वृत्त समूह: Difference between revisions
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गणित में, वृत्त समूह, द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mathbb T</math> या <math>\mathbb S^1</math>, निरपेक्ष मान | गणित में, '''वृत्त समूह''', द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mathbb T</math> या <math>\mathbb S^1</math>, निरपेक्ष मान [[जटिल संख्या]] 1 के साथ सभी सम्मिश्र संख्याओं का [[गुणक समूह]] है, जिससे, सम्मिश्र तल में इकाई वृत्त या केवल इकाई सम्मिश्र संख्याएँ है<ref name=":0">{{cite book |last1=James |first1=Robert C. |author-link=Robert C. James |last2=James |first2=Glenn |year=1992 |title=गणित शब्दकोश|edition=Fifth |publisher=Chapman & Hall |page=436 |isbn=9780412990410 |url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&q=%22unit+complex+number%22&pg=PA436 |quote=a ''unit complex number'' is a [[complex number]] of [[1|unit]] [[absolute value]]}}.</ref> <math display=block>\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}.</math> | ||
वृत्त समूह का <math>\mathbb C^\times</math> [[उपसमूह]] बनाता है <math>\mathbb C^\times</math>, सभी अशून्य सम्मिश्र संख्याओं का गुणन समूह। तब से <math>\mathbb C^\times</math> [[एबेलियन समूह]] है, यह इस प्रकार है <math>\mathbb T</math> साथ ही है। | |||
<math | वृत्त समूह में इकाई जटिल संख्या मूल के बारे में जटिल विमान के [[रोटेशन (गणित)]] का प्रतिनिधित्व करती है और इसे [[कोण माप|कोण माप <math>\theta</math>]] द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है। | ||
<math display="block">\theta \mapsto z = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.</math>यह वृत्त समूह के लिए घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) है। | |||
वृत्त समूह [[पोंट्रीगिन द्वैत]] में और [[झूठ समूह]] के सिद्धांत में केंद्रीय भूमिका निभाता है। | |||
अंकन <math>\mathbb T</math> | अंकन <math>\mathbb T</math> वृत्त समूह के लिए इस तथ्य से उपजा है कि, मानक टोपोलॉजी (नीचे देखें) के साथ, वृत्त समूह 1-[[ टोरस्र्स ]] है। सामान्यतः अधिक, <math>\mathbb T^n</math> ([[समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद]] <math>\mathbb T</math> स्वयं के साथ <math>n</math> टाइम्स) ज्यामितीय रूप से <math>n</math>-टोरस है। | ||
वृत्त ग्रुप विशेष ऑर्थोगोनल ग्रुप के लिए ग्रुप <math>\mathrm{SO}(2)</math> आइसोमोर्फिज्म है। | |||
== प्रारंभिक परिचय == | == प्रारंभिक परिचय == | ||
< | [[Image:Circle-group.svg|thumb|200px|वृत्त समूह पर गुणा कोणों के योग के बराबर है।]]वृत्त समूह के बारे में सोचने का विधि यह है कि यह वर्णन करता है कि कोणों को कैसे जोड़ा जाए, जहाँ केवल 0° और 360° के बीच के कोण हों या <math>\in[0, 2\pi)</math> या <math>\in(-\pi,+\pi]</math> अनुमति है। उदाहरण के लिए, आरेख दिखाता है कि 150° को 270° में कैसे जोड़ा जाए। उत्तर है {{nowrap|150° + 270° {{=}} 420°}}, लेकिन वृत्त समूह के संदर्भ में सोचते समय, हम इस तथ्य को भूल सकते हैं कि हमने वृत्त के चारों ओर लपेट लिया है। इसलिए, हम अपने उत्तर को 360° से समायोजित करते हैं, जो देता है {{nowrap|420° ≡ 60° ([[modular arithmetic|mod]] 360°}}). | ||
