प्राचलिक सतह: Difference between revisions

Latest revision as of 16:21, 30 October 2023

प्राचलिक सतह यूक्लिडियन समष्टि में एक सतह (गणित) है $\mathbb {R} ^{3}$ जिसे दो मापदंडों के साथ एक प्राचलिक समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है $\mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ . प्राचलिक प्रतिनिधित्व एक सतह, साथ ही साथ अंतर्निहित अभ्यावेदन को निर्दिष्ट करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है। वेक्टर कलन, स्टोक्स प्रमेय और विचलन प्रमेय के दो मुख्य प्रमेयों में होने वाली सतहों को अक्सर एक प्राचलिक रूप में दिया जाता है। सतह पर वक्रता और घटता की वृत्तांश लंबाई, सतह क्षेत्र , विभेदक ज्यामितीय निश्चर कापहला मौलिक रूप और दूसरा मौलिक रूप, गाऊसी वक्रता, माध्य वक्रता , और प्रमुख वक्रता सभी की गणना किसी दिए गए प्राचलीकरण से की जा सकती है।

उदाहरण

File:Parametric surface illustration (torus).png

टोरस् , समीकरणों के साथ बनाया गया:

x = r sin v

;

y = (R + r cos v) sin u

;

z = (R + r cos v) cos u

.

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एक ट्रेफिल गाँठ बनाने वाली पैरामीट्रिक सतह, संलग्न स्रोत कोड में समीकरण विवरण।

* सबसे सरल प्रकार की प्राचलिक सतहों को दो चर के कार्यों के आरेख द्वारा दिया जाता है:

z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)).

परिमेय सतह एक ऐसी सतह है जो परिमेय फलन द्वारा प्राचलीकरण को स्वीकार करती है। परिमेय सतह एक बीजीय सतह है। बीजीय सतह को देखते हुए, यह तय करना प्रायः आसान होता है कि क्या यह तर्कसंगत है, इसके तर्कसंगत प्राचलीकरण की गणना करने की तुलना में, यदि यह मौजूद है।
[1] परिभ्रमण की सतह सतहों का एक और महत्वपूर्ण वर्ग देती है जिसे आसानी से प्राचलीकरण किया जा सकता है। अगर ग्राफ z = f(x), a ≤ x ≤ b z-अक्ष के तकरीबन घुमाया जाता है तो परिणामी सतह में एक प्राचलीकरण होता है $\mathbf {r} (u,\phi )=(u\cos \phi ,u\sin \phi ,f(u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi <2\pi .$ इसे पैरामिट्रीकृत भी किया जा सकता है $\mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2}}{1+v^{2}}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,$ दिखा रहा है कि, अगर कार्यात्मक $f$ तर्कसंगत है, तो सतह तर्कसंगत है।
x-अक्ष के परितः R त्रिज्या के सीधे वृत्तीय बेलनाकार (ज्यामिति) में निम्नलिखित पैरामीट्रिक निरूपण है: $\mathbf {r} (x,\phi )=(x,R\cos \phi ,R\sin \phi ).$
गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके, इकाई वृत्त को निम्न के द्वारा पैरामिट्रीकृत किया जा सकता है $r (θ, ϕ) = (\cos θ \sin ϕ, \sin θ \sin ϕ,$

