अलघुकरणीय भिन्न: Difference between revisions
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'''अलघुकरणीय भिन्न''' (या निम्नतम शब्दों में भिन्न, सरलतम रूप या घटा हुआ भिन्न) एक [[अंश (गणित)|भिन्न (गणित)]] है जिसमें भिन्न और [[भाजक]] [[पूर्णांक]] होते हैं जिनमें 1 (और -1, जब ऋणात्मक संख्याओं पर विचार किया जाता है) के अतिरिक्त कोई अन्य सामान्य भाजक नहीं होता है।<ref>{{SpringerEOM|title=Fraction|id=Fraction|first=S. A.|last=Stepanov}}</ref> दूसरे शब्दों में, भिन्न {{sfrac|''a''|''b''}} अप्रासंगिक है यदि और केवल यदि a और b सहअभाज्य हैं, अर्थात, यदि a और b में 1 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। उच्च [[गणित]] में, "अलघुकरणीय भिन्न" परिमेय भिन्नों को भी संदर्भित कर सकता है, जैसे कि भिन्न और भाजक सह-अभाज्य बहुपद हैं।<ref>E.g., see {{citation|title=The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002|first1=Olav Arnfinn|last1=Laudal|first2=Ragni|last2=Piene|publisher=Springer|year=2004|page=155|isbn=9783540438267 |url=https://books.google.com/books?id=HiXwhBm42hcC&pg=PA155}}</ref> प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या को ठीक तरह से अलघुकरणीय भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।<ref name="unique">{{citation|title=Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College|volume=1|series=College text books, Sandhurst. Royal Military College|first=William|last=Scott|publisher=Longman, Brown, Green, and Longmans|year=1844|page=75}}.</ref> | |||
समतुल्य परिभाषा कभी-कभी उपयोगी होती है: यदि a और b पूर्णांक हैं, तो भिन्न {{sfrac|''a''|''b''}} अप्रासंगिक है यदि और केवल यदि कोई अन्य समान भिन्न नहीं है {{sfrac|''c''|''d''}} ऐसा है कि {{nowrap|1={{abs|''c''}} < {{abs|''a''}}}} या {{nowrap|1={{abs|''d''}} < {{abs|''b''}}}}, जहाँ {{abs|''a''}} का अर्थ a का निरपेक्ष मान (दो भिन्न {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} समान या समतुल्य हैं यदि और केवल यदि ''ad'' = ''bc''।) है।{{sfnp|Scott|1844|page=74}} | |||
उदाहरण के लिए, {{sfrac|1|4}}, {{sfrac|5|6}}, और {{sfrac|−101|100}} सभी अलघुकरणीय | उदाहरण के लिए, {{sfrac|1|4}}, {{sfrac|5|6}}, और {{sfrac|−101|100}} सभी अलघुकरणीय भिन्न हैं। दूसरी ओर, {{sfrac|2|4}} कम करने योग्य है क्योंकि यह {{sfrac|1|2}} मान के बराबर है, और का भिन्न {{sfrac|1|2}} के {{sfrac|2|4}} भिन्न से कम है। | ||
भिन्न जो कम करने योग्य है, भिन्न और हर दोनों को सामान्य कारक से विभाजित करके कम किया जा सकता है। यदि दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा विभाजित किया जाता है, तो इसे पूरी तरह से न्यूनतम शर्तों तक कम किया जा सकता है।<ref>{{citation|title=Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers|volume=10|series=MSRI mathematical circles library|first1=Judith D.|last1=Sally|first2=Paul J., Jr.|last2=Sally|author2-link=Paul Sally|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2012|isbn=9780821887981|contribution=9.1. Reducing a fraction to lowest terms|pages=131–134|url=https://books.google.com/books?id=Ntjq07-FA_IC&pg=PA131}}.</ref> सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए, [[यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] या अभाज्य गुणनखंड का उपयोग किया जा सकता है। यूक्लिडियन एल्गोरिथम को सामान्यतः पसंद किया जाता है क्योंकि यह भिन्न और भाजक के साथ भिन्नों को कम करने की अनुमति देता है जो आसानी से फैक्टर किए जाने के लिए बहुत बड़े हैं।<ref>{{citation|title=Learning Modern Algebra|series=Mathematical Association of America Textbooks|first1=Al|last1=Cuoco|first2=Joseph|last2=Rotman|publisher=[[Mathematical Association of America]]|year=2013|isbn=9781939512017|page=33|url=https://books.google.com/books?id=LelYGuQHResC&pg=PA33}}.</ref> | |||
