बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी): Difference between revisions

Revision as of 02:17, 24 November 2023

सैद्धांतिक भौतिकी में, विशेष रूप से परिमाण क्षेत्र सिद्धांत में, एक बीटा फलन, β(g), किसी दिए गए ऊर्जा मापक्रम, μ पर युग्मन स्थिरांक, g परिमाण क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित भौतिक प्रक्रिया की निर्भरता को कूटबद्ध करता है।

इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \ln(\mu )}}~,

और, अंतर्निहित पुनर्सामान्यीकरण समूह के कारण, इसकी μ पर कोई स्पष्ट निर्भरता नहीं है, इसलिए यह केवल g के माध्यम से परोक्ष रूप से μ पर निर्भर करता है।

इस प्रकार निर्दिष्ट ऊर्जा मापक्रम पर निर्भरता को युग्मन मापदण्ड के संचालन के रूप में जाना जाता है, जो परिमाण क्षेत्र सिद्धांत में मापक्रम-निर्भरता की एक मूलभूत विशेषता है, और इसकी स्पष्ट गणना विभिन्न गणितीय तकनीकों के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है।

मापक्रम अपरिवर्तनीयता

यदि परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के बीटा फलन विलुप्त हो जाते हैं, सामान्यतः युग्मन मापदंडों के विशेष मूल्यों पर, तो सिद्धांत को मापक्रम-निश्चर कहा जाता है। लगभग सभी मापक्रम-अपरिवर्तनीय क्यूएफटी भी अनुरूप समरूपता हैं। ऐसे सिद्धांतों का अध्ययन अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है।

परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के युग्मन मापदण्ड चल सकते हैं, भले ही संबंधित चिरप्रतिष्ठित क्षेत्र सिद्धांत मापक्रम-अपरिवर्तनीय हो। इस स्तिथि में, गैर-शून्य बीटा फलन हमें बताता है कि शास्त्रीय मापक्रम का अपरिवर्तनीयता अनुरूप विसंगति है।

उदाहरण

बीटा फलन की गणना सामान्यतः किसी प्रकार की सन्निकटन योजना में की जाती है। एक उदाहरण क्षोभ सिद्धांत (परिमाण यांत्रिकी) है, जहां कोई मानता है कि युग्मन मापदण्ड छोटे हैं। फिर कोई युग्मन मापदंडों की शक्तियों में विस्तार कर सकता है और उच्च-क्रम की स्तिथियों को छोटा कर सकता है (संबंधित फेनमैन आलेख में विपाशन की संख्या के कारण उच्च फेनमैन आलेख़ योगदान के रूप में भी जाना जाता है)।

क्षोभ सिद्धांत में गणना किए गए बीटा फलन के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं:

परिमाण विद्युत् गतिक

परिमाण विद्युत् गतिक (QED) में एक-पाशन बीटा फलन है

$\beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,$

या, समकक्ष,

$\beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}~,$

प्राकृतिक इकाइयों $α = e 2 /4π$ में गैर-एसआई इकाइयों में ललित-संरचना स्थिरांक के संदर्भ में लिखा गया है।

यह बीटा फलन हमें बताता है कि बढ़ते ऊर्जा मापक्रम के साथ युग्मन बढ़ता है, और QED उच्च ऊर्जा पर दृढ़ता से युग्मित हो जाता है। वास्तव में, युग्मन स्पष्ट रूप से कुछ सीमित ऊर्जा पर अनंत हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप लैंडौ ध्रुव बनता है। हालाँकि, कोई भी शक्तिशाली युग्मन पर उपयुक्त परिणाम देने के लिए घबड़ाहटपूर्ण बीटा फलन की उम्मीद नहीं कर सकता है, और इसलिए यह संभावना है कि लैंडौ पोल ऐसी स्थिति में क्षोभ सिद्धांत को लागू करने की एक कलाकृति है जहां यह अब मान्य नहीं है।

परिमाण क्रोमोडायनामिक्स

परिमाण क्रोमोडायनामिक्स में एक-पाशन बीटा फलन $n_{f}$ स्वाद (कण भौतिकी) परिमाण क्रोमोडायनामिक्स और $n_{s}$ अदिश रंग का बोसोन है

\beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,

या

\beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,

α_s= $g^{2}/4\pi$ के संदर्भ में लिखा गया है।

यदि एन_f ≤ 16, आगामी बीटा फलन यह निर्देश देता है कि बढ़ते ऊर्जा मापक्रम के साथ युग्मन कम हो जाता है, एक घटना जिसे अनंतस्पर्शी स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, घटते ऊर्जा मापक्रम के साथ युग्मन बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि युग्मन कम ऊर्जा पर बड़ा हो जाता है, और कोई अब गड़बड़ी सिद्धांत पर भरोसा नहीं कर सकता है।

एसयू(एन) गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत

जबकि क्यूसीडी का (यांग-मिल्स) गेज समूह $SU(3)$ है, और 3 रंग निर्धारित करता है, हम किसी भी संख्या $N_{c}$ में एक गेज समूह $G=SU(N_{c})$ के साथ रंगों का सामान्यीकरण कर सकते हैं। फिर इस गेज समूह के लिए, $G$ के प्रतिनिधित्व $R_{f}$ में डिराक फ़र्मियन के साथ और प्रतिनिधित्व $R_{s}$ में जटिल अदिश के साथ, एक-विपाश बीटा फलन है

\beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,

जहां $C_{2}(G)$ $G$ का द्विघात कासिमिर है और $T(R)$ एक और कासिमिर अपरिवर्तनीय है जिसे $Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}$ द्वारा प्रतिनिधित्व R में लाइ बीजगणित के जेनरेटर $T_{R}^{a,b}$ के लिए परिभाषित किया गया है। (वेल और मेजराना फर्मियन्स के, $4/3$ द्वारा $2/3$ प्रतिस्थापित करें, और वास्तविक अदिशों के लिए, $1/3$ द्वारा $1/6$ प्रतिस्थापित करें) गेज फ़ील्ड (यानी ग्लूऑन) के लिए, आवश्यक रूप से एक लाइ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व में $G$ , $C_{2}(G)=N_{c}$ ; मौलिक प्रतिनिधित्व (या मौलिक विरोधी) प्रतिनिधित्व में फर्मियन के लिए $G$ , $T(R)=1/2$ है। फिर क्यूसीडी के लिए, साथ में $N_{c}=3$ , उपरोक्त समीकरण परिमाण क्रोमोडायनामिक्स बीटा फलन के लिए सूचीबद्ध समीकरण को कम कर देता है।

यह प्रसिद्ध परिणाम 1973 में एच. डेविड पोलित्ज़र द्वारा लगभग एक साथ निकाला गया था,^[1] डेविड ग्रॉस और फ़्रैंक विलज़ेक,^[2] जिसके लिए तीनों को 2004 में भौतिकी में नोबेल पुरस्कार विजेताओं की सूची से सम्मानित किया गया।

इन लेखकों से अनभिज्ञ, जेरार्ड 'टी हूफ़्ट|जी. 'टी हूफ़्ट ने जून 1972 में मार्सिले में एक छोटी बैठक में के. सिमानज़िक की बातचीत के बाद एक टिप्पणी में परिणाम की घोषणा की थी, लेकिन उन्होंने इसे कभी प्रकाशित नहीं किया। ^[3]

मानक प्रतिरूप हिग्स-युकावा युग्मन

मानक प्रतिरूप में, क्वार्क और लेप्टान की हिग्स बॉसन के साथ युकावा अंतःक्रिया होती है। ये कण का द्रव्यमान निर्धारित करते हैं। अधिकांश क्वार्क और लेप्टान के युकावा युग्मन शीर्ष क्वार्क के युकावा युग्मन की तुलना में छोटे होते हैं। ये युकावा युग्मन अपने मूल्यों को उस ऊर्जा मापक्रम के आधार पर बदलते हैं जिस पर उन्हें रेनॉर्मलाइज़ेशन समूह के माध्यम से मापा जाता है। क्वार्क के युकावा युग्मन की गतिशीलता उपयुक्त पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है:

$\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ ,

जहाँ $g_{3}$ रंग प्रभार गेज सिद्धांत युग्मन है (जो इसका एक कार्य $\mu$ है और स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता से संबद्ध है) और $y$ युकावा युग्मन है। यह समीकरण बताता है कि युकावा युग्मन ऊर्जा मापक्रम $\mu$ के साथ कैसे बदलता है।

ऊपर, नीचे, आकर्षण, अजीब और निचले क्वार्क के युकावा युग्म, भव्य एकीकृत सिद्धांत $\mu \approx 10^{15}$ GeV के अत्यंत उच्च ऊर्जा मापक्रम पर छोटे हैं। इसलिए $y^{2}$ उपरोक्त समीकरण में पद की उपेक्षा की जा सकती है। हल करने पर, हम पाते हैं कि कम ऊर्जा पैमाने पर y थोड़ा बढ़ जाता है, जिस पर हिग्स $\mu \approx 100$ GeV द्वारा क्वार्क द्रव्यमान उत्पन्न होता है।

दूसरी ओर, बड़े प्रारंभिक मानों के लिए इस समीकरण का समाधान $y$ जैसे ही हम ऊर्जा मापक्रम पर उतरते हैं, आरएचएस तीव्रता से छोटे मूल्यों तक पहुंचने का कारण बनता है। फिर उपरोक्त समीकरण $y$ क्यूसीडी युग्मन $g_{3}$ के लिए लॉक हो जाता है। इसे युकावा युग्मन के लिए पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण के (अवरक्त) अर्ध-निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। ^[4]^[5] इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि युग्मन का प्रारंभिक आरंभिक मान क्या है, यदि यह पर्याप्त रूप से बड़ा है तो यह इस अर्ध-निश्चित बिंदु मान तक पहुंच जाएगा, और संबंधित क्वार्क द्रव्यमान की भविष्यवाणी की जाती है।

अर्ध-निश्चित बिंदु का मान मानक प्रतिरूप में काफी उपयुक्त रूप से निर्धारित किया गया है, जिससे अनुमानित शीर्ष क्वार्क द्रव्यमान 230 GeV है। 174 GeV का देखा गया शीर्ष क्वार्क द्रव्यमान मानक प्रतिरूप पूर्वानुमान से लगभग 30% कम है, जो बताता है कि एकल मानक प्रतिरूप हिग्स बोसोन से अधिक हिग्स युगल हो सकते हैं।

न्यूनतम अति सममित मानक प्रतिरूप

भव्य एकीकरण के न्यूनतम अति सममित मानक प्रतिरूप (एमएसएसएम) और हिग्स-युकावा निश्चित बिंदुओं में पुनर्नामीकरण समूह अध्ययन बहुत उत्साहजनक थे कि सिद्धांत सही रास्ते पर था। हालाँकि, अब तक, व्यापक हैड्रान कोलाइडर के प्रयोग में अनुमानित एमएसएसएम कणों का कोई प्रमाण सामने नहीं आया है।

यह भी देखें

बैंक-जैक्स निश्चित बिंदु
कॉलन-सिमांज़िक समीकरण
परिमाण तुच्छता

संदर्भ

↑ H.David Politzer (1973). "Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?". Phys. Rev. Lett. 30 (26): 1346–1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.
↑ D.J. Gross and F. Wilczek (1973). "Asymptotically Free Gauge Theories. 1". Phys. Rev. D. 8 (10): 3633–3652. Bibcode:1973PhRvD...8.3633G. doi:10.1103/PhysRevD.8.3633..
↑ G. 't Hooft (1999). "When was Asymptotic Freedom discovered?". Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 74 (1): 413–425. arXiv:hep-th/9808154. Bibcode:1999NuPhS..74..413T. doi:10.1016/S0920-5632(99)00207-8. S2CID 17360560.
↑ Pendleton, B.; Ross, G.G. (1981). "इन्फ्रारेड निश्चित बिंदुओं से द्रव्यमान और मिश्रण कोण की भविष्यवाणी". Phys. Lett. B98 (4): 291. Bibcode:1981PhLB...98..291P. doi:10.1016/0370-2693(81)90017-4.
↑ Hill, C.T. (1981). "पुनर्सामान्यीकरण समूह से क्वार्क और लेप्टान द्रव्यमान निश्चित बिंदु". Phys. Rev. D24 (3): 691. Bibcode:1981PhRvD..24..691H. doi:10.1103/PhysRevD.24.691.

अग्रिम पठन

Peskin, M and Schroeder, D.; An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press (1995). A standard introductory text, covering many topics in QFT including calculation of beta functions; see especially chapter 16.
Weinberg, Steven; The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press (1995). A monumental treatise on QFT.
Zinn-Justin, Jean; Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford University Press (2002). Emphasis on the renormalization group and related topics.

[1] H.David Politzer (1973). "Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?". Phys. Rev. Lett. 30 (26): 1346–1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.

[2] D.J. Gross and F. Wilczek (1973). "Asymptotically Free Gauge Theories. 1". Phys. Rev. D. 8 (10): 3633–3652. Bibcode:1973PhRvD...8.3633G. doi:10.1103/PhysRevD.8.3633..

[3] G. 't Hooft (1999). "When was Asymptotic Freedom discovered?". Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 74 (1): 413–425. arXiv:hep-th/9808154. Bibcode:1999NuPhS..74..413T. doi:10.1016/S0920-5632(99)00207-8. S2CID 17360560.

[4] Pendleton, B.; Ross, G.G. (1981). "इन्फ्रारेड निश्चित बिंदुओं से द्रव्यमान और मिश्रण कोण की भविष्यवाणी". Phys. Lett. B98 (4): 291. Bibcode:1981PhLB...98..291P. doi:10.1016/0370-2693(81)90017-4.

[5] Hill, C.T. (1981). "पुनर्सामान्यीकरण समूह से क्वार्क और लेप्टान द्रव्यमान निश्चित बिंदु". Phys. Rev. D24 (3): 691. Bibcode:1981PhRvD..24..691H. doi:10.1103/PhysRevD.24.691.