अन्य विवरण साधारण (वास्तविक) जोड़ के संदर्भ में है, जहां केवल 0 और 1 के बीच की संख्या की अनुमति है (1 पूर्ण घुमाव के अनुरूप: 360° या <math>2\pi</math>), जिससे वास्तविक संख्याएँ पूर्णांकों को मापती हैं: {{nowrap|<math>\mathbb T \cong \R/\Z</math>.}} इसे दशमलव बिंदु से पहले आने वाले अंकों को हटाकर प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब हम व्यायाम करते हैं {{nowrap|0.4166... + 0.75,}} उत्तर 1.1666 है..., लेकिन हम अग्रणी 1 को निकाल सकते हैं, इसलिए उत्तर (वृत्त समूह में) सिर्फ है <math>0.1\bar{6} \equiv 1.1\bar{6} \equiv -0.8\bar{3}\;(\text{mod}\,\Z)</math> कुछ वरीयता के साथ 0.166..., क्योंकि {{nowrap|<math>0.1\bar{6} \in [0,1)</math>.}}है। | |||
== सामयिक और विश्लेषणात्मक संरचना == | == सामयिक और विश्लेषणात्मक संरचना == | ||
वृत्त समूह केवल | वृत्त समूह केवल सार बीजगणितीय वस्तु से अधिक है। इसकी [[प्राकृतिक टोपोलॉजी]] है जब इसे जटिल विमान के उप-क्षेत्र (टोपोलॉजी) के रूप में माना जाता है। चूंकि गुणा और व्युत्क्रमण निरंतर फलन (टोपोलॉजी) पर होते हैं <math>\mathbb C^\times</math>, वृत्त समूह में सामयिक समूह की संरचना होती है। इसके अतिरिक्त, चूंकि यूनिट वृत्त जटिल विमान का [[बंद उपसमुच्चय]] है, <math>\mathbb C^\times</math> वृत्त समूह का बंद उपसमूह है (स्वयं को सामयिक समूह के रूप में माना जाता है। | ||
कोई और भी कह सकता है। | कोई और भी कह सकता है। वृत्त 1-आयामी वास्तविक [[कई गुना]] है, और गुणा और व्युत्क्रम [[विश्लेषणात्मक कार्य]] हैं। चक्र पर वास्तविक-विश्लेषणात्मक मानचित्र है। यह वृत्त समूह को [[एक-पैरामीटर समूह|पैरामीटर समूह]] की संरचना देता है, लाई समूह का उदाहरण। वास्तव में, आइसोमोर्फिज्म [[तक]], यह अद्वितीय 1-आयामी [[ कॉम्पैक्ट जगह ]], [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] ली ग्रुप है। इसके अतिरिक्त, हर <math>n</math>-डायमेंशनल कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड, एबेलियन लाइ ग्रुप आइसोमॉर्फिक <math>\mathbb T^n</math> है | ||
== समाकृतिकता == | == समाकृतिकता == | ||
वृत्त समूह गणित में विभिन्न रूपों में दिखाई देता है। हम यहां कुछ अधिक सामान्य रूपों की सूची दे रहे हैं। विशेष रूप से, हम दिखाते | वृत्त समूह गणित में विभिन्न रूपों में दिखाई देता है। हम यहां कुछ अधिक सामान्य रूपों की सूची दे रहे हैं। विशेष रूप से, हम दिखाते हैं। | ||
<math display=block>\mathbb T \cong \mbox{U}(1) \cong \mathbb R/\mathbb Z \cong \mathrm{SO}(2).</math> | <math display=block>\mathbb T \cong \mbox{U}(1) \cong \mathbb R/\mathbb Z \cong \mathrm{SO}(2).</math> | ||
ध्यान दें कि स्लैश (/) यहाँ [[भागफल समूह]] को दर्शाता है। | ध्यान दें कि स्लैश (/) यहाँ [[भागफल समूह]] को दर्शाता है। | ||
सभी 1×1 [[एकात्मक मैट्रिक्स]] का सेट | सभी 1×1 [[एकात्मक मैट्रिक्स]] का सेट वृत्त समूह के साथ स्पष्ट रूप से मेल खाता है; एकात्मक स्थिति इस स्थिति के समतुल्य है कि इसके तत्व का पूर्ण मान 1 है। इसलिए, वृत्त समूह कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक है <math>\mathrm{U}(1)</math>, पहला [[एकात्मक समूह|एकात्मक समूह है]]। | ||
