क्वांटम गुरुत्व में स्पर्शोन्मुख सुरक्षा

स्पर्शोन्मुख सुरक्षा का सार यह अवलोकन है कि गैर-तुच्छ पुनर्सामान्यीकरण समूह के निश्चित बिंदुओं का उपयोग पुनर्सामान्यीकरण की प्रक्रिया को सामान्य बनाने के लिए किया जा सकता है। स्पर्शोन्मुख रूप से सुरक्षित सिद्धांत में युग्मन स्थिरांक को छोटा होने या उच्च ऊर्जा सीमा में शून्य होने की आवश्यकता नहीं है, किन्तु परिमित मूल्यों की ओर प्रवृत्त होते हैं: वे गैर-तुच्छ यूवी निश्चित बिंदु तक पहुंचते हैं। युग्मन स्थिरांक का संचालन, अथार्त पुनर्सामान्यीकरण समूह (आरजी) द्वारा वर्णित उनकी स्केल निर्भरता, इस अर्थ में इसकी यूवी सीमा में विशेष है कि उनके सभी आयाम रहित संयोजन सीमित रहते हैं। यह अभौतिक विचलनों से बचने के लिए पर्याप्त है, उदा. एस आव्यूह में यूवी निश्चित बिंदु की आवश्यकता क्रिया (भौतिकी) के रूप और मात्र युग्मन स्थिरांक के मूल्यों को प्रतिबंधित करती है, जो इनपुट के अतिरिक्त स्पर्शोन्मुख सुरक्षा कार्यक्रम की पूर्वानुमान बन जाती हैं।

जहां तक ​​गुरुत्वाकर्षण का प्रश्न है, जो कि न्यूटन के स्थिरांक, प्रासंगिक विस्तार पैरामीटर के पश्चात् से अस्पष्टता पुनर्सामान्यीकरण की मानक प्रक्रिया विफल हो जाती है, जिसमें ऋणात्मक मौलिक स्केलिंग आयाम होता है जो सामान्य सापेक्षता को अस्पष्टता से गैर-सामान्यीकरण योग्य बनाता है। इसने क्वांटम गुरुत्व का वर्णन करने वाले गैर-परेशान करने वाले ढांचे की खोज को प्रेरित किया है, जिसमें स्पर्शोन्मुख सुरक्षा भी सम्मिलित है – अन्य दृष्टिकोणों के विपरीत – चूँकि , इसकी विशेषता क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत विधियों का उपयोग है, जो कि परेशान करने वाली तकनीकों पर निर्भर नहीं है। वर्तमान समय में, स्पर्शोन्मुख सुरक्षा के लिए उपयुक्त निश्चित बिंदु के साक्ष्य एकत्रित हो रहे हैं, जबकि इसके अस्तित्व का कठोर प्रमाण अभी भी अभाव है।

प्रेरणा

मौलिक स्तर पर गुरुत्वाकर्षण का वर्णन आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के क्षेत्र समीकरणों, $\textstyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}\,T_{\mu \nu }$ द्वारा किया जाता है। ये समीकरण मीट्रिक $g_{\mu \nu }$ में एन्कोड किए गए स्पेसटाइम ज्यामिति को ऊर्जा-संवेग टेंसर $T_{\mu \nu }$ में सम्मिलित पदार्थ सामग्री के साथ जोड़ते हैं। पदार्थ की क्वांटम प्रकृति का प्रयोगात्मक रूप से परीक्षण किया गया है, उदाहरण के लिए क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स अब तक भौतिकी में सबसे स्पष्ट रूप से पुष्टि किए गए सिद्धांतों में से एक है। इस कारण गुरुत्वाकर्षण का परिमाणीकरण भी प्रशंसनीय लगता है। दुर्भाग्य से परिमाणीकरण मानक विधि से नहीं किया जा सकता है (परेशान पुनर्सामान्यीकरण): न्यूटन के स्थिरांक का द्रव्यमान आयाम $-2$ होने के कारण पहले से ही एक सरल शक्ति-गणना विचार परेशान गैर-असामान्यीकरण का संकेत देता है। समस्या इस प्रकार होती है. पारंपरिक दृष्टिकोण के अनुसार पुनर्सामान्यीकरण को काउंटरटर्म्स की प्रारंभ के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है जो लूप इंटीग्रल्स में दिखाई देने वाले भिन्न अभिव्यक्तियों को समाप्त कर देना चाहिए। चूँकि , इस विधि को गुरुत्वाकर्षण पर प्रयुक्त करने से, सभी विचलनों को समाप्त करने के लिए आवश्यक प्रतिशब्द अनंत संख्या में फैल जाते हैं। चूंकि यह अनिवार्य रूप से प्रयोगों में मापने के लिए असीमित संख्या में मुक्त मापदंडों की ओर ले जाता है, कम ऊर्जा प्रभावी सिद्धांत के रूप में इसके उपयोग से परे कार्यक्रम में पूर्वानुमानित शक्ति होने की संभावना नहीं है।

यह पता चला है कि सामान्य सापेक्षता के परिमाणीकरण में पहला विचलन, जिसे निरंतर काउंटरटर्म में अवशोषित नहीं किया जा सकता है (अथार्त नए मापदंडों को प्रस्तुत करने की आवश्यकता के बिना) पहले से ही पदार्थ क्षेत्रों की उपस्थिति में एक-लूप स्तर पर दिखाई देते हैं। दो-लूप स्तर पर शुद्ध गुरुत्वाकर्षण में भी समस्याग्रस्त विचलन उत्पन्न होते हैं।

इस वैचारिक कठिनाई को दूर करने के लिए गैर-परेशान करने वाली तकनीकों के विकास की आवश्यकता थी, जो विभिन्न क्वांटम गुरुत्व या उम्मीदवार सिद्धांत प्रदान करते थे।

लंबे समय से प्रचलित दृष्टिकोण यही रहा है कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की अवधारणा ही है – चूँकि अन्य मूलभूत अंतःक्रियाओं के स्थिति में उल्लेखनीय रूप से सफल रहा – गुरुत्वाकर्षण के लिए विफलता के लिए अभिशप्त है। इसके विपरीत, स्पर्शोन्मुख सुरक्षा का विचार क्वांटम क्षेत्रों को सैद्धांतिक क्षेत्र के रूप में बनाए रखता है और इसके अतिरिक्त केवल अस्पष्टता पुनर्सामान्यीकरण के पारंपरिक कार्यक्रम को छोड़ देता है।

