घन सतह

गणित में, घन सतह 3-आयामी क्षेत्र में सतह के रूप में होता है, जिसे घात 3 के बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में घन सतह मौलिक उदाहरण के रूप में होता हैं। इस सिद्धांत को एफ़ेईन क्षेत्र के अतिरिक्त प्रक्षेपण क्षेत्र में काम करके सरलीकृत किया गया है और इसलिए घन सतहों को सामान्यतः प्रक्षेपीय 3-स्थान $\mathbf {P} ^{3}$ के रूप में जाना जाता है और इस प्रकार वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त जटिल संख्याओं पर सतहों के फोकस करने पर सिद्धांत अधिक समरूप हो जाता है और इस प्रकार ध्यान दें कि जटिल सतह का वास्तविक आयाम 4 होता है। फर्मेट घन सतह का एक सरल उदाहरण है।

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0$

$\mathbf {P} ^{3}$. घन सतहों के कई गुण सामान्यतः डेल पेज़ो की सतहों के लिए पकड़ अधिक होती है।

एक चिकनी घन सतह (क्लबश सतह)

घन सतहों की तर्कसंगतता

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र X पर चिकनी घन सतहों की केंद्रीय विशेषता यह है कि वे सभी तर्कसंगत विविधताओ के रूप में होती है, जैसा कि 1866 में अल्फ्रेड क्लेब्सच द्वारा दिखाया गया है। अर्थात, यहां एक से एक पत्राचार है जो प्रक्षेपीय समतल $\mathbf {P} ^{2}$ के मध्य निम्न आयामी उप समुच्चय तथा X शून्य से निम्न आयामी उपसमुच्चय के मध्य तार्किक फलनों द्वारा परिभाषित होता है। सामान्य रूप से, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अलघुकरणीय घन सतह संभवतः अद्वितीय तर्कसंगत के रूप में होते है। जब तक कि यह किसी घन वक्र पर काल्पनिक शंकु न हो। इस संबंध में, $\mathbf {P} ^{3}$ में कम से कम 4 घात की चिकनी सतह की तुलना में घन सतहें बहुत सरल रूप में होती है, जो कभी भी तर्कसंगत नहीं होते हैं और इस प्रकार अभिलाक्षणिक (बीजगणित) शून्य में कम से कम 4 इंच की चिकनी सतहें $\mathbf {P} ^{3}$ अनियंत्रित समान नहीं होती हैं।

क्लेब्स ने अधिक दृढ़ता से दिखाया कि प्रत्येक चिकनी घन सतह $\mathbf {P} ^{3}$ बीजगणितीय द्वारा निर्मित क्षेत्र आइसोमोर्फिक है तथा $\mathbf {P} ^{2}$ को 6 बिन्दुओं पर उडान भरने के लिए समरूप है। परिणाम स्वरुप, जटिल संख्याओं पर हर चिकनी घन सतह जुड़ी हुई राशि के लिए भिन्न -भिन्न होती है $\mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})$, जहां ऋण चिह्न ओरिएंटेशन के परिवर्तन को संदर्भित करता है। इसके विपरीत $\mathbf {P} ^{2}$ से 6 बिन्दुओं पर एक घन सतह के लिए आइसोमोर्फिक है और यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु एक रेखा पर नहीं हैं और सभी 6 शंकु पर स्थित नहीं हैं और इस प्रकार जटिल कई गुना या एक बीजगणितीय विविधता के रूप में सतह उन 6 बिंदुओं की व्यवस्था पर निर्भर करती है।

एक घन सतह पर 27 रेखाएँ

घन सतहों के लिए तर्कसंगतता के अधिकांश प्रमाण सतह पर रेखा खोजने से प्रारंभ होते हैं। प्रक्षेपी ज्यामिति के संदर्भ में, रेखा में $\mathbf {P} ^{3}$ के लिए रेखा आइसोमॉर्फिक $\mathbf {P} ^{1}$ के रूप में होते है और इस प्रकार यथार्थ रूप से, आर्थर केली और जॉर्ज सामन ने 1849 में दिखाया कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक चिकनी घन सतह में ठीक 27 रेखाएँ होती हैं। यह घन की विशिष्ट विशेषता है की चिकनी चतुष्कोणीय घात 2 सतह रेखाओं के सतत समूह द्वारा कवर की जाती है, जबकि घात की अधिकांश सतहें कम से कम 4 इंच की होती हैं। $\mathbf {P} ^{3}$ कोई रेखा के रूप में नहीं है। 27 पंक्तियों को खोजने के लिए एक अन्य उपयोगी प्रोद्योगिकीय में शुबर्ट कैलकुलस के रूप में सम्मलित है, जो पंक्ति की संख्या का अभिकलन करता है और यह $\mathbf {P} ^{3}$. पर पंक्ति के ग्रासमानियन के प्रतिच्छेदन सिद्धांत का प्रयोग करता है।

चूंकि चिकनी जटिल घन सतह के गुणांक भिन्न होते हैं, 27 रेखाएं लगातार चलती हैं। परिणाम स्वरुप चिकनी घन सतहों के समूह में एक बंद लूप 27 रेखाओ का क्रम परिवर्तन निर्धारित करता है और इस प्रकार उत्पन्न होने वाली 27 रेखाओं के क्रमचय के (गणित) समूह को घन सतहों के समूह का मोनोड्रोमी समूह कहा जाता है। 19वीं शताब्दी की उल्लेखनीय खोज यह थी कि मोनोड्रोमी समूह न तो तुच्छ है और न ही संपूर्ण सममित समूह $S_{27}$ है यह क्रम 51840 का एक समूह है, जो रेखाओ के समुच्चय पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। इस समूह को धीरे-धीरे एली कार्टन 1896 आर्थर कोबल 1915-17 और पैट्रिक डु वैल 1936 में $E_{6}$ प्रकार के वेइल समूह के रूप में पहचाना गया था, जो 6-आयामी वास्तविक सदिश स्थान पर प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न समूह है, जो आयाम 78 के लाई समूह $E_{6}$ से संबंधित है।

क्रम 51840 के समान समूह को कॉम्बिनेटरियल शब्दों में वर्णित किया जा सकता है और इस प्रकार 27 पंक्तियों के ग्राफ (असतत गणित) के ऑटोमोर्फिज़्म समूह के रूप में प्रत्येक पंक्ति के लिए शीर्ष के रूप में होता है और जब भी दो रेखाएँ किनारे के साथ मिलती हैं। इस ग्राफ का विश्लेषण 19वीं शताब्दी में श्लाफली डबल सिक्स कॉन्फ़िगरेशन जैसे उपग्राफ का उपयोग करके किया जाता है। जब दो रेखाओ को विभाजित किया जाता है, तो किसी कोर के साथ पूरक ग्राफ को श्लाफ्ली ग्राफ कहते हैं।

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श्लाफली ग्राफ

घन सतहों के बारे में कई समस्याओं को $E_{6}$ रुट प्रक्रिया के संयोजन की मदद से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 27 पंक्तियों का वजन प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ पहचाना जा सकता है लाई समूह के मौलिक प्रतिनिधित्व के अर्ध-सरल लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वजन $E_{6}$.के रूप में होते है, घन सतह पर होने वाली विलक्षणता के संभावित समुच्चय को उप-प्रणालियों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। इस संबंध के लिए व्याख्या यह है कि $E_{6}$ जाली एंटीकैनोनिकल वर्ग के ऑर्थोगोनल पूरक के रूप में उत्पन्न होती है $-K_{X}$ पिकार्ड समूह में $\operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}$, किसी समतल जटिल घन सतह के लिए किसी सतह पर वक्रों के प्रतिच्छेद सिद्धांत से आने वाले इसके प्रतिच्छेद रूप के साथ, पिकार्ड जालक की पहचान सह-समरूपता समूह $H^{2}(X,\mathbf {Z} )$ के साथ की जा सकती है।

