
[[Category: | [[Category:All articles needing additional references]] | ||
[[Category:All articles with unsourced statements]] | |||
[[Category:Articles needing additional references from February 2018]] | |||
[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]] | |||
[[Category:Articles with invalid date parameter in template]] | |||
[[Category:Articles with short description]] | |||
[[Category:Articles with unsourced statements from April 2020]] | |||
[[Category:CS1 English-language sources (en)]] | |||
[[Category:CS1 français-language sources (fr)]] | |||
[[Category:CS1 maint]] | |||
[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)]] | |||
[[Category:Citation Style 1 templates|W]] | |||
[[Category:Collapse templates]] | |||
[[Category:Created On 24/11/2022]] | [[Category:Created On 24/11/2022]] | ||
[[Category:Machine Translated Page]] | |||
[[Category:Navigational boxes| ]] | |||
[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]] | |||
[[Category:Pages with empty portal template]] | |||
[[Category:Pages with script errors]] | |||
[[Category:Portal-inline template with redlinked portals]] | |||
[[Category:Portal templates with redlinked portals]] | |||
[[Category:Short description with empty Wikidata description]] | |||
[[Category:Sidebars with styles needing conversion]] | |||
[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]] | |||
[[Category:Templates based on the Citation/CS1 Lua module]] | |||
[[Category:Templates generating COinS|Cite web]] | |||
[[Category:Templates generating microformats]] | |||
[[Category:Templates that are not mobile friendly]] | |||
[[Category:Templates used by AutoWikiBrowser|Cite web]] | |||
[[Category:Templates using TemplateData]] | |||
[[Category:Wikipedia articles needing page number citations from October 2010]] | |||
[[Category:Wikipedia fully protected templates|Cite web]] | |||
[[Category:Wikipedia metatemplates]] | |||
[[Category:कथन]] | |||
[[Category:गणितीय प्रमाण]] | |||
[[Category:गणितीय शब्दावली]] | |||
[[Category:तार्किक अभिव्यक्ति]] | |||
[[Category:तार्किक परिणाम]] | |||
[[Category:प्रमेय| ]] | |||
Latest revision as of 21:53, 7 December 2022
File:Pythagorean Proof (3).PNG
.PNG){kind=link}
पाइथागोरस प्रमेय के कम से कम 370 ज्ञात प्रमाण हैं[1]
गणित में, एक प्रमेय एक कथन (तर्क) है जो गणितीय प्रमाण हो चुका है, या सिद्ध किया जा सकता है।[lower-alpha 1][2][3] एक प्रमेय का प्रमाण एक तार्किक तर्क है जो एक निगमनात्मक प्रणाली के अनुमान नियमों का उपयोग यह स्थापित करने के लिए करता है कि प्रमेय स्वयंसिद्धों और पहले सिद्ध प्रमेयों का एक तार्किक परिणाम है।
गणित की मुख्यधारा में, अभिगृहीत और अनुमान नियम सामान्यतः अंतर्निहित छोड़ दिए जाते हैं, और, इस स्थिति में, वे लगभग हमेशा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के होते हैं, जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध या कम शक्तिशाली सिद्धांत होता है, जैसे कि पीनो (peano) अंकगणित। एक उल्लेखनीय अपवाद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण है, जिसमें ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड प्रयोग हैं जिनके अस्तित्व के लिए सेट सिद्धांत के लिए एक नया स्वयंसिद्ध जोड़ना आवश्यक है।[lower-alpha 2]सामान्यतः, एक अभिकथन जिसे स्पष्ट रूप से प्रमेय कहा जाता है, एक सिद्ध परिणाम है जो अन्य ज्ञात प्रमेयों का तत्काल परिणाम नहीं है। इसके अतिरिक्त, कई लेखक केवल सबसे महत्वपूर्ण परिणाम प्रमेय के रूप में अर्हता प्राप्त करते हैं, और कम महत्वपूर्ण प्रमेय के लिए शब्द प्रमेयिका, प्रस्ताव और परिणाम का उपयोग करते हैं।
