अनुक्रम सीमा: Difference between revisions
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{{Short description|Value to which tends an infinite sequence | {{Short description|Value to which tends an infinite sequence}}[[File:Archimedes pi.svg|350px|right|thumb|alt=diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle|नियमित एन-पक्षीय [[बहुभुज|बहुभुजों]] के परिधि द्वारा दिए गए अनुक्रम जो [[यूनिट सर्कल]] को घेरते हैं, सर्कल के परिधि के बराबर सीमा होती है, अर्थात <math>2\pi r</math>. अन्तर्लिखित बहुभुजों के लिए संबंधित अनुक्रम की एक ही सीमा है।]]<div वर्ग="अंगूठा" दायाँ><div class="थम्बिनर" स्टाइल="चौड़ाई:252px;"> | ||
<div शैली="चौड़ाई:" 240 पीएक्स; फ़ॉन्ट-परिवार: एरियल; फ़ॉन्ट-आकार: 12 फोंट की मोटाई: बोल्ड; पृष्ठभूमि: #fff;> | <div शैली="चौड़ाई:" 240 पीएक्स; फ़ॉन्ट-परिवार: एरियल; फ़ॉन्ट-आकार: 12 फोंट की मोटाई: बोल्ड; पृष्ठभूमि: #fff;> | ||
<div class="thumb tright"> | <div class="thumb tright"> | ||
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भिन्न कहा जाता है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=अभिसरण अनुक्रम|url=https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSequence.html|access-date=2020-08-18|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> एक क्रम जो अभिसरण नहीं करता है उसे भिन्न कहा जाता है।।<ref>Courant (1961), p. 39.</ref> अनुक्रम की सीमा को मौलिक धारणा कहा जाता है जिस पर संपूर्ण [[गणितीय विश्लेषण]] अंततः टिका होता है।<ref name="Courant (1961), p. 29" /> | भिन्न कहा जाता है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=अभिसरण अनुक्रम|url=https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSequence.html|access-date=2020-08-18|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> एक क्रम जो अभिसरण नहीं करता है उसे भिन्न कहा जाता है।।<ref>Courant (1961), p. 39.</ref> अनुक्रम की सीमा को मौलिक धारणा कहा जाता है जिस पर संपूर्ण [[गणितीय विश्लेषण]] अंततः टिका होता है।<ref name="Courant (1961), p. 29" /> | ||
सीमाओं को किसी भी [[मीट्रिक स्थान]] या [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक | सीमाओं को किसी भी [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] या [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक समष्टि]] में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन प्रायः [[वास्तविक संख्या]] में पहली बार सामना किया जाता है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
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[[ल्यूसिपस]], [[डेमोक्रिटस]], [[एंटिफॉन (व्यक्ति)]], कनिडस के यूडोक्सस और [[आर्किमिडीज]] ने [[थकावट की विधि]] विकसित की, जो एक क्षेत्र या मात्रा निर्धारित करने के लिए सन्निकटन के अनंत अनुक्रम का उपयोग करता है। आर्किमिडीज योग करने में सफल रहे जिसे अब ज्यामितीय श्रृंखला कहा जाता है। | [[ल्यूसिपस]], [[डेमोक्रिटस]], [[एंटिफॉन (व्यक्ति)]], कनिडस के यूडोक्सस और [[आर्किमिडीज]] ने [[थकावट की विधि]] विकसित की, जो एक क्षेत्र या मात्रा निर्धारित करने के लिए सन्निकटन के अनंत अनुक्रम का उपयोग करता है। आर्किमिडीज योग करने में सफल रहे जिसे अब ज्यामितीय श्रृंखला कहा जाता है। | ||
ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट ने अपने काम ओपस [[जियोमीट्रिक श्रंखला]] (1647) में एक ज्यामितीय श्रृंखला की सीमा (टर्मिनस) की पहली परिभाषा दी: "एक प्रगति का टर्मिनस श्रृंखला का अंत है, जो कोई भी प्रगति तक नहीं पहुंच सकता है, भले ही वह अनंत में जारी हो, लेकिन जिस तक वह एक दिए गए खंड की तुलना में अधिक निकट पहुंच सकती है।"<ref>Van Looy, H. (1984). A chronology and historical analysis of the mathematical manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667). Historia Mathematica, 11(1), 57-75.</ref> [[आइजैक न्यूटन]] ने अनंत श्रृंखला के साथ विश्लेषण (1669 में लिखा गया, पांडुलिपि में परिचालित, 1711 में प्रकाशित), प्रवाह और अनंत श्रृंखला की विधि (1671 में लिखा गया, 1736 में अंग्रेजी अनुवाद में प्रकाशित, लैटिन मूल बहुत बाद में प्रकाशित) पर अपने | ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट ने अपने काम ओपस [[जियोमीट्रिक श्रंखला]] (1647) में एक ज्यामितीय श्रृंखला की सीमा (टर्मिनस) की पहली परिभाषा दी: "एक प्रगति का टर्मिनस श्रृंखला का अंत है, जो कोई भी प्रगति तक नहीं पहुंच सकता है, भले ही वह अनंत में जारी हो, लेकिन जिस तक वह एक दिए गए खंड की तुलना में अधिक निकट पहुंच सकती है।"<ref>Van Looy, H. (1984). A chronology and historical analysis of the mathematical manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667). Historia Mathematica, 11(1), 57-75.</ref> [[आइजैक न्यूटन]] ने अनंत श्रृंखला के साथ विश्लेषण (1669 में लिखा गया, पांडुलिपि में परिचालित, 1711 में प्रकाशित), प्रवाह और अनंत श्रृंखला की विधि (1671 में लिखा गया, 1736 में अंग्रेजी अनुवाद में प्रकाशित, लैटिन मूल बहुत बाद में प्रकाशित) पर अपने फलनों में श्रृंखला से निपटा और ट्रैक्टेटस डी क्वाडराटुरा कर्वारम (1693 में लिखा गया, 1704 में उनके परिशिष्ट के रूप में प्रकाशित)। बाद के काम में, न्यूटन (x + o)n के द्विपद विस्तार पर विचार करता है, जिसे वह तब सीमा के रूप में लेते हुए रैखिक करता है, जब 0 की ओर जाता है। | ||
18वीं दशक में, [[लियोनहार्ड यूलर]] जैसे [[गणितज्ञ]] सही समय पर रुक कर कुछ भिन्न श्रृंखलाओं का योग करने में सफल रहे; जब तक इसकी गणना की जा सकती है, तब तक उन्हें इस बात की ज्यादा चिंता नहीं थी कि कोई सीमा सम्मलित है या नहीं। दशक के अंत में, [[जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] ने अपने थ्योरी डेस फोंक्शन्स एनालिटिक्स (1797) में कहा कि कठोरता की कमी ने कलन में और विकास को रोक दिया। [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] ने [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला|अतिज्यामितीय श्रृंखला]] (1813) के अपने तसवीर का ख़ाका में पहली बार उन स्थितियों की जांच की जिसके अंतर्गत एक श्रृंखला एक सीमा तक परिवर्तित हो गई। | 18वीं दशक में, [[लियोनहार्ड यूलर]] जैसे [[गणितज्ञ]] सही समय पर रुक कर कुछ भिन्न श्रृंखलाओं का योग करने में सफल रहे; जब तक इसकी गणना की जा सकती है, तब तक उन्हें इस बात की ज्यादा चिंता नहीं थी कि कोई सीमा सम्मलित है या नहीं। दशक के अंत में, [[जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] ने अपने थ्योरी डेस फोंक्शन्स एनालिटिक्स (1797) में कहा कि कठोरता की कमी ने कलन में और विकास को रोक दिया। [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] ने [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला|अतिज्यामितीय श्रृंखला]] (1813) के अपने तसवीर का ख़ाका में पहली बार उन स्थितियों की जांच की जिसके अंतर्गत एक श्रृंखला एक सीमा तक परिवर्तित हो गई। | ||
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File:Epsilonschlauch2.svg|प्रत्येक <math>\varepsilon> 0</math> के लिए एप्सिलॉन ट्यूब के बाहर केवल सूक्ष्म रूप से कई अनुक्रम सदस्य होते हैं। | File:Epsilonschlauch2.svg|प्रत्येक <math>\varepsilon> 0</math> के लिए एप्सिलॉन ट्यूब के बाहर केवल सूक्ष्म रूप से कई अनुक्रम सदस्य होते हैं। | ||
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=== गुण === | === गुण === | ||
