सूचना में अस्थिरता जटिलता: Difference between revisions

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सूचना उतार-चढ़ाव [[जटिलता]] एक [[सूचना सिद्धांत]] है|सूचना-सैद्धांतिक मात्रा जिसे [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] के बारे में जानकारी के उतार-चढ़ाव के रूप में परिभाषित किया गया है। यह एक गतिशील प्रणाली में व्यवस्था और अराजकता की प्रबलता में उतार-चढ़ाव से व्युत्पन्न है और इसका उपयोग कई विविध क्षेत्रों में जटिलता के माप के रूप में किया गया है। इसे बेट्स और शेपर्ड द्वारा 1993 के एक पेपर में पेश किया गया था।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Bates|first1=John E.|last2=Shepard|first2=Harvey K.|date=1993-01-18|title=सूचना के उतार-चढ़ाव का उपयोग करके जटिलता को मापना|journal=Physics Letters A|language=en|volume=172|issue=6|pages=416–425|doi=10.1016/0375-9601(93)90232-O|bibcode=1993PhLA..172..416B|issn=0375-9601}}</ref>
'''सूचना में अस्थिरता जटिलता (इनफार्मेशन में फ्लक्चुएशन [[जटिलता|कोम्प्लेक्सिटी)]]''' एक सूचना-सैद्धांतिक मात्रा है जिसे [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)|एन्ट्रॉपी (इनफार्मेशन सिद्धांत)]] के बारे में जानकारी के फ्लक्चुएशन के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार यह डायनामिक प्रणाली में व्यवस्था और चाओस की प्रबलता में फ्लक्चुएशन से व्युत्पन्न है और इसका उपयोग अनेक विविध क्षेत्रों में कोम्प्लेक्सिटी के माप के रूप में किया गया है। इसे बेट्स और शेपर्ड द्वारा सत्र 1993 के पेपर में प्रस्तुत किया गया था।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Bates|first1=John E.|last2=Shepard|first2=Harvey K.|date=1993-01-18|title=सूचना के उतार-चढ़ाव का उपयोग करके जटिलता को मापना|journal=Physics Letters A|language=en|volume=172|issue=6|pages=416–425|doi=10.1016/0375-9601(93)90232-O|bibcode=1993PhLA..172..416B|issn=0375-9601}}</ref>
 


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
असतत डायनामिक प्रणाली की इनफार्मेशन में फ्लक्चुएशन की कोम्प्लेक्सिटी स्तिथि की संभाव्यता वितरण का कार्य है जब यह रैंडम बाहरी इनपुट डेटा के अधीन होता है। इस प्रकार प्रणाली को समृद्ध इनफार्मेशन सोर्स जैसे कि [[यादृच्छिक संख्या पीढ़ी|रैंडम संख्या जनरेटर]] या [[श्वेत रव|वाइट नॉइज़]] सिग्नल के साथ चलाने का उद्देश्य प्रणाली की आंतरिक डायनामिक का परीक्षण करना है, जैसे [[ संकेत आगे बढ़ाना |सिग्नल प्रोसेसिंग]] में आवृत्ति-समृद्ध [[आवेग प्रतिक्रिया|आवेग]] का उपयोग किया जाता है।


एक असतत गतिशील प्रणाली की सूचना में उतार-चढ़ाव की जटिलता उसके राज्यों की संभाव्यता वितरण का एक कार्य है जब यह यादृच्छिक बाहरी इनपुट डेटा के अधीन होता है। [[यादृच्छिक संख्या पीढ़ी]] या [[श्वेत रव]] जैसे समृद्ध सूचना स्रोत के साथ सिस्टम को चलाने का उद्देश्य सिस्टम की आंतरिक गतिशीलता की जांच करना है, जो एक [[आवेग प्रतिक्रिया]] के समान है। [[ संकेत आगे बढ़ाना ]] में आवृत्ति-समृद्ध आवेग का उपयोग किया जाता है।
यदि कोई प्रणाली <math display="inline">N</math> है संभावित अवस्था <math display="inline">p_i</math>ज्ञात हैं, तब इसकी इनफार्मेशन एन्ट्रापी है:
 
यदि कोई सिस्टम है <math display="inline">N</math> संभावित राज्य और राज्य संभावनाएँ <math display="inline">p_i</math>ज्ञात हैं, तो इसकी एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)#परिभाषा है


: <math>\Eta = \sum_{i=1}^N p_i I_i = - \sum_{i=1}^N p_i \log p_i,</math>
: <math>\Eta = \sum_{i=1}^N p_i I_i = - \sum_{i=1}^N p_i \log p_i,</math>
कहाँ <math display="inline">I_i = -\log p_i</math> राज्य की सूचना सामग्री है <math display="inline">i</math>.
जहाँ <math display="inline">I_i = -\log p_i</math> अवस्था की इनफार्मेशन सामग्री <math display="inline">i</math> है।


सिस्टम की सूचना उतार-चढ़ाव जटिलता को मानक विचलन#असतत यादृच्छिक चर या उतार-चढ़ाव के रूप में परिभाषित किया गया है <math display="inline">I</math> इसके माध्य के बारे में <math display="inline">\Eta</math>:
प्रणाली की इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी को मानक विचलन या फ्लक्चुएशन के रूप में परिभाषित किया गया है <math display="inline">I</math> माध्य के बारे में <math display="inline">\Eta</math> इस प्रकार है:


: <math>\sigma_I = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(I_i - \Eta)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_iI_i^2 - \Eta^2}</math>
: <math>\sigma_I = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(I_i - \Eta)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_iI_i^2 - \Eta^2}</math>
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: <math>\sigma_I = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i \log^2 p_i - \Biggl(\sum_{i=1}^N p_i \log p_i \Biggr)^2}.</math>
: <math>\sigma_I = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i \log^2 p_i - \Biggl(\sum_{i=1}^N p_i \log p_i \Biggr)^2}.</math>
राज्य की जानकारी में उतार-चढ़ाव <math>\sigma_I
इस प्रकार स्थिति की जानकारी में फ्लक्चुएशन <math>\sigma_I
</math> सभी के साथ अधिकतम अव्यवस्थित प्रणाली में शून्य है <math>p_i = 1/N</math>; सिस्टम बस अपने यादृच्छिक इनपुट की नकल करता है। <math>\sigma_I
</math> सभी के साथ अधिकतम अव्यवस्थित प्रणाली में शून्य है प्रणाली अपने रैंडम इनपुट <math>p_i = 1/N</math> को कॉपी करता है। इस प्रकार जब प्रणाली केवल निश्चित स्थिति के साथ सम्पूर्ण रूप से व्यवस्थित होता है, तब <math>\sigma_I
</math> यह भी शून्य है जब सिस्टम केवल एक निश्चित स्थिति के साथ पूरी तरह से व्यवस्थित होता है <math>(p_1 = 1)</math>, इनपुट की परवाह किए बिना। <math>\sigma_I
</math> भी शून्य होता है <math>(p_1 = 1)</math>, इनपुट को ध्यान किए बिना <math>\sigma_I
</math> इन दो चरम सीमाओं के बीच गैर-शून्य है जिसमें उच्च-संभावना वाले राज्यों और निम्न-संभावना वाले राज्यों दोनों का मिश्रण राज्य स्थान को आबाद करता है।
</math> इन दो शीर्ष सीमाओं के मध्य उच्च-संभावना वाली अवस्था और निम्न-संभावना वाली अवस्था के मिश्रण के साथ स्थान को संपन्न करने वाला अशून्य है।


== सूचना का उतार-चढ़ाव स्मृति और गणना की अनुमति देता है ==
== इनफार्मेशन की फ्लक्चुएशन मेमोरी और गणना की अनुमति देता है ==