स्पर्शोन्मुख सुरक्षा का इतिहास

गुरुत्वाकर्षण की विक्षुब्ध गैर-असामान्यीकरण क्षमता का अनुभव होने के पश्चात् , भौतिकविदों ने विचलन समस्या को ठीक करने के लिए वैकल्पिक तकनीकों को नियोजित करने का प्रयास किया था, उदाहरण के लिए उपयुक्त पदार्थ क्षेत्रों और समरूपता के साथ पुनर्मूल्यांकन या विस्तारित सिद्धांत, जो सभी अपनी कमियों के साथ आते हैं। जो कि 1976 में, स्टीवन वेनबर्ग ने गुरुत्वाकर्षण के लिए अंतर्निहित पुनर्सामान्यीकरण समूह (आरजी) प्रवाह के गैर-तुच्छ निश्चित बिंदु के आधार पर, पुनर्सामान्यीकरण की स्थिति का सामान्यीकृत संस्करण प्रस्तावित किया। इसे स्पर्शोन्मुख सुरक्षा कहा गया। पुनर्सामान्यीकरण समूहों के गैर-तुच्छ निश्चित बिंदु के माध्यम से यूवी पूर्णता का विचार पहले केनेथ जी. विल्सन और जियोर्जियो पेरिसि द्वारा अदिश क्षेत्र सिद्धांत में प्रस्तावित किया गया था। (क्वांटम तुच्छता भी देखें)। विक्षुब्ध रूप से गैर-असामान्यीकरणीय सिद्धांतों की प्रयोज्यता को सबसे पहले गैर-रेखीय सिग्मा मॉडल और ग्रॉस-नेवू मॉडल के एक प्रकार के लिए स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया गया था।

जहां तक गुरुत्वाकर्षण का सवाल है, इस नई अवधारणा से संबंधित पहला अध्ययन सत्तर के दशक के अंत में $d=2+\epsilon$ स्पेसटाइम आयामों में किया गया था। ठीक दो आयामों में शुद्ध गुरुत्वाकर्षण का एक सिद्धांत है जो पुराने दृष्टिकोण के अनुसार पुनर्सामान्यीकरण योग्य है। (आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया को $\textstyle {1 \over 16\pi G}\int \mathrm {d} ^{2}x{\sqrt {g}}\,R$ आयाम रहित प्रस्तुत करने के लिए, न्यूटन के स्थिरांक $G$ का द्रव्यमान आयाम शून्य होना चाहिए।) छोटे किन्तु परिमित $\epsilon$ अस्पष्ट सिद्धांत अभी भी प्रयुक्त है, और कोई बीटा-फ़ंक्शन $\beta$ का वर्णन करके विस्तार कर सकता है न्यूटन के स्थिरांक को $\epsilon$ में एक शक्ति श्रृंखला के रूप में चलाने वाला पुनर्सामान्यीकरण समूह। वास्तव में , इस भावना में यह सिद्ध करना संभव था कि यह एक गैर-तुच्छ निश्चित बिंदु प्रदर्शित करता है।

चूँकि , यह स्पष्ट नहीं था कि $d=2+\epsilon$ से $d=4$ आयामों तक निरंतरता कैसे की जाए क्योंकि गणना विस्तार पैरामीटर $\epsilon$ की लघुता पर निर्भर थी। इस समय तक गैर-परेशान उपचार के लिए कम्प्यूटेशनल विधि उपलब्ध नहीं थे। इस कारण से क्वांटम गुरुत्व में स्पर्शोन्मुख सुरक्षा के विचार को कुछ वर्षों के लिए अलग रखा गया था। केवल 90 के दशक की प्रारंभ में, विभिन्न कार्यों में $2+\epsilon$ आयामी गुरुत्वाकर्षण के पहलुओं को संशोधित किया गया है, किन्तु अभी भी आयाम को चार तक जारी नहीं रखा गया है।

अस्पष्टता सिद्धांत से परे गणना के लिए, नए कार्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण समूह विधियों के आगमन के साथ स्थिति में सुधार हुआ, विशेष रूप से तथाकथित प्रभावी औसत कार्रवाई (प्रभावी कार्रवाई का मापदंड पर निर्भर संस्करण)। अदिश सिद्धांतों के लिए क्रिस्टोफ़ वेटेरिच और टी. मॉरिस द्वारा 1993 में प्रस्तुत किया गया, और सामान्य गेज सिद्धांत के लिए मार्टिन रॉयटर और क्रिस्टोफ़ वेटेरिच द्वारा (समतल यूक्लिडियन स्थान पर), यह पुनर्सामान्यीकरण समूह के समान है या स्पष्ट पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण (मोटे दाने वाली मुक्त ऊर्जा)और यद्यपि यह तर्क दिया जाता है कि गहरे स्तर पर भिन्नता है, यह वास्तव में लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म से संबंधित है। इस कार्यात्मक की कटऑफ (भौतिकी) मापदंड पर निर्भरता कार्यात्मक प्रवाह समीकरण द्वारा नियंत्रित होती है, जो पहले के प्रयासों के विपरीत, स्थानीय गेज समरूपता की उपस्थिति में भी सरलता से प्रयुक्त की जा सकती है।

1996 में, मार्टिन रॉयटर ने गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए समान प्रभावी औसत क्रिया और संबंधित प्रवाह समीकरण का निर्माण किया।

1996 में, मार्टिन रॉयटर ने गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए एक समान प्रभावी औसत क्रिया और संबंधित प्रवाह समीकरण का निर्माण किया। यह पृष्ठभूमि स्वतंत्रता की आवश्यकता का अनुपालन करता है, जो क्वांटम गुरुत्व के मूलभूत सिद्धांतों में से एक है। इस कार्य को क्वांटम गुरुत्व पर स्पर्शोन्मुख सुरक्षा संबंधी अध्ययनों में एक आवश्यक सफलता माना जा सकता है क्योंकि यह इच्छित रूप से स्पेसटाइम आयामों के लिए गैर-परेशान गणना की संभावना प्रदान करता है। यह दिखाया गया कि कम से कम आइंस्टीन-हिल्बर्ट ट्रंकेशन के लिए, प्रभावी औसत कार्रवाई के लिए सबसे सरल एएनएसएटजेड, एक गैर-तुच्छ निश्चित बिंदु वास्तव में उपस्थित है।

ये परिणाम उसके पश्चात् आने वाली विभिन्न गणनाओं के लिए प्रारंभिक बिंदु को चिह्नित करते हैं। चूंकि मार्टिन रॉयटर के अग्रणी कार्य में यह स्पष्ट नहीं था कि निष्कर्ष किस सीमा तक ट्रंकेशन एनसैट्ज़ पर निर्भर थे, इसलिए अगला स्पष्ट कदम ट्रंकेशन को बड़ा करना था। यह प्रक्रिया रॉबर्टो पेरकासी और सहयोगियों द्वारा प्रारंभ की गई थी, जिसकी प्रारंभ पदार्थ क्षेत्रों को सम्मिलित करने से हुई थी।वर्तमान तक निरंतर बढ़ते समुदाय द्वारा विभिन्न अलग-अलग कार्य - जिनमें सम्मिलित हैं, जैसे, $f(R)$- और वेइल टेंसर स्क्वायर ट्रंकेशन - ने स्वतंत्र रूप से पुष्टि की है कि स्पर्शोन्मुख सुरक्षा परिदृश्य वास्तव में संभव है: अब तक अध्ययन किए गए प्रत्येक ट्रंकेशन के अंदर गैर-तुच्छ निश्चित बिंदु का अस्तित्व दिखाया गया था। चूँकि अभी भी अंतिम प्रमाण का अभाव है, किन्तु इस बात के बढ़ते प्रमाण हैं कि स्पर्शोन्मुख सुरक्षा कार्यक्रम अंततः क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के सामान्य ढांचे के अंदर गुरुत्वाकर्षण के सुसंगत और पूर्वानुमानित क्वांटम सिद्धांत को जन्म दे सकता है।

स्पर्शोन्मुख सुरक्षा: मुख्य विचार

सिद्धांत स्थान

पुनर्सामान्यीकरण समूह के प्रक्षेपवक्र सिद्धांत स्थान में प्रवाहित होते हैं, जो अनंत रूप से अनेक युग्मन स्थिरांक द्वारा पैरामीट्रिज्ड होते हैं। परंपरा के अनुसार, वेक्टर क्षेत्र के तीर (और हरे प्रक्षेपवक्र पर एक) यूवी से आईआर स्केल तक निरुपित करते हैं। क्रियाओं का समूह जो सिद्धांत स्थान के अंदर स्थित होता है और व्युत्क्रम आरजी प्रवाह के तहत निश्चित बिंदु पर खींचा जाता है (अथार्त , तीरों के विपरीत दिशा में जा रहा है) को यूवी महत्वपूर्ण सतह के रूप में जाना जाता है। एसिम्प्टोटिक सुरक्षा परिकल्पना यह है कि एक प्रक्षेपवक्र को प्रकृति में केवल तभी अनुभव किया जा सकता है जब यह यूवी महत्वपूर्ण सतह में समाहित हो, तभी इसमें एक अच्छी तरह से व्यवहार की जाने वाली उच्च ऊर्जा सीमा होती है (उदाहरण के लिए, नारंगी, नीला और मैजेंटा प्रक्षेपवक्र)। इस सतह से बाहर प्रक्षेपवक्र $k\rightarrow \infty$ के लिए सिद्धांत स्थान से बचते हैं क्योंकि वे UV में अस्वीकार्य विचलन विकसित करते हैं, जबकि निचले मापदंड पर जाते समय वे UV महत्वपूर्ण सतह तक पहुंचते हैं। इस स्थिति को हरे प्रक्षेपवक्र द्वारा दर्शाया जाता है जो सतह के ऊपर स्थित होता है और आरजी स्केल (हरे तीर के विपरीत) को बढ़ाने के लिए इससे दूर चलता है।

स्पर्शोन्मुख सुरक्षा कार्यक्रम क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत पर आधुनिक पुनर्सामान्यीकरण समूह को अपनाता है। यहां प्रारंभ में तय किए जाने वाले मूलभूत इनपुट डेटा हैं, सबसे पहले, सिद्धांत की स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) ले जाने वाले क्वांटम क्षेत्रों के प्रकार और, दूसरे, अंतर्निहित समरूपता (भौतिकी)। किसी भी विचारित सिद्धांत के लिए, ये डेटा तथाकथित सिद्धांत स्थान पर पुनर्सामान्यीकरण समूह की गतिशीलता के चरण को निर्धारित करते हैं। इसमें चयनित क्षेत्रों के आधार पर और निर्धारित समरूपता सिद्धांतों का सम्मान करते हुए सभी संभावित क्रियाएं सम्मिलित हैं। इस प्रकार इस सिद्धांत स्थान में प्रत्येक बिंदु संभावित क्रिया का प्रतिनिधित्व करता है। अधिकांशत: कोई यह सोच सकता है कि स्थान सभी उपयुक्त क्षेत्र मोनोमियल द्वारा फैला हुआ है। इस अर्थ में सिद्धांत स्थान में कोई भी क्रिया क्षेत्र मोनोमियल्स का रैखिक संयोजन है, जहां संबंधित गुणांक युग्मन स्थिरांक $\{g_{\alpha }\}$ हैं, (यहां सभी युग्मन को आयामहीन माना गया है। युग्मन को हमेशा आरजी स्केल की उपयुक्त शक्ति के साथ गुणा करके आयामहीन बनाया जा सकता है।)

