अवकल ज्यामिति: Difference between revisions

डिफरेंशियल ज्योमेट्री एक [[ गणित ]] अनुशासन है जो चिकनी आकृतियों और चिकनी जगहों की [[ ज्यामिति ]] का अध्ययन करता है, अन्यथा चिकनी मैनिफोल्ड्स के रूप में जाना जाता है। इसमें अवकलन कलन, समाकलन कलन, रेखीय बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित की तकनीकों का उपयोग किया जाता है। शास्त्रीय पुरातनता के रूप में क्षेत्र की उत्पत्ति गोलाकार ज्यामिति के अध्ययन में हुई है। यह [[ खगोल ]] विज्ञान, पृथ्वी के भूगणित और बाद में [[ लोबचेव्स्की ]] द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के अध्ययन से भी संबंधित है। चिकने स्थानों के सबसे सरल उदाहरण [[ वक्रों की विभेदक ज्यामिति ]] और त्रि-आयामी [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]] में [[ सतहों की विभेदक ज्यामिति ]] हैं, और इन आकृतियों के अध्ययन ने 18वीं और 19वीं शताब्दियों के दौरान आधुनिक विभेदक ज्यामिति के विकास का आधार बनाया।

19वीं सदी के उत्तरार्ध के बाद से, डिफरेंशियल ज्योमेट्री अलग-अलग मैनिफोल्ड्स पर ज्यामितीय संरचनाओं के साथ अधिक सामान्यतः संबंधित क्षेत्र में विकसित हो गई है। एक ज्यामितीय संरचना वह है जो आकार, दूरी, आकार, आयतन या अन्य कठोर संरचना की कुछ धारणा को परिभाषित करती है। उदाहरण के लिए, रीमानियन ज्यामिति में दूरी और कोण निर्दिष्ट किए गए हैं, सहानुभूति ज्यामिति में मात्रा की गणना की जा सकती है, [[ अनुरूप ज्यामिति ]] में केवल कोण निर्दिष्ट किए जाते हैं, और [[ गेज सिद्धांत (गणित) ]] में कुछ टेंसर फ़ील्ड अंतरिक्ष पर दिए जाते हैं। विभेदक ज्यामिति बारीकी से संबंधित है, और कभी-कभी [[ अंतर टोपोलॉजी ]] को शामिल करने के लिए लिया जाता है, जो अलग-अलग मैनिफोल्ड्स के गुणों से संबंधित होता है जो किसी भी अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना पर भरोसा नहीं करते हैं (दो विषयों के बीच अंतर पर अधिक चर्चा के लिए लेख देखें)। विभेदक ज्यामिति भी [[ अंतर समीकरण ]]ों के सिद्धांत के ज्यामितीय पहलुओं से संबंधित है, अन्यथा [[ ज्यामितीय विश्लेषण ]] के रूप में जाना जाता है।

डिफरेंशियल ज्योमेट्री गणित और [[ प्राकृतिक विज्ञान ]]ों में अनुप्रयोगों को खोजती है। सबसे प्रमुख रूप से विभेदक ज्यामिति की भाषा का उपयोग [[ अल्बर्ट आइंस्टीन ]] ने अपने सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में और बाद में [[ भौतिकविदों ]] द्वारा [[ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत ]] और कण भौतिकी के मानक मॉडल के विकास में किया था। भौतिकी के बाहर, डिफरेंशियल ज्योमेट्री का उपयोग [[ रसायन विज्ञान ]], [[ धरती ]]शास्त्र, [[ अभियांत्रिकी ]], [[ नियंत्रण सिद्धांत ]], [[ कंप्यूटर ग्राफिक्स ]] और [[ कंप्यूटर दृष्टी ]] और हाल ही में [[ मशीन लर्निंग ]] में किया गया है।

एक विषय के रूप में विभेदक ज्यामिति का इतिहास और विकास कम से कम शास्त्रीय पुरातनता के रूप में शुरू होता है। यह अंतरिक्ष और आकार की धारणा, और टोपोलॉजी, विशेष रूप से [[ विविध ]] के अध्ययन से अधिक आम तौर पर ज्यामिति के विकास से जुड़ा हुआ है। इस खंड में हम मुख्य रूप से ज्यामिति के लिए अतिसूक्ष्म तरीकों के अनुप्रयोग के इतिहास पर और बाद में स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के विचारों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और अंततः टेंसर और टेंसर क्षेत्रों के संदर्भ में विषय की आधुनिक औपचारिकता के विकास पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

