प्रमेय

Not to be confused with Teorema, Theorema, or Theory.

File:Pythagorean Proof (3).PNG

पाइथागोरस प्रमेय के कम से कम 370 ज्ञात प्रमाण हैं

गणित में, एक प्रमेय एक कथन (तर्क) है जो गणितीय प्रमाण हो चुका है, या सिद्ध किया जा सकता है। एक प्रमेय का प्रमाण एक तार्किक तर्क है जो एक निगमनात्मक प्रणाली के अनुमान नियमों का उपयोग यह स्थापित करने के लिए करता है कि प्रमेय स्वयंसिद्धों और पहले सिद्ध प्रमेयों का एक तार्किक परिणाम है।

गणित की मुख्यधारा में, अभिगृहीत और अनुमान नियम सामान्यतः अंतर्निहित छोड़ दिए जाते हैं, और, इस स्थिति में, वे लगभग हमेशा ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के होते हैं, जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध या कम शक्तिशाली सिद्धांत होता है, जैसे कि पीनो (peano) अंकगणित। एक उल्लेखनीय अपवाद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण है, जिसमें ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड प्रयोग हैं जिनके अस्तित्व के लिए सेट सिद्धांत के लिए एक नया स्वयंसिद्ध जोड़ना आवश्यक है।सामान्यतः, एक अभिकथन जिसे स्पष्ट रूप से प्रमेय कहा जाता है, एक सिद्ध परिणाम है जो अन्य ज्ञात प्रमेयों का तत्काल परिणाम नहीं है। इसके अतिरिक्त, कई लेखक केवल सबसे महत्वपूर्ण परिणाम प्रमेय के रूप में अर्हता प्राप्त करते हैं, और कम महत्वपूर्ण प्रमेय के लिए शब्द प्रमेयिका, प्रस्ताव और परिणाम का उपयोग करते हैं।

गणितीय तर्क में, उनके बारे में गणितीय तर्क की अनुमति देने के लिए प्रमेय और प्रमाण की अवधारणा औपचारिक प्रणाली रही है। इस संदर्भ में कथन कुछ औपचारिक भाषा के सुव्यवस्थित सूत्र बन जाते हैं। एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) में कुछ आधार कथन होते हैं जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है, और कुछ निगमन नियम (कभी-कभी स्वयंसिद्धों में सम्मलित होते हैं)। सिद्धांत के प्रमेय वे कथन हैं जो व्युत्पन्न नियमों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं। इस औपचारिकता ने प्रमाण सिद्धांत को जन्म दिया, जो प्रमेयों और प्रमाणों के बारे में सामान्य प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों से पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रत्येक संगति सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं पर सही कथन हैं जो सिद्धांत के प्रमेय नहीं हैं (अर्थात वे सिद्धांत के भीतर सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं)।

चूंकि अभिगृहीत अधिकांशतः भौतिक दुनिया के गुणों का सार होते हैं, प्रमेयों को कुछ सत्य व्यक्त करने के रूप में माना जा सकता है, लेकिन एक वैज्ञानिक कानून की धारणा के विपरीत, जो प्रयोगात्मक है, एक प्रमेय की सत्यता का औचित्य विशुद्ध रूप से निगमनात्मक है।

प्रमेय और सत्य

19वीं शताब्दी के अंत तक और गणित के मूलभूत संकट तक, सभी गणितीय सिद्धांतों का निर्माण कुछ बुनियादी गुणों से किया गया था जिन्हें स्वतः स्पष्ट माना जाता था; उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी होता है, और यह कि वास्तव में एक रेखा (गणित) है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। ये मूल गुण जिन्हें पूर्णतया स्पष्ट माना जाता था, उन्हें अभिधारणाएँ या स्वयंसिद्ध कहा जाता था; उदाहरण के लिए यूक्लिड की अभिधारणाएँ। सभी प्रमेयों को स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से इन मूल गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, और, इन मूल गुणों के प्रमाण के कारण, एक सिद्ध प्रमेय को एक निश्चित सत्य माना जाता था, जब तक कि प्रमाण में कोई त्रुटि न हो। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° के बराबर होता है, और इसे एक निस्संदेह तथ्य माना जाता था।

गणित के मूलभूत संकट का एक पहलू गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज थी जो किसी भी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती, चूंकि, ऐसे ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180° से भिन्न होता है। इसलिए, 180° के बराबर त्रिभुज के कोणों के योग का गुण या तो सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को ग्रहण किया गया है या इनकार किया गया है। इसी तरह, सेट (गणित) के स्पष्ट बुनियादी गुणों का उपयोग रसेल के विरोधाभास की ओर ले जाता है। सेट में परिचालन करने के लिए अनुमत नियमों को विस्तृत करके इसका समाधान किया गया है।

