एपिग्राफ (गणित): Difference between revisions
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[[File:Epigraph convex.svg|alt=|right|thumb|upright=1.5|फलन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि उसके ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक [[उत्तल सेट|उत्तल समूह]] है। यह क्षेत्र फलन का एपिग्राफ है।]]गणित में, किसी फलन <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>का [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] <ref name="NeittaanmäkiRepin2004" /> में मूल्यवान <math>[-\infty, \infty] = \R \cup \{ \pm \infty \}</math> समुच्चय है, जिसे <math>\operatorname{epi} f,</math>निरूपित किया जाता है I कार्टेशियन उत्पाद में सभी बिंदु का <math>X \times \R</math> किसी फलन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर स्थित है।{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37}} कठोर एपिग्राफ <math>\operatorname{epi}_S f</math> में बिंदुओं का समूह है <math>X \times \R</math> ठीक इसके ग्राफ़ के ऊपर है। | [[File:Epigraph convex.svg|alt=|right|thumb|upright=1.5|फलन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि उसके ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक [[उत्तल सेट|उत्तल समूह]] है। यह क्षेत्र फलन का एपिग्राफ है।]]गणित में, किसी फलन <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math>का [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] <ref name="NeittaanmäkiRepin2004" /> में मूल्यवान <math>[-\infty, \infty] = \R \cup \{ \pm \infty \}</math> समुच्चय है, जिसे <math>\operatorname{epi} f,</math>निरूपित किया जाता है I कार्टेशियन उत्पाद में सभी बिंदु का <math>X \times \R</math> किसी फलन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर स्थित है।{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37}}कठोर '''एपिग्राफ''' <math>\operatorname{epi}_S f</math> में बिंदुओं का समूह है <math>X \times \R</math> ठीक इसके ग्राफ़ के ऊपर है। | ||
महत्वपूर्ण रूप से, चूँकि <math>f</math> ग्राफ और एपिग्राफ दोनों में <math>X \times [-\infty, \infty],</math> बिंदु सम्मलित हैं एपिग्राफ में उप-समुच्चय <math>X \times \R,</math> में पूरी तरह से बिंदु होते हैं, जो <math>f.</math> यदि फलन <math>\pm \infty</math> को एक मान के रूप में लेता है तो {{em|पूरी तरह से}} मूल्य के रूप में <math>\operatorname{graph} f</math> {{em|नहीं}} इसके एपिग्राफ का एक उप-समुच्चय <math>\operatorname{epi} f</math> हो उदाहरण के लिए, यदि <math>f\left(x_0\right) = \infty</math> फिर बिंदु <math>\left(x_0, f\left(x_0\right)\right) = \left(x_0, \infty\right)</math> का <math>\operatorname{graph} f</math> होगा लेकिन <math>\operatorname{epi} f</math> ये दो समूह फिर भी निकटता से संबंधित हैं क्योंकि ग्राफ को सदैव एपिग्राफ से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, और इसके विपरीत भी किया जा सकता है। | महत्वपूर्ण रूप से, चूँकि <math>f</math> ग्राफ और एपिग्राफ दोनों में <math>X \times [-\infty, \infty],</math> बिंदु सम्मलित हैं एपिग्राफ में उप-समुच्चय <math>X \times \R,</math> में पूरी तरह से बिंदु होते हैं, जो <math>f.</math> यदि फलन <math>\pm \infty</math> को एक मान के रूप में लेता है तो {{em|पूरी तरह से}} मूल्य के रूप में <math>\operatorname{graph} f</math> {{em|नहीं}} इसके एपिग्राफ का एक उप-समुच्चय <math>\operatorname{epi} f</math> हो उदाहरण के लिए, यदि <math>f\left(x_0\right) = \infty</math> फिर बिंदु <math>\left(x_0, f\left(x_0\right)\right) = \left(x_0, \infty\right)</math> का <math>\operatorname{graph} f</math> होगा लेकिन <math>\operatorname{epi} f</math> ये दो समूह फिर भी निकटता से संबंधित हैं क्योंकि ग्राफ को सदैव एपिग्राफ से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, और इसके विपरीत भी किया जा सकता है। | ||