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 {{Short description|Function that encodes the dependence of a coupling parameter on the energy scale}}
-{{About|the beta functions of theoretical physics|other beta functions|Beta function (disambiguation)}}
+{{About|सैद्धांतिक भौतिकी के बीटा फलन|अन्य बीटा फलन|बीटा फलन (विसंदिग्धीकरण)}}
 {{quantum field theory}}
-[[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, विशेष रूप से [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में, एक बीटा फ़ंक्शन, ''β(g)'', किसी दिए गए ऊर्जा पैमाने, ''μ'' पर [[युग्मन स्थिरांक]], ''g'' की निर्भरता को कूटबद्ध करता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित भौतिक प्रक्रिया।
+[[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, विशेष रूप से [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत|परिमाण क्षेत्र सिद्धांत]] में, एक '''बीटा फलन''', ''β(g)'', किसी दिए गए ऊर्जा मापक्रम, ''μ'' पर [[युग्मन स्थिरांक]], ''g'' परिमाण क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित भौतिक प्रक्रिया की निर्भरता को कूटबद्ध करता है।
 इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 :: <math>\beta(g) = \frac{\partial g}{\partial \ln(\mu)} ~,</math>
 और, अंतर्निहित [[पुनर्सामान्यीकरण समूह]] के कारण, इसकी μ पर कोई स्पष्ट निर्भरता नहीं है, इसलिए यह केवल g के माध्यम से परोक्ष रूप से μ पर निर्भर करता है।
-इस प्रकार निर्दिष्ट ऊर्जा पैमाने पर निर्भरता को युग्मन स्थिरांक # युग्मन पैरामीटर के रनिंग युग्मन के रूप में जाना जाता है, जो एक मौलिक है
-क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में स्केल-निर्भरता की विशेषता, और इसकी स्पष्ट गणना विभिन्न गणितीय तकनीकों के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है।
-==[[स्केल अपरिवर्तनीयता]]==
+इस प्रकार निर्दिष्ट ऊर्जा मापक्रम पर निर्भरता को युग्मन मापदण्ड के संचालन के रूप में जाना जाता है, जो परिमाण क्षेत्र सिद्धांत में मापक्रम-निर्भरता की एक मूलभूत विशेषता है, और इसकी स्पष्ट गणना विभिन्न गणितीय तकनीकों के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है।
-यदि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के बीटा फ़ंक्शन गायब हो जाते हैं, आमतौर पर युग्मन मापदंडों के विशेष मूल्यों पर, तो सिद्धांत को स्केल इनवेरिएंस|स्केल-इनवेरिएंट कहा जाता है। लगभग सभी स्केल-अपरिवर्तनीय क्यूएफटी भी [[अनुरूप समरूपता]] हैं। ऐसे सिद्धांतों का अध्ययन [[अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] है।
-क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के युग्मन पैरामीटर चल सकते हैं, भले ही संबंधित [[शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत]] स्केल-अपरिवर्तनीय हो। इस मामले में, गैर-शून्य बीटा फ़ंक्शन हमें बताता है कि शास्त्रीय पैमाने का अपरिवर्तनीयता [[अनुरूप विसंगति]] है।
+==[[स्केल अपरिवर्तनीयता|मापक्रम अपरिवर्तनीयता]]==
+यदि परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के बीटा फलन विलुप्त हो जाते हैं, सामान्यतः युग्मन मापदंडों के विशेष मूल्यों पर, तो सिद्धांत को मापक्रम-निश्चर कहा जाता है। लगभग सभी मापक्रम-अपरिवर्तनीय क्यूएफटी भी [[अनुरूप समरूपता]] हैं। ऐसे सिद्धांतों का अध्ययन [[अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] है।
+परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के युग्मन मापदण्ड चल सकते हैं, भले ही संबंधित [[शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत|चिरप्रतिष्ठित क्षेत्र सिद्धांत]] मापक्रम-अपरिवर्तनीय हो। इस स्तिथि में, गैर-शून्य बीटा फलन हमें बताता है कि शास्त्रीय मापक्रम का अपरिवर्तनीयता [[अनुरूप विसंगति]] है।
 ==उदाहरण==
-बीटा फ़ंक्शंस की गणना आमतौर पर किसी प्रकार की सन्निकटन योजना में की जाती है। एक उदाहरण पर्टर्बेशन सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) है, जहां कोई मानता है कि युग्मन पैरामीटर छोटे हैं। फिर कोई युग्मन मापदंडों की शक्तियों में विस्तार कर सकता है और उच्च-क्रम की शर्तों को छोटा कर सकता है (संबंधित [[फेनमैन ग्राफ]]़ में लूप की संख्या के कारण उच्च फेनमैन ग्राफ़ योगदान के रूप में भी जाना जाता है)।