घातीय कार्य एक [[समूह समरूपता]] को जन्म देता है <math>\exp : \mathbb R \to \mathbb T</math> योज्य वास्तविक संख्याओं से <math>\mathbb R</math> मंडली समूह को <math>\mathbb T</math> मानचित्र के माध्यम से | घातीय कार्य एक [[समूह समरूपता]] को जन्म देता है <math>\exp : \mathbb R \to \mathbb T</math> योज्य वास्तविक संख्याओं से <math>\mathbb R</math> मंडली समूह को <math>\mathbb T</math> मानचित्र के माध्यम से | ||
<math display=block>\theta \mapsto e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin \theta.</math> | <math display=block>\theta \mapsto e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin \theta.</math> | ||
अंतिम समानता यूलर का सूत्र या जटिल घातांक है। वास्तविक संख्या θ इकाई वृत्त पर कोण ([[ कांति ]] में) से मेल खाती है, जैसा कि धनात्मक x अक्ष से वामावर्त मापा जाता है। यह मानचित्र | अंतिम समानता यूलर का सूत्र या जटिल घातांक है। वास्तविक संख्या θ इकाई वृत्त पर कोण ([[ कांति ]] में) से मेल खाती है, जैसा कि धनात्मक x अक्ष से वामावर्त मापा जाता है। यह मानचित्र समरूपता है इस तथ्य से अनुसरण करता है कि इकाई जटिल संख्याओं का गुणन कोणों के जोड़ से मेल खाता है: | ||
<math display=block>e^{i\theta_1} e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}.</math> | <math display=block>e^{i\theta_1} e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}.</math> | ||
यह घातीय मानचित्र स्पष्ट रूप से | यह घातीय मानचित्र स्पष्ट रूप से [[विशेषण]] कार्य है <math>\mathbb R</math> को <math>\mathbb T</math>. चुकीं , यह [[इंजेक्शन]] नहीं है। इस मानचित्र का कर्नेल (समूह सिद्धांत) सभी [[पूर्णांक]] गुणकों का समूह है <math>2\pi</math> पहले समरूपता प्रमेय द्वारा वह हमारे पास है। | ||
<math display=block>\mathbb T \cong \mathbb R/2\pi\mathbb Z.</math> | <math display=block>\mathbb T \cong \mathbb R/2\pi\mathbb Z.</math> | ||
रीस्केलिंग के बाद हम यह भी कह सकते हैं <math>\mathbb T</math> के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbb R / \mathbb Z</math>. | रीस्केलिंग के बाद हम यह भी कह सकते हैं <math>\mathbb T</math> के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbb R / \mathbb Z</math>.है। | ||
यदि जटिल संख्याएं 2 × 2 वास्तविक [[मैट्रिक्स (गणित)]] (जटिल संख्या देखें) के रूप में | यदि जटिल संख्याएं 2 × 2 वास्तविक [[मैट्रिक्स (गणित)]] (जटिल संख्या देखें) के रूप में अनुभव की जाती हैं, तो इकाई जटिल संख्याएं इकाई निर्धारक के साथ 2 × 2 [[ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस]] के अनुरूप होती हैं। विशेष रूप से, हमारे पास है। | ||
<math display=block> e^{i\theta} \leftrightarrow \begin{bmatrix} | <math display=block> e^{i\theta} \leftrightarrow \begin{bmatrix} | ||
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\end{bmatrix} = f\left(e^{i\theta}\right). | \end{bmatrix} = f\left(e^{i\theta}\right). | ||
</math> | </math> | ||
यह | यह फलन दिखाता है कि विशेष ऑर्थोगोनल समूह के लिए वृत्त समूह समूह समरूपता है <math>\mathrm{SO}(2)</math> तब से | ||
<math display=block> | <math display=block> | ||
f\left(e^{i\theta_1} e^{i\theta_2}\right) = \begin{bmatrix} | f\left(e^{i\theta_1} e^{i\theta_2}\right) = \begin{bmatrix} | ||
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कहाँ <math>\times</math> मैट्रिक्स गुणन है। | कहाँ <math>\times</math> मैट्रिक्स गुणन है। | ||
इस समरूपता की ज्यामितीय व्याख्या है कि | इस समरूपता की ज्यामितीय व्याख्या है कि इकाई सम्मिश्र संख्या द्वारा गुणा करना सम्मिश्र (और वास्तविक) तल में उचित घूर्णन है, और ऐसा प्रत्येक घूर्णन इसी रूप का है। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
हर कॉम्पैक्ट झूठ समूह <math>\mathrm{G}</math> आयाम का > 0 का | हर कॉम्पैक्ट झूठ समूह <math>\mathrm{G}</math> आयाम का > 0 का उपसमूह वृत्त समूह के समरूपी है। इसका अर्थ यह है कि, [[समरूपता]] के संदर्भ में सोचने पर, लगातार कार्य करने वाले कॉम्पैक्ट समरूपता समूह से एक-पैरामीटर वृत्त उपसमूहों के अभिनय की उम्मीद की जा सकती है; भौतिक प्रणालियों में परिणाम देखे जाते हैं, उदाहरण के लिए, घूर्णी आक्रमण और सहज समरूपता टूटने पर। वृत्त समूह में कई उपसमूह होते हैं, लेकिन इसका एकमात्र उचित बंद उपसमूह [[एकता की जड़]] से बना होता है: प्रत्येक पूर्णांक के लिए {{nowrap|<math>n > 0</math>,}} द <math>n</math>-एकता की जड़ें एक [[चक्रीय समूह]] बनाती हैं {{nowrap|order <math>n</math>,}} जो समरूपता तक अद्वितीय है। | ||
ठीक उसी तरह जैसे कि [[वास्तविक संख्या]]एँ द्विअर्थी परिमेय की [[पूर्णता (टोपोलॉजी)]] हैं बी-ऐडिक परिमेय <math>\Z[\tfrac1b]</math> प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए <math>b > 1</math>, वृत्त समूह प्रूफ़र समूह का समापन है <math>\Z[\tfrac1b]/\Z</math> के लिए <math>b</math>, [[प्रत्यक्ष सीमा]] द्वारा दिया गया <math>\varinjlim \mathbb{Z}/ b^n \mathbb{Z}</math>. | |||
ठीक उसी तरह जैसे कि [[वास्तविक संख्या]]एँ द्विअर्थी परिमेय की [[पूर्णता (टोपोलॉजी)]] हैं | |||
== प्रतिनिधित्व == | == प्रतिनिधित्व == | ||
वृत्त समूह के [[समूह प्रतिनिधित्व]] का वर्णन करना आसान है। शूर के लेम्मा से यह पता चलता है कि एबेलियन समूह के इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व जटिल संख्या प्रतिनिधित्व सभी 1-आयामी हैं। चूंकि वृत्त समूह कॉम्पैक्ट है, कोई भी प्रतिनिधित्व है। | |||
<math display=block>\rho: \mathbb T \to \mathrm{GL}(1, \mathbb C) \cong \mathbb C^\times</math> | <math display=block>\rho: \mathbb T \to \mathrm{GL}(1, \mathbb C) \cong \mathbb C^\times</math> | ||
में मान लेना चाहिए <math>\mbox{U}(1) \cong \mathbb T</math>. इसलिए, वृत्त समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन केवल वृत्त समूह से स्वयं के लिए समूह समरूपता हैं। | में मान लेना चाहिए <math>\mbox{U}(1) \cong \mathbb T</math>. इसलिए, वृत्त समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन केवल वृत्त समूह से स्वयं के लिए समूह समरूपता हैं। | ||
ये अभ्यावेदन सभी असमान हैं। प्रतिनिधित्व <math>\phi_{-n}</math> [[संयुग्मित प्रतिनिधित्व]] | ये अभ्यावेदन सभी असमान हैं। प्रतिनिधित्व <math>\phi_{-n}</math> [[संयुग्मित प्रतिनिधित्व]] है। | ||
<math display=block>\phi_{-n} = \overline{\phi_n}.</math> | <math display=block>\phi_{-n} = \overline{\phi_n}.</math> | ||
ये निरूपण केवल वृत्त समूह के वर्ण (गणित) हैं। का वर्ण समूह <math>\mathbb T</math> स्पष्ट रूप से द्वारा उत्पन्न | ये निरूपण केवल वृत्त समूह के वर्ण (गणित) हैं। का वर्ण समूह <math>\mathbb T</math> स्पष्ट रूप से द्वारा उत्पन्न <math>\phi_1</math> [[अनंत चक्रीय समूह]] है। | ||
<math display=block>\operatorname{Hom}(\mathbb T, \mathbb T) \cong \mathbb Z.</math> | <math display=block>\operatorname{Hom}(\mathbb T, \mathbb T) \cong \mathbb Z.</math> | ||
वृत्त समूह के अलघुकरणीय [[वास्तविक संख्या]] निरूपण तुच्छ निरूपण (जो 1-आयामी है) और निरूपण | वृत्त समूह के अलघुकरणीय [[वास्तविक संख्या]] निरूपण तुच्छ निरूपण (जो 1-आयामी है) और निरूपण हैं। | ||
<math display=block>\rho_n(e^{i\theta}) = \begin{bmatrix} | <math display=block>\rho_n(e^{i\theta}) = \begin{bmatrix} | ||
\cos n\theta & -\sin n\theta \\ | \cos n\theta & -\sin n\theta \\ | ||
| Line 93: | Line 87: | ||
\end{bmatrix}, \quad | \end{bmatrix}, \quad | ||
n \in \mathbb Z^+,</math> | n \in \mathbb Z^+,</math> | ||
मान लेना <math>\mathrm{SO}(2)</math>. यहाँ हमारे पास केवल धनात्मक पूर्णांक हैं <math>n</math>, प्रतिनिधित्व के बाद से <math>\rho_{-n}</math> के बराबर | मान लेना <math>\mathrm{SO}(2)</math>. यहाँ हमारे पास केवल धनात्मक पूर्णांक हैं <math>n</math>, प्रतिनिधित्व के बाद से <math>\rho_{-n}</math> के बराबर है। | ||
== समूह संरचना == | == समूह संरचना == | ||
मंडल समूह <math>\mathbb T</math> [[विभाज्य समूह]] है। इसका [[मरोड़ उपसमूह]] सभी के सेट द्वारा दिया गया है <math>n</math>-सभी के लिए एकता की जड़ <math>n</math> और आइसोमॉर्फिक है <math>\mathbb Q / \mathbb Z</math>. विभाज्य समूह # विभाज्य समूहों के लिए विभाज्य समूहों की संरचना प्रमेय और पसंद के स्वयंसिद्ध एक साथ हमें बताते हैं कि <math>\mathbb T</math> के एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbb Q / \mathbb Z</math> की कई प्रतियों के साथ <math>\mathbb Q</math>. | मंडल समूह <math>\mathbb T</math> [[विभाज्य समूह]] है। इसका [[मरोड़ उपसमूह]] सभी के सेट द्वारा दिया गया है <math>n</math>-सभी के लिए एकता की जड़ <math>n</math> और आइसोमॉर्फिक है <math>\mathbb Q / \mathbb Z</math>. विभाज्य समूह # विभाज्य समूहों के लिए विभाज्य समूहों की संरचना प्रमेय और पसंद के स्वयंसिद्ध एक साथ हमें बताते हैं कि <math>\mathbb T</math> के एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbb Q / \mathbb Z</math> की कई प्रतियों के साथ <math>\mathbb Q</math>.है। | ||
प्रतियों की संख्या <math>\mathbb Q</math> होना चाहिए <math>\mathfrak c</math> (सातत्य की कार्डिनैलिटी) प्रत्यक्ष योग की कार्डिनैलिटी के सही होने के लिए। लेकिन का सीधा योग <math>\mathfrak c</math> की प्रतियां <math>\mathbb Q</math> के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbb R</math>, जैसा <math>\mathbb R</math> आयाम का | प्रतियों की संख्या <math>\mathbb Q</math> होना चाहिए <math>\mathfrak c</math> (सातत्य की कार्डिनैलिटी) प्रत्यक्ष योग की कार्डिनैलिटी के सही होने के लिए। लेकिन का सीधा योग <math>\mathfrak c</math> की प्रतियां <math>\mathbb Q</math> के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbb R</math>, जैसा <math>\mathbb R</math> आयाम का सदिश स्थान है <math>\mathfrak c</math> ऊपर <math>\mathbb Q</math>. इस प्रकार है। | ||
<math display=block>\mathbb T \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z).</math> | <math display=block>\mathbb T \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z).</math> | ||
| Line 104: | Line 98: | ||
<math display=block>\mathbb C^\times \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z)</math> | <math display=block>\mathbb C^\times \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z)</math> | ||
उसी तरह साबित किया जा सकता है, चूंकि <math>\mathbb C^\times</math> | उसी तरह साबित किया जा सकता है, चूंकि <math>\mathbb C^\times</math> विभाज्य एबेलियन समूह भी है जिसका <math>\mathbb T</math> मरोड़ उपसमूह मरोड़ उपसमूह के समान है। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
{{Portal|Mathematics}} | {{Portal|Mathematics}} | ||
* [[यूनिट सर्कल पर तर्कसंगत बिंदुओं का समूह]] | * [[यूनिट सर्कल पर तर्कसंगत बिंदुओं का समूह|यूनिट वृत्त पर तर्कसंगत बिंदुओं का समूह]] | ||
* [[एक-पैरामीटर उपसमूह]] | * [[एक-पैरामीटर उपसमूह]] | ||
* एन-क्षेत्र |{{mvar|n}}-वृत्त | * एन-क्षेत्र |{{mvar|n}}-वृत्त | ||
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==टिप्पणियाँ== | ==टिप्पणियाँ== | ||
{{reflist}} | {{reflist}} | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
*{{Cite book |last1=James |first1=Robert C. |last2=James |first2=Glenn |year=1992 |title=Mathematics Dictionary |edition=Fifth |publisher=Chapman & Hall |isbn=9780412990410 |url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC }} | *{{Cite book |last1=James |first1=Robert C. |last2=James |first2=Glenn |year=1992 |title=Mathematics Dictionary |edition=Fifth |publisher=Chapman & Hall |isbn=9780412990410 |url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC }} | ||
==अग्रिम पठन== | ==अग्रिम पठन== | ||
* [[Hua Luogeng]] (1981) ''Starting with the unit circle'', [[Springer Verlag]], {{ISBN|0-387-90589-8}}. | * [[Hua Luogeng]] (1981) ''Starting with the unit circle'', [[Springer Verlag]], {{ISBN|0-387-90589-8}}. | ||
==बाहरी संबंध== | ==बाहरी संबंध== | ||
*[https://www.youtube.com/watch?v=-ypicun4AbM&list=PL0F555888A4C2329B Homeomorphism and the Group Structure on a Circle] | *[https://www.youtube.com/watch?v=-ypicun4AbM&list=PL0F555888A4C2329B Homeomorphism and the Group Structure on a Circle] | ||
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