विभेदक ज्यामिति का अध्ययन, या कम से कम चिकनी आकृतियों की ज्यामिति का अध्ययन, कम से कम शास्त्रीय पुरातनता का पता लगाया जा सकता है। विशेष रूप से, [[ प्राचीन यूनानी ]] गणितज्ञों के समय में, पृथ्वी की ज्यामिति, एक गोलाकार ज्यामिति के बारे में बहुत कुछ जाना जाता था। प्रसिद्ध रूप से, एराटोस्थनीज ने 200 ईसा पूर्व के आसपास पृथ्वी की [[ परिधि ]] की गणना की, और लगभग 150 ईस्वी [[ टॉलेमी ]] ने अपने भूगोल_ (टॉलेमी) में पृथ्वी के आकार के मानचित्रण के उद्देश्यों के लिए स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण की शुरुआत की।<ref name="struik1">Struik, D. J. “Outline of a History of Differential Geometry: I.” Isis, vol. 19, no. 1, 1933, pp. 92–120. JSTOR, www.jstor.org/stable/225188.</ref> स्पष्ट रूप से इस पूरे समय के सिद्धांत जो विभेदक ज्यामिति और कैलकुलस की नींव बनाते हैं, का उपयोग भूगणित में किया जाता था, हालांकि बहुत सरल रूप में। अर्थात्, [[ यूक्लिड ]] के यूक्लिड के तत्वों के रूप में यह समझा गया था कि एक सीधी रेखा को दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटी दूरी प्रदान करने की अपनी संपत्ति से परिभाषित किया जा सकता है, और इसी सिद्धांत को पृथ्वी की सतह पर लागू करने से यह निष्कर्ष निकलता है कि बड़े वृत्त, जो केवल स्थानीय रूप से एक समतल तल में सीधी रेखाओं के समान होते हैं, पृथ्वी की सतह पर दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता प्रदान करते हैं। वास्तव में एराटोस्थनीज और अन्य लोगों द्वारा इस तरह के [[ geodesic ]] पथों के साथ दूरी के मापन को वक्रों की चाप की लम्बाई का प्राथमिक माप माना जा सकता है, एक ऐसी अवधारणा जिसे 1600 के दशक तक कैलकुलस के संदर्भ में एक कठोर परिभाषा नहीं दिखाई देती थी।

इस समय के आसपास ज्यामिति के अध्ययन के लिए इनफिनिटिमल्स के सिद्धांत के केवल न्यूनतम प्रत्यक्ष अनुप्रयोग थे, जो विषय के आधुनिक कैलकुलस-आधारित अध्ययन का अग्रदूत था। यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में एक वृत्त के लिए एक रेखा की स्पर्शरेखा की धारणा पर चर्चा की जाती है, और [[ आर्किमिडीज ]]़ ने वृत्त जैसे चिकने आकार के क्षेत्रों की गणना करने के लिए थकावट की विधि लागू की, और गोले जैसे चिकने त्रि-आयामी ठोस के आयतन, शंकु, और सिलेंडर।<ref name="struik1" />

पुरातनता और पुनर्जागरण की शुरुआत के बीच अंतर ज्यामिति के सिद्धांत में बहुत कम विकास हुआ था। [[ आइजैक न्यूटन ]] और [[ लाइबनिट्स ]] द्वारा कैलकुलस के विकास से पहले, अंतर ज्यामिति की समझ में सबसे महत्वपूर्ण विकास [[ जेरार्ड मर्केटर ]] के [[ मर्केटर प्रोजेक्शन ]] के विकास से पृथ्वी के मानचित्रण के तरीके के रूप में हुआ। मर्केटर को अपने नक्शा डिजाइन के फायदे और नुकसान की समझ थी, और विशेष रूप से उनके प्रक्षेपण के [[ अनुरूप नक्शा प्रक्षेपण ]] प्रकृति के साथ-साथ प्राग के बीच अंतर, पृथ्वी पर सबसे छोटी दूरी की रेखाएं, और दिशा के बारे में पता था, उसके नक्शे पर सीधी रेखा पथ। मर्केटर ने उल्लेख किया कि इस प्रक्षेपण में प्राग तिरछी वक्रता थी।<ref name="struik1" />यह तथ्य एक समतल तल पर पृथ्वी की सतह के एक [[ आइसोमेट्री ]] | मीट्रिक-संरक्षण मानचित्र की कमी को दर्शाता है, जो [[ गॉस ]] के बाद के प्रमेय एग्रेगियम का परिणाम है।