+बीटा फलन की गणना सामान्यतः किसी प्रकार की सन्निकटन योजना में की जाती है। एक उदाहरण क्षोभ सिद्धांत (परिमाण यांत्रिकी) है, जहां कोई मानता है कि युग्मन मापदण्ड छोटे हैं। फिर कोई युग्मन मापदंडों की शक्तियों में विस्तार कर सकता है और उच्च-क्रम की स्तिथियों को छोटा कर सकता है (संबंधित [[फेनमैन ग्राफ|फेनमैन आलेख]] में विपाशन की संख्या के कारण उच्च फेनमैन आलेख़ योगदान के रूप में भी जाना जाता है)।
-गड़बड़ी सिद्धांत में गणना किए गए बीटा फ़ंक्शन के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं:
+क्षोभ सिद्धांत में गणना किए गए बीटा फलन के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं:
-===क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स===
+===परिमाण विद्युत् गतिक===
-{{Main|Quantum electrodynamics}}
+{{Main|परिमाण विद्युत् गतिक}}
-[[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स]] (QED) में वन-लूप बीटा फ़ंक्शन है
+[[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स|परिमाण विद्युत् गतिक]] (QED) में एक-पाशन बीटा फलन है
 *<math>\beta(e)=\frac{e^3}{12\pi^2}~,</math>
 या, समकक्ष,
 *<math>\beta(\alpha)=\frac{2\alpha^2}{3\pi}~,</math>
-प्राकृतिक इकाइयों में गैर-एसआई इकाइयों में ललित-संरचना स्थिरांक के संदर्भ में लिखा गया है, {{math|''α'' {{=}}  ''e''<sup>2</sup>/4π}}.
+प्राकृतिक इकाइयों {{math|''α'' {{=}}  ''e''<sup>2</sup>/4π}} में गैर-एसआई इकाइयों में ललित-संरचना स्थिरांक के संदर्भ में लिखा गया है।
-यह बीटा फ़ंक्शन हमें बताता है कि बढ़ते ऊर्जा पैमाने के साथ युग्मन बढ़ता है, और QED उच्च ऊर्जा पर दृढ़ता से युग्मित हो जाता है। वास्तव में, युग्मन स्पष्ट रूप से कुछ सीमित ऊर्जा पर अनंत हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप लैंडौ ध्रुव बनता है। हालाँकि, कोई भी मजबूत युग्मन पर सटीक परिणाम देने के लिए पर्टर्बेटिव बीटा फ़ंक्शन की उम्मीद नहीं कर सकता है, और इसलिए यह संभावना है कि [[लैंडौ पोल]] ऐसी स्थिति में पर्टर्बेशन सिद्धांत को लागू करने की एक कलाकृति है जहां यह अब मान्य नहीं है।
+यह बीटा फलन हमें बताता है कि बढ़ते ऊर्जा मापक्रम के साथ युग्मन बढ़ता है, और QED उच्च ऊर्जा पर दृढ़ता से युग्मित हो जाता है। वास्तव में, युग्मन स्पष्ट रूप से कुछ सीमित ऊर्जा पर अनंत हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप लैंडौ ध्रुव बनता है। हालाँकि, कोई भी शक्तिशाली युग्मन पर उपयुक्त परिणाम देने के लिए घबड़ाहटपूर्ण बीटा फलन की उम्मीद नहीं कर सकता है, और इसलिए यह संभावना है कि [[लैंडौ पोल]] ऐसी स्थिति में क्षोभ सिद्धांत को लागू करने की एक कलाकृति है जहां यह अब मान्य नहीं है।
-===क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स===
+===परिमाण क्रोमोडायनामिक्स===
-{{Main|Quantum chromodynamics}}
+{{Main|परिमाण क्रोमोडायनामिक्स}}
-[[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] में वन-लूप बीटा फ़ंक्शन <math>n_f</math> स्वाद (कण भौतिकी)#क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स और <math>n_s</math> अदिश रंग का बोसोन है
+[[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स|परिमाण क्रोमोडायनामिक्स]] में एक-पाशन बीटा फलन <math>n_f</math> स्वाद (कण भौतिकी) परिमाण क्रोमोडायनामिक्स और <math>n_s</math> अदिश रंग का बोसोन है
 :<math>\beta(g)=-\left(11- \frac{n_s}{6} - \frac{2n_f}{3}\right)\frac{g^3}{16\pi^2}~,</math>
 या
 :<math>\beta(\alpha_s)=-\left(11- \frac{n_s}{6}-\frac{2n_f}{3}\right)\frac{\alpha_s^2}{2\pi}~,</math>
-α के संदर्भ में लिखा गया है<sub>s</sub>= <math>g^2/4\pi</math> .
+α<sub>s</sub>= <math>g^2/4\pi</math> के संदर्भ में लिखा गया है।
-यदि एन<sub>''f''</sub> ≤ 16, आगामी बीटा फ़ंक्शन यह निर्देश देता है कि बढ़ते ऊर्जा पैमाने के साथ युग्मन कम हो जाता है, एक घटना जिसे एसिम्प्टोटिक स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, घटते ऊर्जा पैमाने के साथ युग्मन बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि युग्मन कम ऊर्जा पर बड़ा हो जाता है, और कोई अब गड़बड़ी सिद्धांत पर भरोसा नहीं कर सकता है।