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-एक प्राचलिक सतह यूक्लिडियन समष्टि में एक [[:en:Surface_(mathematics)|सतह (गणित)]]  है <math>\R^3</math> जिसे दो मापदंडों के साथ एक   [[:en:Parametric_equation|प्राचलिक समीकरण]]  द्वारा परिभाषित किया गया है {{nowrap|<math>\mathbf r: \R^2 \to \R^3</math>.}} प्राचलिक प्रतिनिधित्व एक सतह, साथ ही साथ [[:en:Implicit_surface|अंतर्निहित अभ्यावेदन]]  को निर्दिष्ट करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है।  [[:en:Vector_calculus|वेक्टर कलन]] , [[:en:Stokes'_theorem|स्टोक्स प्रमेय]] और [[ विचलन प्रमेय ]] के दो मुख्य प्रमेयों में होने वाली सतहों को अक्सर एक प्राचलिक रूप में दिया जाता है। सतह पर वक्रता और [[:en:Curve|घटता]] की [[:en:Arc_length|चाप लंबाई]],  [[:en:Surface_area|सतह क्षेत्र]] , विभेदक ज्यामितीय निश्चर का[[ पहला मौलिक रूप ]] और [[ दूसरा मौलिक रूप ]],  [[:en:Gaussian_curvature|गाऊसी वक्रता]] ,  [[:en:Mean_curvature|माध्य वक्रता]] , और [[:en:Principal_curvature|प्रमुख वक्रता]] सभी की गणना किसी दिए गए प्राचलीकरण से की जा सकती है।
+'''प्राचलिक सतह''' यूक्लिडियन समष्टि में एक [[:en:Surface_(mathematics)|सतह (गणित)]]  है <math>\R^3</math> जिसे दो मापदंडों के साथ एक  [[:en:Parametric_equation|प्राचलिक समीकरण]]  द्वारा परिभाषित किया गया है {{nowrap|<math>\mathbf r: \R^2 \to \R^3</math>.}} प्राचलिक प्रतिनिधित्व एक सतह, साथ ही साथ [[:en:Implicit_surface|अंतर्निहित अभ्यावेदन]]  को निर्दिष्ट करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है।  [[:en:Vector_calculus|वेक्टर कलन]], [[:en:Stokes'_theorem|स्टोक्स प्रमेय]] और [[ विचलन प्रमेय ]] के दो मुख्य प्रमेयों में होने वाली सतहों को अक्सर एक प्राचलिक रूप में दिया जाता है। सतह पर वक्रता और [[:en:Curve|घटता]] की [[:en:Arc_length|वृत्तांश लंबाई]],  [[:en:Surface_area|सतह क्षेत्र]] , विभेदक ज्यामितीय निश्चर का[[ पहला मौलिक रूप ]] और [[ दूसरा मौलिक रूप | दूसरा मौलिक रूप]],  [[:en:Gaussian_curvature|गाऊसी वक्रता]],  [[:en:Mean_curvature|माध्य वक्रता]] , और [[:en:Principal_curvature|प्रमुख वक्रता]] सभी की गणना किसी दिए गए प्राचलीकरण से की जा सकती है।
 == उदाहरण ==
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 [[File:Parametric surface illustration (trefoil knot).png|thumb|एक ट्रेफिल गाँठ बनाने वाली पैरामीट्रिक सतह, संलग्न स्रोत कोड में समीकरण विवरण।]]* सबसे सरल प्रकार की प्राचलिक सतहों को दो चर के कार्यों के आरेख द्वारा दिया जाता है: <math display="block"> z = f(x,y), \quad \mathbf r(x,y) = (x, y, f(x,y)).</math>
-* एक [[:en:Rational_surface|परिमेय सतह]] एक ऐसी सतह है जो एक [[परिमेय फलन]] द्वारा प्राचलीकरण को स्वीकार करती है। एक परिमेय सतह एक  [[:en:Algebraic_surface|बीजीय सतह]]  है। एक बीजीय सतह को देखते हुए, यह तय करना प्रायः आसान होता है कि क्या यह तर्कसंगत है, इसके तर्कसंगत प्राचलीकरण की गणना करने की तुलना में, यदि यह मौजूद है।
+* [[:en:Rational_surface|परिमेय सतह]] एक ऐसी सतह है जो [[परिमेय फलन]] द्वारा प्राचलीकरण को स्वीकार करती है। परिमेय सतह एक [[:en:Algebraic_surface|बीजीय सतह]]  है। बीजीय सतह को देखते हुए, यह तय करना प्रायः आसान होता है कि क्या यह तर्कसंगत है, इसके तर्कसंगत प्राचलीकरण की गणना करने की तुलना में, यदि यह मौजूद है।
 * [https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_of_revolution][[ क्रांति की सतह | परिभ्रमण की सतह]] सतहों का एक और महत्वपूर्ण वर्ग देती है जिसे आसानी से  प्राचलीकरण किया जा सकता है। अगर ग्राफ {{nowrap|1=''z'' = ''f''(''x'')}}, {{nowrap|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}} z-अक्ष के तकरीबन घुमाया जाता है तो परिणामी सतह में एक प्राचलीकरण होता है <math display="block"> \mathbf r(u,\phi) = (u\cos\phi, u\sin\phi, f(u)), \quad a\leq u\leq b, 0\leq\phi <  2\pi.</math> इसे पैरामिट्रीकृत भी किया जा सकता है <math display="block"> \mathbf r(u,v) = \left(u\frac{1-v^2}{1+v^2}, u\frac{2v}{1+v^2}, f(u)\right), \quad a\leq u\leq b, </math> दिखा रहा है कि, अगर कार्यात्मक  {{mvar|f}} तर्कसंगत है, तो सतह तर्कसंगत है।
