सुपरमल्टीप्लेट

सैद्धांतिक भौतिकी में, एक सुपरमल्टीप्लेट संभवतः विस्तारित अतिसममिति के साथ एक अतिसममिति बीजगणित का प्रतिनिधित्व है।

फिर एक सुपरफ़ील्ड सुपरस्पेस पर एक क्षेत्र है जिसे इस तरह के प्रतिनिधित्व में महत्व दिया जाता है। नेवली, या समतल सुपरस्पेस पर विचार करते समय, एक सुपरफ़ील्ड को केवल सुपरस्पेस पर एक फलन के रूप में देखा जा सकता है। जो कि औपचारिक रूप से, यह संबंधित सदिश बंडल का एक खंड (फाइबर बंडल) है।

टनात्मक रूप से, कण का वर्णन करने के लिए सुपरफ़ील्ड का उपयोग किया जाता है। यह अति सममित क्षेत्र सिद्धांतों की एक विशेषता है कि कण जोड़े बनाते हैं, जिन्हें सुपरपार्टनर कहा जाता है, जहां बोसॉन को फरमिओन्स के साथ जोड़ा जाता है।

इन अति सममित क्षेत्र का उपयोग अति सममित क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों के निर्माण के लिए किया जाता है, जहां क्षेत्र को हर्मिटियन ऑपरेटर के लिए बढ़ावा दिया जाता है।

इतिहास

सुपरफील्ड्स की प्रारंभ 1974 के एक लेख में नमस्ते अब्दुस और जे. ए. स्ट्रैथडी द्वारा की गई थी। कुछ महीनों पश्चात् सर्जियो फेरारा, जूलियस वेस और ब्रूनो ज़ुमिनो द्वारा सुपरफ़ील्ड पर संचालन और आंशिक वर्गीकरण प्रस्तुत किया गया था।

नामकरण और वर्गीकरण

सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सुपरमल्टीप्लेट्स सदिश मल्टीप्लेट्स, चिरल मल्टीप्लेट्स (उदाहरण के लिए $d=4,{\mathcal {N}}=1$ अतिसममिति में), हाइपरमल्टीप्लेट्स (उदाहरण के लिए $d=4,{\mathcal {N}}=2$ अतिसममिति में), टेंसर मल्टीप्लेट्स और गुरुत्व मल्टीप्लेट्स हैं। सदिश मल्टीप्लेट का उच्चतम घटक एक गेज बोसॉन है, चिरल या हाइपरमल्टीप्लेट का उच्चतम घटक एक स्पिनर है, गुरुत्वाकर्षण मल्टीप्लेट का उच्चतम घटक एक ग्रेविटॉन है। नामों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि वे आयामी कमी के अनुसार अपरिवर्तनीय रहें, चूँकि लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व के रूप में क्षेत्रों का संगठन बदल जाता है।

अलग-अलग मल्टीप्लेट्स के लिए इन नामों का उपयोग साहित्य में भिन्न-भिन्न हो सकता है। एक चिरल मल्टीप्लेट (जिसका उच्चतम घटक एक स्पिनर है) को कभी-कभी अदिश मल्टीप्लेट के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, और $d=4,{\mathcal {N}}=2$ SUSY, एक सदिश मल्टीप्लेट (जिसका उच्चतम घटक एक सदिश है) को कभी-कभी चिरल मल्टीप्लेट के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

d = 4, N = 1 अतिसममिति में सुपरफ़ील्ड

इस खंड में कन्वेंशन फिगुएरोआ-ओ'फैरिल (2001) के नोट्स का पालन करते हैं।

एक सामान्य सम्मिश्र सुपरफ़ील्ड $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ में $d=4,{\mathcal {N}}=1$ अतिसममिति का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है