+यदि एन<sub>''f''</sub> ≤ 16, आगामी बीटा फलन यह निर्देश देता है कि बढ़ते ऊर्जा मापक्रम के साथ युग्मन कम हो जाता है, एक घटना जिसे अनंतस्पर्शी स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, घटते ऊर्जा मापक्रम के साथ युग्मन बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि युग्मन कम ऊर्जा पर बड़ा हो जाता है, और कोई अब गड़बड़ी सिद्धांत पर भरोसा नहीं कर सकता है।
 ===एसयू(एन) गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत===
-जबकि QCD का (यांग-मिल्स) गेज समूह है <math>SU(3)</math>, और 3 रंग निर्धारित करता है, हम किसी भी संख्या में रंगों का सामान्यीकरण कर सकते हैं, <math>N_c</math>, एक गेज समूह के साथ <math>G=SU(N_c)</math>. फिर इस गेज समूह के लिए, लाई समूहों के प्रतिनिधित्व में डिराक फर्मियन के साथ <math>R_f</math> का <math>G</math> और एक प्रतिनिधित्व में जटिल अदिश के साथ <math>R_s</math>, वन-लूप बीटा फ़ंक्शन है
+जबकि क्यूसीडी का (यांग-मिल्स) गेज समूह <math>SU(3)</math> है, और 3 रंग निर्धारित करता है, हम किसी भी संख्या <math>N_c</math> में  एक गेज समूह <math>G=SU(N_c)</math> के साथ रंगों का सामान्यीकरण कर सकते हैं। फिर इस गेज समूह के लिए, <math>G</math> के प्रतिनिधित्व <math>R_f</math> में डिराक फ़र्मियन के साथ और प्रतिनिधित्व <math>R_s</math> में जटिल अदिश के साथ, एक-विपाश बीटा फलन है
 :<math>\beta(g)=-\left(\frac{11}{3}C_2(G)-\frac{1}{3}n_sT(R_s)-\frac{4}{3}n_f T(R_f)\right)\frac{g^3}{16\pi^2}~,</math>
-कहाँ <math>C_2(G)</math> कासिमिर का अपरिवर्तनीय है <math>G</math> और <math>T(R)</math> द्वारा परिभाषित एक और कासिमिर अपरिवर्तनीय है <math>Tr (T^a_RT^b_R) = T(R)\delta^{ab}</math> जनरेटर के लिए <math>T^{a,b}_R</math> प्रतिनिधित्व में झूठ बीजगणित का। ([[वेल]] और [[मेजराना फर्मियन्स]] के, प्रतिस्थापित करें <math>4/3</math> द्वारा <math>2/3</math>, और वास्तविक अदिशों के लिए, प्रतिस्थापित करें <math>1/3</math> द्वारा <math>1/6</math>.) गेज फ़ील्ड (यानी ग्लूऑन) के लिए, आवश्यक रूप से एक झूठ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व में <math>G</math>, <math>C_2(G) = N_c</math>; [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] (या मौलिक विरोधी) प्रतिनिधित्व में फर्मियन के लिए <math>G</math>, <math>T(R) = 1/2</math>. फिर क्यूसीडी के लिए, साथ में <math>N_c = 3</math>, उपरोक्त समीकरण क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स बीटा फ़ंक्शन के लिए सूचीबद्ध समीकरण को कम कर देता है।
+जहां <math>C_2(G)</math> <math>G</math> का द्विघात कासिमिर है और <math>T(R)</math> एक और कासिमिर अपरिवर्तनीय है जिसे <math>Tr (T^a_RT^b_R) = T(R)\delta^{ab}</math> द्वारा प्रतिनिधित्व R में लाइ बीजगणित के जेनरेटर <math>T^{a,b}_R</math> के लिए परिभाषित किया गया है। ([[वेल]] और [[मेजराना फर्मियन्स]] के, <math>4/3</math> द्वारा <math>2/3</math> प्रतिस्थापित करें, और वास्तविक अदिशों के लिए, <math>1/3</math> द्वारा <math>1/6</math> प्रतिस्थापित करें) गेज फ़ील्ड (यानी ग्लूऑन) के लिए, आवश्यक रूप से एक लाइ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व में <math>G</math>, <math>C_2(G) = N_c</math>; [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] (या मौलिक विरोधी) प्रतिनिधित्व में फर्मियन के लिए <math>G</math>, <math>T(R) = 1/2</math> है। फिर क्यूसीडी के लिए, साथ में <math>N_c = 3</math>, उपरोक्त समीकरण परिमाण क्रोमोडायनामिक्स बीटा फलन के लिए सूचीबद्ध समीकरण को कम कर देता है।
 यह प्रसिद्ध परिणाम 1973 में एच. डेविड पोलित्ज़र द्वारा लगभग एक साथ निकाला गया था,<ref>
@@ Line 68: / Line 69: @@
   | url=http://inspirehep.net/record/81404 |bibcode = 1973PhRvD...8.3633G | doi-access=free
   }}.</ref> जिसके लिए तीनों को 2004 में [[भौतिकी में नोबेल पुरस्कार विजेताओं की सूची]] से सम्मानित किया गया।
