श्रेणी (गणित)

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गणित में, एक श्रेणी (कभी-कभी इसे एक ठोस श्रेणी से अलग करने के लिए एक सार श्रेणी कहा जाता है) वस्तुओं का एक संग्रह है जो तीरों से जुड़ा हुआ है। एक श्रेणी में दो बुनियादी गुण होते हैं: तीरों की रचना करने की क्षमता और प्रत्येक वस्तु के लिए एक पहचान तीर का अस्तित्व। एक सरल उदाहरण सेट की श्रेणी है, जिनकी वस्तुएं सेट (गणित) हैं और जिनके तीर फ़ंक्शन (गणित) हैं।

श्रेणी सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो सभी गणित को श्रेणियों के संदर्भ में सामान्यीकृत करना चाहती है, चाहे उनकी वस्तुएं और तीर क्या दर्शाते हैं। वस्तुतः आधुनिक गणित की प्रत्येक शाखा को श्रेणियों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और ऐसा करने से अक्सर गणित के प्रतीत होने वाले विभिन्न क्षेत्रों के बीच गहरी अंतर्दृष्टि और समानताएं प्रकट होती हैं। जैसे, श्रेणी सिद्धांत सिद्धांत और अन्य प्रस्तावित स्वयंसिद्ध नींव स्थापित करने के लिए गणित के लिए एक वैकल्पिक आधार प्रदान करता है। सामान्य तौर पर, वस्तुएँ और तीर किसी भी प्रकार की अमूर्त संस्थाएँ हो सकती हैं, और श्रेणी की धारणा गणितीय संस्थाओं और उनके संबंधों का वर्णन करने के लिए एक मौलिक और अमूर्त तरीका प्रदान करती है।

गणित को औपचारिक रूप देने के अलावा, कंप्यूटर विज्ञान में कई अन्य प्रणालियों को औपचारिक रूप देने के लिए श्रेणी सिद्धांत का भी उपयोग किया जाता है, जैसे प्रोग्रामिंग भाषाओं के शब्दार्थ ।

दो श्रेणियां समान हैं यदि उनके पास वस्तुओं का समान संग्रह है, तीरों का समान संग्रह है, और तीरों के किसी भी जोड़े को बनाने की समान साहचर्य विधि है। श्रेणी सिद्धांत के प्रयोजनों के लिए दो अलग श्रेणियों को भी श्रेणियों की समानता माना जा सकता है, भले ही उनके पास बिल्कुल समान संरचना न हो।

जाने-माने श्रेणियों को एक संक्षिप्त पूंजीकृत शब्द या संक्षिप्त रूप से बोल्ड या इटैलिक में दर्शाया जाता है: उदाहरणों में सेट की श्रेणी, सेट की श्रेणी (गणित) और फ़ंक्शन (गणित) शामिल हैं; छल्लों की श्रेणी, वलय की श्रेणी (गणित) और वलय समरूपता; और टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी, टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी और निरंतर मानचित्र। पिछली सभी श्रेणियों में पहचान समारोह आइडेंटिटी एरो के रूप में है और समारोह संरचना एरो पर संबद्धता ऑपरेशन के रूप में है।

सॉन्डर्स मैक लेन द्वारा श्रेणी सिद्धांत पर क्लासिक और अभी भी बहुत अधिक उपयोग किया जाने वाला पाठ वर्किंग मैथमैटिशियन के लिए श्रेणियां है। अन्य संदर्भ नीचे #References में दिए गए हैं। इस लेख की मूल परिभाषाएँ इनमें से किसी भी पुस्तक के पहले कुछ अध्यायों में समाहित हैं।

Group-like structures

	Totality	Associativity	Identity	Inverse	Commutativity
Semigroupoid	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Small category	Unneeded	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Groupoid	Unneeded	Required	Required	Required	Unneeded
Magma	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Quasigroup	Required	Unneeded	Unneeded	Required	Unneeded
Unital magma	Required	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded
Semigroup	Required	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Loop	Required	Unneeded	Required	Required	Unneeded
Monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Group	Required	Required	Required	Required	Unneeded
Commutative monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Required
Abelian group	Required	Required	Required	Required	Required
^α The closure axiom, used by many sources and defined differently, is equivalent.

किसी भी मोनॉयड को एक विशेष प्रकार की श्रेणी के रूप में समझा जा सकता है (एक ऐसी वस्तु के साथ जिसका स्व-रूपवाद मोनॉयड के तत्वों द्वारा दर्शाया जाता है), और इसलिए कोई भी पूर्व आदेश कर सकता है।

परिभाषा

एक श्रेणी की कई समान परिभाषाएँ हैं। एक आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा इस प्रकार है। एक श्रेणी 'सी' के होते हैं

• गणितीय_वस्तुओं का एक वर्ग (सेट सिद्धांत) ओबी (सी),
• morphism s, या तीर, या वस्तुओं के बीच नक्शे का एक वर्ग घर (सी),
• एक डोमेन, या स्रोत वस्तु वर्ग समारोह $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$,
• एक कोडोमैन, या लक्ष्य वस्तु वर्ग समारोह $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$,
• हर तीन वस्तुओं ए, बी और सी के लिए, एक बाइनरी ऑपरेशन होम (ए, बी) × होम (बी, सी) → होम (ए, सी) को आकारिकी की रचना कहा जाता है; f : a → b और g : b → c का संघटन g ∘ f या gf के रूप में लिखा जाता है। (कुछ लेखक आरेखीय क्रम का उपयोग करते हैं, एफ; जी या एफजी लिखते हैं)।

नोट: यहाँ hom(a, b) hom(C) में morphisms f के उपवर्ग को दर्शाता है जैसे कि $\mathrm {dom} (f)=a$ तथा $\mathrm {cod} (f)=b$. इस तरह के आकारिकी को अक्सर f : a → b के रूप में लिखा जाता है।

ऐसा है कि निम्नलिखित स्वयंसिद्ध धारण करते हैं:

• (साहचर्य) यदि f : a → b, g : b → c और h : c → d तो h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, और
• (पहचान (गणित) ) प्रत्येक वस्तु x के लिए, एक आकृति 1 मौजूद है_x : x → x (कुछ लेखक आईडी लिखते हैं_x) x के लिए तत्समक आकृतिवाद कहलाता है, जैसे कि प्रत्येक आकारिकी f : a → x 1 को संतुष्ट करता है_x ∘ f = f, और प्रत्येक रूपवाद g : x → b, g ∘ 1 . को संतुष्ट करता है_x = जी।

हम f: a → b लिखते हैं, और हम कहते हैं कि f, a से b तक एक आकारिकी है। हम होम (ए, बी) (या होम_C(ए, बी) जब भ्रम हो सकता है कि किस श्रेणी के होम (ए, बी) को संदर्भित करता है) सभी रूपों के 'होम-क्लास' को ए से बी तक दर्शाता है। इन स्वयंसिद्धों से, कोई यह साबित कर सकता है कि प्रत्येक वस्तु के लिए बिल्कुल एक पहचान रूपवाद है। कुछ लेखक परिभाषा की थोड़ी भिन्नता का उपयोग करते हैं जिसमें प्रत्येक वस्तु को संबंधित पहचान रूपवाद के साथ पहचाना जाता है।

छोटी और बड़ी श्रेणियां

एक श्रेणी सी को 'छोटा' कहा जाता है यदि दोनों ओबी (सी) और होम (सी) वास्तव में सेट (गणित) हैं और उचित वर्ग नहीं हैं, और अन्यथा 'बड़ा'। एक 'स्थानीय रूप से छोटी श्रेणी' एक ऐसी श्रेणी है जिसमें सभी वस्तुओं a और b के लिए, होम-क्लास hom(a, b) एक सेट है, जिसे 'होमसेट' कहा जाता है। गणित में कई महत्वपूर्ण श्रेणियां (जैसे सेट की श्रेणी), हालांकि छोटी नहीं हैं, कम से कम स्थानीय रूप से छोटी हैं। चूंकि, छोटी श्रेणियों में, वस्तुएं एक सेट बनाती हैं, एक छोटी श्रेणी को एक मोनोइड के समान बीजगणितीय संरचना के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन क्लोजर (गणित) गुणों की आवश्यकता के बिना। दूसरी ओर बड़ी श्रेणियों का उपयोग बीजीय संरचनाओं की संरचना बनाने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण

सभी सेटों (ऑब्जेक्ट्स के रूप में) का वर्ग (सेट सिद्धांत) उनके बीच (रूपवाद के रूप में) सभी फ़ंक्शन (गणित) के साथ होता है, जहां मोर्फिज्म की संरचना सामान्य फ़ंक्शन संरचना होती है, एक बड़ी श्रेणी, सेट की श्रेणी बनाती है। यह गणित में सबसे बुनियादी और सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली श्रेणी है। संबंधों की श्रेणी श्रेणी में सभी सेट (गणित) (ऑब्जेक्ट्स के रूप में) होते हैं, जिनके बीच बाइनरी संबंध होते हैं (मोर्फिज्म के रूप में)। कार्यों के बजाय संबंध (गणित) से अमूर्त करने से रूपक (श्रेणी सिद्धांत) , श्रेणियों का एक विशेष वर्ग प्राप्त होता है।

किसी भी वर्ग को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसका केवल रूपवाद ही पहचान आकारिकी है। ऐसी श्रेणियों को असतत श्रेणी कहा जाता है। किसी भी दिए गए सेट (गणित) I के लिए, I पर असतत श्रेणी छोटी श्रेणी है जिसमें I के तत्व वस्तुओं के रूप में होते हैं और केवल पहचान morphisms morphisms के रूप में होते हैं। असतत श्रेणियां सबसे सरल प्रकार की श्रेणी हैं।

कोई भी प्रीऑर्डर (पी, ≤) एक छोटी श्रेणी बनाता है, जहां वस्तुएं पी के सदस्य हैं, आकारिकी x से y की ओर इशारा करते हुए तीर हैं जब x ≤ य। इसके अलावा, यदि ≤ असममित संबंध है, तो किसी भी दो वस्तुओं के बीच अधिकतम एक रूपवाद हो सकता है। पहचान morphisms का अस्तित्व और morphisms की संरचना की गारंटी प्रतिवर्त संबंध और प्रीऑर्डर के सकर्मक संबंध द्वारा दी जाती है। उसी तर्क से, आंशिक रूप से आदेशित सेट और किसी भी समकक्ष संबंध को एक छोटी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है। कुल आदेश के रूप में देखे जाने पर किसी भी क्रमिक संख्या को श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है।

कोई भी मोनॉइड (एक एकल साहचर्य द्विआधारी संबंध और एक पहचान तत्व के साथ कोई भी बीजगणितीय संरचना) एक एकल वस्तु x के साथ एक छोटी श्रेणी बनाती है। (यहाँ, x कोई निश्चित सेट है।) x से x तक की आकृतियाँ ठीक मोनोइड के तत्व हैं, x की पहचान रूपवाद की पहचान है मोनॉइड, और मोर्फिज्म की श्रेणीबद्ध रचना मोनोइड ऑपरेशन द्वारा दी गई है। मोनोइड्स के बारे में कई परिभाषाएँ और प्रमेय श्रेणियों के लिए सामान्यीकृत किए जा सकते हैं।

इसी तरह किसी भी समूह (गणित) को एक एकल वस्तु के साथ एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसमें प्रत्येक आकारिकी उलटा है, अर्थात प्रत्येक आकारिकी f के लिए एक आकारिकी g है जो दोनों है आकृतिवाद # रचना के अंतर्गत f के लिए कुछ विशिष्ट आकारिकी। एक आकृतिवाद जो इस अर्थ में व्युत्क्रमणीय है, एक तुल्याकारिता कहलाती है।