वास्तविक विश्लेषण में निरंतर फलन वास्तविक-मूल्यवान फलनों का अध्ययन परंपरागत रूप से फलन के उनके ग्राफ़ के अध्ययन से जुड़ा हुआ है, जो समूह हैं जो इन फलनों के बारे में ज्यामितीय जानकारी प्रदान करते हैं।{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37}}[[उत्तल विश्लेषण|एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण]] और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्रों में इसी उद्देश्य की पूर्ति करते हैं, जिसमें प्राथमिक ध्यान केंद्रित <math>[-\infty, \infty]</math> उत्तल फलनों पर होता है, सदिश समष्टि (जैसे <math>\R</math> या <math>\R^2</math>) में मान वाले निरंतर फलनों के अतिरिक्त है,{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37}} ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्यतः, ऐसे फलनों के लिए, ज्यामितीय अंतर्ज्ञान किसी फलन के एपिग्राफ से उसके ग्राफ की तुलना में अधिक सरलता से प्राप्त होता है।{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37}} इसी प्रकार वास्तविक विश्लेषण में ग्राफ़ का उपयोग कैसे किया जाता है, एपिग्राफ का उपयोग अधिकांशतः एक उत्तल फलन के गुणों की ज्यामितीय व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है, परिकल्पना तैयार करने या सिद्ध करने में सहायता करने के लिए, या प्रति उदाहरण के निर्माण में सहायता के लिए है। | |||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
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:<math>\operatorname{graph} f := \left\{ (x, y) \in X \times Y ~:~ y = f(x) \right\}.</math> | :<math>\operatorname{graph} f := \left\{ (x, y) \in X \times Y ~:~ y = f(x) \right\}.</math> | ||
{{em|'''{{visible anchor|सूक्ति|सूक्ति}}'''}}<nowiki> }} या </nowiki>{{em|'''{{visible anchor|सुपरग्राफ |सुपरग्राफ }}'''}} एक फलन का <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math> विस्तारित संख्या रेखा में मूल्यवान <math>[-\infty, \infty] = \R \cup \{ \pm \infty \}</math> समूह है{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37}} | |||
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संघ में खत्म <math>x \in f^{-1}(\R)</math> जो अंतिम पंक्ति, समूह के दाहिने हाथ की ओर ऊपर दिखाई देता है <math>\{ x \} \times [f(x), \infty)</math> से मिलकर खड़ी किरण होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है <math>(x, f(x))</math> और सभी बिंदुओं में <math>X \times \R</math> इसके ठीक ऊपर है। इसी प्रकार, किसी | संघ में खत्म <math>x \in f^{-1}(\R)</math> जो अंतिम पंक्ति, समूह के दाहिने हाथ की ओर ऊपर दिखाई देता है <math>\{ x \} \times [f(x), \infty)</math> से मिलकर खड़ी किरण होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है <math>(x, f(x))</math> और सभी बिंदुओं में <math>X \times \R</math> इसके ठीक ऊपर है। इसी प्रकार, किसी फलन के ग्राफ़ पर या उसके नीचे बिंदुओं का समूह उसका हाइपोग्राफ़ है {{visible anchor|हाइपोग्राफ|हाइपोग्राफ}}. {{em|'''{{visible anchor|स्ट्रिक्ट एपिग्राफ|स्ट्रिक्ट एपिग्राफ}}'''}} , हटाए गए ग्राफ़ के साथ एपिग्राफ है: | ||
:<math> | :<math> | ||
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== अन्य समूह के साथ संबंध == | == अन्य समूह के साथ संबंध == | ||
इस तथ्य के अतिरिक्त कि <math>f</math> में से एक (या दोनों) ले सकते हैं <math>\pm \infty</math> एक मूल्य के रूप में (जिस स्थिति में इसका ग्राफ होगा {{em|नहीं}} का उप-समुच्चय हो <math>X \times \R</math>), का एपिग्राफ <math>f</math> फिर भी एक उप समूह के रूप में परिभाषित किया गया है <math>X \times \R</math> के अतिरिक्त <math>X \times [-\infty, \infty].</math> यह निश्चयपूर्वक है क्योंकि जब <math>X</math> एक सदिश | इस तथ्य के अतिरिक्त कि <math>f</math> में से एक (या दोनों) ले सकते हैं <math>\pm \infty</math> एक मूल्य के रूप में (जिस स्थिति में इसका ग्राफ होगा {{em|नहीं}} का उप-समुच्चय हो <math>X \times \R</math>), का एपिग्राफ <math>f</math> फिर भी एक उप समूह के रूप में परिभाषित किया गया है <math>X \times \R</math> के अतिरिक्त <math>X \times [-\infty, \infty].</math> यह निश्चयपूर्वक है क्योंकि जब <math>X</math> एक सदिश समष्टि है तो ऐसा है <math>X \times \R</math> लेकिन <math>X \times [-\infty, \infty]</math> है {{em|कभी नहीँ}} वेक्टर समष्टि{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37}} (विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा के बाद से <math>[-\infty, \infty]</math> सदिश समष्टि नहीं है)। अधिक सामान्यतः, यदि <math>X</math> तब कुछ सदिश समष्टि का केवल अरिक्त उप-समुच्चय होता है <math>X \times [-\infty, \infty]</math> {{em|उप समूह}} का {{em|कोई}} सदिश स्थल कभी भी नहीं है। एपिग्राफ सदिश समष्टि का उप-समुच्चय होने के कारण वास्तविक विश्लेषण और [[कार्यात्मक विश्लेषण|फलनात्मक विश्लेषण]] से संबंधित उपकरणों को अधिक सरलता से प्रस्तावित करने की अनुमति देता है। | ||