=== पथरी के बाद (1600-1800) ===

[[File:Osculating circle.svg|thumb|right|एक ऑस्क्यूलेटिंग सर्कल]][[ गणना ]] से इनफिनिटिमल्स और धारणाओं के सिद्धांत का उपयोग करते हुए ज्यामिति का पहला व्यवस्थित या कठोर उपचार 1600 के दशक के आसपास शुरू हुआ जब कैलकुलस को पहली बार [[ गॉटफ्रीड लीबनिज ]] और आइजैक न्यूटन द्वारा विकसित किया गया था। इस समय, रेने डेसकार्टेस के हालिया काम ने ज्यामिति के लिए [[ विश्लेषणात्मक ज्यामिति ]] की शुरुआत की, जिससे बढ़ती जटिलता के ज्यामितीय आकृतियों को सख्ती से वर्णित किया जा सके। विशेष रूप से इस समय के आसपास [[ पियरे डी फ़र्माटा ]], न्यूटन और लाइबनिज़ ने [[ समतल वक्र ]]ों का अध्ययन और अवधारणाओं की जांच शुरू की जैसे कि विभक्ति बिंदु और दोलन वृत्त के वृत्त, जो [[ वक्रता ]] के मापन में सहायता करते हैं। वास्तव में पहले से ही अपने [[ सबसे बड़े और सबसे छोटे के लिए एक नई विधि ]] में कैलकुलस की नींव पर, लाइबनिज ने नोट किया कि असीम स्थिति <math>d^2 y = 0</math> एक मोड़ बिंदु के अस्तित्व को इंगित करता है। इस समय के कुछ ही समय बाद बर्नौली परिवार, [[ जैकब बर्नौली ]] और [[ जोहान बर्नौली ]] ने ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए इनफिनिटिमल्स के उपयोग में महत्वपूर्ण प्रारंभिक योगदान दिया। उस समय जोहान बर्नौली के व्याख्यानों में, बाद में गुइलौमे डे ल'हॉपिटल | एल'हॉपिटल द्वारा एनालिसिस डेस इन्फिनिमेंट पेटिट्स पोर एल'इंटेलिजेंस डेस लिग्नेस कॉर्ब्स द्वारा संकलित, विभिन्न प्रकार के समतल वक्रों की स्पर्शरेखाओं की स्थिति का उपयोग करके गणना की जाती है। <math>dy=0</math>, और इसी तरह विभक्ति के बिंदुओं की गणना की जाती है।<ref name="struik1" />इसी समय एक समतल वक्र के दोलन वृत्तों और स्पर्शरेखा दिशाओं के बीच [[ ओर्थोगोनालिटी ]] का एहसास होता है, और एक ऑक्यूलेटिंग सर्कल की त्रिज्या के लिए पहला विश्लेषणात्मक सूत्र, अनिवार्य रूप से वक्रता की धारणा के लिए पहला विश्लेषणात्मक सूत्र, नीचे लिखा गया है।

एनालिटिक ज्योमेट्री और प्लेन कर्व्स के विकास के मद्देनजर, [[ एलेक्सिस क्लेयरौट ]] ने सिर्फ 16 साल की उम्र में स्पेस कर्व्स का अध्ययन शुरू किया था।<ref>Clairaut, A.C., 1731. Recherches sur les courbes à double courbure. Nyon.</ref><ref name="struik1" />अपनी पुस्तक क्लेराट में अंतरिक्ष वक्रों के लिए स्पर्शरेखा और उपस्पर्श दिशाओं की धारणा को उन दिशाओं के संबंध में पेश किया जो उस सतह के साथ होती हैं जिस पर अंतरिक्ष वक्र स्थित होता है। इस प्रकार क्लेराट ने सतह के स्पर्शरेखा स्थान की एक अंतर्निहित समझ का प्रदर्शन किया और पहली बार कलन का उपयोग करके इस विचार का अध्ययन किया। महत्वपूर्ण रूप से क्लेराउट ने वक्रता और दोहरी वक्रता की शब्दावली पेश की, अनिवार्य रूप से मुख्य वक्रता की धारणा बाद में गॉस और अन्य लोगों द्वारा अध्ययन की गई।