एकअरड बिंदु वह बिंदु है जहां 27 में से 3 रेखाएँ मिलती हैं और इस प्रकार अधिकांश घन सतहों में कोई एकार्ट पॉइंट नहीं होता है, लेकिन ऐसे बिंदु सभी चिकनी घन सतहों के समूह के सह आयामी -1 उप समुच्चय के रूप में होते हैं।

X पर घन सतह और के विस्फोट के बीच एक पहचान को देखते हुए $\mathbf {P} ^{2}$ सामान्य स्थिति में 6 बिंदुओं पर, X पर 27 पंक्तियों को इस प्रकार देखा जा सकता है उड़ाते हुए बनाए गए 6 असाधारण वक्र, 6 बिंदुओं के जोड़े के माध्यम से 15 पंक्तियों के द्विवार्षिक परिवर्तन $\mathbf {P} ^{2}$ और 6 शंकुओं के द्विभाजित रूपांतरण करते है जिनमें 6 बिंदुओं में से एक को छोड़कर सभी सम्मलित हैं। दी गई घन सतह को विस्फोट के रूप में देखा जा सकता है, दिए गए घन सतह को एक से अधिक विधियों से वास्तव में, 72 भिन्न -भिन्न विधियों से $\mathbf {P} ^{2}$ के ऊपर विस्फोट के रूप में देखा जा सकता है.और इसलिए ब्लो-अप के रूप में एक विवरण सभी 27 पंक्तियों के बीच समरूपता को प्रकट नहीं करता है।

घन सतहों और के बीच संबंध $E_{6}$ रूट प्रणाली सभी डेल पेज़ो सतहों और रूट प्रणाली के बीच संबंध का सामान्यीकरण करता है। यह गणित के कई एडीई वर्गीकरणों में से एक है। इन समानता का अनुसरण करते हुए वेरा सर्गनोवा और एलेक्सी स्कोरोबोगाटोव ने घन सतहों और लाई समूह $E_{6}$ के बीच प्रत्यक्ष रूप में ज्यामितीय संबंध दिया होता है।.

भौतिकी में, 27 पंक्तियों को छह-आयामी टोरस्र्स (6 मोमेंटा; 15 ब्रानेस; 6 फाइवब्रेन) और समूह E₆ पर एम-सिद्धांत के 27 संभावित अभिकथन के साथ पहचाना जा सकता है। तब स्वाभाविक रूप से U-द्वैत समूह के रूप में कार्य करता है। डेल पेज़ो सतहों और टोरी पर M-सिद्धांत के बीच के इस मानचित्र को रहस्यमय द्वैत के रूप में जाना जाता है।

विशेष घनीय सतहें

चिकनी जटिल घन सतह में $\mathbf {P} ^{3}$ सबसे बड़े ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ फ़र्मेट घन सतह के रूप में होते है, जिसे परिभाषित किया गया है।

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.$

इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह विस्तार $3^{3}:S_{4}$, क्रम 648 का होता है।

अगली सबसे सममित चिकनी घनीय सतह क्लेब्स्च सतह के रूप में होती है, जो दो समीकरणों द्वारा $\mathbf {P} ^{4}$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.$

इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह सममित समूह $S_{5}$, क्रम 120 के रूप में है। निर्देशांक के जटिल रैखिक परिवर्तन के बाद क्लेब्सच सतह को समीकरण द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है

$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}x=0$

में $\mathbf {P} ^{3}$.