फलन का | फलन का फलनक्षेत्र ([[कोडोमेन|सह-फलनक्षेत्र]] के अतिरिक्त) इस परिभाषा के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण नहीं है; यह कोई [[रैखिक स्थान|रैखिक समष्टि]] हो सकता है<ref name="NeittaanmäkiRepin2004" />या समूह के अतिरिक्त <math>\R^n</math>.<ref name="AliprantisBorder2007" /> | ||
कठोर एपिग्राफ <math>\operatorname{epi}_S f</math> और ग्राफ <math>\operatorname{graph} f</math> सदैव भिन्न होते हैं। | कठोर एपिग्राफ <math>\operatorname{epi}_S f</math> और ग्राफ <math>\operatorname{graph} f</math> सदैव भिन्न होते हैं। | ||
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:<math>\operatorname{epi} f = \left[ \operatorname{epi}_S f \,\cup\, \operatorname{graph} f\right] \,\cap\, \left[ X \times \R \right]</math> सदैव रखता है। | :<math>\operatorname{epi} f = \left[ \operatorname{epi}_S f \,\cup\, \operatorname{graph} f\right] \,\cap\, \left[ X \times \R \right]</math> सदैव रखता है। | ||
एपिग्राफ से | एपिग्राफ से फलनों का पुनर्निर्माण | ||
एपिग्राफ | एपिग्राफ खाली समुच्चय है यदि केवल फलन समान रूप से अनंत के बराबर है। | ||
जिस प्रकार किसी भी फलन को उसके ग्राफ़ से फिर से बनाया जा सकता है, उसी प्रकार किसी भी विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फलन को भी बनाया जा सकता है <math>f</math> पर <math>X</math> इसके एपिग्राफ से पुनर्निर्माण किया जा सकता है <math>E := \operatorname{epi} f</math> (यहां तक कि जब <math>f</math> लेता है <math>\pm \infty</math> मान के रूप में)। दिया गया <math>x \in X,</math> मूल्य <math>f(x)</math> से बनाया जा सकता है <math>E \cap \left( \{ x \} \times \R \right)</math> का <math>E</math> खड़ी रेखा के साथ <math>\{ x \} \times \R</math> के माध्यम से गुजरते हुए <math>x</math> निम्नलिखित: | जिस प्रकार किसी भी फलन को उसके ग्राफ़ से फिर से बनाया जा सकता है, उसी प्रकार किसी भी विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फलन को भी बनाया जा सकता है <math>f</math> पर <math>X</math> इसके एपिग्राफ से पुनर्निर्माण किया जा सकता है <math>E := \operatorname{epi} f</math> (यहां तक कि जब <math>f</math> लेता है <math>\pm \infty</math> मान के रूप में)। दिया गया <math>x \in X,</math> मूल्य <math>f(x)</math> से बनाया जा सकता है <math>E \cap \left( \{ x \} \times \R \right)</math> का <math>E</math> खड़ी रेखा के साथ <math>\{ x \} \times \R</math> के माध्यम से गुजरते हुए <math>x</math> निम्नलिखित: | ||
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== | == फलनों के गुणों और उनके अभिलेखों के बीच संबंध == | ||
फलन उत्तल फलन होता है यदि इसका पुरालेख उत्तल समुच्चय है। वास्तविक | फलन उत्तल फलन होता है यदि इसका पुरालेख उत्तल समुच्चय है। वास्तविक संबंध फलन का एपिग्राफ <math>g : \R^n \to \R</math> में आधा समष्टि <math>\R^{n+1}</math>है, फलन अर्ध-निरंतरता है और केवल इसका एपिग्राफ बंद समुच्चय है। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
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* {{annotated link|प्रभावी डोमेन}} | * {{annotated link|प्रभावी डोमेन}} | ||
* {{annotated link|हाइपोग्राफ (गणित)}} | * {{annotated link|हाइपोग्राफ (गणित)}} | ||
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==उद्धरण== | ==उद्धरण== | ||
