घन सतह: Difference between revisions

Revision as of 23:39, 17 May 2023

गणित में, घन सतह 3-आयामी क्षेत्र में सतह के रूप में होती है, जिसे घात 3 के बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में घन सतह मौलिक उदाहरण के रूप में हैं। इस सिद्धांत को एफ़ेईन क्षेत्र के अतिरिक्त प्रक्षेपण क्षेत्र में काम करके सरलीकृत किया गया है और इसलिए घन सतहों को सामान्यतः प्रक्षेपीय 3-स्पेस $\mathbf {P} ^{3}$ के रूप में जाना जाता है और इस प्रकार वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त जटिल संख्याओं पर सतहों के फोकस करने पर सिद्धांत अधिक समरूप हो जाता है और इस प्रकार ध्यान दें कि जटिल सतह का वास्तविक आयाम 4 होता है। फर्मेट घन सतह का एक सरल उदाहरण है।

x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0

$\mathbf {P} ^{3}$ . घन सतहों के कई गुण सामान्यतः डेल पेज़ो की सतहों के लिए पकड़ अधिक होती है।

File:Clebsch Cubic.png

एक चिकनी घन सतह (क्लबश सतह)

घन सतहों की तर्कसंगतता

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र X पर चिकनी घन सतहों की केंद्रीय विशेषता यह है कि वे सभी तर्कसंगत विविधताओ के रूप में होती है, जैसा कि 1866 में अल्फ्रेड क्लेब्सच द्वारा दिखाया गया है।^[1] अर्थात, यहां एक से एक पत्राचार है जो प्रक्षेपीय समतल $\mathbf {P} ^{2}$ के मध्य निम्न आयामी उप समुच्चय तथा X शून्य से निम्न आयामी उपसमुच्चय के मध्य तार्किक फलनों द्वारा परिभाषित होता है। सामान्य रूप से, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अलघुकरणीय घन सतह संभवतः अद्वितीय तर्कसंगत के रूप में होते है।^[2] जब तक कि यह किसी घन वक्र पर काल्पनिक शंकु न हो। इस संबंध में, $\mathbf {P} ^{3}$ में कम से कम 4 घात की चिकनी सतह की तुलना में घन सतहें बहुत सरल रूप में होती है, जो कभी भी तर्कसंगत नहीं होते हैं और इस प्रकार अभिलाक्षणिक (बीजगणित) शून्य में कम से कम 4 इंच की चिकनी सतहें $\mathbf {P} ^{3}$ अनियंत्रित समान नहीं होती हैं।^[3]

क्लेब्स ने अधिक दृढ़ता से दिखाया कि प्रत्येक चिकनी घन सतह $\mathbf {P} ^{3}$ बीजगणितीय द्वारा निर्मित क्षेत्र आइसोमोर्फिक है तथा $\mathbf {P} ^{2}$ को 6 बिन्दुओं पर उडान भरने के लिए समरूप है।^[4] परिणाम स्वरुप, जटिल संख्याओं पर हर चिकनी घन सतह जुड़ी हुई राशि के लिए भिन्न -भिन्न होती है $\mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})$ , जहां ऋण चिह्न ओरिएंटेशन के परिवर्तन को संदर्भित करता है। इसके विपरीत $\mathbf {P} ^{2}$ से 6 बिन्दुओं पर एक घन सतह के लिए आइसोमोर्फिक है और यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु एक रेखा पर नहीं हैं और सभी 6 शंकु पर स्थित नहीं हैं और इस प्रकार जटिल कई गुना या एक बीजगणितीय विविधता के रूप में सतह उन 6 बिंदुओं की व्यवस्था पर निर्भर करती है।

