भाजक: Difference between revisions

Revision as of 12:33, 21 November 2022

10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10

गणित में, एक पूर्णांक का भाजक $n$ , जिसे कारक भी कहा जाता है $n$ , एक पूर्णांक है $m$ जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है $n$ . ऐसे में एक का यह भी कहना है $n$ का गुणज है $m.$ पूर्णांक $n$ किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है $m$ यदि $m$ का भाजक है $n$ ; इसका अर्थ है विभाजित करना $n$ द्वारा $m$ शेष नहीं रहता है।

परिभाषा

पूर्णांक $n$ एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है $m$ यदि कोई पूर्णांक उपस्थित है $k$ ऐसा है कि $n=km$ . यह इस प्रकार लिखा गया है

m\mid n.

उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं $m$ विभाजित $n$ , $m$ का भाजक है $n$ , $m$ का कारक है $n$ , तथा $n$ का गुणज है $m$ . यदि $m$ विभाजित नहीं करता $n$ , तो अंकन है $m\not \mid n$ .^[1]^[2] सामान्यतः, $m$ अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन $n$ शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, $m\mid 0$ प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए $m$ .^[1]^[2]कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं $m$ शून्य न हो।^[3]

सामान्य

विभाजक ऋणात्मक संख्या के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं,यद्यपि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।

1 और −1 प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित (विभाजक) करते हैं। प्रत्येक पूर्णांक (और उसका निषेध) स्वयं का एक विभाजक है। 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं, और 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं।

1, −1, n और −n को n का 'छोटा विभाजक' कहा जाता है। n का एक भाजक जो छोटा भाजक नहीं है, उसे 'गैर-छोटा भाजक' (या सख्त भाजक) के रूप में जाना जाता है।^[4]). कम से कम एक गैर-छोटा भाजक के साथ एक गैर-शून्य पूर्णांक को समस्त संख्या के रूप में जाना जाता है, जबकि इकाई (रिंग सिद्धांत) -1 और 1 और अभाज्य संख्याओं कोई गैर-छोटा भाजक नहीं होता है।

विभाज्यता नियम हैं जो किसी संख्या के अंकों से किसी संख्या के कुछ विभाजकों को पहचानने की स्वीकृति देते हैं।

उदाहरण

File:Highly composite numbers.svg

1 से 1000 तक पूर्णांकों के विभाजकों की संख्या का आलेख। अभाज्य संख्याओं में बिल्कुल 2 विभाजक होते हैं, और अत्यधिक सम्मिश्र संख्याएँ मोटे में होती हैं।

*7 42 का भाजक है क्योंकि $7\times 6=42$ , तो हम कह सकते हैं $7\mid 42$ . यह भी कहा जा सकता है कि 42, 7 से विभाज्य है, 42, 7 का गुणज (गणित) है, 7, 42 को विभाजित करता है, या 7, 42 का एक गुणनखंड है।

6 के गैर-छोटा भाजक 2, -2, 3, -3 हैं।
42 के धनात्मक भाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 हैं।
60 के सभी धनात्मक भाजक का समुच्चय (गणित), $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$ , आंशिक रूप से विभाज्यता द्वारा निर्धारित आदेश दिया गया है, यह आरेख है:

File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg

आगे की धारणाएं और तथ्य

कुछ प्राथमिक नियम हैं:

यदि $a\mid b$ तथा $b\mid c$ , फिर $a\mid c$ , अर्थात विभाज्यता एक सकारात्मक संबंध है।
यदि $a\mid b$ तथा $b\mid a$ , फिर $a=b$ या $a=-b$ .
यदि $a\mid b$ तथा $a\mid c$ , फिर $a\mid (b+c)$ धारण करता है, के रूप में करता है $a\mid (b-c)$ .^[5] यद्यपि, यदि $a\mid b$ तथा $c\mid b$ , फिर $(a+c)\mid b$ हमेशा धारण नहीं करता (उदा। $2\mid 6$ तथा $3\mid 6$ लेकिन 5, 6 को विभाजित नहीं करता है)।