$\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+\theta \chi (x)+{\bar {\theta }}{\bar {\chi }}'(x)+{\bar {\theta }}\sigma ^{\mu }\theta V_{\mu }(x)+\theta ^{2}F(x)+{\bar {\theta }}^{2}{\bar {F}}'(x)+{\bar {\theta }}^{2}\theta \xi (x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\xi }}'(x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D(x)$,

जहाँ $\phi ,\chi ,{\bar {\chi }}',V_{\mu },F,{\bar {F}}',\xi ,{\bar {\xi }}',D$ विभिन्न सम्मिश्र क्षेत्र हैं. यह एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व सुपरमल्टीप्लेट नहीं है, और इसलिए अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व को अलग करने के लिए विभिन्न बाधाओं की आवश्यकता होती है।

चिरल सुपरफ़ील्ड

एक (एंटी-)चिरल सुपरफ़ील्ड $d=4,{\mathcal {N}}=1$ अतिसममिति का एक सुपरमल्टीप्लेट है।

चार आयामों में, सुपरस्पेस की धारणा का उपयोग करके न्यूनतम ${\mathcal {N}}=1$ अतिसममिति लिखी जा सकती है। सुपरस्पेस में सामान्य स्पेस-टाइम निर्देशांक $x^{\mu }$,$\mu =0,\ldots ,3$ और चार अतिरिक्त फर्मिओनिक निर्देशांक $\theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}$ के साथ $\alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2$ सम्मिलित हैं, जो दो-घटक (वेइल) स्पिनर और उसके संयुग्म के रूप में परिवर्तित होते हैं।

$d=4,{\mathcal {N}}=1$ अतिसममिति में, एक चिरल सुपरफ़ील्ड, चिरल सुपरस्पेस पर एक फलन है। (पूर्ण) सुपरस्पेस से चिरल सुपरस्पेस तक एक प्रक्षेपण उपस्थित है। तो, चिरल सुपरस्पेस पर एक फलन को पूर्ण सुपरस्पेस पर वापस खींचा जा सकता है। ऐसा फलन $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ सहसंयोजक बाधा ${\overline {D}}\Phi =0$ को संतुष्ट करता है, जहां ${\bar {D}}$ सहसंयोजक व्युत्पन्न है, जो सूचकांक संकेतन में दिया गया है

${\bar {D}}_{\dot {\alpha }}=-{\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i\theta ^{\alpha }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\partial _{\mu }.$

एक चिरल सुपरफ़ील्ड $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ फिर इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है

$\Phi (y,\theta )=\phi (y)+{\sqrt {2}}\theta \psi (y)+\theta ^{2}F(y),$

जहाँ $y^{\mu }=x^{\mu }+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}$. सुपरफ़ील्ड 'संयुग्मित स्पिन निर्देशांक' ${\bar {\theta }}$ से इस अर्थ में स्वतंत्र है कि यह केवल ${\bar {\theta }}$ से लेकर $y^{\mu }$ तक निर्भर करता है। इसकी जांच की जा सकती है कि ${\bar {D}}_{\dot {\alpha }}y^{\mu }=0.$

विस्तार की व्याख्या है कि $\phi$ एक सम्मिश्र अदिश क्षेत्र है जो कि $\psi$ एक वेइल स्पिनर है। सहायक सम्मिश्र अदिश क्षेत्र $F$ भी है, जिसे परंपरा के अनुसार $F$ नाम दिया गया है: यह F-शब्द है जो कुछ सिद्धांतों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

फिर क्षेत्र को $y$ के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके मूल निर्देशांक $(x,\theta ,{\bar {\theta }})$के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

$\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+{\sqrt {2}}\theta \psi (x)+\theta ^{2}F(x)+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\theta ^{2}\partial _{\mu }\psi (x)\sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}-{\frac {1}{4}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}\square \phi (x).$

एंटीचिरल सुपरफ़ील्ड

इसी तरह, एंटीचिरल सुपरस्पेस भी है, जो कि चिरल सुपरस्पेस और एंटीचिरल सुपरफील्ड्स का सम्मिश्र संयुग्म है।