गणित की नींव को और अधिक गणितीय कठोरता बनाने के लिए इस संकट को हल किया गया है। इन नई नींवों में, एक प्रमेय एक गणितीय सिद्धांत का एक सुनिर्मित सूत्र है जिसे सिद्धांत के स्वयंसिद्धों और अनुमान नियमों से सिद्ध किया जा सकता है। इसलिए, त्रिभुज के कोणों के योग पर उपरोक्त प्रमेय बन जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों और अनुमान नियमों के अनुसार , त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है। इसी तरह, रसेल का विरोधाभास गायब हो जाता है, क्योंकि एक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अधिक शुद्ध रूप से, यदि सभी सेटों के सेट को एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के साथ व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका तात्पर्य है कि सिद्धांत असंगत है, और हर अच्छी तरह से गठित अभिकथन, साथ ही साथ इसकी अस्वीकृति, एक प्रमेय है।

इस संदर्भ में, किसी प्रमेय की वैधता केवल उसकी उपपत्ति की सत्यता पर निर्भर करती है। यह सत्य से स्वतंत्र है, या स्वयंसिद्धों के महत्व से भी। इसका मतलब यह नहीं है कि स्वयंसिद्धों का महत्व अरुचिकर है, बल्कि केवल यह है कि एक प्रमेय की वैधता स्वयंसिद्धों के महत्व से स्वतंत्र है। यह स्वतंत्रता गणित के कुछ क्षेत्र के परिणामों के उपयोग की अनुमति देकर स्पष्ट रूप से असंबद्ध क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है।

गणित के बारे में सोचने के इस विधियों का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि यह गणितीय सिद्धांतों और प्रमेयों को गणितीय वस्तुओं के रूप में परिभाषित करने और उनके बारे में प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुमति देता है। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय इसका उदाहरण हैं। विशेष रूप से, अच्छी तरह से गठित अभिकथन हैं जो परिवेश सिद्धांत के प्रमेय नहीं प्रमाणित हो सकते हैं, चूंकि वे एक व्यापक सिद्धांत में सिद्ध हो सकते हैं। एक उदाहरण गुडस्टीन का प्रमेय है, जिसे पीनो अंकगणित में कहा जा सकता है, लेकिन पीनो अंकगणित में प्रमाणित नहीं किया जा सकता है। तथापि, यह कुछ और सामान्य सिद्धांतों में सिद्ध है, जैसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत।

ज्ञानमीमांसा संबंधी विचार

कई गणितीय प्रमेय सशर्त कथन हैं, जिनके प्रमाण परिकल्पना या परिसर के रूप में जानी जाने वाली स्थितियों से निष्कर्ष निकालते हैं। सत्य के औचित्य के रूप में प्रमाण की व्याख्या के आलोक में, निष्कर्ष को प्राक्कल्पना की आवश्यकता और पर्याप्तता के रूप में देखा जाता है। अर्थात्, यह निष्कर्ष सत्य है यदि परिकल्पनाएँ सत्य हैं - बिना किसी और धारणा के। यद्यपि, कुछ निगमनात्मक प्रणालियों में सशर्त की अलग-अलग व्याख्या की जा सकती है, जो व्युत्पत्ति नियमों और सशर्त प्रतीक (जैसे, गैर-उत्कृष्ट तर्क) को दिए गए अर्थों पर निर्भर करती है।

चूंकि प्रमेयों को पूरी तरह से प्रतीकात्मक रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए, प्रस्तावपरक कलन में प्रस्तावों के रूप में), बेहतर पठनीयता के लिए उन्हें सामान्यतः अंग्रेजी जैसी प्राकृतिक भाषा में अनौपचारिक रूप से व्यक्त किया जाता है। प्रमाणों के बारे में भी यही सच है, जिन्हें प्रायः तार्किक रूप से संगठित और स्पष्ट शब्दों में अनौपचारिक तर्कों के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका उद्देश्य पाठकों को किसी भी संदेह से परे प्रमेय के कथन की सच्चाई से अभिव्यक्त कराना है, और जिससे सैद्धांतिक रूप से एक औपचारिक प्रतीकात्मक प्रमाण का निर्माण किया जा सकता है।

