घन सतह

गणित में, घन सतह 3-आयामी क्षेत्र में सतह के रूप में होता है, जिसे घात 3 के बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में घन सतह मौलिक उदाहरण के रूप में होता हैं। इस सिद्धांत को एफ़ेईन क्षेत्र के अतिरिक्त प्रक्षेपण क्षेत्र में काम करके सरलीकृत किया गया है और इसलिए घन सतहों को सामान्यतः प्रक्षेपीय 3-स्थान $\mathbf {P} ^{3}$ के रूप में जाना जाता है और इस प्रकार वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त जटिल संख्याओं पर सतहों के फोकस करने पर सिद्धांत अधिक समरूप हो जाता है और इस प्रकार ध्यान दें कि जटिल सतह का वास्तविक आयाम 4 होता है। फर्मेट घन सतह का एक सरल उदाहरण है।

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0$

$\mathbf {P} ^{3}$. घन सतहों के कई गुण सामान्यतः डेल पेज़ो की सतहों के लिए पकड़ अधिक होती है।

File:Clebsch Cubic.png

एक चिकनी घन सतह (क्लबश सतह)

घन सतहों की तर्कसंगतता

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र X पर चिकनी घन सतहों की केंद्रीय विशेषता यह है कि वे सभी तर्कसंगत विविधताओ के रूप में होती है, जैसा कि 1866 में अल्फ्रेड क्लेब्सच द्वारा दिखाया गया है। अर्थात, यहां एक से एक पत्राचार है जो प्रक्षेपीय समतल $\mathbf {P} ^{2}$ के मध्य निम्न आयामी उप समुच्चय तथा X शून्य से निम्न आयामी उपसमुच्चय के मध्य तार्किक फलनों द्वारा परिभाषित होता है। सामान्य रूप से, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अलघुकरणीय घन सतह संभवतः अद्वितीय तर्कसंगत के रूप में होते है। जब तक कि यह किसी घन वक्र पर काल्पनिक शंकु न हो। इस संबंध में, $\mathbf {P} ^{3}$ में कम से कम 4 घात की चिकनी सतह की तुलना में घन सतहें बहुत सरल रूप में होती है, जो कभी भी तर्कसंगत नहीं होते हैं और इस प्रकार अभिलाक्षणिक (बीजगणित) शून्य में कम से कम 4 इंच की चिकनी सतहें $\mathbf {P} ^{3}$ अनियंत्रित समान नहीं होती हैं।

क्लेब्स ने अधिक दृढ़ता से दिखाया कि प्रत्येक चिकनी घन सतह $\mathbf {P} ^{3}$ बीजगणितीय द्वारा निर्मित क्षेत्र आइसोमोर्फिक है तथा $\mathbf {P} ^{2}$ को 6 बिन्दुओं पर उडान भरने के लिए समरूप है। परिणाम स्वरुप, जटिल संख्याओं पर हर चिकनी घन सतह जुड़ी हुई राशि के लिए भिन्न -भिन्न होती है $\mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})$, जहां ऋण चिह्न ओरिएंटेशन के परिवर्तन को संदर्भित करता है। इसके विपरीत $\mathbf {P} ^{2}$ से 6 बिन्दुओं पर एक घन सतह के लिए आइसोमोर्फिक है और यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु एक रेखा पर नहीं हैं और सभी 6 शंकु पर स्थित नहीं हैं और इस प्रकार जटिल कई गुना या एक बीजगणितीय विविधता के रूप में सतह उन 6 बिंदुओं की व्यवस्था पर निर्भर करती है।

एक घन सतह पर 27 रेखाएँ

घन सतहों के लिए तर्कसंगतता के अधिकांश प्रमाण सतह पर रेखा खोजने से प्रारंभ होते हैं। प्रक्षेपी ज्यामिति के संदर्भ में, रेखा में $\mathbf {P} ^{3}$ के लिए रेखा आइसोमॉर्फिक $\mathbf {P} ^{1}$ के रूप में होते है और इस प्रकार यथार्थ रूप से, आर्थर केली और जॉर्ज सामन ने 1849 में दिखाया कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक चिकनी घन सतह में ठीक 27 रेखाएँ होती हैं। यह घन की विशिष्ट विशेषता है की चिकनी चतुष्कोणीय घात 2 सतह रेखाओं के सतत समूह द्वारा कवर की जाती है, जबकि घात की अधिकांश सतहें कम से कम 4 इंच की होती हैं। $\mathbf {P} ^{3}$ कोई रेखा के रूप में नहीं है। 27 पंक्तियों को खोजने के लिए एक अन्य उपयोगी प्रोद्योगिकीय में शुबर्ट कैलकुलस के रूप में सम्मलित है, जो पंक्ति की संख्या का अभिकलन करता है और यह $\mathbf {P} ^{3}$. पर पंक्ति के ग्रासमानियन के प्रतिच्छेदन सिद्धांत का प्रयोग करता है।

चूंकि चिकनी जटिल घन सतह के गुणांक भिन्न होते हैं, 27 रेखाएं लगातार चलती हैं। परिणाम स्वरुप चिकनी घन सतहों के समूह में एक बंद लूप 27 रेखाओ का क्रम परिवर्तन निर्धारित करता है और इस प्रकार उत्पन्न होने वाली 27 रेखाओं के क्रमचय के (गणित) समूह को घन सतहों के समूह का मोनोड्रोमी समूह कहा जाता है। 19वीं शताब्दी की उल्लेखनीय खोज यह थी कि मोनोड्रोमी समूह न तो तुच्छ है और न ही संपूर्ण सममित समूह $S_{27}$ है यह क्रम 51840 का एक समूह है, जो रेखाओ के समुच्चय पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। इस समूह को धीरे-धीरे एली कार्टन 1896 आर्थर कोबल 1915-17 और पैट्रिक डु वैल 1936 में $E_{6}$ प्रकार के वेइल समूह के रूप में पहचाना गया था, जो 6-आयामी वास्तविक सदिश स्थान पर प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न समूह है, जो आयाम 78 के लाई समूह $E_{6}$ से संबंधित है।

