श्रेणी (गणित)

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गणित में, एक श्रेणी (कभी-कभी इसे एक ठोस श्रेणी से अलग करने के लिए एक सार श्रेणी कहा जाता है)"वस्तुओं" का एक संग्रह होता है जो "तीर" से जुड़ा होता है। एक श्रेणी में दो बुनियादी गुण होते हैं: साहचर्य रूप से तीरों की रचना करने की क्षमता और प्रत्येक वस्तु के लिए एक पहचान तीर का अस्तित्व। एक सरल उदाहरण समुच्चयों की श्रेणीहै, जिनके ऑब्जेक्ट समुच्चय हैं और जिनके तीर कार्य हैं।

श्रेणी सिद्धांतगणित की एक शाखा है जो सभी गणित को श्रेणियों के संदर्भ में सामान्य बनाने का प्रयास करता है, जो उनकी वस्तुओं और तीरों का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। आधुनिक गणित की लगभग हर शाखा को श्रेणियों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और ऐसा करने से अक्सर गणित के विभिन्न क्षेत्रों के बीच गहरी अंतर्दृष्टि और समानताएं प्रकट होती हैं। जैसे, श्रेणी सिद्धांत गणित के लिए सिद्धांत और अन्य प्रस्तावित स्वयंसिद्ध नींव स्थापित करने के लिए एक वैकल्पिक आधार प्रदान करता है। सामान्य तौर पर, वस्तुएं और तीर किसी भी प्रकार की अमूर्त संस्थाएं हो सकती हैं, और श्रेणी की धारणा गणितीय संस्थाओं और उनके संबंधों का वर्णन करने के लिए एक मौलिक और अमूर्त तरीका प्रदान करती है।

गणित को औपचारिक बनाने के अलावा, कंप्यूटर विज्ञान में कई अन्य प्रणालियों को औपचारिक रूप देने के लिए श्रेणी सिद्धांत का भी उपयोग किया जाता है, जैसेप्रोग्रामिंग भाषाओं के शब्दार्थ ।

दो श्रेणियां समान हैं यदि उनके पास वस्तुओं का एक ही संग्रह है, तीरों का एक ही संग्रह है, और तीरों के किसी भी जोड़े को बनाने की एक ही सहयोगी विधि है। श्रेणी सिद्धांत के प्रयोजनों के लिए दो अलग-अलग श्रेणियों को "समतुल्य"माना जा सकता है, भले ही उनकी संरचना बिल्कुल समान न हो।

सुप्रसिद्ध श्रेणियों को एक छोटे बड़े शब्द या संक्षिप्त रूप में बोल्ड या इटैलिक में दर्शाया जाता है: उदाहरणों में सेट, सेट की श्रेणी और सेट फ़ंक्शन शामिल हैं; वलय, वलय की श्रेणी और वलय समरूपता; और शीर्ष, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थानऔर निरंतर मानचित्रों की श्रेणी। पिछली सभी श्रेणियों में पहचान तीर के रूप में पहचान मानचित्र और तीरों पर सहयोगी संचालन के रूप में संरचना है।

श्रेणी सिद्धांत पर क्लासिक और अभी भी बहुत अधिक उपयोग किया जाने वाला पाठ सॉन्डर्स मैक लेन द्वारा कार्यशील गणितज्ञ के लिए श्रेणियाँ है। अन्य संदर्भ नीचे दिए गए संदर्भों में दिए गए हैं। इस लेख की मूल परिभाषाएं इनमें से किसी भी पुस्तक के पहले कुछ अध्यायों में निहित हैं।

Group-like structures

	Totality	Associativity	Identity	Inverse	Commutativity
Semigroupoid	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Small category	Unneeded	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Groupoid	Unneeded	Required	Required	Required	Unneeded
Magma	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Quasigroup	Required	Unneeded	Unneeded	Required	Unneeded
Unital magma	Required	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded
Semigroup	Required	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Loop	Required	Unneeded	Required	Required	Unneeded
Monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Group	Required	Required	Required	Required	Unneeded
Commutative monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Required
Abelian group	Required	Required	Required	Required	Required
^α The closure axiom, used by many sources and defined differently, is equivalent.

किसी भी मोनॉयड को एक विशेष प्रकार की श्रेणी के रूप में समझा जा सकता है (एक एकल वस्तु के साथ जिसका स्व-रूपवाद मोनॉयड के तत्वों द्वारा दर्शाया जाता है), और इसलिए कोई भी पूर्व आदेश कर सकता है।

परिभाषा

एक श्रेणी की कई समान परिभाषाएँ हैं। एक आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा इस प्रकार है। एक श्रेणी 'सी' के होते हैं

• गणितीय_वस्तुओं का एक वर्ग (सेट सिद्धांत) ओबी (सी),
• morphism s, या तीर, या वस्तुओं के बीच नक्शे का एक वर्ग घर (सी),
• एक डोमेन, या स्रोत वस्तु वर्ग समारोह $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$,
• एक कोडोमैन, या लक्ष्य वस्तु वर्ग समारोह $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$,
• हर तीन वस्तुओं ए, बी और सी के लिए, एक बाइनरी ऑपरेशन होम (ए, बी) × होम (बी, सी) → होम (ए, सी) को आकारिकी की रचना कहा जाता है; f : a → b और g : b → c का संघटन g ∘ f या gf के रूप में लिखा जाता है। (कुछ लेखक आरेखीय क्रम का उपयोग करते हैं, एफ; जी या एफजी लिखते हैं)।

नोट: यहाँ hom(a, b) hom(C) में morphisms f के उपवर्ग को दर्शाता है जैसे कि $\mathrm {dom} (f)=a$ तथा $\mathrm {cod} (f)=b$. इस तरह के आकारिकी को अक्सर f : a → b के रूप में लिखा जाता है।

ऐसा है कि निम्नलिखित स्वयंसिद्ध धारण करते हैं:

• (साहचर्य) यदि f : a → b, g : b → c और h : c → d तो h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, और
• (पहचान (गणित) ) प्रत्येक वस्तु x के लिए, एक आकृति 1 मौजूद है_x : x → x (कुछ लेखक आईडी लिखते हैं_x) x के लिए तत्समक आकृतिवाद कहलाता है, जैसे कि प्रत्येक आकारिकी f : a → x 1 को संतुष्ट करता है_x ∘ f = f, और प्रत्येक रूपवाद g : x → b, g ∘ 1 . को संतुष्ट करता है_x = जी।

हम f: a → b लिखते हैं, और हम कहते हैं कि f, a से b तक एक आकारिकी है। हम होम (ए, बी) (या होम_C(ए, बी) जब भ्रम हो सकता है कि किस श्रेणी के होम (ए, बी) को संदर्भित करता है) सभी रूपों के 'होम-क्लास' को ए से बी तक दर्शाता है। इन स्वयंसिद्धों से, कोई यह साबित कर सकता है कि प्रत्येक वस्तु के लिए बिल्कुल एक पहचान रूपवाद है। कुछ लेखक परिभाषा की थोड़ी भिन्नता का उपयोग करते हैं जिसमें प्रत्येक वस्तु को संबंधित पहचान रूपवाद के साथ पहचाना जाता है।

छोटी और बड़ी श्रेणियां

श्रेणी सी को छोटा कहा जाता है यदि दोनों ओबी (सी) और होम (सी) वास्तव में सेट हैं औरउचित वर्गनहीं हैं, और अन्यथा बड़े हैं। स्थानीय रूप से छोटी श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें सभी वस्तुओं a और b के लिए, होम-क्लास hom(a, b) एक सेट है, जिसे होमसेट कहा जाता है। गणित में कई महत्वपूर्ण श्रेणियां (जैसे सेट की श्रेणी), हालांकि छोटी नहीं हैं, कम से कम स्थानीय रूप से छोटी हैं। चूंकि, छोटी श्रेणियों में, वस्तुएं एक सेट बनाती हैं, एक छोटी श्रेणी को एक मोनोइड के समान बीजगणितीय संरचनाके रूप में देखा जा सकता है, लेकिन क्लोजर (गणित)गुणों की आवश्यकता के बिना। दूसरी ओर बड़ी श्रेणियों का उपयोग बीजीय संरचनाओं की "संरचनाएं" बनाने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण

सभी सेटों का वर्ग (वस्तुओं के रूप में) उनके बीच के सभी कार्यों के साथ (आकृति के रूप में), जहां morphisms की संरचना सामान्य कार्य संरचना है, एक बड़ी श्रेणी, सेट बनाती है। यह गणित में सबसे बुनियादी और सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली श्रेणी है। रिले श्रेणी में सभी सेट (वस्तुओं के रूप में) उनके बीच द्विआधारी संबंधों के साथ होते हैं (रूपों के रूप में)। कार्यों के बजाय संबंध (गणित)से सार निकालने से रूपक (श्रेणी सिद्धांत) , श्रेणियों का एक विशेष वर्ग प्राप्त होता है।

किसी भी वर्ग को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसका केवल रूपवाद ही पहचान रूप है। ऐसी श्रेणियों को असतत श्रेणीकहा जाता है। किसी दिए गए समुच्चय I के लिए, I पर असतत श्रेणी वह छोटी श्रेणी है जिसमें I के तत्व वस्तुओं के रूप में होते हैं और केवल पहचान आकारिकी रूपवाद के रूप में होती है। असतत श्रेणियां सबसे सरल प्रकार की श्रेणी हैं।

कोई भी पूर्व-आदेशित सेट (P, ) एक छोटी श्रेणी बनाता है, जहाँ वस्तुएँ P के सदस्य हैं, morphisms x ≤ y होने पर x से y की ओर इशारा करते हुए तीर हैं। इसके अलावा, यदि एंटीसिमेट्रिक है, तो किन्हीं दो वस्तुओं के बीच अधिकतम एक रूपवाद हो सकता है। आइडेंटिटी मॉर्फिज्म के अस्तित्व और मॉर्फिज्म की कंपोजिबिलिटी की गारंटी रिफ्लेक्सिविटी और प्रीऑर्डर की ट्रांजिटिविटी द्वारा दी जाती है। उसी तर्क से, किसी भी आंशिक रूप से आदेशित सेटऔर किसी भी समकक्ष संबंध को एक छोटी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है। आदेशित सेटके रूप में देखे जाने पर किसी भी क्रम संख्या को एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है।

कोई भी मोनोइड (एकल सहयोगी बाइनरी ऑपरेशन और एक पहचान तत्वके साथ कोई बीजगणितीय संरचना) एक वस्तु x के साथ एक छोटी श्रेणी बनाती है। (यहाँ, x कोई निश्चित समुच्चय है।) x से x तक के morphisms ठीक monoid के तत्व हैं, x की पहचान morphism monoid की पहचान है, और morphisms की श्रेणीबद्ध संरचना monoid संचालन द्वारा दी गई है। मोनोइड्स के बारे में कई परिभाषाएँ और प्रमेय श्रेणियों के लिए सामान्यीकृत किए जा सकते हैं।

इसी तरह किसी भी समूह (गणित) को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसमें एक ही वस्तु होती है जिसमें प्रत्येक रूपवाद उलटा होता है, यानी, प्रत्येक रूपवाद के लिए एक आकृतिवाद होता है जो संरचना के तहत एफ के विपरीत बाएं और दाएं दोनों होता है। एक रूपवाद जो इस अर्थ में उलटा होता है, एक समरूपता कहलाता है।

ग्रुपॉइड एक श्रेणी है जिसमें प्रत्येक रूपवाद एक समरूपता है। Groupoids समूहों, समूह क्रिया (गणित)और तुल्यता संबंधों के सामान्यीकरण हैं। दरअसल, श्रेणी की दृष्टि से ग्रुपॉइड और ग्रुप के बीच एकमात्र अंतर यह है कि ग्रुपॉइड में एक से अधिक ऑब्जेक्ट हो सकते हैं लेकिन ग्रुप में केवल एक ही होना चाहिए। एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर विचार करें और एक्स के आधार बिंदु $x_{0}$ को ठीक करें, फिर $\pi _{1}(X,x_{0})$टोपोलॉजिकल स्पेस X और आधार बिंदु $x_{0}$, का मूलभूत समूह है, और एक सेट के रूप में इसमें समूह की संरचना होती है; यदि फिर आधार बिंदु $x_{0}$ को X के सभी बिंदुओं पर चलने दें, और सभी का मिलन करें$\pi _{1}(X,x_{0})$,तो हमें जो समुच्चय मिलता है उसमें केवल ग्रुपॉइड की संरचना होती है (जिसे एक्स का मौलिक समूहकहा जाता है): दो लूप (समरूपता के तुल्यता संबंध के तहत) हो सकता है कि उनका आधार बिंदु समान न हो इसलिए वे एक दूसरे से गुणा नहीं कर सकते। श्रेणी की भाषा में, इसका मतलब है कि यहां दो आकारिकी में एक ही स्रोत वस्तु (या लक्ष्य वस्तु नहीं हो सकती है, क्योंकि इस मामले में किसी भी रूपवाद के लिए स्रोत वस्तु और लक्ष्य वस्तु समान हैं: आधार बिंदु) इसलिए वे रचना नहीं कर सकते एक दूसरे।