बेहतर पठनीयता के अतिरिक्त, अनौपचारिक तर्क सामान्यतः विशुद्ध रूप से प्रतीकात्मक तर्कों की तुलना में जांचना आसान होता है- वास्तव में, कई गणितज्ञ एक प्रमाण के लिए प्राथमिकता व्यक्त करेंगे जो न केवल एक प्रमेय की वैधता को प्रदर्शित करता है, बल्कि किसी तरह 'क्यों' की व्याख्या भी करता है। ' यह स्पष्ट रूप से सच है। कुछ स्थितियों में, एक चित्र को इसके प्रमाण के रूप में उपयोग करके एक प्रमेय को प्रमाणित करने में भी सक्षम हो सकता है।

क्योंकि प्रमेय गणित के मूल में स्थित हैं, वे इसके गणित के सौंदर्यशास्त्र के केंद्र में भी हैं। प्रमेयों को प्रायः तुच्छ, या कठिन, या गहरा, या यहां तक ​​कि सुंदर के रूप में वर्णित किया जाता है। ये व्यक्तिपरक निर्णय न केवल एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति में भिन्न होते हैं, बल्कि समय और संस्कृति के साथ भी भिन्न होते हैं: उदाहरण के लिए, एक प्रमाण के रूप में प्राप्त किया जाता है, सरलीकृत या श्रेष्ठ समझा जाता है, एक प्रमेय जो कभी कठिन था वह तुच्छ हो सकता है। दूसरी ओर, एक गहन प्रमेय को आसानी से कहा जा सकता है, लेकिन इसके प्रमाण में गणित के अलग-अलग क्षेत्रों के बीच आश्चर्यजनक और सूक्ष्म संबंध प्रयुक्त हो सकते हैं। फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय ऐसी प्रमेय का एक विशेष रूप से प्रसिद्ध उदाहरण है।

प्रमेयों का अनौपचारिक खाता

तार्किक रूप से, कई प्रमेय सांकेतिक सशर्त के रूप में हैं: यदि A, तो B। ऐसा प्रमेय B पर जोर नहीं देता है - केवल यह कि B A का एक आवश्यक परिणाम है। इस स्थितियों में, A को प्रमेय की परिकल्पना कहा जाता है (यहाँ परिकल्पना का अर्थ अनुमान से बहुत अलग है), और B प्रमेय का निष्कर्ष है। दोनों को एक साथ (बिना प्रमाण के) प्रमेय का प्रस्ताव या कथन कहा जाता है (जैसे यदि A, तो B प्रस्ताव है)। वैकल्पिक रूप से, A और B को क्रमशः पूर्ववर्ती (तर्क) और परिणामी भी कहा जा सकता है। प्रमेय यदि n एक सम प्राकृतिक संख्या है, तो n/2 एक प्राकृतिक संख्या है एक विशिष्ट उदाहरण है जिसमें परिकल्पना n एक सम प्राकृतिक संख्या है, और निष्कर्ष n/2 भी एक प्राकृतिक संख्या है।

किसी प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, उसे सैद्धांतिक रूप से निश्चित, औपचारिक कथन के रूप में अभिव्यक्त होना चाहिए। चूंकि, प्रमेयों को सामान्यतः पूरी तरह से प्रतीकात्मक रूप के अतिरिक्त प्राकृतिक भाषा में व्यक्त किया जाता है - इस धारणा के साथ कि एक औपचारिक बयान अनौपचारिक से प्राप्त किया जा सकता है।

गणित में किसी दी गई भाषा के भीतर कई परिकल्पनाओं को चुनना और यह घोषित करना सामान्य बात है कि सिद्धांत में इन परिकल्पनाओं से सिद्ध होने वाले सभी कथन उपयोग हैं। ये परिकल्पनाएँ सिद्धांत का मूलभूत आधार बनाती हैं और इन्हें स्वयंसिद्ध या अभिगृहीत कहा जाता है। प्रमाण सिद्धांत के रूप में जाना जाने वाला गणित का क्षेत्र औपचारिक भाषाओं, स्वयंसिद्धों और प्रमाणों की संरचना का अध्ययन करता है।

File:4CT Non-Counterexample 1.svg

पांच रंगों वाला एक समतल (गणित) नक्शा इस प्रकार कि कोई भी दो क्षेत्र एक ही रंग के साथ न मिलें। इसे वास्तव में केवल चार रंगों से इस तरह से रंगा जा सकता है। चार रंग प्रमेय में कहा गया है कि इस तरह के रंग किसी भी समतल मानचित्र के लिए संभव हैं, लेकिन प्रत्येक ज्ञात प्रमाण में एक कम्प्यूटेशनल खोज प्रयुक्त है जो हाथ से जांचने के लिए बहुत लंबी है।