क्रम 51840 के समान समूह को कॉम्बिनेटरियल शब्दों में वर्णित किया जा सकता है और इस प्रकार 27 पंक्तियों के ग्राफ (असतत गणित) के ऑटोमोर्फिज़्म समूह के रूप में प्रत्येक पंक्ति के लिए शीर्ष के रूप में होता है और जब भी दो रेखाएँ किनारे के साथ मिलती हैं। इस ग्राफ का विश्लेषण 19वीं शताब्दी में श्लाफली डबल सिक्स कॉन्फ़िगरेशन जैसे उपग्राफ का उपयोग करके किया जाता है। जब दो रेखाओ को विभाजित किया जाता है, तो किसी कोर के साथ पूरक ग्राफ को श्लाफ्ली ग्राफ कहते हैं।

File:Schläfli graph.svg

श्लाफली ग्राफ

घन सतहों के बारे में कई समस्याओं को $E_{6}$ रुट प्रक्रिया के संयोजन की मदद से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 27 पंक्तियों का वजन प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ पहचाना जा सकता है लाई समूह के मौलिक प्रतिनिधित्व के अर्ध-सरल लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वजन $E_{6}$.के रूप में होते है, घन सतह पर होने वाली विलक्षणता के संभावित समुच्चय को उप-प्रणालियों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। इस संबंध के लिए व्याख्या यह है कि $E_{6}$ जाली एंटीकैनोनिकल वर्ग के ऑर्थोगोनल पूरक के रूप में उत्पन्न होती है $-K_{X}$ पिकार्ड समूह में $\operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}$, किसी समतल जटिल घन सतह के लिए किसी सतह पर वक्रों के प्रतिच्छेद सिद्धांत से आने वाले इसके प्रतिच्छेद रूप के साथ, पिकार्ड जालक की पहचान सह-समरूपता समूह $H^{2}(X,\mathbf {Z} )$ के साथ की जा सकती है।

एकअरड बिंदु वह बिंदु है जहां 27 में से 3 रेखाएँ मिलती हैं और इस प्रकार अधिकांश घन सतहों में कोई एकार्ट पॉइंट नहीं होता है, लेकिन ऐसे बिंदु सभी चिकनी घन सतहों के समूह के सह आयामी -1 उप समुच्चय के रूप में होते हैं।

X पर घन सतह और के विस्फोट के बीच एक पहचान को देखते हुए $\mathbf {P} ^{2}$ सामान्य स्थिति में 6 बिंदुओं पर, X पर 27 पंक्तियों को इस प्रकार देखा जा सकता है उड़ाते हुए बनाए गए 6 असाधारण वक्र, 6 बिंदुओं के जोड़े के माध्यम से 15 पंक्तियों के द्विवार्षिक परिवर्तन $\mathbf {P} ^{2}$ और 6 शंकुओं के द्विभाजित रूपांतरण करते है जिनमें 6 बिंदुओं में से एक को छोड़कर सभी सम्मलित हैं। दी गई घन सतह को विस्फोट के रूप में देखा जा सकता है, दिए गए घन सतह को एक से अधिक विधियों से वास्तव में, 72 भिन्न -भिन्न विधियों से $\mathbf {P} ^{2}$ के ऊपर विस्फोट के रूप में देखा जा सकता है.और इसलिए ब्लो-अप के रूप में एक विवरण सभी 27 पंक्तियों के बीच समरूपता को प्रकट नहीं करता है।

घन सतहों और के बीच संबंध $E_{6}$ रूट प्रणाली सभी डेल पेज़ो सतहों और रूट प्रणाली के बीच संबंध का सामान्यीकरण करता है। यह गणित के कई एडीई वर्गीकरणों में से एक है। इन समानता का अनुसरण करते हुए वेरा सर्गनोवा और एलेक्सी स्कोरोबोगाटोव ने घन सतहों और लाई समूह $E_{6}$ के बीच प्रत्यक्ष रूप में ज्यामितीय संबंध दिया होता है।.

भौतिकी में, 27 पंक्तियों को छह-आयामी टोरस्र्स (6 मोमेंटा; 15 ब्रानेस; 6 फाइवब्रेन) और समूह E₆ पर एम-सिद्धांत के 27 संभावित अभिकथन के साथ पहचाना जा सकता है। तब स्वाभाविक रूप से U-द्वैत समूह के रूप में कार्य करता है। डेल पेज़ो सतहों और टोरी पर M-सिद्धांत के बीच के इस मानचित्र को रहस्यमय द्वैत के रूप में जाना जाता है।

विशेष घनीय सतहें

चिकनी जटिल घन सतह में $\mathbf {P} ^{3}$ सबसे बड़े ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ फ़र्मेट घन सतह के रूप में होते है, जिसे परिभाषित किया गया है।

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.$

इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह विस्तार $3^{3}:S_{4}$, क्रम 648 का होता है।

अगली सबसे सममित चिकनी घनीय सतह क्लेब्स्च सतह के रूप में होती है, जो दो समीकरणों द्वारा $\mathbf {P} ^{4}$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

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