पुनर्सामान्यीकरण समूह प्रवाह

पुनर्सामान्यीकरण समूह (आरजी) कम रिज़ॉल्यूशन पर जाने पर सूक्ष्म विवरणों को सुचारू करने या औसत करने के कारण भौतिक प्रणाली में परिवर्तन का वर्णन करता है। यह रुचि के कार्यों के लिए मापदंड पर निर्भरता की धारणा को सामने लाता है। इन्फिनिटेसिमल आरजी ट्रांसफॉर्मेशन क्रियाओं को आस-पास के लोगों के लिए मैप करते हैं, इस प्रकार सिद्धांत स्थान पर वेक्टर क्षेत्र को जन्म देते हैं। किसी क्रिया की स्केल निर्भरता इस क्रिया को पैरामीट्रिज़ करने वाले युग्मन स्थिरांक के क्रम में एन्कोड की गई है, जहाँ $\{g_{\alpha }\}\equiv \{g_{\alpha }(k)\}$, आरजी स्केल $k$ के साथ यह सिद्धांत स्थान (आरजी प्रक्षेपवक्र) में प्रक्षेपवक्र को जन्म देता है, जो मापदंड के संबंध में क्रिया कार्यात्मक के विकास का वर्णन करता है। प्रकृति में सभी संभावित प्रक्षेप पथों में से कौन सा साकार होता है, इसका निर्धारण माप द्वारा किया जाना है।

यूवी सीमा लेना

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण आरजी प्रक्षेपवक्र को खोजने के समान है जो इस अर्थ में असीम रूप से विस्तारित है कि क्रिया कार्यात्मक द्वारा वर्णित है $\{g_{\alpha }(k)\}$ संवेग मापदंड पैरामीटर $k$ के सभी मानों के लिए अच्छा व्यवहार किया जाता है इन्फ्रारेड सीमा $k\rightarrow 0$ और पराबैंगनी (यूवी) सीमा $k\rightarrow \infty$ सहित। स्पर्शोन्मुख सुरक्षा बाद की सीमा से निपटने का एक विधि है। इसकी मूलभूत आवश्यकता आरजी प्रवाह के यूवी निश्चित बिंदु का अस्तित्व है। परिभाषा के अनुसार यह बिंदु $\{g_{\alpha }^{*}\}$ है सिद्धांत स्थान में जहां सभी युग्मन का चलना बंद हो जाता है, या, दूसरे शब्दों में, सभी बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी) | बीटा-फ़ंक्शन का शून्य: $\beta _{\gamma }(\{g_{\alpha }^{*}\})=0$ सभी के लिए $\gamma$. इसके अतिरिक्त उस निश्चित बिंदु पर कम से कम यूवी-आकर्षक दिशा होनी चाहिए। यह सुनिश्चित करता है कि या अधिक आरजी प्रक्षेप पथ हैं जो बढ़ते मापदंड के लिए निश्चित बिंदु पर चलते हैं। सिद्धांत स्थान में सभी बिंदुओं का समूह जो बड़े मापदंड पर जाकर यूवी निश्चित बिंदु में खींचा जाता है, उसे यूवी महत्वपूर्ण सतह के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार यूवी क्रिटिकल सतह में वे सभी प्रक्षेप पथ सम्मिलित होते हैं जो यूवी विचलन से इस अर्थ में सुरक्षित होते हैं कि सभी युग्मन $k\rightarrow \infty$ के रूप में परिमित निश्चित बिंदु मानों तक पहुंचते हैं. स्पर्शोन्मुख सुरक्षा में अंतर्निहित प्रमुख परिकल्पना यह है कि केवल उपयुक्त निश्चित बिंदु की यूवी महत्वपूर्ण सतह के अंदर पूरी तरह से चलने वाले प्रक्षेपवक्र को असीमित रूप से बढ़ाया जा सकता है और इस प्रकार मौलिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को परिभाषित किया जा सकता है। यह स्पष्ट है कि ऐसे प्रक्षेप पथ यूवी सीमा में अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं क्योंकि निश्चित बिंदु का अस्तित्व उन्हें अनंत लंबे आरजी समय के लिए बिंदु पर रहने की अनुमति देता है।

निश्चित बिंदु के संबंध में, यूवी-आकर्षक दिशाओं को प्रासंगिक कहा जाता है, यूवी-प्रतिकारक दिशाओं को अप्रासंगिक कहा जाता है, क्योंकि स्केल कम होने पर संबंधित स्केलिंग क्षेत्र क्रमशः बढ़ते और घटते हैं। इसलिए, यूवी क्रिटिकल सतह की आयामीता प्रासंगिक युग्मन की संख्या के समान होती है। स्पर्शोन्मुख रूप से सुरक्षित सिद्धांत इस प्रकार है कि जितना अधिक पूर्वानुमानित होगा, संबंधित यूवी महत्वपूर्ण सतह का आयाम उतना ही छोटा होगा।

उदाहरण के लिए, यदि यूवी क्रिटिकल सतह का परिमित आयाम $n$ है तो प्रकृति के आरजी प्रक्षेपवक्र की विशिष्ट पहचान करने के लिए केवल $n$ माप करना पर्याप्त है। एक बार जब $n$ प्रासंगिक युग्मन को मापा जाता है, तो स्पर्शोन्मुख सुरक्षा की आवश्यकता अन्य सभी युग्मन को ठीक कर देती है क्योंकि बाद वाले को इस तरह से समायोजित किया जाना चाहिए कि आरजी प्रक्षेपवक्र यूवी महत्वपूर्ण सतह के अंदर हो। इस भावना में सिद्धांत अत्यधिक पूर्वानुमानित है क्योंकि माप की एक सीमित संख्या द्वारा अनंत रूप से अनेक पैरामीटर तय किए जाते हैं।

अन्य दृष्टिकोणों के विपरीत, मात्र कार्य जिसे क्वांटम सिद्धांत में बढ़ावा दिया जाना चाहिए, यहां इनपुट के रूप में आवश्यक नहीं है। यह सिद्धांत स्थान और आरजी प्रवाह समीकरण हैं जो संभावित यूवी निश्चित बिंदु निर्धारित करते हैं। चूंकि इस तरह का निश्चित बिंदु, बदले में, मात्र कार्रवाई से मेल खाता है, कोई भी मात्र कार्रवाई को स्पर्शोन्मुख सुरक्षा कार्यक्रम में पूर्वानुमान पर विचार कर सकता है। इसे पहले से ही क्वांटम सिद्धांतों के मध्य व्यवस्थित खोज रणनीति के रूप में सोचा जा सकता है जो कम दूरी की विलक्षणताओं से ग्रस्त अस्वीकार्य लोगों के समुद्र में भौतिक रूप से स्वीकार्य सिद्धांतों के द्वीपों की पहचान करता है।