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पहले चरण में दोनों संख्याओं को 10 से विभाजित किया गया, जो कि 120 और 90 दोनों के लिए | पहले चरण में दोनों संख्याओं को 10 से विभाजित किया गया, जो कि 120 और 90 दोनों के लिए सामान्य कारक है। दूसरे चरण में, उन्हें 3 से विभाजित किया गया। अंतिम परिणाम, {{sfrac|4|3}}, अलघुकरणीय भिन्न है क्योंकि 4 और 3 में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है। | ||
मूल भिन्न 90 और 120 का महत्तम समापवर्तक, जो कि 30 है, इस का उपयोग करके एक ही चरण में घटाया जा सकता था। {{nowrap|1=120 ÷ 30 = 4}}, और {{nowrap|1=90 ÷ 30 = 3}}, के रूप में | मूल भिन्न 90 और 120 का महत्तम समापवर्तक, जो कि 30 है, इस का उपयोग करके एक ही चरण में घटाया जा सकता था। {{nowrap|1=120 ÷ 30 = 4}}, और {{nowrap|1=90 ÷ 30 = 3}}, के रूप में प्राप्त होता है | ||
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हाथ से कौन सी विधि तेजी से होती है यह | हाथ से कौन सी विधि तेजी से होती है यह भिन्न पर निर्भर करता है और आसानी से सामान्य कारकों को देखा जाता है। इस स्थितियों में भाजक और भिन्न रहता है जो यह सुनिश्चित करने के लिए बहुत बड़ा है कि वे निरीक्षण द्वारा सहअभाज्य हैं, यह सुनिश्चित करने के लिए कि भिन्न वास्तव में अप्रासंगिक है, वैसे भी सबसे बड़ी सामान्य विभाजक गणना की आवश्यकता है। | ||
== अद्वितीयता == | == अद्वितीयता == | ||
प्रत्येक परिमेय संख्या में | प्रत्येक परिमेय संख्या में सकारात्मक विभाजक के साथ अलघुकरणीय भिन्न के रूप में अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है<ref name="unique"/> (चूँकि {{sfrac|2|3}} = {{sfrac|−2|−3}} चूंकि दोनों अप्रासंगिक हैं)। विशिष्टता पूर्णांकों के अंकगणित के मौलिक प्रमेय का परिणाम है, क्योंकि {{nowrap|1={{sfrac|''a''|''b''}} = {{sfrac|''c''|''d''}}}} का तात्पर्य ad = bc है, और इसलिए बाद के दोनों पक्षों को एक ही अभाज्य गुणनखंड साझा करना चाहिए, फिर भी a और b कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं, के प्रमुख कारकों का सेट (बहुलता के साथ) c और इसके विपरीत का उपसमुच्चय है जिसका अर्थ a = c और उसी तर्क से b = d है। | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
तथ्य यह है कि किसी भी परिमेय संख्या का | तथ्य यह है कि किसी भी परिमेय संख्या का अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है क्योंकि अलघुकरणीय भिन्न का उपयोग 2 के वर्गमूल और अन्य अपरिमेय संख्याओं की अपरिमेयता के विभिन्न प्रमाणों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, प्रमाण नोट करता है कि यदि {{sqrt|2}} पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, तो इसमें विशेष रूप से पूर्ण रूप से घटा हुआ प्रतिनिधित्व {{sfrac|''a''|''b''}} होता है जहां a और b सबसे छोटे संभव हैं; लेकिन गया है कि {{sfrac|''a''|''b''}} {{sqrt|2}} के बराबर है, इसलिए {{sfrac|2''b'' − ''a''|''a'' − ''b''}} (इससे क्रॉस-गुणा करने के बाद से {{sfrac|''a''|''b''}} दिखाता है कि वे बराबर हैं) भी करता है। चूँकि a > b (क्योंकि {{sqrt|2}} 1 से बड़ा है), बाद वाला दो छोटे पूर्णांकों का अनुपात है। यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण है, इसलिए आधार यह है कि दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में दो के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व गलत है। | ||
== सामान्यीकरण == | == सामान्यीकरण == | ||