कुछ प्रमेय तुच्छता (गणित) हैं, इस अर्थ में कि वे परिभाषाओं, स्वयंसिद्धों और अन्य प्रमेयों से स्पष्ट रूप से अनुसरण करते हैं और उनमें कोई आश्चर्यजनक अंतर्दृष्टि नहीं होती है। दूसरी ओर, कुछ को गहरा कहा जा सकता है, क्योंकि उनके प्रमाण लंबे और कठिन हो सकते हैं, गणित के क्षेत्रों को प्रमेय के कथन से सतही रूप से अलग करते हैं, या गणित के असमान क्षेत्रों के बीच आश्चर्यजनक संबंध दिखाते हैं। एक प्रमेय का वर्णन करना सरल हो सकता है और फिर भी गहरा हो सकता है। फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय एक उत्कृष्ट उदाहरण है,और अन्य क्षेत्रों के अतिरिक्त, संख्या सिद्धांत और साहचर्य में सरल लेकिन गहन प्रमेय के कई अन्य उदाहरण हैं।

अन्य प्रमेयों का एक ज्ञात प्रमाण है जिसे आसानी से लिखा नहीं जा सकता। सबसे प्रमुख उदाहरण चार रंग प्रमेय और केप्लर अनुमान हैं। इन दोनों प्रमेयों को केवल एक कम्प्यूटेशनल खोज में घटाकर सत्य माना जाता है जिसे बाद में एक कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा सत्यापित किया जाता है। प्रारंभ में, कई गणितज्ञों ने प्रमाण के इस रूप को स्वीकार नहीं किया, लेकिन यह अधिक व्यापक रूप से स्वीकृत हो गया है। गणितज्ञ डोरोन ज़िलबर्गर ने यहाँ तक दावा किया है कि ये संभवतः एकमात्र गैर-तुच्छ परिणाम हैं जो गणितज्ञों ने कभी सिद्ध किए हैं। कई गणितीय प्रमेयों को अधिक सरल गणना में कम किया जा सकता है, जिसमें बहुपद पहचान, त्रिकोणमितीय पहचान और हाइपरजियोमेट्रिक पहचान प्रयुक्त हैं।

वैज्ञानिक सिद्धांतों से संबंध

गणित में प्रमेय और विज्ञान में सिद्धांत उनकी ज्ञानमीमांसा में मौलिक रूप से भिन्न हैं। एक वैज्ञानिक सिद्धांत सिद्ध नहीं किया जा सकता; इसकी प्रमुख विशेषता यह है कि यह मिथ्या है, अर्थात यह प्राकृतिक दुनिया के बारे में भविष्यवाणियां करता है जो प्रयोगों द्वारा परीक्षण योग्य हैं। भविष्यवाणी और प्रयोग के बीच कोई भी असहमति वैज्ञानिक सिद्धांत की गलतता को प्रदर्शित करती है, या कम से कम इसकी परिशुद्धता या वैधता के क्षेत्र को सीमित करती है। दूसरी ओर, गणितीय प्रमेय विशुद्ध रूप से अमूर्त औपचारिक कथन हैं: एक प्रमेय के प्रमाण में प्रयोग या अन्य अनुभवजन्य साक्ष्य सम्मलित नहीं हो सकते हैं, जिस तरह से वैज्ञानिक सिद्धांतों का समर्थन करने के लिए इस तरह के साक्ष्य का उपयोग किया जाता है।

File:CollatzFractal.png

Collatz अनुमान: इसकी जटिलता को दर्शाने का एक तरीका यह है कि पुनरावृत्ति को प्राकृतिक संख्याओं से जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जाए। परिणाम एक भग्न है, जो (सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियों) के अनुसार) मैंडेलब्रॉट सेट जैसा दिखता है।

यद्यपि, गणितीय प्रमेयों की खोज में कुछ हद तक अनुभववाद और डेटा संग्रह प्रयोग है। एक पैटर्न की स्थापना करके, कभी-कभी एक शक्तिशाली कंप्यूटर के उपयोग के साथ, गणितज्ञों को यह पता चल सकता है कि क्या सिद्ध करना है, और कुछ विषयों में प्रमाण देने के बारे में भी एक योजना है। एक एकल प्रति-उदाहरण खोजना भी संभव है और इसलिए जैसा कि कहा गया है, प्रस्ताव के लिए एक प्रमाण की असंभवता स्थापित करें, और संभवतः मूल प्रस्ताव के प्रतिबंधित रूपों का सुझाव दें जिनके पास संभव प्रमाण हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, कोलॉज(Collatz) अनुमान और रीमैन परिकल्पना दोनों प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याएं हैं; अनुभवजन्य जाँच के माध्यम से उनका व्यापक अध्ययन किया गया है, लेकिन वे अप्रमाणित हैं। कोलॉज अनुमान को लगभग 2.88 × 10 तक के शुरुआती मानों के लिए सत्यापित किया गया है¹⁸. रीमैन जीटा फ़ंक्शन के पहले 10 ट्रिलियन गैर-तुच्छ शून्यों को धारण करने के लिए रीमैन परिकल्पना को सत्यापित किया गया है। चूंकि अधिकांश गणितज्ञ यह मानकर सहन कर सकते हैं कि अनुमान और परिकल्पना सत्य हैं, इनमें से किसी भी प्रस्ताव को सिद्ध नहीं माना जाता है।