गाऊसी और गैर-गाऊसी निश्चित बिंदु

एक निश्चित बिंदु को गॉसियन कहा जाता है यदि यह एक मुक्त सिद्धांत से मेल खाता है। इसके महत्वपूर्ण प्रतिपादक संबंधित ऑपरेटरों के विहित द्रव्यमान आयामों से सहमत हैं जो समान्य रूप से सभी आवश्यक युग्मनों $g_{\alpha }$ के लिए तुच्छ निश्चित बिंदु मान $g_{\alpha }^{*}=0$ के समान होता है। इस प्रकार मानक अस्पष्ट सिद्धांत केवल गाऊसी निश्चित बिंदु के आसपास ही प्रयुक्त होता है। इस संबंध में गॉसियन निश्चित बिंदु पर स्पर्शोन्मुख सुरक्षा, पर्टर्बेटिव रीनॉर्मलिज़ेबिलिटी प्लस स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता के समान है। चूँकि , परिचयात्मक अनुभागों में प्रस्तुत तर्कों के कारण, इस संभावना को गंभीरता से खारिज कर दिया गया है।

इसके विपरीत, एक गैर-तुच्छ निश्चित बिंदु, अर्थात, एक निश्चित बिंदु जिसके महत्वपूर्ण घातांक विहित घातांक से भिन्न होते हैं, उसे गैर-गॉसियन कहा जाता है। आमरूप पर इसके लिए कम से कम एक आवश्यक $g_{\alpha }$ के लिए $g_{\alpha }^{*}\neq 0$ की आवश्यकता होती है। यह एक ऐसा गैर-गाऊसी निश्चित बिंदु है जो क्वांटम गुरुत्व के लिए एक संभावित परिदृश्य प्रदान करता है। अभी तक, इस विषय पर अध्ययन मुख्य रूप से इसके अस्तित्व को स्थापित करने पर केंद्रित है।

क्वांटम आइंस्टीन ग्रेविटी (क्यूईजी)

क्वांटम आइंस्टीन ग्रेविटी (क्यूईजी) गुरुत्वाकर्षण के किसी भी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का सामान्य नाम है जो (इसकी क्रिया (भौतिकी) की परवाह किए बिना) मीट्रिक टेंसर को गतिशील क्षेत्र चर के रूप में लेता है और जिसकी समरूपता डिफोमोर्फिज्म इनवेरिएंस द्वारा दी जाती है। यह थ्योरी_स्पेस और उस पर परिभाषित प्रभावी औसत क्रिया के आरजी प्रवाह को ठीक करता है, किन्तु यह किसी विशिष्ट क्रिया कार्यात्मकता को प्राथमिकता नहीं देता है। चूँकि , प्रवाह समीकरण उस सिद्धांत स्थान पर वेक्टर क्षेत्र निर्धारित करता है जिसकी जांच की जा सकती है। यदि यह गैर-गॉसियन निश्चित बिंदु प्रदर्शित करता है जिसके माध्यम से यूवी सीमा को स्पर्शोन्मुख रूप से सुरक्षित विधि से लिया जा सकता है, तो यह बिंदु मात्र कार्रवाई की स्थिति प्राप्त करता है।

क्वांटम द्विघात गुरुत्वाकर्षण (क्यूक्यूजी)

क्यूईजी का विशिष्ट अनुभव क्वांटम क्वाड्रैटिक ग्रेविटी (क्यूक्यूजी) है। यह आइंस्टीन-हिल्बर्ट लैग्रेन्जियन में सभी स्थानीय द्विघात-वक्रता नियमो को जोड़कर प्राप्त सामान्य सापेक्षता का क्वांटम विस्तार है। क्यूक्यूजी, पुनर्सामान्यीकरण योग्य होने के अतिरिक्त , इसमें यूवी निश्चित बिंदु (यथार्थवादी पदार्थ क्षेत्रों की उपस्थिति में भी) की सुविधा भी दिखाई गई है। इसलिए, इसे स्पर्शोन्मुख सुरक्षा का ठोस अनुभाव माना जा सकता है।

प्रभावी औसत कार्रवाई के माध्यम से कार्यान्वयन

स्पष्ट कार्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण

Main article: कार्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण समूह

गैर-परेशान स्तर पर ऊर्जा मापदंड $k$ के संबंध में गुरुत्वाकर्षण आरजी प्रवाह की जांच के लिए प्राथमिक उपकरण गुरुत्वाकर्षण के लिए प्रभावी औसत क्रिया $\Gamma _{k}$ है। यह प्रभावी कार्रवाई का स्केल पर निर्भर संस्करण है जहां अंतर्निहित कार्यात्मक अभिन्न क्षेत्र मोड में $k$ से नीचे सहसंयोजक क्षण को दबा दिया जाता है जबकि केवल शेष को एकीकृत किया जाता है। किसी दिए गए सिद्धांत स्थान के लिए, मान लीजिए $\Phi$ और ${\bar {\Phi }}$ क्रमशः गतिशील और पृष्ठभूमि क्षेत्र के सेट को दर्शाते हैं। फिर $\Gamma _{k}$ निम्नलिखित वेटेरिच-मॉरिस-प्रकार के कार्यात्मक आरजी समीकरण (एफआरजीई) को संतुष्ट करता है:

$k\partial _{k}\Gamma _{k}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}={\frac {1}{2}}\,{\mbox{STr}}{\Big [}{\big (}\Gamma _{k}^{(2)}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}+{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\big )}^{-1}k\partial _{k}{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\Big ]}.$