अलघुकरणीय | अलघुकरणीय भिन्न की धारणा किसी भी [[अद्वितीय गुणनखंड डोमेन]] के भिन्नों के क्षेत्र के लिए सामान्यीकृत होती है: ऐसे क्षेत्र के किसी भी तत्व को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें भाजक और भिन्न दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित करके सहअभाज्य होते हैं।<ref>{{citation|title=Abstract Algebra|first=Paul B.|last=Garrett|publisher=CRC Press|year=2007|isbn=9781584886907|page=183|url=https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183}}.</ref> यह विशेष रूप से एक क्षेत्र पर तर्कसंगत भिन्न पर प्रायुक्त होता है। किसी दिए गए तत्व के लिए अलघुकरणीय भिन्न एक ही व्युत्क्रमणीय तत्व द्वारा भाजक और भिन्न के गुणन तक अद्वितीय है। परिमेय संख्याओं के स्थितियों में इसका अर्थ यह है कि किसी भी संख्या में दो अलघुकरणीय भिन्न होते हैं, जो भिन्न और हर दोनों के चिन्ह में परिवर्तन से संबंधित होते हैं; भाजक को सकारात्मक होने की आवश्यकता के द्वारा इस अस्पष्टता को दूर किया जा सकता है। परिमेय फलनों के स्थितियों में भाजक को एक [[मोनिक बहुपद]] होना आवश्यक हो सकता है।<ref>{{citation|title=Abstract Algebra|volume=242|series=Graduate Texts in Mathematics|first=Pierre Antoine|last=Grillet|publisher=Springer|year=2007|isbn=9780387715681|at=Lemma 9.2, p. 183|url=https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183}}.</ref> | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
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Latest revision as of 17:06, 19 October 2023
अलघुकरणीय भिन्न (या निम्नतम शब्दों में भिन्न, सरलतम रूप या घटा हुआ भिन्न) एक भिन्न (गणित) है जिसमें भिन्न और भाजक पूर्णांक होते हैं जिनमें 1 (और -1, जब ऋणात्मक संख्याओं पर विचार किया जाता है) के अतिरिक्त कोई अन्य सामान्य भाजक नहीं होता है।[1] दूसरे शब्दों में, भिन्न a/b अप्रासंगिक है यदि और केवल यदि a और b सहअभाज्य हैं, अर्थात, यदि a और b में 1 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। उच्च गणित में, "अलघुकरणीय भिन्न" परिमेय भिन्नों को भी संदर्भित कर सकता है, जैसे कि भिन्न और भाजक सह-अभाज्य बहुपद हैं।[2] प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या को ठीक तरह से अलघुकरणीय भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।[3]
समतुल्य परिभाषा कभी-कभी उपयोगी होती है: यदि a और b पूर्णांक हैं, तो भिन्न a/b अप्रासंगिक है यदि और केवल यदि कोई अन्य समान भिन्न नहीं है c/d ऐसा है कि |c| < |a| या |d| < |b|, जहाँ |a| का अर्थ a का निरपेक्ष मान (दो भिन्न a/b और c/d समान या समतुल्य हैं यदि और केवल यदि ad = bc।) है।[4]
उदाहरण के लिए, 1/4, 5/6, और −101/100 सभी अलघुकरणीय भिन्न हैं। दूसरी ओर, 2/4 कम करने योग्य है क्योंकि यह 1/2 मान के बराबर है, और का भिन्न 1/2 के 2/4 भिन्न से कम है।
भिन्न जो कम करने योग्य है, भिन्न और हर दोनों को सामान्य कारक से विभाजित करके कम किया जा सकता है। यदि दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा विभाजित किया जाता है, तो इसे पूरी तरह से न्यूनतम शर्तों तक कम किया जा सकता है।[5] सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म या अभाज्य गुणनखंड का उपयोग किया जा सकता है। यूक्लिडियन एल्गोरिथम को सामान्यतः पसंद किया जाता है क्योंकि यह भिन्न और भाजक के साथ भिन्नों को कम करने की अनुमति देता है जो आसानी से फैक्टर किए जाने के लिए बहुत बड़े हैं।[6]
उदाहरण
पहले चरण में दोनों संख्याओं को 10 से विभाजित किया गया, जो कि 120 और 90 दोनों के लिए सामान्य कारक है। दूसरे चरण में, उन्हें 3 से विभाजित किया गया। अंतिम परिणाम, 4/3, अलघुकरणीय भिन्न है क्योंकि 4 और 3 में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।
मूल भिन्न 90 और 120 का महत्तम समापवर्तक, जो कि 30 है, इस का उपयोग करके एक ही चरण में घटाया जा सकता था। 120 ÷ 30 = 4, और 90 ÷ 30 = 3, के रूप में प्राप्त होता है
हाथ से कौन सी विधि तेजी से होती है यह भिन्न पर निर्भर करता है और आसानी से सामान्य कारकों को देखा जाता है। इस स्थितियों में भाजक और भिन्न रहता है जो यह सुनिश्चित करने के लिए बहुत बड़ा है कि वे निरीक्षण द्वारा सहअभाज्य हैं, यह सुनिश्चित करने के लिए कि भिन्न वास्तव में अप्रासंगिक है, वैसे भी सबसे बड़ी सामान्य विभाजक गणना की आवश्यकता है।
अद्वितीयता