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<ref name="NeittaanmäkiRepin2004">{{cite book|author1=Pekka Neittaanmäki|author2=Sergey R. Repin|title=Reliable Methods for Computer Simulation: Error Control and Posteriori Estimates|url=https://books.google.com/books?id=s5DA9DerIs4C&pg=PA81|year=2004|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-054050-4|page=81}}</ref> | <ref name="NeittaanmäkiRepin2004">{{cite book|author1=Pekka Neittaanmäki|author2=Sergey R. Repin|title=Reliable Methods for Computer Simulation: Error Control and Posteriori Estimates|url=https://books.google.com/books?id=s5DA9DerIs4C&pg=PA81|year=2004|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-054050-4|page=81}}</ref> | ||
<ref name="AliprantisBorder2007">{{cite book|author1=Charalambos D. Aliprantis|author2=Kim C. Border|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|url=https://books.google.com/books?id=4hIq6ExH7NoC&pg=PA8|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-32696-0|page=8|edition=3rd}}</ref> | <ref name="AliprantisBorder2007">{{cite book|author1=Charalambos D. Aliprantis|author2=Kim C. Border|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|url=https://books.google.com/books?id=4hIq6ExH7NoC&pg=PA8|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-32696-0|page=8|edition=3rd}}</ref> | ||
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* {{Rockafellar Wets Variational Analysis 2009 Springer}} | * {{Rockafellar Wets Variational Analysis 2009 Springer}} | ||
* [[Ralph Tyrell Rockafellar|Rockafellar, Ralph Tyrell]] (1996), ''Convex Analysis'', Princeton University Press, Princeton, NJ. {{ISBN|0-691-01586-4}}. | * [[Ralph Tyrell Rockafellar|Rockafellar, Ralph Tyrell]] (1996), ''Convex Analysis'', Princeton University Press, Princeton, NJ. {{ISBN|0-691-01586-4}}. | ||
[[Category:Collapse templates]] | [[Category:Collapse templates]] | ||
Latest revision as of 12:09, 27 October 2023
फलन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि उसके ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक उत्तल समूह है। यह क्षेत्र फलन का एपिग्राफ है।
गणित में, किसी फलन का विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा [1] में मूल्यवान समुच्चय है, जिसे निरूपित किया जाता है I कार्टेशियन उत्पाद में सभी बिंदु का किसी फलन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर स्थित है।[2]कठोर एपिग्राफ में बिंदुओं का समूह है ठीक इसके ग्राफ़ के ऊपर है।
महत्वपूर्ण रूप से, चूँकि ग्राफ और एपिग्राफ दोनों में बिंदु सम्मलित हैं एपिग्राफ में उप-समुच्चय में पूरी तरह से बिंदु होते हैं, जो यदि फलन को एक मान के रूप में लेता है तो पूरी तरह से मूल्य के रूप में नहीं इसके एपिग्राफ का एक उप-समुच्चय हो उदाहरण के लिए, यदि फिर बिंदु का होगा लेकिन ये दो समूह फिर भी निकटता से संबंधित हैं क्योंकि ग्राफ को सदैव एपिग्राफ से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, और इसके विपरीत भी किया जा सकता है।
वास्तविक विश्लेषण में निरंतर फलन वास्तविक-मूल्यवान फलनों का अध्ययन परंपरागत रूप से फलन के उनके ग्राफ़ के अध्ययन से जुड़ा हुआ है, जो समूह हैं जो इन फलनों के बारे में ज्यामितीय जानकारी प्रदान करते हैं।[2]एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्रों में इसी उद्देश्य की पूर्ति करते हैं, जिसमें प्राथमिक ध्यान केंद्रित उत्तल फलनों पर होता है, सदिश समष्टि (जैसे या ) में मान वाले निरंतर फलनों के अतिरिक्त है,[2] ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्यतः, ऐसे फलनों के लिए, ज्यामितीय अंतर्ज्ञान किसी फलन के एपिग्राफ से उसके ग्राफ की तुलना में अधिक सरलता से प्राप्त होता है।[2] इसी प्रकार वास्तविक विश्लेषण में ग्राफ़ का उपयोग कैसे किया जाता है, एपिग्राफ का उपयोग अधिकांशतः एक उत्तल फलन के गुणों की ज्यामितीय व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है, परिकल्पना तैयार करने या सिद्ध करने में सहायता करने के लिए, या प्रति उदाहरण के निर्माण में सहायता के लिए है।
परिभाषा
एपिग्राफ की परिभाषा एक फलन के ग्राफ़ से प्रेरित थी, जहां ग्राफ़ के