इसी समय के आसपास, मूल रूप से जोहान बर्नौली के एक छात्र, [[ लियोनहार्ड यूलर ]] ने न केवल ज्यामिति के विकास के लिए, बल्कि गणित के लिए और अधिक व्यापक रूप से कई महत्वपूर्ण योगदान दिए।<ref>{{MacTutor|id=Euler|title=Leonhard Euler}}</ref> डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संबंध में, यूलर ने पहले विश्लेषणात्मक [[ जियोडेसिक समीकरण ]] को प्राप्त करने वाली सतह पर एक जियोडेसिक की धारणा का अध्ययन किया, और बाद में आंतरिक ज्यामिति के सिद्धांत की शुरुआत करते हुए एक सतह पर आंतरिक समन्वय प्रणाली का पहला सेट पेश किया, जिस पर आधुनिक ज्यामितीय विचार आधारित हैं। .<ref name="struik1" />लगभग इसी समय मैकेनिक में [[ यांत्रिकी ]] के यूलर के अध्ययन से यह अहसास हुआ कि किसी सतह के साथ यात्रा करने वाला द्रव्यमान किसी भी बल के प्रभाव में नहीं आएगा, जो आइंस्टीन के [[ सामान्य सापेक्षता ]] के महत्वपूर्ण मूलभूत विचारों के प्रारंभिक अग्रदूत, और भी यूलर-[[ लग्रेंज ]] समीकरण और विविधताओं के कलन का पहला सिद्धांत, जो आधुनिक विभेदक ज्यामिति में सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति और ज्यामितीय विश्लेषण में कई तकनीकों को रेखांकित करता है। यूलर-लैग्रेंज समीकरण के संदर्भ में एक [[ न्यूनतम सतह ]] का वर्णन करने वाले पहले अंतर समीकरण को प्राप्त करने के लिए, इस सिद्धांत का उपयोग विविधताओं के कलन के सह-विकासकर्ता लैग्रेंज द्वारा किया गया था। 1760 में यूलर ने एक प्रमेय सिद्ध किया जो एक सतह पर एक अंतरिक्ष वक्र की वक्रता को मुख्य वक्रता के संदर्भ में व्यक्त करता है, जिसे यूलर के प्रमेय_(अंतर_ज्यामिति)|यूलर के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

बाद में 1700 के दशक में, [[ गैसपार्ड मोंगे ]] के नेतृत्व में नए फ्रांसीसी स्कूल ने विभेदक ज्यामिति में योगदान देना शुरू किया। Monge ने समतल वक्रों, सतहों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान दिया, और समतल वक्रों और अंतरिक्ष वक्रों के क्रांति और आवरण (गणित) की सतहों का अध्ययन किया। Monge के कई छात्रों ने इसी सिद्धांत में योगदान दिया, और उदाहरण के लिए [[ चार्ल्स डुपिन ]] ने सिद्धांत वक्रता के संदर्भ में यूलर के प्रमेय की एक नई व्याख्या प्रदान की, जो समीकरण का आधुनिक रूप है।<ref name="struik1" />

1800 के दशक में, मुख्य रूप से [[ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ]] और [[ बर्नहार्ड रीमैन ]] के आधारभूत कार्य के माध्यम से, और महत्वपूर्ण योगदानों में, विभेदक ज्यामिति का क्षेत्र अपने आप में अध्ययन का एक क्षेत्र बन गया, जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अधिक व्यापक विचार से अलग था। अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर [[ निकोलाई लोबचेव्स्की ]] और इसी अवधि के दौरान प्रक्षेपी ज्यामिति का विकास।