 * x-अक्ष के परितः R त्रिज्या के सीधे वृत्तीय [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cylinder बेलनाकार] (ज्यामिति) में निम्नलिखित पैरामीट्रिक निरूपण है: <math display="block">\mathbf r(x, \phi) = (x, R\cos\phi, R\sin\phi). </math>
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 मान लें कि पैरामीट्रिक सतह समीकरण द्वारा दी गई है
 <math display="block">\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v),</math>
-कहाँ पे <math>\mathbf{r}</math> पैरामीटर (u, v) का एक  [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function सदिश-मूल्यवान प्रकार्य] है और मापदण्ड पैरामीट्रिक uv-समतल में एक निश्चित डोमेन d के भीतर भिन्न होता है। मापदंडों के संबंध में पहला आंशिक व्युत्पादित आमतौर पर निरूपित किया जाता है <math display="inline">\mathbf{r}_u := \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}</math> तथा <math>\mathbf{r}_v,</math> और इसी तरह उच्च व्युत्पादित के लिए, <math>\mathbf{r}_{uu}, \mathbf{r}_{uv}, \mathbf{r}_{vv}.</math>
+जहाँ पे <math>\mathbf{r}</math> पैरामीटर (u, v) का एक  [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function सदिश-मूल्यवान प्रकार्य] है और मापदण्ड पैरामीट्रिक uv-समतल में एक निश्चित डोमेन d के भीतर भिन्न होता है। मापदंडों के संबंध में पहला आंशिक व्युत्पादित आमतौर पर निरूपित किया जाता है <math display="inline">\mathbf{r}_u := \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}</math> तथा <math>\mathbf{r}_v,</math> और इसी तरह उच्च व्युत्पादित के लिए, <math>\mathbf{r}_{uu}, \mathbf{r}_{uv}, \mathbf{r}_{vv}.</math>
 [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus सदिश कलन] में, मापदंडों को अक्सर निरूपित किया जाता है (s, t) और आंशिक व्युत्पादित को ∂-नोटेशन का उपयोग करके लिखा जाता है:
 <math display="block">
@@ Line 32: / Line 33: @@
 \frac{\partial^2\mathbf{r}}{\partial t^2}.
 </math>
+=== स्पर्शरेखा समतल और सामान्य सदिश ===
+{{broader|विभेदक सतह #स्पर्शरेखा सदिश और सामान्य सदिश}}
-=== स्पर्शरेखा समतल और सामान्य सदिश {{anchor|Tangent plane|Normal vector}}===
-{{broader|Differentiable surface#Tangent vectors and normal vector}}
 पैरामीटर के दिए गए मानों के लिए प्राचलीकरण नियमित है यदि वैक्टर
 <math display="block">\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v </math>
@@ Line 49: / Line 48: @@
 इसे अदिश क्षेत्र 1 पर एक [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Surface_integral सतह समाकलन] के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:
 <math display="block">\int_S 1 \,dS. </math>
 === पहला मौलिक रूप ===
-{{main|First fundamental form}}
+{{main|पहला मौलिक रूप}}
 पहला मौलिक रूप [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Quadratic_form द्विघात रूप] है।
 <math display="block"> \mathrm{I} = E\,du^2 + 2\,F\,du\,dv + G\,dv^2 </math>
@@ Line 72: / Line 69: @@
 === दूसरा मौलिक रूप ===
-{{main|Second fundamental form}}
+{{main|दूसरा मौलिक रूप}}
 दूसरा मौलिक रूप
 <math display="block"> \mathrm{I\!I} = L \, du^2 + 2M \, du \, dv + N \, dv^2 </math>
@@ Line 87: / Line 84: @@
 === वक्रता ===
-{{main|Curvature}}
+{{main|वक्रता}}
 सतह के पहले और दूसरे मौलिक रूप इसके महत्वपूर्ण अंतर-ज्यामितीय  [[:en:Invariant_(mathematics)|निश्चर(गणित)]]  को निर्धारित करते हैं: [[:en:Gaussian_curvature|गाऊसी वक्रता]], [[:en:Mean_curvature|माध्य वक्रता]] और [[:en:Mean_curvature|प्रमुख वक्रता]]।
@@ Line 109: / Line 106: @@
 ==यह भी देखें==
-* [[ तख़्ता (गणित) ]]
+* [[ तख़्ता (गणित) |स्प्लाइन (गणित)]]
 *[[ सतह सामान्य ]]
@@ Line 121: / Line 118: @@
 {{Authority control}}
-[[Category: सतह]]
-[[Category: समीकरण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:AC with 0 elements]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
 [[Category:Created On 10/11/2022]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:सतह]]
+[[Category:समीकरण]]

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