केली की नोडल घन सतह

अद्वितीय जटिल घन सतहों के बीच केली की नोडल घन सतह अद्वितीय सतह के रूप में होती है, जिसमें नोड की अधिकतम 4 संख्या बीजगणितीय ज्यामिति है,

$wxy+xyz+yzw+zwx=0.$

इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह $S_{4}$, क्रम 24 के रूप में है।

रियल घन सरफेस

जटिल स्थिति के विपरीत, वास्तविक संख्याओं पर चिकनी घन सतहों का स्थान चिरसम्मत टोपोलॉजिकल स्थान आर के टोपोलॉजी पर आधारित जुड़ा हुआ स्थान नहीं है। इसके जुड़े घटक दूसरे शब्दों में, समस्थानिक तक चिकनी वास्तविक घन सतहों का वर्गीकरण लुडविग श्लाफली (1863), फेलिक्स क्लेन (1865) और हिरोनिमस जॉर्ज ज़्यूथेन एच द्वारा निर्धारित किया गया था और इस प्रकार जी ज़्यूथेन (1875)। अर्थात्, चिकनी वास्तविक घन सतहों X के 5 समस्थानिक वर्ग के रूप में हैं $\mathbf {P} ^{3}$, तर्कसंगत बिंदु के स्थान की टोपोलॉजी द्वारा प्रतिष्ठित $X(\mathbf {R} )$. वास्तविक बिंदुओं का स्थान या तो भिन्न है $W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}$, या असंयुक्त संघ $W_{1}$ और 2-गोला, जहां $W_{r}$ वास्तविक वास्तविक प्रक्षेपी तल r प्रतियों के जुड़े योग को दर्शाता है $\mathbf {RP} ^{2}$.तदनुसार, X में निहित वास्तविक रेखाओं की संख्या 27, 15, 7, 3 या 3 के रूप में है।

एक चिकनी वास्तविक घन सतह R पर तर्कसंगत है यदि और केवल इसके वास्तविक बिंदुओं की जगह से जुड़ा है, इसलिए पिछले पांच स्थितियों में से पहले चार की जगह से जुड़ा है।

X वास्तविक रेखाओं की औसत संख्या है $6{\sqrt {2}}-3$ जब X के लिए परिभाषित बहुपद बेम्बरी के आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित गासिया कलाकारों के समूह से यादृच्छिक रूप में नमूना लिया जाता है।

घन सतहों का मापांक स्थान

दो चिकनी घन सतहें बीजगणितीय प्रकार के आइसोमोर्फिक रूप में होते है यदि केवल जब वे $\mathbf {P} ^{3}$के किसी रैखिक ऑटोमोर्फिज्म के समतुल्य होते है.तो ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत चिकनी घन सतहों के प्रत्येक आइसोमोर्फिज्म वर्ग के लिए एक बिंदु के साथ घन सतहों का एक मापांक स्थान देता है। इस मोडुली स्थान का आयाम 4 होता है और इस प्रकार अधिक यथार्थ रूप से यह सलमन और क्लेबश (1860) द्वारा भारित भारित प्रक्षेप्य स्थान(12345) का एक खुला उपसमुच्चय है। विशेष रूप से, यह तर्कसंगत 4 गुना है।

वक्रों का शंकु

$\mathbf {P} ^{3}$ में X के एम्बेडिंग के संदर्भ के बिना बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर घन सतह X की रेखाओं को आंतरिक रूप से वर्णित किया जा सकता है। वे वास्तव में (−1)-X पर वक्र के रूप में होती है, जिसका अर्थ है कि $\mathbf {P} ^{1}$ के समतुल्य वक्र हैं जिनमें स्व-प्रतिच्छेदन -1 है। इसके अतिरिक्त X के पिकार्ड जाली में रेखाओ के वर्ग या समतुल्य रूप से विभाजक वर्ग समूह वास्तव में पिक (एक्स) के तत्व यू हैं जैसे कि $u^{2}=-1$ और $-K_{X}\cdot u=1$. इसका उपयोग यह बताता है कि संयोजन सूत्र द्वारा हाइपरप्लेन रेखा बंडल O(1) पर $\mathbf {P} ^{3}$ X के लिए एंटीकैनोनिकल लाइन बंडल $-K_{X}$ है।