जैसे-जैसे एक जटिल गतिशील प्रणाली समय के साथ विकसित होती है, यह राज्यों के बीच कैसे परिवर्तन करती है यह अनियमित तरीके से बाहरी उत्तेजनाओं पर निर्भर करता है। कभी-कभी यह बाहरी उत्तेजनाओं के प्रति अधिक संवेदनशील (अस्थिर) हो सकता है और कभी-कभी कम संवेदनशील (स्थिर) हो सकता है। यदि किसी विशेष राज्य में कई संभावित अगले राज्य हैं, तो बाहरी जानकारी यह निर्धारित करती है कि कौन सा अगला होगा और सिस्टम राज्य स्थान में एक विशेष प्रक्षेपवक्र का पालन करके उस जानकारी को प्राप्त करता है। लेकिन यदि कई अलग-अलग राज्य एक ही अगले राज्य की ओर ले जाते हैं, तो अगले राज्य में प्रवेश करने पर सिस्टम यह जानकारी खो देता है कि कौन सा राज्य उससे पहले आया था। इस प्रकार, एक जटिल प्रणाली समय के साथ विकसित होने पर बारी-बारी से सूचना लाभ और हानि प्रदर्शित करती है। सूचना का परिवर्तन या उतार-चढ़ाव याद रखने और भूलने के बराबर है - अस्थायी सूचना भंडारण या स्मृति - गैर-तुच्छ गणना की एक अनिवार्य विशेषता।
जैसे-जैसे काम्प्लेक्स डायनामिक प्रणाली समय के साथ विकसित होती है, यह अवस्था के मध्य कैसे परिवर्तन करती है यह अनियमित विधियों से बाहरी उत्तेजनाओं पर निर्भर करता है। कभी-कभी यह बाहरी उत्तेजनाओं के प्रति अधिक संवेदनशील (अस्थिर) हो सकता है और कभी-कभी कम संवेदनशील (स्थिर) हो सकता है। इस प्रकार यदि किसी विशेष स्तिथि में अनेक संभावित स्तिथि हैं, तब बाहरी जानकारी यह निर्धारित करती है कि कौन सा अगला होगा और प्रणाली स्थान में विशेष प्रक्षेपवक्र का पालन करके उस जानकारी को प्राप्त करता है। किंतु यदि अनेक भिन्न-भिन्न स्थितियां एक ही अवस्था की ओर ले जाते हैं, तब नेक्स्ट स्तिथि में प्रवेश करने पर प्रणाली यह जानकारी विलुप्त कर देता है कि कौन सी स्तिथि उससे पहले आई थी। इस प्रकार, काम्प्लेक्स प्रणाली समय के साथ विकसित होने पर समय-समय से इनफार्मेशन लाभ और हानि प्रदर्शित करती है। इनफार्मेशन का परिवर्तन या फ्लक्चुएशन याद रखने और भूलने के समान है।


राज्यों के बीच संक्रमण से जुड़ी जानकारी का लाभ या हानि राज्य की जानकारी से संबंधित हो सकती है। राज्य से संक्रमण का शुद्ध सूचना लाभ <math>i</math> कहना <math>j</math> राज्य छोड़ते समय प्राप्त की गई जानकारी है <math>i</math> राज्य में प्रवेश करते समय खोई गई जानकारी कम होगी <math>j</math>:
स्थितियों के मध्य ट्रांजीशन से जुड़ी जानकारी का लाभ या हानि अवस्था की जानकारी से संबंधित हो सकती है। इस प्रकार अवस्था से ट्रांजीशन का इनफार्मेशन लाभ <math>i</math>, <math>j</math> स्तिथि छोड़ते समय प्राप्त की गई जानकारी है <math>i</math> अवस्था में प्रवेश करते समय विलुप्त हुई जानकारी <math>j</math> कम होगी:


: <math>\Gamma_{ij} = -\log p_{i \rightarrow j} + \log p_{i \leftarrow j}.</math>
: <math>\Gamma_{ij} = -\log p_{i \rightarrow j} + \log p_{i \leftarrow j}.</math>
यहाँ <math display="inline">p_{i \rightarrow j}</math> आगे की सशर्त संभावना है कि यदि वर्तमान स्थिति है <math>i</math> फिर अगला राज्य है <math>j</math> और <math>p_{i \leftarrow j}</math> विपरीत सशर्त संभावना है कि यदि वर्तमान स्थिति है <math>j</math> तब पूर्व स्थिति थी <math>i
यहाँ <math display="inline">p_{i \rightarrow j}</math> यदि वर्तमान स्थिति है तब आगे की सशर्त संभावना है फिर अगली स्थिति <math>i</math> है विपरीत सशर्त संभावना <math>j</math> और <math>p_{i \leftarrow j}</math> है यदि वर्तमान स्थिति है तब पूर्व स्थिति <math>j</math> थी, सशर्त संभावनाएँ ट्रांजीशन संभावना <math>j</math> से संबंधित हैं <math>p_{ij}</math>, स्थिति संभावना का कहना है कि <math>i
</math>. सशर्त संभावनाएँ संक्रमण संभावना से संबंधित हैं <math>p_{ij}</math>, संभावना है कि राज्य से एक संक्रमण <math>i
</math> स्थिति द्वारा ट्रांजीशन <math>j</math> होता है:
</math> कहना <math>j</math> होता है, द्वारा:


: <math>p_{ij} = p_i p_{i \rightarrow j} = p_j p_{i \leftarrow j}.</math>
: <math>p_{ij} = p_i p_{i \rightarrow j} = p_j p_{i \leftarrow j}.</math>
सशर्त संभावनाओं को ख़त्म करना:
सशर्त संभावनाओं को समाप्त करना:


: <math>\Gamma_{ij} = -\log (p_{ij}/p_i) + \log (p_{ij}/p_j) = \log p_i - \log p_j = I_j - I_i.</math>
: <math>\Gamma_{ij} = -\log (p_{ij}/p_i) + \log (p_{ij}/p_j) = \log p_i - \log p_j = I_j - I_i.</math>
इसलिए संक्रमण के परिणामस्वरूप सिस्टम द्वारा प्राप्त शुद्ध जानकारी केवल प्रारंभिक से अंतिम स्थिति तक राज्य की जानकारी में वृद्धि पर निर्भर करती है। यह दिखाया जा सकता है कि यह लगातार कई बदलावों के लिए भी सच है।<ref name=":0" />
इसलिए ट्रांजीशन के परिणामस्वरूप प्रणाली द्वारा प्राप्त शुद्ध जानकारी केवल प्रारंभिक से अंतिम स्थिति तक जानकारी में वृद्धि पर निर्भर करती है। यह दिखाया जा सकता है कि यह निरंतर अनेक परिवर्तन के लिए भी सत्य है।<ref name=":0" />