यहां $\Gamma _{k}^{(2)}$ निश्चित ${\bar {\Phi }}$ पर क्वांटम क्षेत्र $\Phi$ के संबंध में $\Gamma _{k}$ का दूसरा कार्यात्मक व्युत्पन्न है। मोड दमन ऑपरेटर ${\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]$ सहसंयोजक गति $p^{2}\ll k^{2}$ के साथ उतार-चढ़ाव के लिए $k$-निर्भर द्रव्यमान-अवधि प्रदान करता है और $p^{2}\gg k^{2}$ के लिए गायब हो जाता है। अंश और हर में इसकी उपस्थिति सुपरट्रेस $({\mbox{STr}})$ को इन्फ्रारेड और यूवी परिमित दोनों प्रदान करती है, जो क्षण लगभग $p^{2}\approx k^{2}$ पर चरम पर होती है। एफआरजीई बिना किसी अस्पष्ट वाले अनुमान के एक स्पष्ट समीकरण है। प्रारंभिक स्थिति को देखते हुए यह सभी पैमानों के लिए विशिष्ट रूप से $\Gamma _{k}$निर्धारित करता है।

एफआरजीई के समाधान $\Gamma _{k}$ $k\rightarrow \infty$ पर मात्र (सूक्ष्म) क्रिया और $k\rightarrow 0$ पर प्रभावी क्रिया $\Gamma [\Phi ]=\Gamma _{k=0}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}=\Phi {\big ]}$ के बीच प्रक्षेपित होते हैं। उन्हें अंतर्निहित सिद्धांत स्थान में प्रक्षेप पथ के रूप में देखा जा सकता है। ध्यान दें कि एफआरजीई स्वयं मात्र कार्य से स्वतंत्र है। एक स्पर्शोन्मुख रूप से सुरक्षित सिद्धांत के स्थिति में, मात्र क्रिया को निश्चित बिंदु कार्यात्मक $\Gamma _{*}=\Gamma _{k\rightarrow \infty }$ द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सिद्धांत स्थान की काट-छाँट

आइए मान लें कि विचाराधीन सिद्धांत स्थान को फैलाते हुए आधार कार्यात्मकताओं का एक सेट $\{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}$ है जिससे किसी भी क्रिया कार्यात्मक, अथार्त इस सिद्धांत स्थान के किसी भी बिंदु को एक के रूप में लिखा जा सके $P_{\alpha }$ का रैखिक संयोजन। फिर एफआरजीई के समाधान $\Gamma _{k}$ में प्रपत्र का विस्तार होता है

$\Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{\infty }g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}].$

इस विस्तार को एफआरजीई में डालने और बीटा-फ़ंक्शन निकालने के लिए इसके दाईं ओर ट्रेस का विस्तार करने पर, घटक रूप में स्पष्ट आरजी समीकरण प्राप्त होता है: $k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},g_{2},\cdots )$ संगत प्रारंभिक स्थितियों के साथ मिलकर ये समीकरण चल रहे युग्मन $g_{\alpha }(k)$ के विकास को ठीक करते हैं, और इस प्रकार $\Gamma _{k}$ को पूरी तरह से निर्धारित करते हैं। जैसा कि कोई देख सकता है, एफआरजीई अनंत रूप से अनेक युग्मित अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को जन्म देता है क्योंकि इसमें अनंत रूप से अनेक युग्मन होते हैं, और $\beta$-फ़ंक्शन उन सभी पर निर्भर हो सकते हैं। इससे प्रणाली को सामान्य रूप से हल करना बहुत कठिन हो जाता है।

एक संभावित विधि पूर्ण सिद्धांत स्थान के अनुमान के रूप में परिमित-आयामी उप-स्थान पर विश्लेषण को प्रतिबंधित करना है। दूसरे शब्दों में, सिद्धांत स्थान का ऐसा कटाव केवल कम आधार पर विचार करते हुए, युग्मन की सीमित संख्या को छोड़कर सभी को शून्य पर सेट करता है $\{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}$ साथ $\alpha =1,\cdots ,N$. यह एएनएसएटीजेड के समान है

$\Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{N}g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}],$

परिमित रूप से अनेक युग्मित विभेदक समीकरणों की प्रणाली की ओर अग्रसर, $k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},\cdots ,g_{N})$, जिसे अब विश्लेषणात्मक या संख्यात्मक तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

स्पष्ट रूप से काट-छाँट को इस तरह चुना जाना चाहिए कि इसमें यथासंभव स्पष्ट प्रवाह की विभिन्न विशेषताएं सम्मिलित हों। यद्यपि यह अनुमान है, कटा हुआ प्रवाह अभी भी एफआरजीई के गैर-परेशान चरित्र को प्रदर्शित करता है, और $\beta$-फ़ंक्शंस में युग्मन की सभी शक्तियों का योगदान हो सकता है।

काटे गए प्रवाह समीकरणों से स्पर्शोन्मुख सुरक्षा के लिए साक्ष्य

आइंस्टीन-हिल्बर्ट ट्रंकेशन के लिए क्यूईजी प्रवाह आरेख। तीर यूवी से आईआर स्केल की ओर संकेत करते हैं। गहरा पृष्ठभूमि रंग तेज़ प्रवाह वाले क्षेत्र को निरुपित करता है, हल्के पृष्ठभूमि वाले क्षेत्रों में प्रवाह धीमा या शून्य भी होता है। बाद वाले स्थिति में क्रमशः मूल में गाऊसी निश्चित बिंदु के आसपास का क्षेत्र और सर्पिल तीरों के केंद्र में एनजीएफपी सम्मिलित है। हरे तीरों का क्रॉस-ओवर प्रक्षेपवक्र गैर-गॉसियन को गाऊसी निश्चित बिंदु से जोड़ता है और एक विभाजक की भूमिका निभाता है।

आइंस्टीन-हिल्बर्ट ट्रंकेशन

जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है, एफआरजीई $\Gamma _{k}$ के लिए उपयुक्त एएनएसएटीजेडद्वारा फैलाए गए उप-स्थानों पर सटीक आरजी प्रवाह को प्रक्षेपित करके गुरुत्वाकर्षण बीटा-फ़ंक्शंस के लिए गैर-विपरीत सन्निकटन के एक व्यवस्थित निर्माण के लिए उधार देता है। अपने सरलतम रूप में, ऐसा एएनएसएटीजेडआइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया द्वारा दिया जाता है जहां न्यूटन का स्थिरांक $G_{k}$ और ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक $\Lambda _{k}$ आरजी स्केल k पर निर्भर करता है। मान लीजिए $g_{\mu \nu }$ और ${\bar {g}}_{\mu \nu }$ क्रमशः गतिशील और पृष्ठभूमि मीट्रिक को दर्शाते हैं। फिर मनमाना स्पेसटाइम आयाम $d$ के लिए $\Gamma _{k}$पढ़ता है