एक घन सतह पर 27 रेखाएँ

घन सतहों के लिए तर्कसंगतता के अधिकांश प्रमाण सतह पर रेखा खोजने से प्रारंभ होते हैं। प्रक्षेपी ज्यामिति के संदर्भ में, रेखा में $\mathbf {P} ^{3}$ के लिए रेखा आइसोमॉर्फिक $\mathbf {P} ^{1}$ के रूप में होते है और इस प्रकार यथार्थ रूप से, आर्थर केली और जॉर्ज सामन ने 1849 में दिखाया कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक चिकनी घन सतह में ठीक 27 रेखाएँ होती हैं।^[5] यह घन की विशिष्ट विशेषता है की चिकनी चतुष्कोणीय घात 2 सतह रेखाओं के सतत समूह द्वारा कवर की जाती है, जबकि घात की अधिकांश सतहें कम से कम 4 इंच की होती हैं। $\mathbf {P} ^{3}$ कोई रेखा के रूप में नहीं है। 27 पंक्तियों को खोजने के लिए एक अन्य उपयोगी प्रोद्योगिकीय में शुबर्ट कैलकुलस के रूप में सम्मलित है, जो पंक्ति की संख्या का अभिकलन करता है और यह $\mathbf {P} ^{3}$ . पर पंक्ति के ग्रासमानियन के प्रतिच्छेदन सिद्धांत का प्रयोग करता है।

चूंकि चिकनी जटिल घन सतह के गुणांक भिन्न होते हैं, 27 रेखाएं लगातार चलती हैं। परिणाम स्वरुप चिकनी घन सतहों के समूह में एक बंद लूप 27 लाइनों का क्रम परिवर्तन निर्धारित करता है और इस प्रकार उत्पन्न होने वाली 27 रेखाओं के क्रमचय के (गणित) समूह को घन सतहों के समूह का मोनोड्रोमी समूह कहा जाता है। 19वीं शताब्दी की उल्लेखनीय खोज यह थी कि मोनोड्रोमी समूह न तो तुच्छ है और न ही संपूर्ण सममित समूह $S_{27}$ है यह क्रम 51840 का एक समूह है, जो लाइनों के समुच्चय पर सकर्मक रूप से कार्य करता है।^[4] इस समूह को धीरे-धीरे एली कार्टन 1896 आर्थर कोबल 1915-17 और पैट्रिक डु वैल 1936 में $E_{6}$ प्रकार के वेइल समूह के रूप में पहचाना गया था, जो 6-आयामी वास्तविक सदिश स्थान पर प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न समूह है, जो आयाम 78 के लाई समूह $E_{6}$ से संबंधित है। ^[4]

क्रम 51840 के समान समूह को कॉम्बिनेटरियल शब्दों में वर्णित किया जा सकता है और इस प्रकार 27 पंक्तियों के ग्राफ (असतत गणित) के ऑटोमोर्फिज़्म समूह के रूप में प्रत्येक पंक्ति के लिए शीर्ष के रूप में होता है और जब भी दो रेखाएँ किनारे के साथ मिलती हैं।^[6] इस ग्राफ का विश्लेषण 19वीं शताब्दी में श्लाफली डबल सिक्स कॉन्फ़िगरेशन जैसे उपग्राफ का उपयोग करके किया जाता है। जब दो रेखाओ को विभाजित किया जाता है, तो किसी कोर के साथ पूरक ग्राफ को श्लाफ्ली ग्राफ कहते हैं।

File:Schläfli graph.svg

श्लाफली ग्राफ

घन सतहों के बारे में कई समस्याओं को $E_{6}$ रुट प्रक्रिया के संयोजन की मदद से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 27 पंक्तियों का वजन प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ पहचाना जा सकता है लाई समूह के मौलिक प्रतिनिधित्व के अर्ध-सरल लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वजन $E_{6}$ .के रूप में होते है, घन सतह पर होने वाली विलक्षणता के संभावित समुच्चय को उप-प्रणालियों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है।^[7] इस संबंध के लिए व्याख्या यह है कि $E_{6}$ जाली एंटीकैनोनिकल वर्ग के ऑर्थोगोनल पूरक के रूप में उत्पन्न होती है $-K_{X}$ पिकार्ड समूह में $\operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}$ , किसी समतल ज�

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Line 24: / Line 24: @@
 ==विशेष घनीय सतहें==
-चिकनी जटिल घन सतह में <math>\mathbf{P}^3</math> सबसे बड़े ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ फ़र्मेट घन सतह है, जिसे परिभाषित किया गया है
+चिकनी जटिल घन सतह में <math>\mathbf{P}^3</math> सबसे बड़े ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ फ़र्मेट घन सतह के रूप में होते है, जिसे परिभाषित किया गया है।
 :<math>x^3+y^3+z^3+w^3=0.</math>
-इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह एक विस्तार है <math>3^3:S_4</math>, क्रम 648 का।<ref>Dolgachev (2012), Table 9.6.</ref>
+इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह विस्तार  <math>3^3:S_4</math>, क्रम 648 का होता है।<ref>Dolgachev (2012), Table 9.6.</ref>
-अगली सबसे सममित चिकनी घनीय सतह क्लेब्स्च सतह है, जो
-में परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathbf{P}^4</math> दो समीकरणों द्वारा
+अगली सबसे सममित चिकनी घनीय सतह क्लेब्स्च सतह के रूप में होती है, जो दो समीकरणों द्वारा <math>\mathbf{P}^4</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 :<math>x_0+x_1+x_2+x_3+x_4=x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=0.</math>
-इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह सममित समूह है <math>S_5</math>, क्रम 120। निर्देशांक के एक जटिल रैखिक परिवर्तन के बाद, क्लेब्सच सतह को समीकरण द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है
+इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह सममित समूह <math>S_5</math>, क्रम 120 के रूप में है। निर्देशांक के जटिल रैखिक परिवर्तन के बाद क्लेब्सच सतह को समीकरण द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है
 :<math>x^2y+y^2z+z^2w+w^2x=0</math>
 में <math>\mathbf{P}^3</math>.
-[[File:Cayley_cubic_2.png|thumb|right|केली की नोडल घन सतह]]एकवचन जटिल घन सतहों के बीच, केली की नोडल घन सतह अद्वितीय सतह है जिसमें नोड की अधिकतम संख्या (बीजगणितीय ज्यामिति) है, 4:
+[[File:Cayley_cubic_2.png|thumb|right|केली की नोडल घन सतह]]अद्वितीय जटिल घन सतहों के बीच केली की नोडल घन सतह अद्वितीय सतह के रूप में होती है, जिसमें नोड की अधिकतम 4 संख्या बीजगणितीय ज्यामिति है,
 :<math>wxy+xyz+yzw+zwx=0.</math>
-इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह है <math>S_4</math>, क्रम 24।
+इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह <math>S_4</math>, क्रम 24 के रूप में है।
 == रियल घन सरफेस ==
@@ Line 51: / Line 51: @@
 एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक घन सतह एक्स पर लाइनों को एक्स के एम्बेडिंग के संदर्भ के बिना आंतरिक रूप से वर्णित किया जा सकता है <math>\mathbf{P}^3</math>: वे बिल्कुल (−1)-''X'' पर वक्र हैं, जिसका अर्थ है कि वक्र समरूपी हैं <math>\mathbf{P}^1</math> जिसका स्व-चौराहा -1 है। इसके अतिरिक्त , एक्स (या समतुल्य रूप से वि[[भाजक वर्ग समूह]]) के पिकार्ड जाली में लाइनों के वर्ग वास्तव में पिक (एक्स) के तत्व यू हैं जैसे कि <math>u^2=-1</math> और <math>-K_X\cdot u=1</math>. (यह उपयोग करता है कि सुसंगत शीफ का प्रतिबंध # सदिश बंडलों के उदाहरण O(1) पर <math>\mathbf{P}^3</math> X के लिए एंटीकैनोनिकल लाइन बंडल है <math>-K_X</math>, [[संयोजन सूत्र]] द्वारा।)