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यदि कोई अनुक्रम अनंत या ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है, तो यह अपसारी है। चूँकि, एक अपसारी अनुक्रम को धनात्मक या ऋणात्मक अनन्त और अनुक्रम की आवश्यकता नहीं है <math>x_n=(-1)^n</math> ऐसा ही एक उदाहरण देता है। | यदि कोई अनुक्रम अनंत या ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है, तो यह अपसारी है। चूँकि, एक अपसारी अनुक्रम को धनात्मक या ऋणात्मक अनन्त और अनुक्रम की आवश्यकता नहीं है <math>x_n=(-1)^n</math> ऐसा ही एक उदाहरण देता है। | ||
== मीट्रिक रिक्त | == मीट्रिक रिक्त समष्टि == | ||
=== परिभाषा === | === परिभाषा === | ||
मेट्रिक | मेट्रिक समष्टि का एक बिंदु <math>x</math> <math>(X, d)</math> अनुक्रम <math>(x_n)</math> की सीमा है यदि: | ||
: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math>, एक प्राकृतिक संख्या <math>N</math> होती है जैसे कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n \geq N</math>, हमारे पास <math>d(x_n, x) < \varepsilon </math>. | : प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math>, एक प्राकृतिक संख्या <math>N</math> होती है जैसे कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n \geq N</math>, हमारे पास <math>d(x_n, x) < \varepsilon </math>. | ||
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=== गुण === | === गुण === | ||
*जब यह अस्तित्व में होता है, तो एक अनुक्रम की सीमा अद्वितीय होती है, क्योंकि भिन्न-भिन्न बिंदुओं को कुछ धनात्मक दूरी से भिन्न किया जाता है, इसलिए <math>\varepsilon </math> इस दूरी के आधे से कम, अनुक्रम शब्द दूरी के भीतर नहीं हो सकते <math>\varepsilon </math> दोनों बिंदुओं | *जब यह अस्तित्व में होता है, तो एक अनुक्रम की सीमा अद्वितीय होती है, क्योंकि भिन्न-भिन्न बिंदुओं को कुछ धनात्मक दूरी से भिन्न किया जाता है, इसलिए <math>\varepsilon </math> इस दूरी के आधे से कम, अनुक्रम शब्द दूरी के भीतर नहीं हो सकते <math>\varepsilon </math> दोनों बिंदुओं का है। | ||
*किसी भी सतत फलन f के लिए, यदि <math>\lim_{n \to \infty} x_n</math> सम्मलित है, तो <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f\left(\lim_{n \to \infty}x_n \right)</math>. वास्तव में, एक फलन (गणित) f निरंतर है यदि और केवल यदि यह अनुक्रमों की सीमाओं को संरक्षित करता है। | *किसी भी सतत फलन f के लिए, यदि <math>\lim_{n \to \infty} x_n</math> सम्मलित है, तो <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f\left(\lim_{n \to \infty}x_n \right)</math>. वास्तव में, एक फलन (गणित) f निरंतर है यदि और केवल यदि यह अनुक्रमों की सीमाओं को संरक्षित करता है। | ||
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{{main|कॉची अनुक्रम}} | {{main|कॉची अनुक्रम}} | ||
[[File:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb| कॉची सीक्वेंस का प्लॉट (x<sub>n</sub>), नीले रंग में <math>x_n</math> बनाम n दिखाया गया है । दृष्टिगत रूप से, हम देखते हैं कि अनुक्रम एक सीमा बिंदु पर अभिसरण करता हुआ प्रतीत होता है क्योंकि अनुक्रम में पद n बढ़ने पर एक साथ निकट हो जाते हैं। वास्तविक संख्या में प्रत्येक कौशी क्रम किसी सीमा तक अभिसरित होता है।]]एक कॉशी अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसकी शर्तें अंततः मनमाने ढंग से एक साथ बंद हो जाती हैं, पर्याप्त रूप से कई प्रारंभिक शब्दों को छोड़ दिए जाने के बाद। [[मीट्रिक रिक्त स्थान]] में अनुक्रमों के अध्ययन में, और विशेष रूप से, [[वास्तविक विश्लेषण]] में कॉची अनुक्रम की धारणा महत्वपूर्ण है। वास्तविक विश्लेषण में एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण परिणाम अनुक्रमों के अभिसरण के लिए कॉची आकर्ष है: वास्तविक संख्याओं का एक क्रम अभिसरण होता है यदि केवल यह एक कॉची अनुक्रम है। यह अन्य पूर्ण मीट्रिक रिक्त | [[File:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb| कॉची सीक्वेंस का प्लॉट (x<sub>n</sub>), नीले रंग में <math>x_n</math> बनाम n दिखाया गया है । दृष्टिगत रूप से, हम देखते हैं कि अनुक्रम एक सीमा बिंदु पर अभिसरण करता हुआ प्रतीत होता है क्योंकि अनुक्रम में पद n बढ़ने पर एक साथ निकट हो जाते हैं। वास्तविक संख्या में प्रत्येक कौशी क्रम किसी सीमा तक अभिसरित होता है।]]