निर्देशित ग्राफ।

कोई भी निर्देशित ग्राफ जनरेटिंग सेट छोटी श्रेणी सेट करता है: ऑब्जेक्ट ग्राफ़ के वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) हैं, और morphisms ग्राफ़ में पथ हैं (लूप (ग्राफ़ सिद्धांत) के साथ संवर्धित) जहाँ morphisms की रचना का संयोजन है पथ। ऐसी श्रेणी को ग्राफ द्वारा उत्पन्न मुक्त श्रेणी कहा जाता है।

मॉर्फिज्म के रूप में मोनोटोनिक फ़ंक्शंस वाले सभी प्रीऑर्डर किए गए सेटों का वर्ग एक श्रेणी, ऑर्ड बनाता है। यह एक ठोस श्रेणी है, यानी सेट पर किसी प्रकार की संरचना जोड़कर प्राप्त की गई श्रेणी, और यह आवश्यक है कि morphisms ऐसे कार्य हैं जो इस अतिरिक्त संरचना का सम्मान करते हैं।

समूह समरूपताके साथ सभी समूहों का वर्ग आकारिकी के रूप में और संरचना संचालन के रूप में कार्य संरचना एक बड़ी श्रेणी 'बनाती है, जीआरपी। ऑर्ड की तरह, जीआरपी एक ठोस श्रेणी है। श्रेणीएबी, जिसमें सभी एबेलियन समूहऔर उनके समूह समरूपता शामिल हैं, जीआरपी की एक पूर्ण उपश्रेणी है, और एक एबेलियन श्रेणीका प्रोटोटाइप है। ठोस श्रेणियों के अन्य उदाहरण निम्न तालिका द्वारा दिए गए हैं।

Category	Objects	Morphisms
Grp	groups	group homomorphisms
Mag	magmas	magma homomorphisms
Manp	smooth manifolds	p-times continuously differentiable maps
Met	metric spaces	short maps
R-Mod	R-modules, where R is a ring	R-module homomorphisms
Mon	monoids	monoid homomorphisms
Ring	rings	ring homomorphisms
Set	sets	functions
Top	topological spaces	continuous functions
Uni	uniform spaces	uniformly continuous functions
VectK	vector spaces over the field K	K-linear maps

उनके बीच बंडल नक्शा वाले फाइबर बंडल एक ठोस श्रेणी बनाते हैं।

छोटी श्रेणियों की श्रेणी श्रेणी में सभी छोटी श्रेणियां होती हैं, उनके बीच के फंक्शनलर्स मॉर्फिज्म के रूप में होते हैं।

नई श्रेणियों का निर्माण

दोहरी श्रेणी

किसी भी श्रेणी सी को एक अलग तरीके से एक नई श्रेणी के रूप में माना जा सकता है: वस्तुएं मूल श्रेणी में समान हैं लेकिन तीर मूल श्रेणी के विपरीत हैं। इसे विपरीत श्रेणी कहा जाता है और इसे C से निरूपित किया जाता है^ऊपर.

उत्पाद श्रेणियां

यदि सी और डी श्रेणियां हैं, तो कोई उत्पाद श्रेणी सी × डी बना सकता है: ऑब्जेक्ट जोड़े हैं जिसमें सी से एक ऑब्जेक्ट और डी से एक ऑब्जेक्ट शामिल है, और मोर्फिज्म भी जोड़े हैं, जिसमें सी में एक मोर्फिज्म और डी में एक शामिल है। ऐसी जोड़ियों की रचना N-tuple की जा सकती है।