-किसी भी प्रक्षेपी किस्म X के लिए, वक्रों के शंकु का अर्थ [[उत्तल शंकु]] है जो X में सभी वक्रों द्वारा फैला हुआ है (वास्तविक सदिश स्थान में) <math>N_1(X)</math> 1-चक्र सापेक्ष संख्यात्मक तुल्यता, या एकवचन होमोलॉजी में <math>H_2(X,\mathbf{R})</math> यदि आधार क्षेत्र सम्मिश्र संख्या है)। एक घनीय सतह के लिए, वक्रों के शंकु को 27 रेखाओं द्वारा फैलाया जाता है।<ref>Hartshorne (1997), Theorem V.4.11.</ref> विशेष रूप से, यह एक परिमेय बहुफलकीय शंकु है <math>N_1(X)\cong \mathbf{R}^7</math> एक बड़े समरूपता समूह के साथ, वेइल समूह <math>E_6</math>. किसी भी डेल पेज़ो सतह के लिए घटता के शंकु का एक समान विवरण है।
+किसी भी प्रक्षेपी किस्म X के लिए, वक्रों के शंकु का अर्थ [[उत्तल शंकु]] है जो X में सभी वक्रों द्वारा फैला हुआ है (वास्तविक सदिश स्थान में) <math>N_1(X)</math> 1-चक्र सापेक्ष संख्यात्मक तुल्यता, या अद्वितीय  होमोलॉजी में <math>H_2(X,\mathbf{R})</math> यदि आधार क्षेत्र सम्मिश्र संख्या है)। एक घनीय सतह के लिए, वक्रों के शंकु को 27 रेखाओं द्वारा फैलाया जाता है।<ref>Hartshorne (1997), Theorem V.4.11.</ref> विशेष रूप से, यह एक परिमेय बहुफलकीय शंकु है <math>N_1(X)\cong \mathbf{R}^7</math> एक बड़े समरूपता समूह के साथ, वेइल समूह <math>E_6</math>. किसी भी डेल पेज़ो सतह के लिए घटता के शंकु का एक समान विवरण है।
 == एक क्षेत्र पर घन सतहें ==
@@ Line 58: / Line 58: @@
 K का निरपेक्ष गैलोज़ समूह बीजगणितीय बंद होने पर X की 27 पंक्तियों की अनुमति देता है <math>\overline{k}</math> k का (Weyl समूह के कुछ उपसमूह के माध्यम से <math>E_6</math>). यदि इस क्रिया की कुछ कक्षा में भिन्न -भिन्न रेखाएँ होती हैं, तो X एक बंद बिंदु पर k के ऊपर एक सरल डेल पेज़ो सतह का ब्लो-अप है। अन्यथा, X का पिकार्ड नंबर 1 है। (X का पिकार्ड समूह ज्यामितीय पिकार्ड समूह का एक उपसमूह है <math>\operatorname{Pic}(X_{\overline{k}})\cong \mathbf{Z}^7</math>।) बाद के स्थिति े में, सेग्रे ने दिखाया कि एक्स कभी भी तर्कसंगत नहीं है। अधिक दृढ़ता से, [[यूरी मैनिन]] ने एक द्विपक्षीय कठोरता बयान सिद्ध कर दिया: पिकार्ड नंबर 1 के साथ दो चिकनी घन सतहें एक पूर्ण क्षेत्र के ऊपर [[ द्विवार्षिक |द्विवार्षिक]] हैं यदि और केवल यदि वे आइसोमोर्फिक हैं।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Theorems 2.1 and 2.2.</ref> उदाहरण के लिए, ये परिणाम Q के ऊपर कई घन सतह देते हैं जो अपरिमेय हैं लेकिन तर्कसंगत नहीं हैं।
-== एकवचन घन सतहें ==
+== अद्वितीय  घन सतहें ==