प्रत्येक परिमेय संख्या में सकारात्मक विभाजक के साथ अलघुकरणीय भिन्न के रूप में अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है[3] (चूँकि 2/3 = −2/−3 चूंकि दोनों अप्रासंगिक हैं)। विशिष्टता पूर्णांकों के अंकगणित के मौलिक प्रमेय का परिणाम है, क्योंकि a/b = c/d का तात्पर्य ad = bc है, और इसलिए बाद के दोनों पक्षों को एक ही अभाज्य गुणनखंड साझा करना चाहिए, फिर भी a और b कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं, के प्रमुख कारकों का सेट (बहुलता के साथ) c और इसके विपरीत का उपसमुच्चय है जिसका अर्थ a = c और उसी तर्क से b = d है।
अनुप्रयोग
तथ्य यह है कि किसी भी परिमेय संख्या का अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है क्योंकि अलघुकरणीय भिन्न का उपयोग 2 के वर्गमूल और अन्य अपरिमेय संख्याओं की अपरिमेयता के विभिन्न प्रमाणों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, प्रमाण नोट करता है कि यदि √2 पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, तो इसमें विशेष रूप से पूर्ण रूप से घटा हुआ प्रतिनिधित्व a/b होता है जहां a और b सबसे छोटे संभव हैं; लेकिन गया है कि a/b √2 के बराबर है, इसलिए 2b − a/a − b (इससे क्रॉस-गुणा करने के बाद से a/b दिखाता है कि वे बराबर हैं) भी करता है। चूँकि a > b (क्योंकि √2 1 से बड़ा है), बाद वाला दो छोटे पूर्णांकों का अनुपात है। यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण है, इसलिए आधार यह है कि दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में दो के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व गलत है।
सामान्यीकरण
अलघुकरणीय भिन्न की धारणा किसी भी अद्वितीय गुणनखंड डोमेन के भिन्नों के क्षेत्र के लिए सामान्यीकृत होती है: ऐसे क्षेत्र के किसी भी तत्व को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें भाजक और भिन्न दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित करके सहअभाज्य होते हैं।[7] यह विशेष रूप से एक क्षेत्र पर तर्कसंगत भिन्न पर प्रायुक्त होता है। किसी दिए गए तत्व के लिए अलघुकरणीय भिन्न एक ही व्युत्क्रमणीय तत्व द्वारा भाजक और भिन्न के गुणन तक अद्वितीय है। परिमेय संख्याओं के स्थितियों में इसका अर्थ यह है कि किसी भी संख्या में दो अलघुकरणीय भिन्न होते हैं, जो भिन्न और हर दोनों के चिन्ह में परिवर्तन से संबंधित होते हैं; भाजक को सकारात्मक होने की आवश्यकता के द्वारा इस अस्पष्टता को दूर किया जा सकता है। परिमेय फलनों के स्थितियों में भाजक को एक मोनिक बहुपद होना आवश्यक हो सकता है।[8]
यह भी देखें
- विषम रद्दीकरण, त्रुटिपूर्ण अंकगणितीय प्रक्रिया जो मूल अघटित रूप के अंकों को रद्द करके सही इरेड्यूसेबल भिन्न उत्पन्न करती है।
- डायोफैंटाइन सन्निकटन, परिमेय संख्याओं द्वारा वास्तविक संख्याओं का सन्निकटन।
संदर्भ
- ↑ Stepanov, S. A. (2001) [1994], "Fraction", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- ↑ E.g., see Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002, Springer, p. 155, ISBN 9783540438267
- ↑ 3.0 3.1 Scott, William (1844), Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College, College text books, Sandhurst. Royal Military College, vol. 1, Longman, Brown, Green, and Longmans, p. 75.
- ↑ Scott (1844), p. 74.
- ↑ Sally, Judith D.; Sally, Paul J., Jr. (2012), "9.1. Reducing a fraction to lowest terms", Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers, MSRI mathematical circles library, vol. 10, American Mathematical Society, pp. 131–134, ISBN 9780821887981
{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link). - ↑ Cuoco, Al; Rotman, Joseph (2013), Learning Modern Algebra, Mathematical Association of America Textbooks, Mathematical Association of America, p. 33, ISBN 9781939512017.
- ↑ Garrett, Paul B. (2007), Abstract Algebra, CRC Press, p. 183, ISBN 9781584886907.
- ↑ Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 242, Springer, Lemma 9.2, p. 183, ISBN 9780387715681.