किसी भी प्रक्षेपी किस्म X के लिए वक्रों के शंकु का अर्थ उत्तल शंकु है, जो X में सभी वक्रों द्वारा फैला हुआ है वास्तविक सदिश स्थान $N_{1}(X)$ में 1-चक्र के सापेक्ष संख्यात्मक तुल्यता या अद्वितीय होमोलॉजी $H_{2}(X,\mathbf {R} )$ रूप में होता है यदि आधार क्षेत्र सम्मिश्र संख्या के रूप में होता है। घनीय सतह के लिए वक्रों के शंकु को 27 रेखाओं द्वारा फैलाया जाता है। और विशेष रूप से यह एक परिमेय बहुफलकीय शंकु $N_{1}(X)\cong \mathbf {R} ^{7}$के रूप में होता है और बड़े समरूपता समूह के साथ वेइल समूह $E_{6}$.के लिए किसी भी डेल पेज़ो सतह के लिए घटता के शंकु का एक समान विवरण है।

एक क्षेत्र पर घन सतहें

फ़ील्ड k पर एक चिकनी घन सतह X जो बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, k पर तर्कसंगत नहीं होना चाहिए। अत्यंत कठिन स्थिति के रूप में परिमेय संख्या 'Q' या p-adic संख्या $\mathbf {Q} _{p}$पर चिकनी घन सतहें होती हैं और इस प्रकार बिना परिमेय बिंदु के जिस स्थिति में निश्चित रूप से परिमेय नहीं है जहाँ X निश्चित रूप से तर्कसंगत नहीं है। यदि X(k) गैर-रिक्त है, तो बेनिएमिनो सेग्रे और जेनोस कोल्लार द्वारा X कम से कम अपरिमेय से अधिक है। k अनंत के लिए, अनिरर्थकता का अर्थ है कि k-तर्कसंगत बिंदुओं का समुच्चय X में ज़रिस्की डेनस के रूप में है।

K का निरपेक्ष गैलोज़ समूह$E_{6}$ के वेइल समूह के कुछ उपसमूह के माध्यम से k के बीजगणितीय समापन k पर X की 27 पंक्तियों की अनुमति देता है। यदि इस क्रिया की कुछ कक्षा में भिन्न -भिन्न रेखाएँ होती हैं, तो X एक बंद बिंदु पर k के ऊपर एक सरल डेल पेज़ो सतह का ब्लो-अप के रूप में होता है। अन्यथा, X का पिकार्ड नंबर 1 है। X का पिकार्ड समूह ज्यामितीय पिकार्ड समूह का $\operatorname {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}$एक उपसमूह है और इस प्रकार बाद के स्थिति में, सेग्रे ने दिखाया कि X कभी भी तर्कसंगत नहीं है और अधिक दृढ़ता से, यूरी मैनिन ने द्विपक्षीय कठोरता बयान सिद्ध कर दिया जो पिकार्ड नंबर 1 के साथ दो चिकनी घन सतहें एक पूर्ण क्षेत्र के ऊपर द्विवार्षिक रूप में हैं यदि और केवल यदि वे आइसोमोर्फिक हैं। उदाहरण के लिए ये परिणाम Q के ऊपर कई घन सतह देते हैं जो अपरिमेय हैं लेकिन तर्कसंगत नहीं हैं।

अद्वितीय घन सतहें

चिकनाई घन सतहों के विपरीत जिसमें 27 रेखाएँ होती हैं, विलक्षणता (गणित) घन सतहों में कम रेखाएँ होती हैं। इसके अतिरिक्त उन्हें विलक्षणता के प्रकार से वर्गीकृत किया जा सकता है जो उनके सामान्य रूप में उत्पन्न होती है। इन विलक्षणताओं को डायनकिन आरेख का उपयोग करके वर्गीकृत किया गया है।