एक समूह एक ऐसी श्रेणी है जिसमें प्रत्येक रूपवाद एक समरूपता है। ग्रुपोइड्स समूहों, समूह क्रिया (गणित) और समकक्ष संबंधों के सामान्यीकरण हैं। दरअसल, श्रेणी की दृष्टि से Groupoid और Group के बीच एकमात्र अंतर यह है कि Groupoid में एक से अधिक ऑब्जेक्ट हो सकते हैं लेकिन समूह में केवल एक ही होना चाहिए। एक सामयिक स्थान 'एक्स' पर विचार करें और एक आधार बिंदु तय करें $x_{0}$ एक्स का, फिर $\pi _{1}(X,x_{0})$ टोपोलॉजिकल स्पेस X और बेस पॉइंट का मूलभूत समूह है $x_{0}$, और एक समुच्चय के रूप में इसमें समूह की संरचना होती है; यदि है तो आधार बिंदु दें $x_{0}$ एक्स के सभी बिंदुओं पर दौड़ता है, और सभी का मिलन करता है $\pi _{1}(X,x_{0})$, तो हमें जो सेट मिलता है उसमें केवल ग्रुपॉइड की संरचना होती है (जिसे एक्स का मौलिक समूह कहा जाता है): दो लूप (होमोटोपी के समतुल्य संबंध के तहत) में एक ही आधार बिंदु नहीं हो सकता है, इसलिए वे एक दूसरे के साथ गुणा नहीं कर सकते। श्रेणी की भाषा में, इसका मतलब है कि यहां दो आकारिकी में एक ही स्रोत वस्तु (या लक्ष्य वस्तु नहीं हो सकती है, क्योंकि इस मामले में किसी भी आकारिकी के लिए स्रोत वस्तु और लक्ष्य वस्तु समान हैं: आधार बिंदु) इसलिए वे साथ रचना नहीं कर सकते एक दूसरे।

File:Directed.svg

निर्देशित ग्राफ।

कोई भी निर्देशित ग्राफ ़ जनरेटिंग सेट छोटी श्रेणी सेट करता है: ऑब्जेक्ट ग्राफ़ के वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) हैं, और morphisms ग्राफ़ में पथ हैं (लूप (ग्राफ़ सिद्धांत) के साथ संवर्धित) जहाँ morphisms की रचना का संयोजन है पथ। ऐसी श्रेणी को ग्राफ द्वारा उत्पन्न मुक्त श्रेणी कहा जाता है।

मोर्फिज्म के रूप में मोनोटोनिक कार्यों के साथ सभी पूर्ववर्ती सेटों का वर्ग एक श्रेणी बनाता है, 'पूर्ववर्ती सेटों की श्रेणी'। यह एक ठोस श्रेणी है, यानी 'सेट' पर किसी प्रकार की संरचना को जोड़कर प्राप्त की जाने वाली श्रेणी, और यह आवश्यक है कि morphisms ऐसे कार्य हैं जो इस अतिरिक्त संरचना का सम्मान करते हैं।

आकारिकी के रूप में समूह समरूपता वाले सभी समूहों का वर्ग और रचना संक्रिया के रूप में कार्य संयोजन एक बड़ी श्रेणी, 'समूहों की श्रेणी ' बनाता है। 'ऑर्ड' की तरह, 'जीआरपी' एक ठोस श्रेणी है। श्रेणी '[[ एबेलियन समूह ों की श्रेणी ]]', जिसमें सभी एबेलियन समूह और उनके समूह समरूपता शामिल हैं, 'जीआरपी' की एक पूर्ण उपश्रेणी है, और एक एबेलियन श्रेणी का प्रोटोटाइप है। ठोस श्रेणियों के अन्य उदाहरण निम्न तालिका द्वारा दिए गए हैं।

Category	Objects	Morphisms
Grp	groups	group homomorphisms
Mag	magmas	magma homomorphisms
Manp	smooth manifolds	p-times continuously differentiable maps
Met	metric spaces	short maps
R-Mod	R-modules, where R is a ring	R-module homomorphisms
Mon	monoids	monoid homomorphisms
Ring	rings	ring homomorphisms
Set	sets	functions
Top	topological spaces	continuous functions
Uni	uniform spaces	uniformly continuous functions
VectK	vector spaces over the field K	K-linear maps

उनके बीच बंडल नक्शा वाले फाइबर बंडल एक ठोस श्रेणी बनाते हैं।

छोटी श्रेणियों की श्रेणी श्रेणी में सभी छोटी श्रेणियां होती हैं, उनके बीच के फंक्शनलर्स मॉर्फिज्म के रूप में होते हैं।

नई श्रेणियों का निर्माण

दोहरी श्रेणी

किसी भी श्रेणी सी को एक अलग तर