डिफरेंशियल ज्योमेट्री के इतिहास में एकल सबसे महत्वपूर्ण काम करार दिया,<ref name="spivak2">Spivak, M., 1975. A comprehensive introduction to differential geometry (Vol. 2). Publish or Perish, Incorporated.</ref> 1827 में गॉस ने घुमावदार सतहों के सामान्य सिद्धांत का विवरण देते हुए डिक्विजिशन जेनरल सरका सुपरफिसी कर्व्स का निर्माण किया।<ref name="Gauss">Gauss, C.F., 1828. Disquisitiones generales circa superficies curvas (Vol. 1). Typis Dieterichianis.</ref><ref name="spivak2" /><ref name="struik2">Struik, D.J. “Outline of a History of Differential Geometry (II).” Isis, vol. 20, no. 1, 1933, pp. 161–191. JSTOR, www.jstor.org/stable/224886</ref> इस काम में और उनके बाद के कागजात और सतहों के सिद्धांत पर अप्रकाशित नोट्स में, गॉस को गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का आविष्कारक और आंतरिक अंतर ज्यामिति का आविष्कारक करार दिया गया है।<ref name="struik2" />अपने मौलिक पेपर में गॉस ने [[ गॉस नक्शा ]], [[ गॉसियन वक्रता ]], [[ पहला मौलिक रूप ]] और [[ दूसरा मौलिक रूप ]] पेश किया, प्रमेय एग्रेगियम को गॉसियन वक्रता की आंतरिक प्रकृति दिखाते हुए साबित किया, और भूगर्भ विज्ञान का अध्ययन किया, विभिन्न गैर-यूक्लिडियन में एक भूगर्भीय त्रिकोण के क्षेत्र की गणना की सतहों पर ज्यामिति।

इस समय गॉस का पहले से ही यह विचार था कि [[ यूक्लिडियन ज्यामिति ]] के मानक प्रतिमान को त्याग दिया जाना चाहिए, और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर निजी पांडुलिपियों के अधिकार में था, जिसने भूगणित त्रिकोणों के उनके अध्ययन की जानकारी दी।<ref name="struik2" /><ref>{{MacTutor|id=Non-Euclidean_Geometry|title=Non-Euclidean Geometry|class=HistTopics}}</ref> लगभग इसी समय जानोस बोल्याई और लोबचेव्स्की ने स्वतंत्र रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति की खोज की और इस प्रकार यूक्लिड के प्रतिमान के बाहर सुसंगत ज्यामिति के अस्तित्व का प्रदर्शन किया। 1860 के दशक में बाद में [[ यूजेनियो बेल्ट्रामी ]] द्वारा हाइपरबोलिक ज्यामिति के ठोस मॉडल तैयार किए गए, और [[ फेलिक्स क्लेन ]] ने 1871 में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति शब्द गढ़ा, और [[ एर्लांगेन कार्यक्रम ]] के माध्यम से यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को एक ही पायदान पर रखा।<ref>{{aut|[[John Milnor|Milnor, John W.]]}}, (1982) ''[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years]'', Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.</ref> स्पष्ट रूप से, पृथ्वी की गोलाकार ज्यामिति जिसका प्राचीन काल से अध्ययन किया गया था, एक गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, एक [[ अण्डाकार ज्यामिति ]] थी।