वर्गीकरण

यदि स्थानीय निर्देशांक $[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]$ के साथ एक सामान्य विलक्षण घन सतह $X$ में ${\textbf {P}}_{\mathbb {C} }^{3}$ को सामान्य रूप में कहा जाता है यदि यह $F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0$. द्वारा दिया गया हो यह विलक्षणता के प्रकार पर निर्भर करता है और $X$ के रूप में सम्‍मिलित है, यह प्रक्षेपी सतह में समरूपता ${\textbf {P}}^{3}$ है और इस प्रकार दिए गए $F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0$ जहाँ $f_{2},f_{3}$ नीचे दी गई तालिका के अनुसार हैं। इसका अर्थ है कि हम सभी अद्वितीय घनीय सतहों का वर्गीकरण प्राप्त कर सकते हैं। निम्न तालिका के पैरामीटर इस प्रकार हैं $a,b,c$ के तीन भिन्न तत्व हैं $\mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ पैरामीटर $d,e$ में हैं $\mathbb {C} \setminus \{0,-1\}$ और $u$ का एक तत्व है $\mathbb {C} \setminus \{0\}$. ध्यान दें कि विलक्षणता के साथ दो भिन्न -भिन्न अद्वितीय घन सतहें $D_{4}$ के रूप में है

विलक्षणता प्रकार द्वारा अद्वितीय घन सतहों का वर्गीकरण

विलक्षणता	$f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})$	$f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})$
$A_{1}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$(x_{0}-ax_{1})(-x_{0}+(b+1)x_{1}-bx_{2})(x_{1}-cx_{2})$
$2A_{1}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$(x_{0}-2x_{1}+x_{2})(x_{0}-ax_{1})(x_{1}-bx_{2})$
$A_{1}A_{2}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$(x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})$
$3A_{1}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{0}x_{2}(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})$
$A_{1}A_{3}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$(x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-2x_{1}+x_{2})$
$2A_{1}A_{2}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{1}^{2}(x_{0}-x_{1})$
$4A_{1}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$(x_{0}-x_{1})(x_{1}-x_{2})x_{1}$
$A_{1}A_{4}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{0}^{2}x_{1}$
$2A_{1}A_{3}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{0}x_{1}^{2}$
$A_{1}2A_{2}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{1}^{3}$
$A_{1}A_{5}$	$x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}$	$x_{0}^{3}$
$A_{2}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(dx_{0}+ex_{1}+dex_{2})$
$2A_{2}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{2}(x_{1}+x_{2})(-x_{1}+dx_{2})$
$3A_{2}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{2}^{3}$
$A_{3}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(x_{0}-ux_{1})$
$A_{4}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{0}^{2}x_{2}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}$
$A_{5}$	$x_{0}x_{1}$	$x_{0}^{3}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}$
$D_{4}(1)$	$x_{0}^{2}$	$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$
$D_{4}(2)$	$x_{0}^{2}$	$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}$
$D_{5}$	$x_{0}^{2}$	$x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}$
$E_{6}$	$x_{0}^{2}$	$x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{3}$
${\tilde {E}}_{6}$	$0$	$x_{1}^{2}x_{2}-x_{0}(x_{0}-x_{2})(x_{0}-ax_{2})$

सामान्य रूप में, जब भी कोई घन सतह $X$ में कम से कम $A_{1}$ विलक्षणता हो, इसमें $A_{1}$ विलक्षणता पर $[0:0:0:1]$के रूप में होगा

अद्वितीय घनीय सतहों पर रेखाएँ

अद्वितीय घनीय सतहों के वर्गीकरण के अनुसार, निम्न तालिका प्रत्येक सतह में प्रक्षेपी रेखाओं की संख्या को दर्शाती है।