$\Gamma _{k}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}]={\frac {1}{16\pi G_{k}}}\int {\text{d}}^{d}x\,{\sqrt {g}}\,{\big (}-R(g)+2\Lambda _{k}{\big )}+\Gamma _{k}^{\text{gf}}[g,{\bar {g}}]+\Gamma _{k}^{\text{gh}}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}].$

आइंस्टीन-हिल्बर्ट ट्रंकेशन के लिए चरण चित्र। बाईं ओर प्रवाह आरेख के अनुरूप आरजी प्रक्षेपवक्र दिखाए गए हैं। (पहली बार संदर्भ में प्राप्त किया गया। )

यहां $R(g)$ मीट्रिक $g_{\mu \nu }$ से निर्मित अदिश वक्रता है। इसके अतिरिक्त , $\Gamma _{k}^{\text{gf}}$ गेज फिक्सिंग क्रिया को दर्शाता है, और $\Gamma _{k}^{\text{gh}}$ भूत क्षेत्र $\xi$ और ${\bar {\xi }}$. के साथ भूत क्रिया को दर्शाता है।

आयामहीन न्यूटन स्थिरांक $g_{k}=k^{d-2}G_{k}$ और आयामहीन ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक $\lambda _{k}=k^{-2}\Lambda _{k}$ के विकास का वर्णन करने वाले संबंधित $\beta$-फ़ंक्शन, पहली बार प्राप्त किए गए हैं संदर्भ स्पेसटाइम आयाम के किसी भी मूल्य के लिए, 4 आयामों के नीचे और ऊपर $d$ के स्थितियों सहित। विशेष रूप से, $d=4$ आयामों में वे बाईं ओर दिखाए गए आरजी प्रवाह आरेख को जन्म देते हैं। सबसे महत्वपूर्ण परिणाम स्पर्शोन्मुख सुरक्षा के लिए उपयुक्त एक गैर-गाऊसी निश्चित बिंदु का अस्तित्व है। यह $g$- और $\lambda$-दिशा दोनों में UV-आकर्षक है।

यह निश्चित बिंदु परेशान विधि द्वारा $d=2+\epsilon$ आयामों में पाए गए एक से संबंधित है, इस अर्थ में कि इसे यहां प्रस्तुत गैर-परेशान दृष्टिकोण में $d=2+\epsilon$ को $\beta$ -फ़ंक्शंस में डालने और विस्तार करने से पुनर्प्राप्त किया जाता है। $\epsilon$ की शक्तियाँ। चूँकि $\beta$-फ़ंक्शंस को अस्तित्व में दिखाया गया था और किसी भी वास्तविक के लिए स्पष्ट रूप से गणना की गई थी, अथार्त , जरूरी नहीं कि d का पूर्णांक मान हो, यहां कोई विश्लेषणात्मक निरंतरता सम्मिलित नहीं है। जो कि $d=4$आयामों में निश्चित बिंदु भी, गैर-विपरीत प्रवाह समीकरणों का प्रत्यक्ष परिणाम है, और, पहले के प्रयासों के विपरीत, $\epsilon$ में किसी एक्सट्रपलेशन की आवश्यकता नहीं है।

विस्तारित काट-छाँट

इसके बाद, आइंस्टीन-हिल्बर्ट ट्रंकेशन के भीतर पाए गए निश्चित बिंदु के अस्तित्व की क्रमिक रूप से बढ़ती जटिलता के उप-स्थानों में पुष्टि की गई है। इस विकास में अगला कदम ट्रंकेशन अंसत्ज़ में एक $R^{2}$-टर्म को सम्मिलित करना था। इसे स्केलर वक्रता $R$ (तथाकथित $f(R)$-ट्रंकेशन) के बहुपदों, और वेइल वक्रता टेंसर के वर्ग को ध्यान में रखकर आगे बढ़ाया गया है। इसके अतिरिक्त , स्थानीय संभावित अनुमान में एफ (आर) सिद्धांतों की जांच की गई है, जिसमें एसिम्प्टोटिक सुरक्षा परिदृश्य के समर्थन में गैर-विपरीत निश्चित बिंदु खोजे गए हैं, जिससे तथाकथित बेनेडेटी-कारवेली (बीसी) निश्चित बिंदु की ओर अग्रसर हुआ है। ऐसे बीसी सूत्रीकरण में, रिक्की स्केलर आर के लिए अंतर समीकरण अत्यधिक बाधित है, किन्तु इनमें से कुछ बाधाओं को चल विलक्षणताओं के संकल्प के माध्यम से हटाया जा सकता है।

इसके अतिरिक्त , विभिन्न प्रकार के पदार्थ क्षेत्रों के प्रभाव की जांच की गई है। इसके अतिरिक्त क्षेत्र रिपैरामेट्रिज़ेशन इनवेरिएंट प्रभावी औसत कार्रवाई पर आधारित गणनाएं महत्वपूर्ण निश्चित बिंदु को पुनर्प्राप्त करती प्रतीत होती हैं। संयोजन में ये परिणाम इस बात के पुख्ता प्रमाण बनाते हैं कि चार आयामों में गुरुत्वाकर्षण गैर-विपरीत रूप से पुनर्सामान्यीकरण योग्य क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत है, वास्तव स्पर्शोन्मुख सुरक्षा के साथ: कम आयामीता का मुख्य विचार, केवल कुछ प्रासंगिक युग्मन द्वारा समन्वित है।

अंतरिक्ष समय की सूक्ष्म संरचना

स्पर्शोन्मुख सुरक्षा संबंधी जांच के परिणाम बताते हैं कि क्यूईजी के प्रभावी स्पेसटाइम में सूक्ष्म मापदंड पर फ्रैक्टल जैसे गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, उनके वर्णक्रमीय आयाम को निर्धारित करना और यह तर्क देना संभव है कि वे स्थूल दूरी पर 4 आयामों से सूक्ष्मदर्शी रूप से 2 आयामों तक आयामी कमी से गुजरते हैं इस संदर्भ में क्वांटम गुरुत्व के अन्य दृष्टिकोणों से संबंध बनाना संभव हो सकता है, जैसे गतिशील त्रिभुजों का निर्माण करना, और परिणामों की तुलना करना है ।