एक कॉशी अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसकी शर्तें अंततः मनमाने ढंग से एक साथ बंद हो जाती हैं, पर्याप्त रूप से कई प्रारंभिक शब्दों को छोड़ दिए जाने के बाद। [[मीट्रिक रिक्त स्थान|मीट्रिक रिक्त समष्टि]] में अनुक्रमों के अध्ययन में, और विशेष रूप से, [[वास्तविक विश्लेषण]] में कॉची अनुक्रम की धारणा महत्वपूर्ण है। वास्तविक विश्लेषण में एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण परिणाम अनुक्रमों के अभिसरण के लिए कॉची आकर्ष है: वास्तविक संख्याओं का एक क्रम अभिसरण होता है यदि केवल यह एक कॉची अनुक्रम है। यह अन्य पूर्ण मीट्रिक रिक्त समष्टि में सही रहता है। | ||
== संस्थानिक | == संस्थानिक समष्टि == | ||
=== परिभाषा === | === परिभाषा === | ||
संस्थानिक | संस्थानिक समष्टि का एक बिंदु <math>x \in X</math> अनुक्रम का एक सीमा बिंदु है <math>(X, \tau)</math> एक है {{sfn|Dugundji|1966|pp=209-210}}{{sfn|Császár|1978|p=61}} अनुक्रम का <math>\left(x_n\right)_{n \in \N}</math> यदि: | ||
: सभी [[टोपोलॉजिकल पड़ोस|संस्थानिक निकटतम]] के लिए <math>U</math> का <math>x</math>, कुछ उपस्तिथ है <math>N \in \N</math> ऐसा कि प्रत्येक के लिए <math>n \geq N</math>, अपने पास <math>x_n \in U</math>.<ref>{{cite book|last1=Zeidler|first1=Eberhard|title=एप्लाइड कार्यात्मक विश्लेषण: मुख्य सिद्धांत और उनके अनुप्रयोग|date=1995|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-0-387-94422-7|page=29|edition=1}}</ref> | : सभी [[टोपोलॉजिकल पड़ोस|संस्थानिक निकटतम]] के लिए <math>U</math> का <math>x</math>, कुछ उपस्तिथ है <math>N \in \N</math> ऐसा कि प्रत्येक के लिए <math>n \geq N</math>, अपने पास <math>x_n \in U</math>.<ref>{{cite book|last1=Zeidler|first1=Eberhard|title=एप्लाइड कार्यात्मक विश्लेषण: मुख्य सिद्धांत और उनके अनुप्रयोग|date=1995|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-0-387-94422-7|page=29|edition=1}}</ref> | ||
यह मीट्रिक रिक्त | यह मीट्रिक रिक्त समष्टि के लिए दी गई परिभाषा से मेल खाता है, यदि <math>(X, d)</math> एक मीट्रिक समष्टि है और <math>\tau</math> द्वारा उत्पन्न संस्थानिक है <math>d</math>. | ||
अंकों के अनुक्रम की एक सीमा <math>\left(x_n\right)_{n \in \N}</math> एक संस्थानिक | अंकों के अनुक्रम की एक सीमा <math>\left(x_n\right)_{n \in \N}</math> एक संस्थानिक समष्टि में <math>T</math> एक फलन की सीमा की एक विशेष स्थिति है संस्थानिक रिक्त समष्टि पर कार्य: एक फलन का डोमेन है <math>\N</math> समष्टि में <math>\N \cup \lbrace + \infty \rbrace</math>, सजातीय रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली की [[प्रेरित टोपोलॉजी|प्रेरित संस्थानिक]] के साथ, एक फलन की श्रेणी है <math>T</math>, और फलन तर्क <math>n</math> आदत है <math>+\infty</math>, जो इस समष्टि में एक समुच्चय का एक सीमा बिंदु है <math>\N</math>. | ||
=== गुण === | === गुण === | ||
हौसडॉर्फ | हौसडॉर्फ समष्टि में, अनुक्रमों की सीमाएं अद्वितीय होती हैं जब भी वे उपस्तिथ होती हैं। ध्यान दें कि गैर-हॉसडॉर्फ समष्टिों में ऐसा होना जरूरी नहीं है; विशेष रूप से, यदि दो बिंदु <math>x</math> तथा <math>y</math> स्थलाकृतिक रूप से अप्रभेद्य हैं, फिर कोई भी क्रम जो अभिसरण करता है <math>x</math> में जुटना चाहिए <math>y</math> और इसके विपरीत। | ||