गणितीय तर्क में, उनके बारे में गणितीय तर्क की अनुमति देने के लिए प्रमेय और प्रमाण की अवधारणा औपचारिक प्रणाली रही है। इस संदर्भ में कथन कुछ औपचारिक भाषा के सुव्यवस्थित सूत्र बन जाते हैं। एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) में कुछ आधार कथन होते हैं जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है, और कुछ निगमन नियम (कभी-कभी स्वयंसिद्धों में सम्मलित होते हैं)। सिद्धांत के प्रमेय वे कथन हैं जो व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं।[lower-alpha 3] इस औपचारिकता ने प्रमाण सिद्धांत को जन्म दिया, जो प्रमेयों और प्रमाणों के बारे में सामान्य प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रत्येक संगति सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं पर सही कथन हैं जो सिद्धांत के प्रमेय नहीं हैं (अर्थात वे सिद्धांत के भीतर सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं)।
चूंकि अभिगृहीत अधिकांशतः भौतिक दुनिया के गुणों का सार होते हैं, प्रमेयों को कुछ सत्य व्यक्त करने के रूप में माना जा सकता है, लेकिन एक वैज्ञानिक कानून की धारणा के विपरीत, जो प्रयोगात्मक है, एक प्रमेय की सत्यता का औचित्य विशुद्ध रूप से निगमनात्मक है।[4][5]
प्रमेय और सत्य
19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी गणितीय सिद्धांतों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक रेखा (गणित) है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था, उन्हें अभिधारणाएँ या स्वयंसिद्ध कहा जाता था; उदाहरण के लिए यूक्लिड की अभिधारणाएँ। सभी प्रमेयों को स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से इन मूल गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, और, इन मूल गुणों के प्रमाण के कारण, एक सिद्ध प्रमेय को एक निश्चित सत्य माना जाता था, जब तक कि प्रमाण में कोई त्रुटि न हो। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° के बराबर होता है, और इसे एक निस्संदेह तथ्य माना जाता था।
गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, चूंकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, सेट (गणित) के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में परिचालन करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है।
गणित की नींव को और अधिक गणितीय कठोरता बनाने के लिए इस संकट को हल किया गया है। इन नई नींवों में, एक प्रमेय एक गणितीय सिद्धांत का एक सुनिर्मित सूत्र है जिसे सिद्धांत के स्वयंसिद्धों और अनुमान नियमों से सिद्ध किया जा सकता है। इसलिए, त्रिभुज के कोणों के योग पर उपरोक्त प्रमेय बन जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों और अनुमान नियमों के अनुसार , त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है। इसी तरह, रसेल का विरोधाभास गायब हो जाता है, क्योंकि एक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अधिक शुद्ध रूप से, यदि सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका तात्पर्य है कि सिद्धांत असंगत है, और हर अच्छी तरह से गठित अभिकथन, साथ ही साथ इसकी अस्वीकृति, एक प्रमेय है।
इस संदर्भ में, किसी प्रमेय की वैधता केवल उसकी उपपत्ति की सत्यता पर निर्भर करती है। यह सत्य से स्वतंत्र है, या स्वयंसिद्धों के महत्व से भी। इसका मतलब यह नहीं है कि स्वयंसिद्धों का महत्व अरुचिकर है, बल्कि केवल यह है कि एक प्रमेय की वैधता स्वयंसिद्धों के महत्व से स्वतंत्र है। यह स्वतंत्रता गणित के कुछ क्षेत्र के परिणामों के उपयोग की अनुमति देकर स्पष्ट रूप से असंबद्ध क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है।
गणित के बारे में सोचने के इस विधियों का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि यह गणितीय सिद्धांतों और प्रमेयों को गणितीय वस्तुओं के रूप में परिभाषित करने और उनके बारे में प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय इसका उदाहरण हैं। विशेष रूप से, अच्छी तरह से गठित अभिकथन हैं जो परिवेश सिद्धांत के प्रमेय नहीं प्रमाणित हो सकते हैं, चूंकि वे एक व्यापक सिद्धांत में सिद्ध हो सकते हैं। एक उदाहरण गुडस्टीन का प्रमेय है, जिसे पीनो अंकगणित में कहा जा सकता है, लेकिन पीनो अंकगणित में प्रमाणित नहीं किया जा सकता है। तथापि, यह कुछ और सामान्य सिद्धांतों में सिद्ध है, जैसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत।