निर्वचन (तर्क): Difference between revisions

व्याख्या [[औपचारिक भाषा]] के [[प्रतीक (औपचारिक)]] के अर्थ का अभिहस्तांकन है। गणित, [[तर्क]]शास्त्र और [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में उपयोग की जाने वाली कई औपचारिक भाषाओं को केवल वाक्य-विन्यास के रूप में परिभाषित किया जाता है,और जब तक उन्हें कुछ व्याख्या नहीं दी जाती है, तब तक उनका कोई अर्थ नहीं होता है। औपचारिक भाषाओं की व्याख्याओं के सामान्य अध्ययन को [[औपचारिक शब्दार्थ (तर्क)]] कहा जाता है।

सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले औपचारिक लॉजिक्स [[मक तर्क|प्रस्तावात्मक तर्क]], [[विधेय तर्क]] और उनके मोडल तर्क एनालॉग हैं, और इनके लिए व्याख्या प्रस्तुत करने की मानक विधि हैं। इन संदर्भों में व्याख्या ऐसा कार्य (गणित) है जो किसी वस्तु भाषा के प्रतीकों और प्रतीकों के तार का [[विस्तार (विधेय तर्क)]] प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, व्याख्या फलन ''T'' ("लंबा" के लिए) विधेय ले सकता है और इसे विस्तार {''a''} ("अब्राहम लिंकन" के लिए) निर्दिष्ट कर सकता है। ध्यान दें कि हमारी सभी व्याख्या अन्य -तार्किक स्थिरांक ''T'' के लिए {a} का विस्तार प्रदान करती है, और इस बारे में कोई प्रमाणित नहीं करती है कि क्या ''T'' लंबा है और 'a' अब्राहम लिंकन के लिए है . न ही तार्किक व्याख्या में 'और', 'या' और 'नहीं' जैसे तार्किक संयोजकों के बारे में कुछ कहना है। चूँकि ''हम'' इन प्रतीकों को कुछ चीजों या अवधारणाओं के लिए खड़े होने के लिए ले सकते हैं, यह व्याख्या फलन द्वारा निर्धारित नहीं किया जाता है।

व्याख्या प्रायः (लेकिन सदैव नहीं) भाषा में [[वाक्य (गणितीय तर्क)]] के [[सत्य मूल्य]]ों को निर्धारित करने की विधि प्रदान करती है। यदि दी गई व्याख्या किसी वाक्य या [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] के लिए सही मान प्रदान करती है, तो व्याख्या को उस वाक्य या सिद्धांत का [[मॉडल (मॉडल सिद्धांत)]] कहा जाता है।

औपचारिक भाषा में संभवतः अक्षरों या प्रतीकों के निश्चित समुच्चय से निर्मित वाक्यों के अनंत समुच्चय (विभिन्न प्रकार के शब्द या [[अच्छी तरह से गठित सूत्र|उत्तम प्रकार से गठित सूत्र]] कहलाते हैं) होते हैं। जिस सूची से इन अक्षरों को लिया जाता है उसे [[वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान)]] कहा जाता है, जिस पर भाषा परिभाषित होती है। प्रतीकों की तारों को पृथक करने के लिए जो औपचारिक भाषा में प्रतीकों की इच्छानुसार तारों से हैं, पूर्व को कभी-कभी उत्तम प्रकार से गठित सूत्र (wff) कहा जाता है। औपचारिक भाषा की आवश्यक विशेषता यह है कि इसके वाक्य-विन्यास को व्याख्या के संदर्भ के बिना परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि (''P'' या ''Q'') यह जाने बिना भी उत्तम प्रकार से गठित सूत्र है कि यह सच है या गलत है।

की संभावित व्याख्या <math>\mathcal{W}</math> दशमलव अंक '1' को निर्दिष्ट कर सकता है <math>\triangle</math> और '0' से <math>\square</math>. तब <math>\triangle \square \triangle</math> की इस व्याख्या के अनुसार 101 को निरूपित करेगा <math>\mathcal{W}</math>.

मानक प्रकार की प्रत्येक व्याख्या द्वारा तार्किक स्थिरांकों को सदैव एक ही अर्थ दिया जाता है, जिससे कि अन्य-तार्किक प्रतीकों के अर्थ परिवर्तित हो जाते हैं। तार्किक स्थिरांक में क्वांटिफायर प्रतीक ∀ ("सभी") और ∃ ("कुछ"), [[तार्किक संयोजक]] के लिए प्रतीक ∧ ("और"), ∨ ("या"), ¬ ("नहीं"), कोष्ठक और अन्य समूहीकरण प्रतीक सम्मिलित हैं, और (कई उपचारों में) समानता प्रतीक = है।

सामान्यतः पढ़ी जाने वाली कई व्याख्याएं प्रत्येक वाक्य को औपचारिक भाषा में सत्य मान के साथ जोड़ती हैं, या तो सही या गलत। इन व्याख्याओं को सत्य कार्यात्मक कहा जाता है;{{dubious|reason=The article 'Truth-functional' gives a more restricted definition: the truth-value of a compound sentence should be a function of the truth-value of its sub-sentences.|date=September 2015}} उनमें प्रस्तावात्मक और प्रथम-क्रम तर्क की सामान्य व्याख्याएं सम्मिलित हैं। किसी विशेष अभिहस्तांकन द्वारा सत्य किए गए वाक्यों को उस अभिहस्तांकन द्वारा संतोषजनक कहा जाता है।

[[शास्त्रीय तर्क|शास्त्रीय तर्कशास्त्र]] में, किसी भी वाक्य को एक ही व्याख्या द्वारा सत्य और असत्य दोनों नहीं बनाया जा सकता है, चूँकि यह एलपी जैसे ग्लूट लॉजिक्स के लिए सही नहीं है।<ref>[[Graham Priest|Priest, Graham]], 2008. ''An Introduction to Non-Classical Logic: from If to Is,'' 2nd ed. Cambridge University Press.</ref> शास्त्रीय तर्क में भी, यह संभव है कि एक ही वाक्य का सत्य मान भिन्न-भिन्न व्याख्याओं के अनुसार भिन्न-भिन्न हो सकता है। वाक्य सुसंगत है यदि यह अल्प से अल्प व्याख्या के अनुसार सत्य है; अन्यथा यह असंगत है। वाक्य φ को तार्किक रूप से वैध कहा जाता है यदि यह प्रत्येक व्याख्या से संतुष्ट होता है (यदि φ प्रत्येक व्याख्या से संतुष्ट होता है जो ψ को संतुष्ट करता है तो φ को ψ का [[तार्किक परिणाम]] कहा जाता है)।

किसी भाषा के कुछ तार्किक प्रतीक (क्वांटिफायर के अतिरिक्त) तार्किक संयोजक हैं। सत्य-कार्यात्मक संयोजक जो सत्य कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं - ऐसे कार्य जो सत्य मानों को तर्कों के रूप में लेते हैं और सत्य मानों को आउटपुट के रूप में लौटाते हैं (दूसरे शब्दों में, ये सत्य मूल्यों पर संचालन हैं वाक्यों का)।

*¬Φ सच है अगर Φ गलत है।

*(Φ ↔ Ψ) सत्य है [[iff]] (Φ → Ψ) सत्य है और (Ψ → Φ) सत्य है।

तो सभी वाक्य अक्षरों Φ और Ψ की दी गई व्याख्या के अनुसार (अर्थात्, प्रत्येक वाक्य अक्षर के लिए सत्य-मान निर्दिष्ट करने के बाद), हम उन सभी सूत्रों के सत्य-मूल्यों को निर्धारित कर सकते हैं जो तार्किक के कार्य के रूप में घटक के रूप में हैं। संयोजक। निम्न तालिका दिखाती है कि इस तरह की चीज़ कैसी दिखती है। पूर्वदो कॉलम चार संभावित व्याख्याओं द्वारा निर्धारित वाक्य अक्षरों के सत्य-मान दिखाते हैं। अन्य कॉलम इन वाक्य अक्षरों से निर्मित सूत्रों के सत्य-मूल्यों को दिखाते हैं, सत्य-मूल्यों को पुनरावर्ती रूप से निर्धारित किया जाता है।

अब यह देखना आसान हो गया है कि कौन-सी बात किसी सूत्र को तार्किक रूप से मान्य बनाती है। सूत्र F लें: (Φ ∨ ¬Φ)। यदि हमारा व्याख्या फलन Φ को सत्य बनाता है, तो ¬Φ को निषेधात्मक संयोजक द्वारा असत्य बना दिया जाता है। चूँकि उस व्याख्या के अनुसार F का असंबद्ध Φ सत्य है, F सत्य है। अब Φ की एकमात्र अन्य संभावित व्याख्या इसे झूठा बनाती है, और यदि ऐसा है, तो निषेध कार्य द्वारा ¬Φ को सही बना दिया जाता है। यह F को फिर से सही बना देगा, क्योंकि Fs में से एक, ¬Φ, इस व्याख्या के अनुसार सत्य होगा। चूँकि F के लिए ये दो व्याख्याएँ ही एकमात्र संभव तार्किक व्याख्याएँ हैं, और चूँकि F दोनों के लिए सत्य है, हम कहते हैं कि यह तार्किक रूप से मान्य या पुनरुत्पादित है।

== एक सिद्धांत की व्याख्या ==

सिद्धांत की व्याख्या सिद्धांत और कुछ विषय वस्तु के बीच का संबंध है जब सिद्धांत के कुछ प्रारंभिक बयानों और विषय वस्तु से संबंधित कुछ बयानों के बीच कई-से-एक पत्राचार होता है। यदि सिद्धांत में प्रत्येक प्रारंभिक कथन का संगत है तो इसे पूर्ण व्याख्या कहा जाता है, अन्यथा इसे आंशिक व्याख्या कहा जाता है।<ref>{{cite book |author=Haskell Curry |author-link=Haskell Curry |title=Foundations of Mathematical Logic |url=https://archive.org/details/foundationsofmat0000unse_o5q2 |url-access=registration |publisher=Mcgraw Hill |date=1963}} Here: p.48</ref>

प्रस्तावपरक तर्क के लिए औपचारिक भाषा में प्रस्तावात्मक प्रतीकों (जिन्हें वाक्यात्मक प्रतीक, वाक्यात्मक चर, प्रस्तावपरक चर भी कहा जाता है) और तार्किक संयोजकों से निर्मित सूत्र होते हैं। प्रस्तावपरक तर्क के लिए औपचारिक भाषा में केवल अन्य -तार्किक प्रतीक ही प्रस्तावात्मक प्रतीक होते हैं, जिन्हें प्रायः बड़े अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है। औपचारिक भाषा को त्रुटिहीन बनाने के लिए, प्रस्तावात्मक प्रतीकों का विशिष्ट समुच्चय तय किया जाना चाहिए।

इस सेटिंग में मानक प्रकार की व्याख्या ऐसा कार्य है जो प्रत्येक प्रस्तावात्मक प्रतीक को सत्य मूल्यों में से को सत्य और असत्य में मैप करता है। इस फलन को सत्य अभिहस्तांकनया वैल्यूएशन फलन के रूप में जाना जाता है। कई प्रस्तुतियों में, यह शाब्दिक रूप से सत्य मूल्य है जिसे निर्दिष्ट किया जाता है, लेकिन कुछ प्रस्तुतियाँ इसकेअतिरिक्त सत्यनिष्ठों को निर्दिष्ट करती हैं।

एन विशिष्ट प्रस्ताव चर वाली भाषा के लिए 2 हैंⁿ विशिष्ट संभावित व्याख्याएं। किसी विशेष चर के लिए, उदाहरण के लिए, 2 हैं¹=2 संभावित व्याख्या: 1) a को 'T' असाइन किया गया है, या 2) a को 'F' असाइन किया गया है। जोड़ी ए, बी के लिए 2 हैं²=4 संभावित व्याख्याएं: 1) दोनों को T असाइन किया गया है, 2) दोनों को F असाइन किया गया है, 3) ''a'' को T असाइन किया गया है और ''b'' को F असाइन किया गया है, या 4) ''a'' को F असाइन किया गया है और ''b'' को T असाइन किया गया है।

प्रस्तावपरक प्रतीकों के समुच्चय के लिए किसी भी सत्य अभिहस्तांकन को देखते हुए, उन चरों से निर्मित सभी प्रस्तावनात्मक सूत्रों के लिए व्याख्या का अनूठा विस्तार है। ऊपर चर्चा किए गए तार्किक संयोजकों की सत्य-तालिका परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, इस विस्तारित व्याख्या को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है।

प्रस्तावपरक तर्क के विपरीत, जहाँ प्रस्तावात्मक चर के अलग समुच्चय की पसंद के अतिरिक्त हर भाषा समान है, वहाँ कई भिन्न-भिन्न प्रथम-क्रम की भाषाएँ हैं। प्रत्येक प्रथम-क्रम की भाषा को [[हस्ताक्षर (गणितीय तर्क)]] द्वारा परिभाषित किया गया है। हस्ताक्षर में अन्य -तार्किक प्रतीकों का समुच्चय होता है और इन प्रतीकों में से प्रत्येक की निरंतर प्रतीक, फलन प्रतीक या [[विधेय प्रतीक]] के रूप में पहचान होती है। फलन और विधेय प्रतीकों के स्थिति   में, [[प्राकृतिक संख्या]] भी निर्दिष्ट की जाती है। औपचारिक भाषा के लिए वर्णमाला में तार्किक स्थिरांक, समानता संबंध प्रतीक =, हस्ताक्षर से सभी प्रतीक, और चर के रूप में ज्ञात प्रतीकों का अतिरिक्त अनंत समुच्चय होता है।

उदाहरण के लिए, रिंग (गणित) की भाषा में, स्थिर प्रतीक 0 और 1 हैं, दो बाइनरी फलन प्रतीक + और ·, और कोई बाइनरी संबंध प्रतीक नहीं हैं। (यहाँ समानता संबंध को तार्किक स्थिरांक के रूप में लिया गया है।)

फिर से, हम पूर्वक्रम की भाषा L को परिभाषित कर सकते हैं, जिसमें भिन्न-भिन्न प्रतीक a, b, और c सम्मिलित हैं; विधेय प्रतीक एफ, जी, एच, आई और जे; चर x, y, z; कोई कार्य पत्र नहीं; कोई भावात्मक प्रतीक नहीं।

हस्ताक्षर σ को देखते हुए, संबंधित औपचारिक भाषा को σ-सूत्रों के समुच्चय के रूप में जाना जाता है। प्रत्येक σ-सूत्र तार्किक संयोजकों के माध्यम से परमाणु सूत्रों से निर्मित होता है; परमाणु सूत्र विधेय प्रतीकों का उपयोग करते हुए शब्दों से निर्मित होते हैं। σ-सूत्रों के समुच्चय की औपचारिक परिभाषा दूसरी दिशा में आगे बढ़ती है: सबसे पहले, चर के साथ स्थिर और फलन प्रतीकों से शब्दों को इकट्ठा किया जाता है। फिर, शब्दों को हस्ताक्षर से विधेय प्रतीक (संबंध प्रतीक) या समानता के लिए विशेष विधेय प्रतीक = का उपयोग करके परमाणु सूत्र में जोड़ा जा सकता है (अनुभाग देखें #समानता की व्याख्या करना|नीचे समानता की व्याख्या करना)। अंत में, तार्किक संयोजकों और परिमाणकों का उपयोग करके भाषा के सूत्रों को परमाणु सूत्रों से इकट्ठा किया जाता है।

* प्रवचन का डोमेन<ref>Sometimes called the "universe of discourse"</ref> D, सामान्यतः अन्य -खाली होना आवश्यक है (नीचे देखें)।

* प्रत्येक स्थिर प्रतीक के लिए, इसकी व्याख्या के रूप में डी का तत्व।

* प्रत्येक एन-एरी फलन प्रतीक के लिए, डी से डी तक एन-आरी फलन इसकी व्याख्या के रूप में (यानी, फलन डीⁿ → D).

* प्रत्येक n-ary विधेय प्रतीक के लिए, इसकी व्याख्या के रूप में D पर n-ary संबंध (अर्थात, D का उपसमुच्चय)^एन).

इस जानकारी को ले जाने वाली वस्तु को [[संरचना (गणितीय तर्क)]] के रूप में जाना जाता है ({{not a typo|of}} हस्ताक्षर σ), या σ-संरचना, या L-संरचना (भाषा L की), या मॉडल के रूप में।

व्याख्या में निर्दिष्ट जानकारी किसी भी परमाणु सूत्र को सत्य मान देने के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान करती है, इसके प्रत्येक [[मुक्त चर]] के बाद, यदि कोई हो, डोमेन के तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। मनमाना वाक्य का सत्य मूल्य तब [[टी-स्कीमा]] का उपयोग करके आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जाता है, जो कि अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा विकसित प्रथम-क्रम शब्दार्थ की परिभाषा है। जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, टी-स्कीमा सत्य तालिकाओं का उपयोग करके तार्किक संयोजकों की व्याख्या करती है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, {{nowrap|φ ∧ ψ}} संतुष्ट है अगर और केवल अगर φ और ψ दोनों संतुष्ट हैं।

यह इस मुद्दे को छोड़ देता है कि प्रपत्र के सूत्रों की व्याख्या कैसे की जाए {{nowrap|∀ ''x'' φ(''x'')}} और {{nowrap|∃ ''x'' φ(''x'')}}. प्रवचन का डोमेन इन क्वांटिफायर के लिए क्वांटिफायर (तर्क)#रेंज ऑफ क्वांटिफिकेशन बनाता है। विचार यह है कि वाक्य {{nowrap|∀ ''x'' φ(''x'')}} व्याख्या के अनुसार सही है जब φ(x) का प्रत्येक प्रतिस्थापन उदाहरण, जहां x को डोमेन के कुछ तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, संतुष्ट हो जाता है। सूत्र {{nowrap|∃ ''x'' φ(''x'')}} संतुष्ट है