इस तरह के प्रमाण नहीं बनते। उदाहरण के लिए, मर्टेंस अनुमान प्राकृतिक संख्याओं के बारे में एक कथन है जो अब असत्य के रूप में जाना जाता है, लेकिन कोई स्पष्ट प्रति उदाहरण नहीं है (अर्थात, एक प्राकृतिक संख्या n जिसके लिए मर्टेंस फ़ंक्शन M(n) n के वर्गमूल के बराबर या उससे अधिक है) है ज्ञात: 10 से कम सभी संख्याएँ¹⁴ के पास मर्टेंस गुण है, और सबसे छोटी संख्या जिसके पास यह गुण नहीं है, केवल 1.59 × 10 के घातीय फलन से कम के रूप में जानी जाती है⁴⁰, जो लगभग 10 की घात 4.3 × 10 है³⁹. चूंकि ब्रह्मांड में कणों की संख्या को सामान्यतः 10 की शक्ति 100 (एक इसे काट दें) से कम माना जाता है, संपूर्ण खोज द्वारा एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण खोजने की कोई आशा नहीं है।

शब्द सिद्धांत भी गणित में उपस्थित है, गणितीय सिद्धांतों, परिभाषाओं और प्रमेयों के एक निकाय को निरूपित करने के लिए, उदाहरण के लिए, समूह सिद्धांत (गणितीय सिद्धांत देखें)। विज्ञान, विशेष रूप से भौतिकी और इंजीनियरिंग में भी प्रमेय हैं, लेकिन उनके पास प्रायः विवरण और प्रमाण होते हैं जिनमें भौतिक धारणाएं और अंतर्ज्ञान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं; भौतिक सिद्धांत जिन पर इस तरह के प्रमेय आधारित होते हैं, स्वयं मिथ्या होते हैं।

शब्दावली

गणितीय कथनों के लिए कई अलग-अलग शब्द प्रस्तुत हैं; ये पद किसी विशेष विषय में निभाई जाने वाली भूमिका कथनों को उल्लेख करते हैं। विभिन्न शब्दों के बीच अंतर कभी-कभी स्वैच्छिक होता है, और कुछ शब्दों का उपयोग समय के साथ विकसित हुआ है।