स्पर्शोन्मुख रूप से सुरक्षित गुरुत्वाकर्षण के भौतिकी अनुप्रयोग

Main article: स्पर्शोन्मुख रूप से सुरक्षित गुरुत्वाकर्षण के भौतिकी अनुप्रयोग

गुरुत्वाकर्षण भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में स्पर्शोन्मुख सुरक्षा परिदृश्य के घटनात्मक परिणामों की जांच की गई है। उदाहरण के रूप से , मानक मॉडल के साथ संयोजन में स्पर्शोन्मुख सुरक्षा हिग्स बॉसन के द्रव्यमान और बारीक संरचना स्थिरांक के मूल्य के बारे में कथन की अनुमति देती है।

इसके अतिरिक्त , यह उदाहरण के लिए, ब्लैक होल्स या मुद्रास्फीति (ब्रह्मांड विज्ञान) से संबंधित भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान और खगोल भौतिकी में विशेष घटनाओं के लिए संभावित स्पष्टीकरण प्रदान करता है। ये अलग-अलग अध्ययन इस संभावना का लाभ उठाते हैं कि स्पर्शोन्मुख सुरक्षा की आवश्यकता विचार किए गए मॉडलों के लिए नई पूर्वानुमानो और निष्कर्षों को जन्म दे सकती है, जो कि अधिकांशत: अतिरिक्त, संभवतः अनदेखे, मान्यताओं पर निर्भर हुए बिना।

स्पर्शोन्मुख सुरक्षा की आलोचनाएँ

कुछ शोधकर्ताओं ने तर्क दिया कि गुरुत्वाकर्षण के लिए स्पर्शोन्मुख सुरक्षा कार्यक्रम के वर्तमान कार्यान्वयन में अभौतिक विशेषताएं हैं, जैसे न्यूटन स्थिरांक का चलना। दूसरों ने तर्क दिया कि स्पर्शोन्मुख सुरक्षा की अवधारणा मिथ्या नाम है, क्योंकि यह विल्सोनियन आरजी प्रतिमान की तुलना में नवीन विशेषता का सुझाव देती है, जबकि ऐसा कोई नहीं है (कम से कम क्वांटम क्षेत्र सिद्धान्त संदर्भ में, जहां इस शब्द का भी उपयोग किया जाता है)।

यह भी देखें

• स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता
• कारणात्मक गतिशील त्रिकोणासन
• कारण समुच्चय
• महत्वपूर्ण घटनाएँ
• यूक्लिडियन क्वांटम गुरुत्व
• फ्रैक्टल ब्रह्माण्ड विज्ञान
• कार्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण समूह
• लूप क्वांटम गुरुत्व
• पुनर्सामान्यीकरण
• प्लैंक स्केल
• स्पर्शोन्मुख रूप से सुरक्षित गुरुत्वाकर्षण के भौतिकी अनुप्रयोग
• कैलकुलस रखता है
• क्वांटम गुरुत्व
• पुनर्सामान्यीकरण समूह
• पराबैंगनी स्थिर बिंदु

अग्रिम पठन

• Niedermaier, Max; Reuter, Martin (2006). "The Asymptotic Safety Scenario in Quantum Gravity". Living Rev. Relativ. 9 (1): 5. Bibcode:2006LRR.....9....5N. doi:10.12942/lrr-2006-5. PMC 5256001. PMID 28179875.
• Percacci, Roberto (2009). "Asymptotic Safety". In Oriti, D. (ed.). Approaches to Quantum Gravity: Towards a New Understanding of Space, Time and Matter. Cambridge University Press. arXiv:0709.3851. Bibcode:2007arXiv0709.3851P.
• Berges, Jürgen; Tetradis, Nikolaos; Wetterich, Christof (2002). "Non-perturbative renormalization flow in quantum field theory and statistical physics". Physics Reports. 363 (4–6): 223–386. arXiv:hep-ph/0005122. Bibcode:2002PhR...363..223B. doi:10.1016/S0370-1573(01)00098-9. S2CID 119033356.
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• Bonanno, Alfio; Saueressig, Frank (2017). "Asymptotically safe cosmology – a status report". Comptes Rendus Physique. 18 (3–4): 254. arXiv:1702.04137. Bibcode:2017CRPhy..18..254B. doi:10.1016/j.crhy.2017.02.002. S2CID 119045691.
• Litim, Daniel (2011). "Renormalisation group and the Planck scale". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 69 (1946): 2759–2778. arXiv:1102.4624. Bibcode:2011RSPTA.369.2759L. doi:10.1098/rsta.2011.0103. PMID 21646277. S2CID 8888965.
• Nagy, Sandor (2012). "Lectures on renormalization and asymptotic safety". Annals of Physics. 350: 310–346. arXiv:1211.4151. Bibcode:2014AnPhy.350..310N. doi:10.1016/j.aop.2014.07.027. S2CID 119183995.

बाहरी संबंध

• The Asymptotic Safety FAQs – A collection of questions and answers about asymptotic safety and a comprehensive list of references.
• Asymptotic Safety in quantum gravity – A Scholarpedia article about the same topic with some more details on the gravitational effective average action.
• The Quantum Theory of Fields: Effective or Fundamental? – A talk by Steven Weinberg at CERN on July 7, 2009.
• Asymptotic Safety - 30 Years Later – All talks of the workshop held at the Perimeter Institute on November 5 – 8, 2009.
• Four radical routes to a theory of everything – An article by Amanda Gefter on quantum gravity, published 2008 in New Scientist (Physics & Math).
• "Weinberg "Living with infinities" - Källén Lecture 2009". YouTube. Andrea Idini. January 14, 2022. (From 1:11:28 to 1:18:10 in the video, Weinberg gives a brief discussion of asymptotic safety. Also see Weinberg's answer to Cecilia Jarlskog's question at the end of the lecture. The 2009 Källén lecture was recorded on February 13, 2009.)