== | == अतिवास्तविक नंबर == | ||
अतिवास्तविक नंबरों का उपयोग करते हुए सीमा की परिभाषा अंतर्ज्ञान को औपचारिक रूप देती है कि सूचकांक के एक बहुत बड़े मूल्य के लिए, संबंधित शब्द सीमा के बहुत निकट है। अधिक त्रुटिहीन, एक वास्तविक अनुक्रम <math>(x_n)</math> ''L'' की ओर जाता है यदि सभी अनंत | अतिवास्तविक नंबरों का उपयोग करते हुए सीमा की परिभाषा अंतर्ज्ञान को औपचारिक रूप देती है कि सूचकांक के एक बहुत बड़े मूल्य के लिए, संबंधित शब्द सीमा के बहुत निकट है। अधिक त्रुटिहीन, एक वास्तविक अनुक्रम <math>(x_n)</math> ''L'' की ओर जाता है यदि सभी अनंत अतिप्राकृतिक ''H'' के लिए, शब्द <math>x_H</math> ''L'' के असीम रूप से निकट है (यदि, अंतर <math>x_H - L</math> अपरिमित है)। समतुल्य रूप से, L का मानक भाग फलन <math>x_H</math>है : | ||
:<math> L = {\rm st}(x_H)</math>. | :<math> L = {\rm st}(x_H)</math>. | ||
| Line 236: | Line 224: | ||
:<math>\forall \varepsilon > 0 \left( \forall m \in \mathbb{N} \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies |x_{n, m} - y_m| < \varepsilon \right)\right)\right)\right)</math>. | :<math>\forall \varepsilon > 0 \left( \forall m \in \mathbb{N} \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies |x_{n, m} - y_m| < \varepsilon \right)\right)\right)\right)</math>. | ||
जब ऐसी सीमा होती है, तो हम अनुक्रम <math>(x_{n, m})</math> कहते हैं | जब ऐसी सीमा होती है, तो हम अनुक्रम <math>(x_{n, m})</math> कहते हैं बिंदुवार अभिसरण करने के लिए <math>(y_m)</math>. | ||
दूसरे को एक समान सीमा कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है | दूसरे को एक समान सीमा कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है | ||
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समानता की एक पर्याप्त शर्त मूर-ऑसगूड प्रमेय द्वारा दी गई है, जिसके लिए सीमा की आवश्यकता होती है <math>\lim_{n \to \infty}x_{n, m} = y_m</math> एम में एक समान होना।<ref name="Zakon" /> | समानता की एक पर्याप्त शर्त मूर-ऑसगूड प्रमेय द्वारा दी गई है, जिसके लिए सीमा की आवश्यकता होती है <math>\lim_{n \to \infty}x_{n, m} = y_m</math> एम में एक समान होना।<ref name="Zakon" /> | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* | * सीमा बिंदु | ||
* बाद की सीमा | * बाद की सीमा | ||
* श्रेष्ठ को सीमित करो और हीन को सीमित करो | * श्रेष्ठ को सीमित करो और हीन को सीमित करो | ||
* फलन की सीमा | * फलन की सीमा | ||
* | * फलनों के अनुक्रम की सीमा | ||
* | * समुच्चय-सैद्धांतिक सीमा | ||
* नेट की सीमा | * नेट की सीमा | ||
* बिन्दुवार अभिसरण | * बिन्दुवार अभिसरण | ||
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{{reflist|group=note}} | {{reflist|group=note}} | ||
{{reflist}} | {{reflist}} | ||
=== प्रमाण === | === प्रमाण === | ||
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==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
Latest revision as of 12:43, 27 October 2023
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नियमित एन-पक्षीय बहुभुजों के परिधि द्वारा दिए गए अनुक्रम जो यूनिट सर्कल को घेरते हैं, सर्कल के परिधि के बराबर सीमा होती है, अर्थात . अन्तर्लिखित बहुभुजों के लिए संबंधित अनुक्रम की एक ही सीमा है।
| n | n sin(1/n) |
|---|---|
| 1 | 0.841471 |
| 2 | 0.958851 |
| ... | |
| 10 | 0.998334 |
| ... | |
| 100 | 0.999983 |
धनात्मक पूर्णांक के रूप में बड़ा हो जाता है, मूल्य के निकट हो जाता है . हम कहते हैं कि अनुक्रम की सीमा बराबरी .