आकारिकी के प्रकार

एक आकारिकी f : a → b कहलाती है

• एक एकरूपता (या मोनिक) अगर यह वाम-रद्द करने योग्य है, यानी एफजी₁= एफजी₂मतलब जी₁= जी₂सभी रूपों के लिए जी₁, जी₂: एक्स → ए।
• एक अधिरूपता (या महाकाव्य) अगर यह सही-रद्द करने योग्य है, यानी जी₁च = जी₂च का अर्थ है जी₁= जी₂सभी रूपों के लिए जी₁, जी₂: बी → एक्स।
• एक द्विरूपता यदि यह एक मोनोमोर्फिज्म और एक एपिमॉर्फिज्म दोनों है।
• एक वापस लेना (श्रेणी सिद्धांत) यदि इसका एक सही उलटा है, अर्थात यदि कोई रूपवाद मौजूद है g : b → a fg = 1 के साथ_b.
• एक खंड (श्रेणी सिद्धांत) यदि इसमें एक वाम प्रतिलोम है, अर्थात यदि कोई रूपवाद मौजूद है g : b → a gf = 1 के साथ_a.
• एक समरूपता यदि इसका व्युत्क्रम है, अर्थात यदि कोई रूपवाद मौजूद है g : b → a fg = 1 के साथ_b और जीएफ = 1_a.
• एक एंडोमोर्फिज्म अगर ए = बी। ए के एंडोमोर्फिज्म के वर्ग को निरूपित अंत (ए) है।
• एक ऑटोमोर्फिज्म अगर एफ एंडोमोर्फिज्म और आइसोमोर्फिज्म दोनों है। a के automorphisms के वर्ग को at(a) निरूपित किया जाता है।

प्रत्येक प्रत्यावर्तन एक एपिमोर्फिज्म है। प्रत्येक खंड एक मोनोमोर्फिज्म है। निम्नलिखित तीन बयान समकक्ष हैं:

• f एक एकरूपता और एक प्रत्यावर्तन है;
• एफ एक एपिमोर्फिज्म और एक खंड है;
• f एक तुल्याकारिता है।

morphisms (जैसे fg = h) के बीच संबंधों को सबसे आसानी से क्रमविनिमेय आरेख ों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है, जहाँ वस्तुओं को बिंदुओं के रूप में और morphisms को तीरों के रूप में दर्शाया जाता है।

श्रेणियों के प्रकार

• कई श्रेणियों में, उदा. एबेलियन समूहों की श्रेणी या के-वेक्ट|वेक्ट_K, होम-सेट होम (ए, बी) केवल सेट नहीं हैं बल्कि वास्तव में एबेलियन समूह हैं, और मॉर्फिज्म की संरचना इन समूह संरचनाओं के साथ संगत है; यानी द्विरेखीय रूप है। ऐसी श्रेणी को पूर्वगामी श्रेणी कहा जाता है। यदि, इसके अलावा, श्रेणी में सभी परिमित उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) और सह-उत्पाद हैं, तो इसे योगात्मक श्रेणी कहा जाता है। यदि सभी morphisms में एक कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और एक cokernel होता है, और सभी epimorphisms cokernel होते हैं और सभी monomorphism कर्नेल होते हैं, तो हम abelian category की बात करते हैं। एबेलियन श्रेणी का एक विशिष्ट उदाहरण एबेलियन समूहों की श्रेणी है।
• एक श्रेणी पूर्ण श्रेणी कहलाती है यदि उसमें सभी छोटी सीमा (श्रेणी सिद्धांत) मौजूद हों। सेट, एबेलियन समूह और टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणियां पूरी हो गई हैं।
• एक श्रेणी को कार्तीय बंद श्रेणी कहा जाता है यदि उसके पास परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद हैं और एक परिमित उत्पाद पर परिभाषित एक रूपवाद को हमेशा कारकों में से एक पर परिभाषित एक रूपवाद द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरणों में शामिल हैं 'सेट की श्रेणी' और 'सीपीओ', स्कॉट निरंतरता के साथ पूर्ण आंशिक ऑर्डर की श्रेणी|स्कॉट-निरंतर कार्य।
• एक टोपोस एक निश्चित प्रकार की कार्टेशियन बंद श्रेणी है जिसमें सभी गणित तैयार किए जा सकते हैं (जैसे शास्त्रीय रूप से सभी गणित सेट की श्रेणी में तैयार किए जाते हैं)। एक तार्किक सिद्धांत का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक टोपोस का भी उपयोग किया जा सकता है।

यह भी देखें

• समृद्ध श्रेणी
• उच्च श्रेणी सिद्धांत
• क्वांटालॉइड
• गणितीय प्रतीकों की तालिका

संदर्भ

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• category at the nLab