एक एंटीचिरल सुपरफ़ील्ड $\Phi ^{\dagger }$ संतुष्ट $D\Phi ^{\dagger }=0,$ जहाँ

$D_{\alpha }=\partial _{\alpha }+i\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}\partial _{\mu }.$

एक एंटीचिरल सुपरफील्ड का निर्माण चिरल सुपरफील्ड के सम्मिश्र संयुग्म के रूप में किया जा सकता है।

चिरल सुपरफ़ील्ड से क्रियाएँ

एक क्रिया के लिए जिसे एकल चिरल सुपरफ़ील्ड से परिभाषित किया जा सकता है, वेस-ज़ुमिनो मॉडल देखें।

सदिश सुपरफ़ील्ड

सदिश सुपरफ़ील्ड ${\mathcal {N}}=1$ अतिसममिति का एक सुपरमल्टीप्लेट है।

एक सदिश सुपरफ़ील्ड (वास्तविक सुपरफ़ील्ड के रूप में भी जाना जाता है) एक फलन $V(x,\theta ,{\bar {\theta }})$ है जो वास्तविकता स्थिति $V=V^{\dagger }$को संतुष्ट करता है। ऐसा क्षेत्र विस्तार को स्वीकार करता है

$V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}A_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}+{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right).$

घटक क्षेत्र हैं

• दो वास्तविक अदिश क्षेत्र $C$ और $D$
• एक सम्मिश्र अदिश क्षेत्र $M+iN$
• दो वेइल स्पिनर क्षेत्र $\chi _{\alpha }$ और $\lambda ^{\alpha }$
• एक वास्तविक सदिश क्षेत्र (गेज क्षेत्र) $A_{\mu }$

अति सममित गेज सिद्धांत में उनके परिवर्तन गुणों और उपयोगों पर आगे विचार की गई है।

गेज परिवर्तन का उपयोग करते हुए, क्षेत्र $C,\chi$ और $M+iN$ शून्य पर सेट किया जा सकता है. इसे वेस-ज़ुमिनो गेज के नाम से जाना जाता है। इस गेज में, विस्तार बहुत सरल रूप धारण कर लेता है

$V_{\text{WZ}}=\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}A_{\mu }+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\lambda }}+{\bar {\theta }}^{2}\theta \lambda +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D.$

तब $\lambda$ $A_{\mu }$ का सुपरपार्टनर है, जबकि $D$ एक सहायक अदिश क्षेत्र है। इसे पारंपरिक रूप से $D$ कहा जाता है, और इसे डी-टर्म के रूप में जाना जाता है।

अदिश

एक अदिश राशि कभी भी सुपरफ़ील्ड का उच्चतम घटक नहीं होती है; यह किसी सुपरफ़ील्ड में दिखाई देता है या नहीं, यह स्पेसटाइम के आयाम पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, 10-आयामी N=1 सिद्धांत में सदिश मल्टीप्लेट में केवल एक सदिश और एक मेजराना-वेइल स्पिनर होता है, जबकि d -आयामी टोरस्र्स पर इसकी आयामी कमी एक सदिश मल्टीप्लेट होती है जिसमें d वास्तविक अदिश होते हैं। इसी प्रकार, 11-आयामी सिद्धांत में सीमित संख्या में क्षेत्र , गुरुत्वाकर्षण गुणक के साथ केवल एक सुपरमल्टीप्लेट होता है, और इसमें कोई अदिश नहीं होता है। चूँकि , फिर से d -टोरस पर अधिकतम गुरुत्वाकर्षण गुणक में इसकी आयामी कमी में अदिश सम्मिलित होते हैं।

हाइपरमल्टीप्लेट

हाइपरमल्टीप्लेट एक विस्तारित अतिसममिति बीजगणित का एक प्रकार का प्रतिनिधित्व है, विशेष रूप से 4 आयामों में ${\mathcal {N}}=2$ अतिसममिति का मैटर मल्टीप्लेट, जिसमें दो सम्मिश्र अदिश A_i, एक डिराक स्पिनर ψ, और दो और सहायक सम्मिश्र अदिश F_i होते हैं।