• एक स्वयंसिद्ध या अभिधारणा अध्ययन की वस्तु के संबंध में एक मौलिक धारणा है, जिसे बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया जाता है। एक संबंधित अवधारणा एक परिभाषा की है, जो ज्ञात अवधारणाओं के संदर्भ में एक शब्द या वाक्यांश का अर्थ देती है। शास्त्रीय ज्यामिति स्वयंसिद्धों के बीच विचार करती है, जो सामान्य कथन हैं; और अभिधारणाएँ, जो कि ज्यामितीय वस्तुओं के बारे में कथन हैं। ऐतिहासिक रूप से, सूक्तियों को स्व-साक्ष्य के रूप में माना जाता था | स्व-स्पष्ट; आज उन्हें केवल सच माना जाता है।
• एक अनुमान एक अप्रमाणित कथन है जिसे सत्य माना जाता है। अनुमान सामान्यतः सार्वजनिक रूप से बनाए जाते हैं, और उनके निर्माता के नाम पर रखे जाते हैं (उदाहरण के लिए, गोल्डबैक का अनुमान और कोलॉज अनुमान)। परिकल्पना शब्द का प्रयोग इस अर्थ में भी किया जाता है (उदाहरण के लिए, रीमैन परिकल्पना), जिसे प्रमाण के आधार के रूप में परिकल्पना के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। अन्य शब्दों का भी अधिकांशतः पर उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए समस्या जब लोग सुनिश्चित नहीं होते हैं कि कथन को सत्य माना जाना चाहिए या नहीं। फर्मेट की अंतिम प्रमेय को ऐतिहासिक रूप से एक प्रमेय कहा जाता था, चूंकि सदियों से यह केवल एक अनुमान था।
• एक प्रमेय एक कथन है जो स्वयंसिद्धों और अन्य प्रमेयों के आधार पर सत्य प्रमाणित हुआ है।
• एक प्रस्ताव कम महत्व का एक प्रमेय है, या जिसे इतना प्राथमिक या तुरंत स्पष्ट माना जाता है, कि इसे बिना प्रमाण के कहा जा सकता है। इसे प्रस्ताव के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि प्रस्तावपरक तर्क में प्रयोग किया जाता है। शास्त्रीय ज्यामिति में प्रस्ताव शब्द का प्रयोग अलग तरह से किया गया था: यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में (c. 300 BCE), सभी प्रमेयों और ज्यामितीय निर्माणों को उनके महत्व की परवाह किए बिना प्रस्ताव कहा जाता था।
• एक लेम्मा (गणित) एक सहायक प्रस्ताव है - एक प्रस्ताव जिसमें किसी विशेष प्रमाण में इसके उपयोग के बाहर थोड़ी प्रयोज्यता होती है। समय के साथ एक लेम्मा(LEMMA) का महत्व बढ़ सकता है और इसे एक प्रमेय माना जा सकता है, चूंकि लेम्मा शब्द को सामान्यतः इसके नाम के हिस्से के रूप में रखा जाता है (उदाहरण के लिए गॉस की लेम्मा (बहुपद) | गॉस की लेम्मा, ज़ोर्न की लेम्मा, और मौलिक लेम्मा (लैंगलैंड्स कार्यक्रम))।
• उपप्रमेय एक प्रस्ताव है जो किसी अन्य प्रमेय या अभिगृहीत से तत्काल अनुसरण करता है, जिसमें बहुत कम या कोई आवश्यक प्रमाण नहीं होता है। एक प्रमेय एक सरल रूप में या एक विशेष स्थिति के लिए एक प्रमेय का पुनर्कथन भी हो सकता है: उदाहरण के लिए, प्रमेय एक आयत में सभी आंतरिक कोण समकोण होते हैं, एक उपप्रमेय होता है कि एक वर्ग में सभी आंतरिक कोण समकोण होते हैं - एक वर्ग आयत का एक विशेष विषय है।
• एक प्रमेय का एक सामान्यीकरण एक समान कथन के साथ एक प्रमेय है, लेकिन एक व्यापक सीमीत है, जिससे मूल प्रमेय को एक विशेष स्थिति (एक परिणाम) के रूप में निकाला जा सकता है।

अन्य शब्दों का उपयोग ऐतिहासिक या प्रथागत कारणों से भी किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

• एक पहचान (गणित) एक प्रमेय है जो दो भावों के बीच एक समानता बताता है, जो किसी फ़ंक्शन के डोमेन के भीतर किसी भी मूल्य के लिए होता है (उदाहरण के लिए बेज़ाउट की पहचान और वेंडरमोंड की पहचान)।
• एक नियम एक प्रमेय है जो एक उपयोगी सूत्र स्थापित करता है (जैसे बेयस नियम और क्रैमर नियम)।
• विज्ञान या सिद्धांत का एक नियम व्यापक प्रयोज्यता के साथ एक प्रमेय है (उदाहरण के लिए बड़ी संख्या का कानून, कोसाइन का कानून, कोलमोगोरोव का शून्य-एक कानून, हार्नैक का सिद्धांत, सबसे कम-ऊपरी-बाध्य सिद्धांत और पिजनहोल सिद्धांत)।

कुछ प्रसिद्ध प्रमेयों के और भी अधिक विशिष्ट नाम हैं, उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन विभाजन, यूलर का सूत्र, और बनच-टार्स्की विरोधाभास।

लेआउट(Layout)

एक प्रमेय और उसका प्रमाण सामान्यतः निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

प्रमेय (उस व्यक्ति का नाम जिसने इसे सिद्ध किया, खोज या प्रमाण के प्रकाशन के वर्ष के साथ)

प्रमेय का कथन (कभी-कभी प्रस्ताव कहा जाता है)

प्रमाण

साक्ष्य का विवरण

समाप्त

प्रमाण के अंत को Q.E.D अक्षरों द्वारा संकेतित किया जा सकता है। (क्वाड एराट डेमोनस्ट्रैंडम) या समाधि का पत्थर (टाइपोग्राफी) चिह्नों में से एक, जैसे कि □ या ∎, जिसका अर्थ प्रमाण का अंत है, एक लेख के अंत को चिह्नित करने के लिए पत्रिकाओं में उनके उपयोग के बाद पॉल हेल्मोस द्वारा प्रस्तुत किया गया। निश्चित शैली लेखक या प्रकाशन पर निर्भर करती है। कई प्रकाशन शैली गाइड में टाइपसेटिंग के लिए निर्देश या मैक्रो (कंप्यूटर विज्ञान) प्रदान करते हैं।