यदि $a\mid bc$ , तथा $\gcd(a,b)=1$ , फिर

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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 {{short description|Integer that is a factor of another integer}}
 {{more footnotes|date=June 2015}}
-{{about|an integer that is a factor of another integer|a number used to divide another number in a division operation|Division (mathematics)|other uses|}}
+{{about|एक पूर्णांक जो दूसरे पूर्णांक का गुणनखंड है|एक संख्या एक विभाजन संक्रिया में दूसरी संख्या को विभाजित करने के लिए उपयोग की जाती है|प्रभाग (गणित)|अन्य उपयोग|}}
-{{redirect|Divisible|divisibility of groups|Divisible group}}
+{{redirect|भाज्य|समूहों की विभाज्यता|विभाज्य समूह}}
-[[File:Cuisenaire ten.JPG|thumb|10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10]]गणित में, एक पूर्णांक का भाजक <math>n</math>, जिसे कारक भी कहा जाता है <math>n</math>, एक [[ पूर्णांक ]] है <math>m</math> जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है <math>n</math>. ऐसे में एक का यह भी कहना है <math>n</math> का गुणज है <math>m.</math> पूर्णांक <math>n</math> किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है <math>m</math> यदि <math>m</math> का भाजक है <math>n</math>; इसका अर्थ है विभाजित करना <math>n</math> द्वारा <math>m</math> शेष नहीं रहता।
+[[File:Cuisenaire ten.JPG|thumb|10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10]]गणित में, एक पूर्णांक का भाजक <math>n</math>, जिसे कारक भी कहा जाता है <math>n</math>, एक [[ पूर्णांक ]] है <math>m</math> जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है <math>n</math>. ऐसे में एक का यह भी कहना है <math>n</math> का गुणज है <math>m.</math> पूर्णांक <math>n</math> किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है <math>m</math> यदि <math>m</math> का भाजक है <math>n</math>; इसका अर्थ है विभाजित करना <math>n</math> द्वारा <math>m</math> शेष नहीं रहता है।
 == परिभाषा ==
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 [[File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg|center|350px]]
-== आगे की धारणाएं और तथ्य ==<!-- Perfect number links here. -->
+== आगे की धारणाएं और तथ्य ==
 कुछ प्राथमिक नियम हैं:
 * यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>b \mid c</math>, फिर <math>a \mid c</math>, अर्थात विभाज्यता एक [[ सकर्मक संबंध | सकारात्मक संबंध]]  है।
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 के सकारात्मक विभाजकों की कुल संख्या <math>n</math> एक गुणक कार्य है <math>d(n)</math>, जिसका अर्थ है कि जब दो नंबर <math>m</math> तथा <math>n</math> अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. उदाहरण के लिए, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; 42 के आठ विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 और 42 हैं। <math>m</math> तथा <math>n</math> एक सामान्य विभाजक भागीदारी करें, तो यह सच नहीं हो सकता है <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. के सकारात्मक भाजक का योग <math>n</math> एक अन्य गुणक कार्य है <math>\sigma (n)</math> (उदा <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). ये दोनों फलन [[ भाजक फलन ]] के उदाहरण हैं।
-{{anchor|number_of_divisors_formula}}
 यदि . का अभाज्य गुणनखंडन <math>n</math> द्वारा दिया गया है
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 :<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>
-यहाँ पर <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> प्रत्येक के लिए <math>1 \le i \le k.</math>
+यहाँ पर <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> प्रत्येक के लिए <math>1 \le i \le k.</math> प्रत्येक प्राकृतिक के लिए <math>n</math>, <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.
-प्रत्येक प्राकृतिक के लिए <math>n</math>, <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.
 भी,<ref>{{harvnb|Hardy|Wright|1960|p=264|loc=Theorem 320}}</ref>
 :<math>d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).</math>
 यहाँ पर <math> \gamma </math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।
-इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है
-के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. यद्यपि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या | संख्याओं के योगदान का परिणाम है।
+इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है, के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. यद्यपि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या | संख्याओं के योगदान का परिणाम है।
 == आधुनिक बीजगणित में ==
 === वलय सिद्धांत ===
-{{Main|Divisibility (ring theory)}}
+{{Main|विभाज्यता (अंगूठी सिद्धांत)}}
 === विभाजन जाली ===
-{{Main|Division lattice}}
+{{Main|डिवीजन लेटिस}}
 जिन परिभाषाओं में 0 शामिल है, विभाज्यता का संबंध सेट को बदल देता है <math>\mathbb{N}</math> आंशिक रूप से आदेशित सेट में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का: एक [[ जाली (आदेश) ]]। इस जाली का सबसे बड़ा अवयव 0 है और सबसे छोटा 1 है। मिलन संक्रिया ∧ सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक द्वारा दी जाती है और जोड़ संक्रिया अल्पतम उभयनिष्ठ गुणज द्वारा दी जाती है। यह जाली अनंत [[ चक्रीय समूह ]] पूर्णांक के [[ उपसमूहों की जाली ]] के [[ द्वैत (क्रम सिद्धांत) ]] के समरूप है|<math>\mathbb{Z}</math>.

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