 [[चिकनाई]] घन सतहों के विपरीत जिसमें 27 रेखाएँ होती हैं, [[विलक्षणता (गणित)]] घन सतहों में कम रेखाएँ होती हैं। <ref name=":1">{{Cite journal|last1=Bruce|first1=J. W.|last2=Wall|first2=C. T. C.|date=1979|title=घन सतहों के वर्गीकरण पर|url=https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s2-19.2.245|journal=Journal of the London Mathematical Society|language=en|volume=s2-19|issue=2|pages=245–256|doi=10.1112/jlms/s2-19.2.245|issn=1469-7750}}</ref> इसके अतिरिक्त , उन्हें विलक्षणता के प्रकार से वर्गीकृत किया जा सकता है जो उनके सामान्य रूप में उत्पन्न होती है। इन विलक्षणताओं को [[डायनकिन आरेख]] का उपयोग करके वर्गीकृत किया गया है।
 === वर्गीकरण ===
-एक सामान्य विलक्षण घन सतह <math>X</math> में <math>\textbf{P}_{\mathbb{C}}^3</math> स्थानीय निर्देशांक के साथ <math>[x_0:x_1:x_2:x_3]</math> यदि इसके द्वारा दिया जाता है तो सामान्य रूप में कहा जाता है <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math>. विलक्षणता के प्रकार पर निर्भर करता है <math>X</math> सम्‍मिलित है, यह प्रक्षेपी सतह में समरूपता है <math>\textbf{P}^3</math> द्वारा दिए गए <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math> कहाँ <math>f_2, f_3</math> नीचे दी गई तालिका के अनुसार हैं। इसका अर्थ है कि हम सभी एकवचन घनीय सतहों का वर्गीकरण प्राप्त कर सकते हैं। निम्न तालिका के पैरामीटर इस प्रकार हैं: <math>a,b,c</math> के तीन भिन्न तत्व हैं <math>\mathbb{C} \setminus\{0,1\}</math>, पैरामीटर <math>d,e</math> में हैं <math>\mathbb{C} \setminus \{0,-1\}</math> और <math>u</math> का एक तत्व है <math>\mathbb{C}\setminus \{ 0\}</math>. ध्यान दें कि विलक्षणता के साथ दो भिन्न -भिन्न एकवचन घन सतहें हैं <math>D_4</math>. <ref name=":0">{{Cite journal|last=SAKAMAKI|first=YOSHIYUKI|title=बिना किसी पैरामीटर के सामान्य एकवचन घन सतहों पर ऑटोमोर्फिज्म समूह|date=2010|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=362|issue=5|pages=2641–2666|doi=10.1090/S0002-9947-09-05023-5|jstor=25677798|issn=0002-9947|doi-access=free}}</ref>
+एक सामान्य विलक्षण घन सतह <math>X</math> में <math>\textbf{P}_{\mathbb{C}}^3</math> स्थानीय निर्देशांक के साथ <math>[x_0:x_1:x_2:x_3]</math> यदि इसके द्वारा दिया जाता है तो सामान्य रूप में कहा जाता है <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math>. विलक्षणता के प्रकार पर निर्भर करता है <math>X</math> सम्‍मिलित है, यह प्रक्षेपी सतह में समरूपता है <math>\textbf{P}^3</math> द्वारा दिए गए <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math> कहाँ <math>f_2, f_3</math> नीचे दी गई तालिका के अनुसार हैं। इसका अर्थ है कि हम सभी अद्वितीय  घनीय सतहों का वर्गीकरण प्राप्त कर सकते हैं। निम्न तालिका के पैरामीटर इस प्रकार हैं: <math>a,b,c</math> के तीन भिन्न तत्व हैं <math>\mathbb{C} \setminus\{0,1\}</math>, पैरामीटर <math>d,e</math> में हैं <math>\mathbb{C} \setminus \{0,-1\}</math> और <math>u</math> का एक तत्व है <math>\mathbb{C}\setminus \{ 0\}</math>. ध्यान दें कि विलक्षणता के साथ दो भिन्न -भिन्न अद्वितीय  घन सतहें हैं <math>D_4</math>. <ref name=":0">{{Cite journal|last=SAKAMAKI|first=YOSHIYUKI|title=बिना किसी पैरामीटर के सामान्य एकवचन घन सतहों पर ऑटोमोर्फिज्म समूह|date=2010|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=362|issue=5|pages=2641–2666|doi=10.1090/S0002-9947-09-05023-5|jstor=25677798|issn=0002-9947|doi-access=free}}</ref>
 {| class="wikitable mw-collapsible"
 |+Classification of singular cubic surfaces by singularity type <ref name=":0" />
@@ Line 160: / Line 160: @@
-=== एकवचन घनीय सतहों पर रेखाएँ ===
+=== अद्वितीय  घनीय सतहों पर रेखाएँ ===
-एकवचन घनीय सतहों के वर्गीकरण के अनुसार, निम्न तालिका प्रत्येक सतह में प्रक्षेपी रेखाओं की संख्या दर्शाती है।
+अद्वितीय  घनीय सतहों के वर्गीकरण के अनुसार, निम्न तालिका प्रत्येक सतह में प्रक्षेपी रेखाओं की संख्या दर्शाती है।
 {| class="wikitable mw-collapsible"
 |+Lines on singular cubic surfaces <ref name=":0" />
@@ Line 212: / Line 212: @@
-=== बिना किसी पैरामीटर के एकवचन घन सतहों के [[ automorphism |automorphism]] समूह ===
+=== बिना किसी पैरामीटर के अद्वितीय  घन सतहों के [[ automorphism |automorphism]] समूह ===
-एक सामान्य विलक्षण घन सतह का एक ऑटोमोर्फिज्म <math>X</math> प्रक्षेपीय स्पेस के ऑटोमोर्फिज्म का [[प्रतिबंध (गणित)]] है <math>\textbf{P}^3</math> को <math>X</math>. इस तरह के ऑटोमोर्फिज्म एकवचन बिंदुओं को संरक्षित करते हैं। इसके अतिरिक्त , वे विभिन्न प्रकार की विलक्षणताओं की अनुमति नहीं देते हैं। यदि सतह में एक ही प्रकार की दो विलक्षणताएँ होती हैं, तो ऑटोमोर्फिज़्म उन्हें अनुमति दे सकता है। घन सतह पर ऑटोमोर्फिज्म का संग्रह एक समूह (गणित) बनाता है, जिसे ऑटोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है। निम्न तालिका बिना किसी पैरामीटर के एकवचन घन सतहों के सभी ऑटोमोर्फिज़्म समूहों को दिखाती है।
+एक सामान्य विलक्षण घन सतह का एक ऑटोमोर्फिज्म <math>X</math> प्रक्षेपीय स्पेस के ऑटोमोर्फिज्म का [[प्रतिबंध (गणित)]] है <math>\textbf{P}^3</math> को <math>X</math>. इस तरह के ऑटोमोर्फिज्म अद्वितीय  बिंदुओं को संरक्षित करते हैं। इसके अतिरिक्त , वे विभिन्न प्रकार की विलक्षणताओं की अनुमति नहीं देते हैं। यदि सतह में एक ही प्रकार की दो विलक्षणताएँ होती हैं, तो ऑटोमोर्फिज़्म उन्हें अनुमति दे सकता है। घन सतह पर ऑटोमोर्फिज्म का संग्रह एक समूह (गणित) बनाता है, जिसे ऑटोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है। निम्न तालिका बिना किसी पैरामीटर के अद्वितीय  घन सतहों के सभी ऑटोमोर्फिज़्म समूहों को दिखाती है।
 {| class="wikitable mw-collapsible"
 |+Automorphism groups of singular cubic surfaces with no parameters <ref name=":0" />

Anonymous

Search

घन सतह: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 23:39, 17 May 2023

Contents

घन सतहों की तर्कसंगतता

एक घन सतह पर 27 रेखाएँ