-इन लेखकों से अनभिज्ञ, जेरार्ड 'टी हूफ़्ट|जी. 'टी हूफ़्ट ने जून 1972 में मार्सिले में एक छोटी बैठक में के. सिमानज़िक की बातचीत के बाद एक टिप्पणी में परिणाम की घोषणा की थी, लेकिन उन्होंने इसे कभी प्रकाशित नहीं किया।<ref>
+इन लेखकों से अनभिज्ञ, जेरार्ड 'टी हूफ़्ट|जी. 'टी हूफ़्ट ने जून 1972 में मार्सिले में एक छोटी बैठक में के. सिमानज़िक की बातचीत के बाद एक टिप्पणी में परिणाम की घोषणा की थी, लेकिन उन्होंने इसे कभी प्रकाशित नहीं किया। <ref>
 {{cite journal
   | author=G. 't Hooft
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-===मानक मॉडल हिग्स-युकावा कपलिंग===
-{{Main|Infrared fixed point}}
-[[मानक मॉडल]] में, क्वार्क और लेप्टान की [[हिग्स बॉसन]] के साथ युकावा अंतःक्रिया होती है। ये कण का द्रव्यमान निर्धारित करते हैं। अधिकांश क्वार्क और लेप्टान के युकावा युग्मन [[शीर्ष क्वार्क]] के युकावा युग्मन की तुलना में छोटे होते हैं। ये युकावा कपलिंग अपने मूल्यों को उस ऊर्जा पैमाने के आधार पर बदलते हैं जिस पर उन्हें रेनॉर्मलाइज़ेशन समूह के माध्यम से मापा जाता है। क्वार्क के युकावा युग्मन की गतिशीलता [[सटीक पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण]] द्वारा निर्धारित की जाती है:
+===मानक प्रतिरूप हिग्स-युकावा युग्मन===
+{{Main|अवरक्त निश्चित बिंदु}}
+[[मानक मॉडल|मानक प्रतिरूप]] में, क्वार्क और लेप्टान की [[हिग्स बॉसन]] के साथ युकावा अंतःक्रिया होती है। ये कण का द्रव्यमान निर्धारित करते हैं। अधिकांश क्वार्क और लेप्टान के युकावा युग्मन [[शीर्ष क्वार्क]] के युकावा युग्मन की तुलना में छोटे होते हैं। ये युकावा युग्मन अपने मूल्यों को उस ऊर्जा मापक्रम के आधार पर बदलते हैं जिस पर उन्हें रेनॉर्मलाइज़ेशन समूह के माध्यम से मापा जाता है। क्वार्क के युकावा युग्मन की गतिशीलता [[सटीक पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण|उपयुक्त पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण]] द्वारा निर्धारित की जाती है:
 <math>\mu \frac{\partial}{\partial\mu} y  \approx \frac{y}{16\pi^2}\left(\frac{9}{2}y^2 - 8 g_3^2\right)</math>,
-कहाँ <math>g_3</math> [[रंग प्रभार]] [[गेज सिद्धांत]] युग्मन है (जो इसका एक कार्य है  <math>\mu</math> और स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता से संबद्ध) और <math>y</math> युकावा युग्मन है. यह समीकरण बताता है कि युकावा युग्मन ऊर्जा पैमाने के साथ कैसे बदलता है <math>\mu</math>.
+जहाँ <math>g_3</math> [[रंग प्रभार]] [[गेज सिद्धांत]] युग्मन है (जो इसका एक कार्य <math>\mu</math> है और स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता से संबद्ध है) और <math>y</math> युकावा युग्मन है। यह समीकरण बताता है कि युकावा युग्मन ऊर्जा मापक्रम <math>\mu</math> के साथ कैसे बदलता है।
+ऊपर, नीचे, आकर्षण, अजीब और निचले क्वार्क के युकावा युग्म, [[ग्रैंड यूनिफाइड थ्योरी|भव्य एकीकृत सिद्धांत]] <math> \mu \approx 10^{15} </math> GeV के अत्यंत उच्च ऊर्जा मापक्रम पर छोटे हैं। इसलिए <math>y^2</math> उपरोक्त समीकरण में पद की उपेक्षा की जा सकती है। हल करने पर, हम पाते हैं कि कम ऊर्जा पैमाने पर y थोड़ा बढ़ जाता है, जिस पर हिग्स <math> \mu \approx 100 </math> GeV द्वारा क्वार्क द्रव्यमान उत्पन्न होता है।
-ऊपर, नीचे, आकर्षण, अजीब और निचले क्वार्क के युकावा युग्म, [[ग्रैंड यूनिफाइड थ्योरी]] के अत्यंत उच्च ऊर्जा पैमाने पर छोटे हैं, <math> \mu \approx 10^{15} </math> GeV. इसलिए <math>y^2</math> उपरोक्त समीकरण में पद की उपेक्षा की जा सकती है। हल करते हुए हम फिर उसे ढूंढते हैं <math>y</math> निम्न ऊर्जा पैमाने पर, जिस पर क्वार्क द्रव्यमान हिग्स द्वारा उत्पन्न होता है, थोड़ा बढ़ जाता है, <math> \mu \approx 100 </math> GeV.