Lines on singular cubic surfaces

Singularity	$A_{1}$	$2A_{1}$	$A_{1}A_{2}$	$3A_{1}$	$A_{1}A_{3}$	$2A_{1}A_{2}$	$4A_{1}$	$A_{1}A_{4}$	$2A_{1}A_{3}$	$A_{1}2A_{2}$	$A_{1}A_{5}$	$A_{2}$	$2A_{2}$	$3A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$	$D_{4}$	$D_{5}$	$E_{6}$	${\tilde {E}}_{6}$
No. of lines	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	$\infty$

बिना किसी पैरामीटर के अद्वितीय घन सतहों के automorphism समूह

एक सामान्य विलक्षण घन सतह का एक ऑटोमोर्फिज्म $X$ प्रक्षेपीय स्थान के ऑटोमोर्फिज्म का प्रतिबंध (गणित) है ${\textbf {P}}^{3}$ को $X$. इस तरह के ऑटोमोर्फिज्म अद्वितीय बिंदुओं को संरक्षित करते हैं। इसके अतिरिक्त , वे विभिन्न प्रकार की विलक्षणताओं की अनुमति नहीं देते हैं। यदि सतह में एक ही प्रकार की दो विलक्षणताएँ होती हैं, तो ऑटोमोर्फिज़्म उन्हें अनुमति दे सकता है। घन सतह पर ऑटोमोर्फिज्म का संग्रह एक समूह (गणित) बनाता है, जिसे ऑटोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है। निम्न तालिका बिना किसी पैरामीटर के अद्वितीय घन सतहों के सभी ऑटोमोर्फिज़्म समूहों को दिखाती है।

Automorphism groups of singular cubic surfaces with no parameters

Singularity	Automorphism group of $X$
$A_{1}A_{3}$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
$2A_{1}A_{2}$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
$4A_{1}$	$\Sigma _{4}$, the symmetric group of order $4!$
$A_{1}A_{4}$	$\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}$
$2A_{1}A_{3}$	$\mathbb {C} ^{\times }\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
$A_{1}2A_{2}$	$\mathbb {C} ^{\times }\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
$A_{1}A_{5}$	$\mathbb {C} \rtimes \mathbb {C} ^{\times }$
$3A_{2}$	$(\mathbb {C} )^{2}\rtimes \Sigma _{3}$
$A_{4}$	$\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$
$A_{5}$	$(\mathbb {C} \rtimes \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
$D_{4}(1)$	$\mathbb {C} ^{\times }\rtimes \Sigma _{3}$
$D_{4}(2)$	$\Sigma _{3}$
$D_{5}$	$\mathbb {C} ^{\times }$
$E_{6}$	$\mathbb {C} \rtimes \mathbb {C} ^{\times }$

यह भी देखें

• बीजगणितीय सतह
• एनरिक्स-कोडैरा वर्गीकरण
• फैनो किस्म
• शुबर्ट कैलकुलस

संदर्भ

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• Schläfli, Ludwig (1863), "On the distribution of surfaces of the third order into species, in reference to the absence or presence of singular points, and the reality of their lines", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, The Royal Society, 153: 193–241, doi:10.1098/rstl.1863.0010, ISSN 0080-4614, JSTOR 108795
• Segre, Beniamino (1942), The non-singular cubic surfaces, Oxford University Press, MR 0008171
• Serganova, Vera; Skorobogatov, Alexei (2007), "Del Pezzo surfaces and representation theory", Algebra and Number Theory, 1 (4): 393–419, doi:10.2140/ant.2007.1.393, MR 2368955
• Silhol, Robert (1989), Real algebraic surfaces, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1392, Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0088815, ISBN 3-540-51563-1, MR 1015720

बाहरी संबंध

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "घन सतह", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• Lines on a Cubic Surface by Ryan Hoban (The Experimental Geometry Lab at the University of Maryland), based on work by William Goldman, The Wolfram Demonstrations Project.
• The Cubic Surfaces DVD (54 animations of cubic surfaces, downloadable separately or as a DVD)