<math>\Gamma = \Delta I</math> बल और संभावित ऊर्जा के बीच संबंध की याद दिलाता है#किसी क्षमता से व्युत्पन्न। <math>I</math> क्षमता की तरह है <math>\Phi</math> और <math>\Gamma</math> बल की तरह है <math>\mathbf{F}</math> स्थितिज ऊर्जा में#एक_संभावना_से_व्युत्पन्न|<math>\mathbf{F}={\nabla \Phi}</math>. बाहरी जानकारी मेमोरी स्टोरेज को पूरा करने के लिए एक सिस्टम को उच्च सूचना क्षमता की स्थिति में "ऊपर की ओर" धकेलती है, ठीक उसी तरह जैसे किसी द्रव्यमान को उच्च गुरुत्वाकर्षण क्षमता की स्थिति में ऊपर की ओर धकेलना ऊर्जा को संग्रहीत करता है। ऊर्जा भंडारण की मात्रा केवल अंतिम ऊंचाई पर निर्भर करती है, पहाड़ी के रास्ते पर नहीं। इसी तरह, सूचना भंडारण की मात्रा राज्य स्थान में दो राज्यों के बीच संक्रमण पथ पर निर्भर नहीं करती है। एक बार जब कोई सिस्टम उच्च सूचना क्षमता वाली दुर्लभ स्थिति में पहुंच जाता है, तो यह पहले से संग्रहीत जानकारी खोकर अधिक सामान्य स्थिति में आ सकता है।
इस प्रकार <math>\Gamma = \Delta I</math> [[बल और संभावित ऊर्जा]] के मध्य संबंध है किसी क्षमता <math>I</math> से व्युत्पन्न <math>\Phi</math> और <math>\Gamma</math> बल के जैसे है <math>\mathbf{F}</math> में <math>\mathbf{F}={\nabla \Phi}</math> बाहरी जानकारी मेमोरी स्टोरेज को पूर्ण करने के लिए प्रणाली को उच्च इनफार्मेशन क्षमता की स्थिति में "ऊपर की ओर" पुश करती है, ठीक उसी प्रकार जैसे किसी द्रव्यमान को उच्च गुरुत्वाकर्षण क्षमता की स्थिति में ऊपर की ओर पुश करना ऊर्जा को संग्रहीत करता है। इस प्रकार ऊर्जा स्टोरेज की मात्रा केवल अंतिम ऊंचाई पर निर्भर करती है, पहाड़ी के मार्ग पर नहीं पर निर्भर करती है। इसी प्रकार, इनफार्मेशन स्टोरेज की मात्रा स्थिति स्थान में दो स्थिति के मध्य ट्रांजीशन पथ पर निर्भर नहीं करती है। जब कोई प्रणाली उच्च इनफार्मेशन क्षमता वाली दुर्लभ स्थिति में पहुंच जाता है, तब यह पहले से संग्रहीत जानकारी विलुप्त करके अधिक सामान्य स्थिति में आ सकता है।


मानक विचलन#असतत यादृच्छिक चर की गणना करना उपयोगी हो सकता है <math>\Gamma</math> इसके माध्य के बारे में (जो शून्य है), अर्थात् शुद्ध सूचना लाभ का उतार-चढ़ाव <math>\sigma_\Gamma</math>,<ref name=":0" />लेकिन <math>\sigma_I</math> राज्य स्थान में बहु-संक्रमण मेमोरी लूप को ध्यान में रखता है और इसलिए यह सिस्टम की कम्प्यूटेशनल शक्ति का एक बेहतर संकेतक होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, <math>\sigma_I</math> गणना करना आसान है क्योंकि राज्यों की तुलना में कई अधिक संक्रमण हो सकते हैं।
इस प्रकार मानक विचलन असतत रैंडम चर की गणना करना उपयोगी हो सकता है, इसके माध्य <math>\Gamma</math> के बारे में (जो शून्य है), अर्थात् शुद्ध इनफार्मेशन लाभ की फ्लक्चुएशन <math>\sigma_\Gamma</math>,<ref name=":0" /> किंतु <math>\sigma_I</math> अवस्था स्थान में बहु-ट्रांजीशन मेमोरी लूप को ध्यान में रखता है और इसलिए यह प्रणाली की कम्प्यूटेशनल शक्ति का उत्तम संकेतक होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, <math>\sigma_I</math> गणना करना सरल है क्योंकि अवस्था की तुलना में अनेक अधिक ट्रांजीशन हो सकते हैं।


== अराजकता और व्यवस्था ==
== अराजकता और व्यवस्था ==
एक गतिशील प्रणाली जो बाहरी जानकारी के प्रति संवेदनशील है (अस्थिर) कैओस सिद्धांत व्यवहार प्रदर्शित करती है जबकि जो बाहरी जानकारी के प्रति असंवेदनशील है (स्थिर) व्यवस्थित व्यवहार प्रदर्शित करती है। एक जटिल प्रणाली दोनों व्यवहार प्रदर्शित करती है, एक समृद्ध सूचना स्रोत के अधीन होने पर गतिशील संतुलन में उनके बीच उतार-चढ़ाव होता है। उतार-चढ़ाव की डिग्री की मात्रा निर्धारित की जाती है <math>\sigma_I</math>; यह समय के साथ विकसित होने पर एक जटिल प्रणाली में अराजकता और व्यवस्था की प्रबलता में परिवर्तन को पकड़ता है।
डायनामिक प्रणाली जो बाहरी जानकारी के प्रति संवेदनशील है (अस्थिर) अराजकता सिद्धांत व्यवहार प्रदर्शित करती है जबकि बाहरी जानकारी के प्रति असंवेदनशील है (स्थिर) व्यवस्थित व्यवहार प्रदर्शित करती है। काम्प्लेक्स प्रणाली दोनों व्यवहार प्रदर्शित करते है, समृद्ध इनफार्मेशन सोर्स के अधीन होने पर डायनामिक संतुलन में उनके मध्य फ्लक्चुएशन होता है। इस प्रकार फ्लक्चुएशन की डिग्री की मात्रा <math>\sigma_I</math> निर्धारित की जाती है ; समय के साथ विकसित होने पर काम्प्लेक्स प्रणाली में अराजकता और व्यवस्था की प्रबलता में परिवर्तन करता है।


== उदाहरण: [[प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन]] का [[नियम 110]] संस्करण ==
== उदाहरण: [[प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन]] का [[नियम 110]] संस्करण ==
प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन का नियम 110 संस्करण नियम 110 # सार्वभौमिक गणना में सक्षम होने के लिए सार्वभौमिकता का प्रमाण रहा है। यह प्रमाण ग्लाइडर या नियम 110 में नियम 110 # स्पेसशिप के रूप में जाने जाने वाले एकजुट और स्वयं-स्थायी सेल पैटर्न के अस्तित्व और इंटरैक्शन पर आधारित है, इमर्जेंस # इमर्जेंट गुण और प्रक्रिया घटनाएं, जो याद रखने के लिए ऑटोमेटन कोशिकाओं के समूहों की क्षमता का संकेत देती हैं। ग्लाइडर उनके बीच से गुजर रहा है. इसलिए यह उम्मीद की जाती है कि सूचना लाभ और हानि, अस्थिरता और स्थिरता, अराजकता और व्यवस्था के विकल्पों के परिणामस्वरूप राज्य स्थान में मेमोरी लूप होंगे।
प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन का नियम 110 संस्करण सार्वभौमिक गणना में सक्षम सिद्ध हुआ है। इस प्रकार प्रमाण ग्लाइडर या स्पेसशिप के रूप में जाने जाने वाले एकजुट और स्वयं-स्थायी सेल पैटर्न के अस्तित्व और इंटरैक्शन पर आधारित है, जो आकस्मिक घटना है, जो ऑटोमेटन सेल्स के ग्रुपों की यह याद रखने की क्षमता का संकेत देता है कि ग्लाइडर उनके मध्य से निकल रहा है। इसलिए यह आशा की जाती है कि इनफार्मेशन लाभ और हानि, फ्लक्चुएशन और अवस्था, चाओस और व्यवस्था के विकल्पों के परिणामस्वरूप अवस्था स्थान में मेमोरी लूप होंगे।


आसन्न ऑटोमेटन कोशिकाओं के 3-सेल समूह पर विचार करें जो नियम 110 का पालन करते हैं:{{inline block|end-center-end}}. केंद्र कोशिका की अगली स्थिति स्वयं की वर्तमान स्थिति और नियम द्वारा निर्दिष्ट अंतिम कोशिकाओं पर निर्भर करती है:
इस प्रकार आसन्न ऑटोमेटन सेल्स के 3-सेल ग्रुप पर विचार किया जाता है, जो नियम 110 {{inline block|अंत-केंद्र-अंत}} का पालन करते हैं: सेण्टर सेल की अगली स्थिति स्वयं की वर्तमान स्थिति और नियम द्वारा निर्दिष्ट अंतिम सेल्स पर निर्भर करती है:


   {| class="wikitable" style="width: 500px; margin: auto; text-align: center"
   {| class="wikitable" style="width: 500px; margin: auto; text-align: center"
|+Elementary cellular automaton rule 110
|+प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन नियम 110
!3-cell group
!3-सेल ग्रुप
|1-1-1
|1-1-1
|1-1-0
|1-1-0
Line 63: Line 60:
|0-0-0
|0-0-0
|-
|-
!next center cell
!नेक्स्ट सेण्टर सेल
|0
|0
|1
|1
Line 73: Line 70:
|0
|0
|}
|}
इस प्रणाली की सूचना उतार-चढ़ाव जटिलता की गणना करने के लिए, 3-सेल समूह के प्रत्येक छोर पर एक ड्राइवर सेल संलग्न करें ताकि यादृच्छिक बाहरी उत्तेजना प्रदान की जा सके, '{{inline block|driver→end-center-end←driver}}, ताकि नियम को दो अंतिम कोशिकाओं पर लागू किया जा सके। आगे की सशर्त संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए, आगे निर्धारित करें कि प्रत्येक संभावित वर्तमान स्थिति के लिए और ड्राइवर सेल सामग्री के प्रत्येक संभावित संयोजन के लिए अगली स्थिति क्या है।
इस प्रणाली की इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी की गणना करने के लिए, 3-सेल ग्रुप के प्रत्येक एंड पर ड्राइवर सेल संलग्न किया जाता है, जिससे {{inline block|ड्राइवर→अंत-केंद्र-अंत←ड्राइवर}} रैंडम बाहरी उत्तेजना प्रदान की जा सके, जिससे नियम को दो अंतिम सेल्स पर प्रारम्भ किया जा सके। आगे की सशर्त संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए, आगे निर्धारित करें कि प्रत्येक संभावित वर्तमान स्थिति के लिए और ड्राइवर सेल सामग्री के प्रत्येक संभावित संयोजन के लिए अगली स्थिति क्या है।


इस प्रणाली का [[राज्य आरेख]] नीचे दर्शाया गया है, जिसमें वृत्त राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं और तीर राज्यों के बीच संक्रमण का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रणाली की आठ अवस्थाएँ, {{inline block|1-1-1}} को {{inline block|0-0-0}} को 3-सेल समूह की 3-बिट सामग्री के ऑक्टल समकक्ष के साथ लेबल किया गया है: 7 से 0. संक्रमण तीरों को आगे की सशर्त संभावनाओं के साथ लेबल किया गया है। ध्यान दें कि अराजकता और व्यवस्था, संवेदनशीलता और असंवेदनशीलता, चालक कोशिकाओं से बाहरी जानकारी के लाभ और हानि में परिवर्तनशीलता के अनुरूप तीरों के विचलन और अभिसरण में परिवर्तनशीलता है।
इस प्रणाली का स्तिथि [[राज्य आरेख|आरेख]] नीचे दर्शाया गया है, जिसमें वृत्त स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं और एरो स्थितियों के मध्य ट्रांजीशन का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रणाली की आठ अवस्थाएँ, {{inline block|1-1-1}} को {{inline block|0-0-0}} को 3-सेल ग्रुप की 3-बिट सामग्री के ऑक्टल समकक्ष के साथ लेबल किया गया है: 7 से 0 ट्रांजीशन एरो को आगे की सशर्त संभावनाओं के साथ लेबल किया गया है। ध्यान दें कि चाओस और व्यवस्था, संवेदनशीलता और असंवेदनशीलता, ड्राईवर सेल से बाहरी जानकारी के लाभ और हानि में परिवर्तनशीलता के अनुरूप एरो के विचलन और अभिसरण में परिवर्तनशीलता है।
  [[File:State diagram for rule 110 with transition probabilities.png|alt=|center|thumb|499x499px|नियम 110 प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन के लिए 3-सेल राज्य आरेख यादृच्छिक उत्तेजना के साथ आगे की सशर्त संक्रमण संभावनाओं को दर्शाता है।]]आगे की सशर्त संभावनाएं संभावित ड्राइवर सेल सामग्री के अनुपात से निर्धारित होती हैं जो एक विशेष संक्रमण को चलाती हैं। उदाहरण के लिए, दो ड्राइवर सेल सामग्री के चार संभावित संयोजनों के लिए, स्थिति 7 स्थिति 5, 4, 1 और 0 की ओर ले जाती है इसलिए <math>p_{7 \rightarrow 5}</math>, <math>p_{7 \rightarrow 4}</math>, <math>p_{7 \rightarrow 1}</math>, और <math>p_{7 \rightarrow 0}</math> प्रत्येक ¼ या 25% हैं। इसी प्रकार, अवस्था 0 अवस्था 0, 1, 0 और 1 की ओर ले जाती है <math>p_{0 \rightarrow 1}</math>और <math>p_{0 \rightarrow 0}</math>प्रत्येक ½ या 50% हैं। इत्यादि।
  [[File:State diagram for rule 110 with transition probabilities.png|alt=|center|thumb|499x499px|'''नियम 110 प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन के लिए 3-सेल स्तिथि आरेख रैंडम उत्तेजना के साथ आगे की सशर्त ट्रांजीशन संभावनाओं को दर्शाता है।''']]इस प्रकार आगे की सशर्त संभावनाएं संभावित ड्राइवर सेल सामग्री के अनुपात से निर्धारित होती हैं जो विशेष ट्रांजीशन को चलाती हैं। उदाहरण के लिए, दो ड्राइवर सेल सामग्री के चार संभावित संयोजनों के लिए, स्थिति 7 स्थिति 5, 4, 1 और 0 की ओर ले जाती है इसलिए <math>p_{7 \rightarrow 5}</math>, <math>p_{7 \rightarrow 4}</math>, <math>p_{7 \rightarrow 1}</math>, और <math>p_{7 \rightarrow 0}</math> प्रत्येक ¼ या 25% हैं। इसी प्रकार, अवस्था 0 अवस्था 0, 1, 0 और 1 की ओर ले जाती है <math>p_{0 \rightarrow 1}</math>और <math>p_{0 \rightarrow 0}</math> प्रत्येक ½ या 50% हैं। इत्यादि।


राज्य की संभावनाएँ इससे संबंधित हैं
अवस्था की संभावनाएँ इससे संबंधित हैं


: <math>p_j = \sum_{i=0}^7 p_i  p_{i \rightarrow j}</math> और <math>\sum_{i=0}^7 p_i = 1.</math>
: <math>p_j = \sum_{i=0}^7 p_i  p_{i \rightarrow j}</math> और <math>\sum_{i=0}^7 p_i = 1.</math>
इन रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को राज्य संभावनाओं के लिए मैन्युअल रूप से या कंप्यूटर प्रोग्राम की सहायता से निम्नलिखित परिणामों के साथ हल किया जा सकता है:
इन रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को अवस्था संभावनाओं के लिए मैन्युअल रूप से या कंप्यूटर प्रोग्राम की सहायता से निम्नलिखित परिणामों के साथ समाधान किया जा सकता है:


{| class="wikitable" style="width: 300px; margin: auto; text-align: center"
{| class="wikitable" style="width: 300px; margin: auto; text-align: center"
|+Rule 110 state probabilities for 3-cell automaton with random stimulation
|+नियम 110 रैंडम उत्तेजना के साथ 3-सेल ऑटोमेटन के लिए संभावनाएं बताता है
|p<sub>0</sub>
|p<sub>0</sub>
|p<sub>1</sub>
|p<sub>1</sub>
Line 103: Line 100:
|{{sfrac|4|17}}
|{{sfrac|4|17}}
|}
|}
सूचना एन्ट्रापी और जटिलता की गणना राज्य संभावनाओं से की जा सकती है:
इनफार्मेशन एन्ट्रापी और काम्प्लेक्स की गणना अवस्था संभावनाओं से की जा सकती है:


: <math>\Eta = - \sum_{i=0}^7 p_i \log_2 p_i = 2.86 \text{ bits},</math>
: <math>\Eta = - \sum_{i=0}^7 p_i \log_2 p_i = 2.86 \text{ bits},</math>
: <math>\sigma_I = \sqrt{\sum_{i=0}^7 p_i \log_2^2 p_i - \Eta^2} = 0.56 \text{ bits}.</math>
: <math>\sigma_I = \sqrt{\sum_{i=0}^7 p_i \log_2^2 p_i - \Eta^2} = 0.56 \text{ bits}.</math>
ध्यान दें कि आठ राज्यों के लिए अधिकतम संभव एन्ट्रापी है <math>\log_2 8 = 3 \text{ bits},</math> जो कि स्थिति होगी यदि सभी आठ राज्य ⅛ (यादृच्छिकता) की संभावनाओं के साथ समान रूप से संभावित हों। इस प्रकार नियम 110 में 2.86 बिट्स पर अपेक्षाकृत उच्च एन्ट्रापी या राज्य उपयोग है। लेकिन यह एन्ट्रापी के बारे में राज्य की जानकारी में पर्याप्त उतार-चढ़ाव और इस प्रकार जटिलता के पर्याप्त मूल्य को नहीं रोकता है। जबकि, अधिकतम एन्ट्रापी जटिलता को दूर कर देगी।
ध्यान दें कि आठ अवस्थाओं के लिए अधिकतम संभव एन्ट्रापी <math>\log_2 8 = 3 \text{ bits},</math> है यही स्थिति होगी यदि सभी आठ अवस्थाओं में ⅛ (रैंडम) की संभावनाओं के साथ समान संभावना हो। इस प्रकार नियम 110 में 2.86 बिट्स पर अपेक्षाकृत उच्च एन्ट्रापी का उपयोग हो। किंतु यह एन्ट्रापी के बारे में अवस्था की जानकारी में पर्याप्त फ्लक्चुएशन और इस प्रकार काम्प्लेक्स से पर्याप्त मान को नहीं रोकता है। जबकि, अधिकतम एन्ट्रापी समष्टिता को दूर कर देगी।


जब ऊपर उपयोग की गई विश्लेषणात्मक विधि अव्यवहार्य हो तो राज्य की संभावनाओं को प्राप्त करने के लिए एक वैकल्पिक विधि का उपयोग किया जा सकता है। बस कई पीढ़ियों के लिए एक यादृच्छिक स्रोत के साथ सिस्टम को उसके इनपुट (ड्राइवर सेल) पर चलाएं और अनुभवजन्य रूप से राज्य की संभावनाओं का निरीक्षण करें। जब यह 10 मिलियन पीढ़ियों तक कंप्यूटर सिमुलेशन के माध्यम से किया जाता है तो परिणाम इस प्रकार हैं:<ref>{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/publication/340284677|title=Measuring complexity using information fluctuation: a tutorial|last=Bates|first=John E.|date=2020-03-30|website=Research Gate}}</ref>
जब ऊपर उपयोग की गई विश्लेषणात्मक विधि अव्यवहार्य हो तब अवस्था की संभावनाओं को प्राप्त करने के लिए वैकल्पिक विधि का उपयोग किया जा सकता है। अनेक पीढ़ियों के लिए रैंडम सोर्स के साथ प्रणाली को उसके इनपुट (ड्राइवर सेल) पर चलाएं और अनुभवजन्य रूप से अवस्था की संभावनाओं का निरीक्षण किया जाता है। जब यह 10 मिलियन पीढ़ियों तक कंप्यूटर सिमुलेशन के माध्यम से किया जाता है तब परिणाम इस प्रकार हैं:<ref>{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/publication/340284677|title=Measuring complexity using information fluctuation: a tutorial|last=Bates|first=John E.|date=2020-03-30|website=Research Gate}}</ref>


{| class="wikitable" style="width: 600px; margin: auto; text-align: center"
{| class="wikitable" style="width: 600px; margin: auto; text-align: center"
|+Information variables for the rule 110 elementary cellular automaton
|+नियम 110 प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन के लिए इनफार्मेशन वेरिएबल्स
!number of cells
!सेल्स की संख्या
!3
!3
!4
!4
Line 126: Line 123:
!13
!13
|-
|-
!<math>\Eta</math> (bits)
!<math>\Eta</math> (बिट्स)
|2.86
|2.86
|3.81
|3.81
Line 139: Line 136:
|11.78
|11.78
|-
|-
!<math>\sigma_I</math>(bits)
!<math>\sigma_I</math>(बिट्स)
|0.56
|0.56
|0.65
|0.65
Line 165: Line 162:
|0.10
|0.10
|}
|}
चूंकि दोनों <math>\Eta</math> और <math>\sigma_I</math> सिस्टम आकार के साथ उनके आयाम रहित अनुपात में वृद्धि होती है <math>\sigma_I/\Eta</math>, सापेक्ष सूचना उतार-चढ़ाव जटिलता, विभिन्न आकारों की प्रणालियों की बेहतर तुलना करने के लिए शामिल है। ध्यान दें कि अनुभवजन्य और विश्लेषणात्मक परिणाम 3-सेल ऑटोमेटन के लिए सहमत हैं।
चूंकि दोनों <math>\Eta</math> और <math>\sigma_I</math> आकार के साथ बढ़ता है, उनका आयाम रहित अनुपात <math>\sigma_I/\Eta</math> विभिन्न आकारों की प्रणालियों की उत्तम तुलना करने के लिए सापेक्ष इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी को सम्मिलित किया गया है। ध्यान दें कि अनुभवजन्य और विश्लेषणात्मक परिणाम 3-सेल ऑटोमेटन के लिए सहमत हैं।


बेट्स और शेपर्ड के पेपर में,<ref name=":0" /> <math>\sigma_I</math> सभी प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन नियमों के लिए गणना की गई है और यह देखा गया है कि जो धीमी गति से चलने वाले ग्लाइडर और संभवतः स्थिर वस्तुओं को प्रदर्शित करते हैं, जैसा कि नियम 110 करता है, बड़े मूल्यों के साथ अत्यधिक सहसंबद्ध हैं <math>\sigma_I</math>. <math>\sigma_I</math> इसलिए इसे सार्वभौमिक गणना के लिए उम्मीदवार नियमों का चयन करने के लिए एक फिल्टर के रूप में उपयोग किया जा सकता है, जिसे साबित करना कठिन है।
इस प्रकार बेट्स और शेपर्ड के पेपर में,<ref name=":0" /> <math>\sigma_I</math> की गणना सभी प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन नियमों के लिए की जाती है और यह देखा गया है कि जो धीमी गति से चलने वाले ग्लाइडर और संभवतः स्थिर वस्तुओं को प्रदर्शित करते हैं, जैसा कि नियम 110 करता है, बड़े मानों के साथ अत्यधिक <math>\sigma_I</math> सहसंबद्ध हैं। <math>\sigma_I</math> इसलिए इसे सार्वभौमिक गणना के लिए उम्मीदवार नियमों का चयन करने के लिए फिल्टर के रूप में उपयोग किया जा सकता है, जिसे सिद्ध करना कठिन है।


== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==
यद्यपि सूचना उतार-चढ़ाव जटिलता सूत्र की व्युत्पत्ति एक गतिशील प्रणाली में सूचना के उतार-चढ़ाव पर आधारित है, सूत्र केवल राज्य संभावनाओं पर निर्भर करता है और इसलिए यह किसी भी संभाव्यता वितरण पर भी लागू होता है, जिसमें स्थिर छवियों या पाठ से प्राप्त वितरण भी शामिल है।
यद्यपि इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी सूत्र की व्युत्पत्ति डायनामिक प्रणाली में इनफार्मेशन के फ्लक्चुएशन पर आधारित है, सूत्र केवल अवस्था संभावनाओं पर निर्भर करता है और इसलिए यह किसी भी संभाव्यता वितरण पर भी प्रारम्भ होता है, जिसमें स्थैतिक इमेजेज या टेक्स्ट से प्राप्त वितरण भी सम्मिलित है।
 
वर्षों से मूल पेपर<ref name=":0" />कई विविध क्षेत्रों में शोधकर्ताओं द्वारा [https://scholar.google.com/scholar?cites=18239232465073627536&as_sdt=2005&sciodt=0,5&hl=en संदर्भित] किया गया है: जटिलता सिद्धांत,<ref>{{Cite journal|last=Atmanspacher|first=Harald|date=September 1997|title=कार्टेशियन कट, हाइजेनबर्ग कट, और जटिलता की अवधारणा|journal=World Futures|language=en|volume=49|issue=3–4|pages=333–355|doi=10.1080/02604027.1997.9972639|issn=0260-4027}}</ref> जटिल प्रणाली विज्ञान,<ref>{{Citation|last=Shalizi|first=Cosma Rohilla|title=Methods and Techniques of Complex Systems Science: An Overview|date=2006|work=Complex Systems Science in Biomedicine|pages=33–114|editor-last=Deisboeck|editor-first=Thomas S.|series=Topics in Biomedical Engineering International Book Series|publisher=Springer US|language=en|doi=10.1007/978-0-387-33532-2_2|arxiv=nlin/0307015|isbn=978-0-387-33532-2|s2cid=11972113|editor2-last=Kresh|editor2-first=J. 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A review of concepts|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022169405001769|journal=Journal of Hydrology|language=en|volume=314|issue=1|pages=275–288|doi=10.1016/j.jhydrol.2005.04.003|bibcode=2005JHyd..314..275L|issn=0022-1694}}</ref> मृदा जल प्रवाह,<ref>{{Cite journal|last1=Pachepsky|first1=Yakov|last2=Guber|first2=Andrey|last3=Jacques|first3=Diederik|last4=Simunek|first4=Jiri|last5=Van Genuchten|first5=Marthinus Th.|last6=Nicholson|first6=Thomas|last7=Cady|first7=Ralph|date=2006-10-01|title=सिम्युलेटेड मृदा जल प्रवाह की सूचना सामग्री और जटिलता|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0016706106000504|journal=Geoderma|series=Fractal Geometry Applied to Soil and Related Hierarchical Systems - Fractals, Complexity and Heterogeneity|language=en|volume=134|issue=3|pages=253–266|doi=10.1016/j.geoderma.2006.03.003|bibcode=2006Geode.134..253P|issn=0016-7061}}</ref> मिट्टी की नमी,<ref>{{Cite journal|last1=Kumar|first1=Sujay V.|last2=Dirmeyer|first2=Paul 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Policy|language=en|volume=45|pages=144–150|doi=10.1016/j.resourpol.2015.03.011|bibcode=2015RePol..45..144H |issn=0301-4207}}</ref> और बिजली<ref>{{Cite journal|last1=He|first1=Kaijian|last2=Xu|first2=Yang|last3=Zou|first3=Yingchao|last4=Tang|first4=Ling|date=2015-05-01|title=कर्वलेट डीनोइज़िंग आधारित दृष्टिकोण का उपयोग करके बिजली की कीमत का पूर्वानुमान|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S037843711500014X|journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications|language=en|volume=425|pages=1–9|doi=10.1016/j.physa.2015.01.012|issn=0378-4371}}</ref> कीमतें, स्वास्थ्य सूचना विज्ञान,<ref>{{Citation|last=Ahmed|first=Mosabber Uddin|title=Complexity Analysis in Health Informatics|date=2021|url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-54932-9_4|work=Signal Processing Techniques for Computational Health Informatics|pages=103–121|editor-last=Ahad|editor-first=Md Atiqur Rahman|series=Intelligent Systems Reference Library|volume=192|place=Cham|publisher=Springer International 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इस प्रकार वर्षों से मूल पेपर<ref name=":0" />अनेक विविध क्षेत्रों में शोधकर्ताओं द्वारा [https://scholar.google.com/scholar?cites=18239232465073627536&as_sdt=2005&sciodt=0,5&hl=en संदर्भित] किया गया है: कोम्प्लेक्सिटी सिद्धांत,<ref>{{Cite journal|last=Atmanspacher|first=Harald|date=September 1997|title=कार्टेशियन कट, हाइजेनबर्ग कट, और जटिलता की अवधारणा|journal=World Futures|language=en|volume=49|issue=3–4|pages=333–355|doi=10.1080/02604027.1997.9972639|issn=0260-4027}}</ref> काम्प्लेक्स प्रणाली विज्ञान,<ref>{{Citation|last=Shalizi|first=Cosma Rohilla|title=Methods and Techniques of Complex Systems Science: An Overview|date=2006|work=Complex Systems Science in Biomedicine|pages=33–114|editor-last=Deisboeck|editor-first=Thomas S.|series=Topics in Biomedical Engineering International Book Series|publisher=Springer US|language=en|doi=10.1007/978-0-387-33532-2_2|arxiv=nlin/0307015|isbn=978-0-387-33532-2|s2cid=11972113|editor2-last=Kresh|editor2-first=J. 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== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
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सूचना में अस्थिरता जटिलता (इनफार्मेशन में फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी) एक सूचना-सैद्धांतिक मात्रा है जिसे एन्ट्रॉपी (इनफार्मेशन सिद्धांत) के बारे में जानकारी के फ्लक्चुएशन के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार यह डायनामिक प्रणाली में व्यवस्था और चाओस की प्रबलता में फ्लक्चुएशन से व्युत्पन्न है और इसका उपयोग अनेक विविध क्षेत्रों में कोम्प्लेक्सिटी के माप के रूप में किया गया है। इसे बेट्स और शेपर्ड द्वारा सत्र 1993 के पेपर में प्रस्तुत किया गया था।[1]

परिभाषा

असतत डायनामिक प्रणाली की इनफार्मेशन में फ्लक्चुएशन की कोम्प्लेक्सिटी स्तिथि की संभाव्यता वितरण का कार्य है जब यह रैंडम बाहरी इनपुट डेटा के अधीन होता है। इस प्रकार प्रणाली को समृद्ध इनफार्मेशन सोर्स जैसे कि रैंडम संख्या जनरेटर या वाइट नॉइज़ सिग्नल के साथ चलाने का उद्देश्य प्रणाली की आंतरिक डायनामिक का परीक्षण करना है, जैसे सिग्नल प्रोसेसिंग में आवृत्ति-समृद्ध आवेग का उपयोग किया जाता है।

यदि कोई प्रणाली है संभावित अवस्था ज्ञात हैं, तब इसकी इनफार्मेशन एन्ट्रापी है:

जहाँ अवस्था की इनफार्मेशन सामग्री है।

प्रणाली की इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी को मानक विचलन या फ्लक्चुएशन के रूप में परिभाषित किया गया है माध्य के बारे में इस प्रकार है:

या

इस प्रकार स्थिति की जानकारी में फ्लक्चुएशन सभी के साथ अधिकतम अव्यवस्थित प्रणाली में शून्य है प्रणाली अपने रैंडम इनपुट को कॉपी करता है। इस प्रकार जब प्रणाली केवल निश्चित स्थिति के साथ सम्पूर्ण रूप से व्यवस्थित होता है, तब भी शून्य होता है , इनपुट को ध्यान किए बिना इन दो शीर्ष सीमाओं के मध्य उच्च-संभावना वाली अवस्था और निम्न-संभावना वाली अवस्था के मिश्रण के साथ स्थान को संपन्न करने वाला अशून्य है।