+दूसरी ओर, बड़े प्रारंभिक मानों के लिए इस समीकरण का समाधान <math>y</math> जैसे ही हम ऊर्जा मापक्रम पर उतरते हैं, आरएचएस तीव्रता से छोटे मूल्यों तक पहुंचने का कारण बनता है। फिर उपरोक्त समीकरण <math>y</math> क्यूसीडी युग्मन <math>g_3</math> के लिए लॉक हो जाता है। इसे युकावा युग्मन के लिए पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण के (अवरक्त) अर्ध-निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। <ref>{{cite journal|last1=Pendleton|first1=B.|last2=Ross|first2=G.G.|title=इन्फ्रारेड निश्चित बिंदुओं से द्रव्यमान और मिश्रण कोण की भविष्यवाणी|journal=Phys. Lett.|date=1981|volume=B98|issue=4 |page=291|doi=10.1016/0370-2693(81)90017-4|bibcode = 1981PhLB...98..291P }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Hill|first1=C.T.|title=पुनर्सामान्यीकरण समूह से क्वार्क और लेप्टान द्रव्यमान निश्चित बिंदु|journal=Phys. Rev.|date=1981|volume=D24|issue=3 |page=691|doi=10.1103/PhysRevD.24.691|bibcode = 1981PhRvD..24..691H }}</ref> इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि युग्मन का प्रारंभिक आरंभिक मान क्या है, यदि यह पर्याप्त रूप से बड़ा है तो यह इस अर्ध-निश्चित बिंदु मान तक पहुंच जाएगा, और संबंधित क्वार्क द्रव्यमान की भविष्यवाणी की जाती है।
-दूसरी ओर, बड़े प्रारंभिक मानों के लिए इस समीकरण का समाधान <math>y</math> जैसे ही हम ऊर्जा पैमाने पर उतरते हैं, आरएचएस तेजी से छोटे मूल्यों तक पहुंचने का कारण बनता है। फिर उपरोक्त समीकरण लॉक हो जाता है <math>y</math> क्यूसीडी युग्मन के लिए <math>g_3</math>. इसे युकावा युग्मन के लिए पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण के (अवरक्त) अर्ध-निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite journal|last1=Pendleton|first1=B.|last2=Ross|first2=G.G.|title=इन्फ्रारेड निश्चित बिंदुओं से द्रव्यमान और मिश्रण कोण की भविष्यवाणी|journal=Phys. Lett.|date=1981|volume=B98|issue=4 |page=291|doi=10.1016/0370-2693(81)90017-4|bibcode = 1981PhLB...98..291P }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Hill|first1=C.T.|title=पुनर्सामान्यीकरण समूह से क्वार्क और लेप्टान द्रव्यमान निश्चित बिंदु|journal=Phys. Rev.|date=1981|volume=D24|issue=3 |page=691|doi=10.1103/PhysRevD.24.691|bibcode = 1981PhRvD..24..691H }}</ref> इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि युग्मन का प्रारंभिक आरंभिक मान क्या है, यदि यह पर्याप्त रूप से बड़ा है तो यह इस अर्ध-निश्चित बिंदु मान तक पहुंच जाएगा, और संबंधित क्वार्क द्रव्यमान की भविष्यवाणी की जाती है।
+अर्ध-निश्चित बिंदु का मान मानक प्रतिरूप में काफी उपयुक्त रूप से निर्धारित किया गया है, जिससे अनुमानित शीर्ष क्वार्क द्रव्यमान 230 GeV है। 174 GeV का देखा गया शीर्ष क्वार्क द्रव्यमान मानक प्रतिरूप पूर्वानुमान से लगभग 30% कम है, जो बताता है कि एकल मानक प्रतिरूप हिग्स बोसोन से अधिक हिग्स युगल हो सकते हैं।
-अर्ध-निश्चित बिंदु का मान मानक मॉडल में काफी सटीक रूप से निर्धारित किया गया है, जिससे अनुमानित शीर्ष क्वार्क द्रव्यमान 230 GeV है।{{Citation needed|date=November 2021}} 174 GeV का देखा गया शीर्ष क्वार्क द्रव्यमान मानक मॉडल पूर्वानुमान से लगभग 30% कम है, जो बताता है कि एकल मानक मॉडल हिग्स बोसोन से अधिक हिग्स युगल हो सकते हैं।
+===न्यूनतम अति सममित मानक प्रतिरूप===
+{{Main|न्यूनतम अति सममित मानक प्रतिरूप#गेज-युग्मन एकीकरण}}
-===न्यूनतम सुपरसिमेट्रिक मानक मॉडल===
+भव्य एकीकरण के न्यूनतम अति सममित मानक प्रतिरूप (एमएसएसएम) और हिग्स-युकावा निश्चित बिंदुओं में पुनर्नामीकरण समूह अध्ययन बहुत उत्साहजनक थे कि सिद्धांत सही रास्ते पर था। हालाँकि, अब तक,[[ लार्ज हैड्रान कोलाइडर | व्यापक हैड्रान कोलाइडर]] के प्रयोग में अनुमानित एमएसएसएम कणों का कोई प्रमाण सामने नहीं आया है।
-{{Main|Minimal Supersymmetric Standard Model#Gauge-Coupling Unification}}
-भव्य एकीकरण के न्यूनतम सुपरसिमेट्रिक मानक मॉडल (एमएसएसएम) और हिग्स-युकावा निश्चित बिंदुओं में पुनर्नामीकरण समूह अध्ययन बहुत उत्साहजनक थे कि सिद्धांत सही रास्ते पर था। हालाँकि, अब तक, [[ लार्ज हैड्रान कोलाइडर ]] के प्रयोग में अनुमानित एमएसएसएम कणों का कोई प्रमाण सामने नहीं आया है।
 ==यह भी देखें==
 *बैंक-जैक्स निश्चित बिंदु
 *कॉलन-सिमांज़िक समीकरण
-*[[क्वांटम तुच्छता]]
+*[[क्वांटम तुच्छता|परिमाण तुच्छता]]
 ==संदर्भ==

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