गणित में, एक अनुक्रम सीमा वह मान है जो किसी अनुक्रम के पदों की ओर प्रवृत्त होता है, और प्रायः इसका उपयोग करके निरूपित किया जाता है प्रतीक (जैसे, ).[1] यदि ऐसी सीमा सम्मलित है, तो अनुक्रम को
भिन्न कहा जाता है।[2] एक क्रम जो अभिसरण नहीं करता है उसे भिन्न कहा जाता है।।[3] अनुक्रम की सीमा को मौलिक धारणा कहा जाता है जिस पर संपूर्ण गणितीय विश्लेषण अंततः टिका होता है।[1]
सीमाओं को किसी भी मीट्रिक समष्टि या संस्थानिक समष्टि में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन प्रायः वास्तविक संख्या में पहली बार सामना किया जाता है।
इतिहास
एलिया के यूनानी दार्शनिक ज़ेनो के विरोधाभासों को सूत्रबद्ध करने के लिए प्रसिद्ध हैं।
ल्यूसिपस, डेमोक्रिटस, एंटिफॉन (व्यक्ति), कनिडस के यूडोक्सस और आर्किमिडीज ने थकावट की विधि विकसित की, जो एक क्षेत्र या मात्रा निर्धारित करने के लिए सन्निकटन के अनंत अनुक्रम का उपयोग करता है। आर्किमिडीज योग करने में सफल रहे जिसे अब ज्यामितीय श्रृंखला कहा जाता है।
ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट ने अपने काम ओपस जियोमीट्रिक श्रंखला (1647) में एक ज्यामितीय श्रृंखला की सीमा (टर्मिनस) की पहली परिभाषा दी: "एक प्रगति का टर्मिनस श्रृंखला का अंत है, जो कोई भी प्रगति तक नहीं पहुंच सकता है, भले ही वह अनंत में जारी हो, लेकिन जिस तक वह एक दिए गए खंड की तुलना में अधिक निकट पहुंच सकती है।"[4] आइजैक न्यूटन ने अनंत श्रृंखला के साथ विश्लेषण (1669 में लिखा गया, पांडुलिपि में परिचालित, 1711 में प्रकाशित), प्रवाह और अनंत श्रृंखला की विधि (1671 में लिखा गया, 1736 में अंग्रेजी अनुवाद में प्रकाशित, लैटिन मूल बहुत बाद में प्रकाशित) पर अपने फलनों में श्रृंखला से निपटा और ट्रैक्टेटस डी क्वाडराटुरा कर्वारम (1693 में लिखा गया, 1704 में उनके परिशिष्ट के रूप में प्रकाशित)। बाद के काम में, न्यूटन (x + o)n के द्विपद विस्तार पर विचार करता है, जिसे वह तब सीमा के रूप में लेते हुए रैखिक करता है, जब 0 की ओर जाता है।
18वीं दशक में, लियोनहार्ड यूलर जैसे गणितज्ञ सही समय पर रुक कर कुछ भिन्न श्रृंखलाओं का योग करने में सफल रहे; जब तक इसकी गणना की जा सकती है, तब तक उन्हें इस बात की ज्यादा चिंता नहीं थी कि कोई सीमा सम्मलित है या नहीं। दशक के अंत में, जोसेफ लुइस लाग्रेंज ने अपने थ्योरी डेस फोंक्शन्स एनालिटिक्स (1797) में कहा कि कठोरता की कमी ने कलन में और विकास को रोक दिया। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अतिज्यामितीय श्रृंखला (1813) के अपने तसवीर का ख़ाका में पहली बार उन स्थितियों की जांच की जिसके अंतर्गत एक श्रृंखला एक सीमा तक परिवर्तित हो गई।
सीमा की आधुनिक परिभाषा (किसी भी ε के लिए एक अनुक्रमणिका N सम्मलित है जिससे...) बर्नार्ड बोलजानो (डेर बिनोमिशे लेहर्सत्ज़, प्राग 1816, जो उस समय बहुत कम ध्यान दिया गया था) और 1870 के दशक में कार्ल वीयरस्ट्रास द्वारा दिया गया था। .
वास्तविक संख्या
File:Converging Sequence example.svg
एक अभिसरण अनुक्रम का प्लॉट {an} नीले रंग में दिखाया गया है। यहाँ, कोई यह देख सकता है कि अनुक्रम 0 की सीमा में परिवर्तित हो रहा है क्योंकि n बढ़ता है।