इनफार्मेशन की फ्लक्चुएशन मेमोरी और गणना की अनुमति देता है

जैसे-जैसे काम्प्लेक्स डायनामिक प्रणाली समय के साथ विकसित होती है, यह अवस्था के मध्य कैसे परिवर्तन करती है यह अनियमित विधियों से बाहरी उत्तेजनाओं पर निर्भर करता है। कभी-कभी यह बाहरी उत्तेजनाओं के प्रति अधिक संवेदनशील (अस्थिर) हो सकता है और कभी-कभी कम संवेदनशील (स्थिर) हो सकता है। इस प्रकार यदि किसी विशेष स्तिथि में अनेक संभावित स्तिथि हैं, तब बाहरी जानकारी यह निर्धारित करती है कि कौन सा अगला होगा और प्रणाली स्थान में विशेष प्रक्षेपवक्र का पालन करके उस जानकारी को प्राप्त करता है। किंतु यदि अनेक भिन्न-भिन्न स्थितियां एक ही अवस्था की ओर ले जाते हैं, तब नेक्स्ट स्तिथि में प्रवेश करने पर प्रणाली यह जानकारी विलुप्त कर देता है कि कौन सी स्तिथि उससे पहले आई थी। इस प्रकार, काम्प्लेक्स प्रणाली समय के साथ विकसित होने पर समय-समय से इनफार्मेशन लाभ और हानि प्रदर्शित करती है। इनफार्मेशन का परिवर्तन या फ्लक्चुएशन याद रखने और भूलने के समान है।

स्थितियों के मध्य ट्रांजीशन से जुड़ी जानकारी का लाभ या हानि अवस्था की जानकारी से संबंधित हो सकती है। इस प्रकार अवस्था से ट्रांजीशन का इनफार्मेशन लाभ , स्तिथि छोड़ते समय प्राप्त की गई जानकारी है अवस्था में प्रवेश करते समय विलुप्त हुई जानकारी कम होगी:

यहाँ यदि वर्तमान स्थिति है तब आगे की सशर्त संभावना है फिर अगली स्थिति है विपरीत सशर्त संभावना और है यदि वर्तमान स्थिति है तब पूर्व स्थिति थी, सशर्त संभावनाएँ ट्रांजीशन संभावना से संबंधित हैं , स्थिति संभावना का कहना है कि स्थिति द्वारा ट्रांजीशन होता है:

सशर्त संभावनाओं को समाप्त करना:

इसलिए ट्रांजीशन के परिणामस्वरूप प्रणाली द्वारा प्राप्त शुद्ध जानकारी केवल प्रारंभिक से अंतिम स्थिति तक जानकारी में वृद्धि पर निर्भर करती है। यह दिखाया जा सकता है कि यह निरंतर अनेक परिवर्तन के लिए भी सत्य है।[1]

इस प्रकार बल और संभावित ऊर्जा के मध्य संबंध है किसी क्षमता से व्युत्पन्न और बल के जैसे है में बाहरी जानकारी मेमोरी स्टोरेज को पूर्ण करने के लिए प्रणाली को उच्च इनफार्मेशन क्षमता की स्थिति में "ऊपर की ओर" पुश करती है, ठीक उसी प्रकार जैसे किसी द्रव्यमान को उच्च गुरुत्वाकर्षण क्षमता की स्थिति में ऊपर की ओर पुश करना ऊर्जा को संग्रहीत करता है। इस प्रकार ऊर्जा स्टोरेज की मात्रा केवल अंतिम ऊंचाई पर निर्भर करती है, पहाड़ी के मार्ग पर नहीं पर निर्भर करती है। इसी प्रकार, इनफार्मेशन स्टोरेज की मात्रा स्थिति स्थान में दो स्थिति के मध्य ट्रांजीशन पथ पर निर्भर नहीं करती है। जब कोई प्रणाली उच्च इनफार्मेशन क्षमता वाली दुर्लभ स्थिति में पहुंच जाता है, तब यह पहले से संग्रहीत जानकारी विलुप्त करके अधिक सामान्य स्थिति में आ सकता है।

इस प्रकार मानक विचलन असतत रैंडम चर की गणना करना उपयोगी हो सकता है, इसके माध्य के बारे में (जो शून्य है), अर्थात् शुद्ध इनफार्मेशन लाभ की फ्लक्चुएशन ,[1] किंतु अवस्था स्थान में बहु-ट्रांजीशन मेमोरी लूप को ध्यान में रखता है और इसलिए यह प्रणाली की कम्प्यूटेशनल शक्ति का उत्तम संकेतक होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, गणना करना सरल है क्योंकि अवस्था की तुलना में अनेक अधिक ट्रांजीशन हो सकते हैं।

अराजकता और व्यवस्था

डायनामिक प्रणाली जो बाहरी जानकारी के प्रति संवेदनशील है (अस्थिर) अराजकता सिद्धांत व्यवहार प्रदर्शित करती है जबकि बाहरी जानकारी के प्रति असंवेदनशील है (स्थिर) व्यवस्थित व्यवहार प्रदर्शित करती है। काम्प्लेक्स प्रणाली दोनों व्यवहार प्रदर्शित करते है, समृद्ध इनफार्मेशन सोर्स के अधीन होने पर डायनामिक संतुलन में उनके मध्य फ्लक्चुएशन होता है। इस प्रकार फ्लक्चुएशन की डिग्री की मात्रा निर्धारित की जाती है ; समय के साथ विकसित होने पर काम्प्लेक्स प्रणाली में अराजकता और व्यवस्था की प्रबलता में परिवर्तन करता है।

उदाहरण: प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन का नियम 110 संस्करण

प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन का नियम 110 संस्करण सार्वभौमिक गणना में सक्षम सिद्ध हुआ है। इस प्रकार प्रमाण ग्लाइडर या स्पेसशिप के रूप में जाने जाने वाले एकजुट और स्वयं-स्थायी सेल पैटर्न के अस्तित्व और इंटरैक्शन पर आधारित है, जो आकस्मिक घटना है, जो ऑटोमेटन सेल्स के ग्रुपों की यह याद रखने की क्षमता का संकेत देता है कि ग्लाइडर उनके मध्य से निकल रहा है। इसलिए यह आशा की जाती है कि इनफार्मेशन लाभ और हानि, फ्लक्चुएशन और अवस्था, चाओस और व्यवस्था के विकल्पों के परिणामस्वरूप अवस्था स्थान में मेमोरी लूप होंगे।

इस प्रकार आसन्न ऑटोमेटन सेल्स के 3-सेल ग्रुप पर विचार किया जाता है, जो नियम 110 अंत-केंद्र-अंत का पालन करते हैं: सेण्टर सेल की अगली स्थिति स्वयं की वर्तमान स्थिति और नियम द्वारा निर्दिष्ट अंतिम सेल्स पर निर्भर करती है:

प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन नियम 110
3-सेल ग्रुप 1-1-1 1-1-0 1-0-1 1-0-0 0-1-1 0-1-0 0-0-1 0-0-0
नेक्स्ट सेण्टर सेल 0 1 1 0 1 1 1 0

इस प्रणाली की इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी की गणना करने के लिए, 3-सेल ग्रुप के प्रत्येक एंड पर ड्राइवर सेल संलग्न किया जाता है, जिससे ड्राइवर→अंत-केंद्र-अंत←ड्राइवर रैंडम बाहरी उत्तेजना प्रदान की जा सके, जिससे नियम को दो अंतिम सेल्स पर प्रारम्भ किया जा सके। आगे की सशर्त संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए, आगे निर्धारित करें कि प्रत्येक संभावित वर्तमान स्थिति के लिए और ड्राइवर सेल सामग्री के प्रत्येक संभावित संयोजन के लिए अगली स्थिति क्या है।