हाइपरमल्टीप्लेट नाम N=2 अतिसममिति के लिए प्रयुक्त पुराने शब्द हाइपरसिमेट्री से आया है Fayet (1976); इस शब्द को छोड़ दिया गया है, किन्तु इसके कुछ अभ्यावेदन के लिए हाइपरमल्टीप्लेट नाम अभी भी उपयोग किया जाता है।

विस्तारित अतिसममिति (N > 1)

यह खंड $d=4$ स्थिति में विस्तारित अतिसममिति में कुछ सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले अपरिवर्तनीय सुपरमल्टीप्लेट्स को रिकॉर्ड करता है। इनका निर्माण उच्चतम-वजन प्रतिनिधित्व निर्माण द्वारा इस अर्थ में किया गया है कि सुपरचार्ज $Q^{A},A=1,\cdots ,{\mathcal {N}}$ द्वारा नष्ट किया गया एक निर्वात सदिश है। इरेप्स का आयाम $2^{\mathcal {N}}$है। द्रव्यमान रहित कणों का प्रतिनिधित्व करने वाले सुपरमल्टीप्लेट्स के लिए, भौतिक आधार पर अधिकतम अनुमत ${\mathcal {N}}$ ${\mathcal {N}}=8$है, जबकि पुनर्सामान्यीकरण के लिए, अधिकतम अनुमत ${\mathcal {N}}$ ${\mathcal {N}}=4$ है।

N = 2

${\mathcal {N}}=2$ सदिश या चिरल मल्टीप्लेट $\Psi$ में एक गेज क्षेत्र $A_{\mu }$, दो वेइल फ़र्मियन $\lambda ,\psi$, और एक अदिश $\phi$ (जो एक गेज समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व में भी रूपांतरित होता है) सम्मिलित है ). इन्हें ${\mathcal {N}}=1$ मल्टीप्लेट्स, एक ${\mathcal {N}}=1$ सदिश मल्टीप्लेट्स $W=(A_{\mu },\lambda )$ और चिरल मल्टीप्लेट्स $\Phi =(\phi ,\psi )$ की एक जोड़ी में भी व्यवस्थित किया जा सकता है। इस तरह के मल्टीप्लेट का उपयोग सीबर्ग-विटन सिद्धांत को संक्षिप्त रूप से परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

${\mathcal {N}}=2$ हाइपरमल्टीप्लेट या अदिश मल्टीप्लेट में दो वेइल फ़र्मियन और दो सम्मिश्र अदिश , या दो ${\mathcal {N}}=1$ चिरल मल्टीप्लेट होते हैं।

N = 4

${\mathcal {N}}=4$ सदिश मल्टीप्लेट में एक गेज क्षेत्र , चार वेइल फ़र्मियन, छह अदिश और सीपीटी संयुग्म सम्मिलित हैं। यह ${\mathcal {N}}=4$ अति सममित यांग-मिल्स सिद्धांत में दिखाई देता है।

यह भी देखें

• अति सममित गेज सिद्धांत
• डी-टर्म
• एफ-टर्म

संदर्भ

• Fayet, P. (1976), "Fermi-Bose hypersymmetry", Nuclear Physics B, 113 (1): 135–155, Bibcode:1976NuPhB.113..135F, doi:10.1016/0550-3213(76)90458-2, MR 0416304
• Stephen P. Martin. A Supersymmetry Primer, arXiv:hep-ph/9709356 .
• Yuji Tachikawa. N=2 supersymmetric dynamics for pedestrians, arXiv:1312.2684.
• Figueroa-O'Farrill, J. M. (2001). "Busstepp Lectures on Supersymmetry". arXiv:hep-th/0109172.