प्रमेय में प्रयुक्त शब्दों के निश्चित अर्थ का वर्णन करने वाली परिभाषाओं से पहले एक प्रमेय का होना सामान्य बात है। एक प्रमेय के लिए कई प्रस्तावों या लेममा से पहले होना भी सामान्य है जो तब प्रमाण में उपयोग किए जाते हैं। चूंकि, लेम्मा को कभी-कभी एक प्रमेय के प्रमाण में एम्बेडेड किया जाता है, या तो नेस्टेड साक्ष्य के साथ, या प्रमेय के प्रमाण के बाद उनके प्रमाण प्रस्तुत किए जाते हैं।

किसी प्रमेय के परिणाम या तो प्रमेय और उपपत्ति के बीच प्रस्तुत किए जाते हैं, या सीधे उपपत्ति के बाद। कभी-कभी, उपप्रमेयों के अपने स्वयं के प्रमाण होते हैं जो बताते हैं कि वे प्रमेय से क्यों अनुसरण करते हैं।

विद्या

यह अनुमान लगाया गया है कि हर साल एक लाख से अधिक प्रमेय सिद्ध होते हैं।सुप्रसिद्ध सूक्ति, एक गणितज्ञ कॉफी को प्रमेयों में बदलने के लिए एक उपकरण है, संभवतः यह अल्फ़्रेड रेनी के कारण है, चूंकि इसे अधिकांशतः रेनी के सहयोगी पॉल एर्डोस (और रेनी एर्दोस के बारे में सोच रहा होगा) के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो अपने द्वारा निर्मित कई प्रमेयों के लिए प्रसिद्ध थे, एर्डो के उनके सहयोग की संख्या, और उनकी कॉफी पीने की संख्या। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कुछ लोगों द्वारा प्रमेय का सबसे लंबा प्रमाण माना जाता है। इसमें लगभग 100 लेखकों द्वारा 500 जर्नल लेखों में हजारों पृष्ठ सम्मलित हैं। माना जाता है कि ये कागजात एक साथ एक पूर्ण प्रमाण देते हैं, और कई चल रही परियोजनाएँ इस प्रमाण को छोटा और सरल बनाने की आशा करती हैं। इस प्रकार का एक अन्य प्रमेय चार रंग प्रमेय है जिसका कंप्यूटर जनित प्रमाण मानव के पढ़ने के लिए बहुत लंबा है। यह एक प्रमेय के सबसे लंबे समय तक ज्ञात प्रमाणों में से एक है, जिसके कथन को सामान्य व्यक्ति आसानी से समझ सकता है।

तर्क में प्रमेय

गणितीय तर्क में, एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) एक औपचारिक भाषा के भीतर वाक्यों का एक समूह है। एक वाक्य एक अच्छी तरह से गठित सूत्र है | अच्छी तरह से गठित सूत्र जिसमें कोई मुक्त चर नहीं है। एक वाक्य जो एक सिद्धांत का सदस्य है, उसका एक प्रमेय है, और सिद्धांत उसके प्रमेयों का समुच्चय है। सामान्यतः किसी सिद्धांत को तार्किक परिणाम के संबंध में बंद समझा जाता है। कुछ खाते एक सिद्धांत को तार्किक परिणाम सिमेंटिक परिणाम संबंध के अंतर्गत बंद करने के लिए परिभाषित करते हैं ($\models$), जबकि अन्य इसे तार्किक परिणाम सिंटैक्टिक परिणाम, या व्युत्पन्नता संबंध के अंतर्गत बंद होने के रूप में परिभाषित करते हैं ($\vdash$).