गॉस की भाषा में आंतरिक अंतर ज्यामिति का विकास उनके छात्र, बर्नहार्ड रीमैन ने अपनी [[ आवास थीसिस ]] में, उन परिकल्पनाओं पर किया था जो ज्यामिति की नींव पर स्थित हैं।<ref>1868 ''On the hypotheses which lie at the foundation of geometry'', translated by [[William Kingdon Clifford|W.K.Clifford]], Nature 8 1873 183 – reprinted in Clifford's Collected Mathematical Papers, London 1882 (MacMillan); New York 1968 (Chelsea) http://www.emis.de/classics/Riemann/. Also in Ewald, William B., ed., 1996 “From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics”, 2 vols. Oxford Uni. Press: 652&ndash;61.</ref> इस काम में रीमैन ने पहली बार एक [[ रीमैनियन मीट्रिक ]] और [[ रीमैनियन वक्रता टेंसर ]] की धारणा पेश की, और उच्च आयामों में डिफरेंशियल ज्योमेट्री का व्यवस्थित अध्ययन शुरू किया। रिमेंनियन मीट्रिक के संदर्भ में यह आंतरिक दृष्टिकोण, द्वारा निरूपित <math>ds^2</math> रीमैन द्वारा, रैखिक तत्व के बारे में गॉस के एक विचार का विकास था <math>ds</math> एक सतह का। इस समय रीमैन ने इस विषय में रेखीय बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित के व्यवस्थित उपयोग का परिचय देना शुरू किया, मेट्रिक्स और वक्रता की अपनी जांच में [[ द्विघात रूप ]]ों के सिद्धांत का बहुत उपयोग किया। इस समय रीमैन ने अभी तक कई गुना आधुनिक धारणा विकसित नहीं की थी, क्योंकि एक टोपोलॉजिकल स्पेस की धारणा का भी सामना नहीं किया गया था, लेकिन उन्होंने प्रस्ताव दिया था कि स्पेसटाइम के मीट्रिक के गुणों की जांच या माप करना संभव हो सकता है अंतरिक्ष-समय के भीतर द्रव्यमान का विश्लेषण, यूलर के पहले के अवलोकन के साथ जोड़ना कि कोई भी बल के प्रभाव में द्रव्यमान सतहों पर जियोडेसिक्स के साथ यात्रा नहीं करेगा, और वैज्ञानिक साहित्य में प्रकट होने से पूरे 60 साल पहले आइंस्टीन के तुल्यता सिद्धांत के मौलिक अवलोकन की भविष्यवाणी करना।<ref name="struik2" /><ref name="spivak2" />

रीमैन के नए विवरण के मद्देनजर, अलग-अलग ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीकों का ध्यान वक्र और सतहों के अध्ययन के तदर्थ और बाहरी तरीकों से टेन्सर कैलकुलस और क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम के संदर्भ में अधिक व्यवस्थित दृष्टिकोण में स्थानांतरित हो गया, और प्रगति में वृद्धि हुई क्षेत्र में। परिवर्तनों के समूहों की धारणा सोफस ली और [[ जीन गैस्टन डारबौक्स ]] द्वारा विकसित की गई थी, जिससे झूठ समूहों और सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति के सिद्धांत में महत्वपूर्ण परिणाम सामने आए। घुमावदार स्थानों पर विभेदक कलन की धारणा का अध्ययन [[ एल्विन क्रिस्टोफर ]] द्वारा किया गया था, जिन्होंने 1868 में सहपरिवर्ती व्युत्पत्ति का वर्णन करने वाले क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों का परिचय दिया था, और यूजेनियो बेल्ट्रामी सहित अन्य लोगों द्वारा जिन्होंने कई गुना पर कई विश्लेषणात्मक प्रश्नों का अध्ययन किया था।<ref>{{cite journal |last=Christoffel |first=E.B. |year=1869 |title=दूसरी डिग्री के सजातीय विभेदक भावों के परिवर्तन के बारे में|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0070 |journal=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik |volume=70}}</ref> 1899 में [[ लुइगी बियांची ]] ने डिफरेंशियल ज्योमेट्री पर अपने लेक्चर्स का निर्माण किया, जिसमें रीमैन के नजरिए से डिफरेंशियल ज्योमेट्री का अध्ययन किया गया था, और एक साल बाद टुल्लियो लेवी-सिविटा और [[ ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो ]] ने अपनी पाठ्यपुस्तक को व्यवस्थित रूप से निरपेक्ष डिफरेंशियल कैलकुलस और टेंसर कैलकुलस के सिद्धांत को विकसित करते हुए तैयार किया।<ref>{{cite journal |last1=Ricci |first1=Gregorio |last2=Levi-Civita |first2=Tullio |author-link2=Tullio Levi-Civita |title=एब्सोल्यूट डिफरेंशियल कैलकुलस की विधियाँ और उनके अनुप्रयोग|trans-title=Methods of the absolute differential calculus and their applications |journal=[[Mathematische Annalen]] |date=March 1900 |volume=54 |issue=1–2 |pages=125–201 |doi=10.1007/BF01454201 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002258102 |publisher=Springer |s2cid=120009332 |language=fr}}</ref><ref name="spivak2" />यह इस भाषा में था कि आइंस्टीन द्वारा सामान्य सापेक्षता और छद्म-रिमैनियन ज्यामिति के विकास में अंतर ज्यामिति का उपयोग किया गया था।