इस प्रणाली का स्तिथि आरेख नीचे दर्शाया गया है, जिसमें वृत्त स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं और एरो स्थितियों के मध्य ट्रांजीशन का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रणाली की आठ अवस्थाएँ, 1-1-1 को 0-0-0 को 3-सेल ग्रुप की 3-बिट सामग्री के ऑक्टल समकक्ष के साथ लेबल किया गया है: 7 से 0 ट्रांजीशन एरो को आगे की सशर्त संभावनाओं के साथ लेबल किया गया है। ध्यान दें कि चाओस और व्यवस्था, संवेदनशीलता और असंवेदनशीलता, ड्राईवर सेल से बाहरी जानकारी के लाभ और हानि में परिवर्तनशीलता के अनुरूप एरो के विचलन और अभिसरण में परिवर्तनशीलता है।

नियम 110 प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन के लिए 3-सेल स्तिथि आरेख रैंडम उत्तेजना के साथ आगे की सशर्त ट्रांजीशन संभावनाओं को दर्शाता है।

इस प्रकार आगे की सशर्त संभावनाएं संभावित ड्राइवर सेल सामग्री के अनुपात से निर्धारित होती हैं जो विशेष ट्रांजीशन को चलाती हैं। उदाहरण के लिए, दो ड्राइवर सेल सामग्री के चार संभावित संयोजनों के लिए, स्थिति 7 स्थिति 5, 4, 1 और 0 की ओर ले जाती है इसलिए , , , और प्रत्येक ¼ या 25% हैं। इसी प्रकार, अवस्था 0 अवस्था 0, 1, 0 और 1 की ओर ले जाती है और प्रत्येक ½ या 50% हैं। इत्यादि।

अवस्था की संभावनाएँ इससे संबंधित हैं

और

इन रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को अवस्था संभावनाओं के लिए मैन्युअल रूप से या कंप्यूटर प्रोग्राम की सहायता से निम्नलिखित परिणामों के साथ समाधान किया जा सकता है:

नियम 110 रैंडम उत्तेजना के साथ 3-सेल ऑटोमेटन के लिए संभावनाएं बताता है
p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7
2/17 2/17 1/34 5/34 2/17 2/17 2/17 4/17

इनफार्मेशन एन्ट्रापी और काम्प्लेक्स की गणना अवस्था संभावनाओं से की जा सकती है:

ध्यान दें कि आठ अवस्थाओं के लिए अधिकतम संभव एन्ट्रापी है यही स्थिति होगी यदि सभी आठ अवस्थाओं में ⅛ (रैंडम) की संभावनाओं के साथ समान संभावना हो। इस प्रकार नियम 110 में 2.86 बिट्स पर अपेक्षाकृत उच्च एन्ट्रापी का उपयोग हो। किंतु यह एन्ट्रापी के बारे में अवस्था की जानकारी में पर्याप्त फ्लक्चुएशन और इस प्रकार काम्प्लेक्स से पर्याप्त मान को नहीं रोकता है। जबकि, अधिकतम एन्ट्रापी समष्टिता को दूर कर देगी।

जब ऊपर उपयोग की गई विश्लेषणात्मक विधि अव्यवहार्य हो तब अवस्था की संभावनाओं को प्राप्त करने के लिए वैकल्पिक विधि का उपयोग किया जा सकता है। अनेक पीढ़ियों के लिए रैंडम सोर्स के साथ प्रणाली को उसके इनपुट (ड्राइवर सेल) पर चलाएं और अनुभवजन्य रूप से अवस्था की संभावनाओं का निरीक्षण किया जाता है। जब यह 10 मिलियन पीढ़ियों तक कंप्यूटर सिमुलेशन के माध्यम से किया जाता है तब परिणाम इस प्रकार हैं:[2]

नियम 110 प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन के लिए इनफार्मेशन वेरिएबल्स
सेल्स की संख्या 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
(बिट्स) 2.86 3.81 4.73 5.66 6.56 7.47 8.34 9.25 10.09 10.97 11.78
(बिट्स) 0.56 0.65 0.72 0.73 0.79 0.81 0.89 0.90 1.00 1.01 1.15
0.20 0.17 0.15 0.13 0.12 0.11 0.11 0.10 0.10 0.09 0.10

चूंकि दोनों और आकार के साथ बढ़ता है, उनका आयाम रहित अनुपात विभिन्न आकारों की प्रणालियों की उत्तम तुलना करने के लिए सापेक्ष इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी को सम्मिलित किया गया है। ध्यान दें कि अनुभवजन्य और विश्लेषणात्मक परिणाम 3-सेल ऑटोमेटन के लिए सहमत हैं।

इस प्रकार बेट्स और शेपर्ड के पेपर में,[1] की गणना सभी प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन नियमों के लिए की जाती है और यह देखा गया है कि जो धीमी गति से चलने वाले ग्लाइडर और संभवतः स्थिर वस्तुओं को प्रदर्शित करते हैं, जैसा कि नियम 110 करता है, बड़े मानों के साथ अत्यधिक सहसंबद्ध हैं। इसलिए इसे सार्वभौमिक गणना के लिए उम्मीदवार नियमों का चयन करने के लिए फिल्टर के रूप में उपयोग किया जा सकता है, जिसे सिद्ध करना कठिन है।

अनुप्रयोग

यद्यपि इनफार्मेशन फ्लक्चुएशन कोम्प्लेक्सिटी सूत्र की व्युत्पत्ति डायनामिक प्रणाली में इनफार्मेशन के फ्लक्चुएशन पर आधारित है, सूत्र केवल अवस्था संभावनाओं पर निर्भर करता है और इसलिए यह किसी भी संभाव्यता वितरण पर भी प्रारम्भ होता है, जिसमें स्थैतिक इमेजेज या टेक्स्ट से प्राप्त वितरण भी सम्मिलित है।

इस प्रकार वर्षों से मूल पेपर[1]अनेक विविध क्षेत्रों में शोधकर्ताओं द्वारा संदर्भित किया गया है: कोम्प्लेक्सिटी सिद्धांत,[3] काम्प्लेक्स प्रणाली विज्ञान,[4] काम्प्लेक्स नेटवर्क,[5] चाओटिस डायनामिक,[6] अनेक-निकाय स्थानीयकरण इंटेंगलेमेंट,[7] पर्यावरणीय इंजीनियरिंग,[8] एकोसिस्टमकोम्प्लेक्सिटी,[9] पारिस्थितिक समय-श्रृंखला विश्लेषण,[10] एकोप्रणाली सस्टेनेबिलिटी,[11] वायु[12] और पानी[13] प्रदूषण, जलवैज्ञानिक तरंगिका विश्लेषण,[14] मृदा जल प्रवाह,[15] मिट्टी की नमी,[16] हेडवाटर अपवाह,[17] भूजल की गहराई,[18] हवाई यातायात नियंत्रण,[19] प्रवाह पैटर्न[20] और बाढ़ की घटनाएँ,[21] टोपोलॉजी,[22] अर्थशास्त्र,[23] धातु का बाजार पूर्वानुमान[24] और विद्युत[25] कास्ट्स, स्वास्थ्य इनफार्मेशन विज्ञान,[26] मानव संज्ञान,[27] मानव गाइट कीनेमेटिक्स,[28] न्यूरोलॉजी ,[29] ईईजी विश्लेषण,[30] शिक्षा,[31] निवेश,[32] कृत्रिम जीवन[33] और सौंदर्यशास्त्र आदि।[34]

संदर्भ

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