File:Formal languages.svg

यह आरेख सिंटेक्स (तर्क)तर्क) दिखाता है जिसे औपचारिक भाषाओं से बनाया जा सकता है। प्रतीक (औपचारिक) और स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) को लगभग बकवास और सुगठित सूत्रों में विभाजित किया जा सकता है। एक औपचारिक भाषा को उसके सुव्यवस्थित सूत्रों के समुच्चय के समान माना जा सकता है। सुगठित सूत्रों के समुच्चय को लगभग प्रमेयों और गैर-प्रमेयों में विभाजित किया जा सकता है।

व्युत्पन्नता संबंध के अनुसार एक सिद्धांत को बंद करने के लिए, इसे औपचारिक प्रणाली डिडक्टिव सिस्टम से जोड़ा जाना चाहिए जो निर्दिष्ट करता है कि प्रमेय कैसे व्युत्पन्न होते हैं। डिडक्टिव सिस्टम को स्पष्ट रूप से कहा जा सकता है, या यह संदर्भ से स्पष्ट हो सकता है। तार्किक परिणाम के संबंध के अंतर्गत खाली सेट को बंद करने से वह सेट प्राप्त होता है जिसमें केवल उन वाक्यों को सम्मलित किया जाता है जो निगमनात्मक प्रणाली के प्रमेय हैं।

जिस व्यापक अर्थ में इस शब्द का उपयोग तर्क के भीतर किया जाता है, एक प्रमेय का सत्य होना जरूरी नहीं है, क्योंकि जिस सिद्धांत में यह सम्मलित है वह किसी दिए गए शब्दार्थ के सापेक्ष ध्वनि हो सकता है, या अंतर्निहित भाषा के मानक व्याख्या (तर्क) के सापेक्ष हो सकता है। . एक सिद्धांत जो संगति है मॉडल सिद्धांत में प्रमेय के रूप में सभी वाक्य हैं।

एक औपचारिक भाषा के वाक्यों के रूप में प्रमेयों की परिभाषा प्रूफ थ्योरी के भीतर उपयोगी है, जो गणित की एक शाखा है जो औपचारिक प्रमाणों की संरचना और सिद्ध सूत्रों की संरचना का अध्ययन करती है। यह मॉडल सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण है, जो औपचारिक सिद्धांतों और संरचनाओं के बीच संबंध से संबंधित है जो व्याख्या (तर्क) के माध्यम से उनके लिए शब्दार्थ प्रदान करने में सक्षम हैं।

यद्यपि प्रमेय की व्याख्या नहीं की जा सकती है, व्यवहार में गणितज्ञ वाक्यों के अर्थों में अधिक रुचि रखते हैं, अर्थात उन प्रस्तावों में जिन्हें वे व्यक्त करते हैं। औपचारिक प्रमेयों को जो उपयोगी और आकर्षक बनाता है वह यह है कि उनकी व्याख्या सच्चे प्रस्तावों के रूप में की जा सकती है और उनकी व्युत्पत्तियों की व्याख्या उनकी सच्चाई के प्रमाण के रूप में की जा सकती है। एक प्रमेय जिसकी व्याख्या एक औपचारिक प्रणाली के बारे में एक सत्य कथन है (औपचारिक प्रणाली के विपरीत) को मेटाथ्योरी कहा जाता है।

गणितीय तर्कशास्त्र में कुछ महत्वपूर्ण प्रमेय हैं:

• सघनता प्रमेय | प्रथम-क्रम तर्क की सघनता
• गोडेल की पूर्णता प्रमेय | प्रथम क्रम तर्क की पूर्णता
• गोडेल की अपूर्णता प्रमेय | प्रथम क्रम अंकगणित की गोडेल की अपूर्णता प्रमेय
• जेंटजन की संगति प्रमाण | प्रथम क्रम अंकगणित की संगति
• टार्स्की की अनिर्धारणीयता प्रमेय
• अनिश्चितता का चर्च-ट्यूरिंग प्रमेय
• लोब की प्रमेय
• लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय
• लिंडस्ट्रॉम की प्रमेय
• क्रेग की प्रमेय
• कट-उन्मूलन प्रमेय

सिंटेक्स और शब्दार्थ

Main articles: सिंटैक्स (तर्क) and औपचारिक शब्दार्थ (तर्क)

एक औपचारिक प्रमेय की अवधारणा मौलिक रूप से वाक्यात्मक है, एक सच्चे प्रस्ताव की धारणा के विपरीत, जो शब्दार्थ का परिचय देती है। व्युत्पत्ति नियमों (अर्थात विश्वास, औचित्य का सिद्धांत या अन्य मॉडल तर्क) के अनुमानों के आधार पर विभिन्न निगमनात्मक प्रणालियां अन्य व्याख्याएं उत्पन्न कर सकती हैं। एक औपचारिक प्रणाली की सुदृढ़ता इस बात पर निर्भर करती है कि इसके सभी प्रमेय भी वैधता (तर्क) हैं या नहीं। एक वैधता एक सूत्र है जो किसी भी संभावित व्याख्या के अनुसार सत्य है (उदाहरण के लिए, शास्त्रीय प्रस्तावपरक तर्क में, वैधता पुनरुक्ति (तर्क) है)। एक औपचारिक प्रणाली को