आंशिक अवकलज: Difference between revisions
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[[गणित]] में, [[कई चरों]] के एक [[फलन]] का '''आंशिक अवकलज''' उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है ([[कुल व्युत्पन्न|कुल अवकलज]] के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक [[यौगिक|अवकलज]] का उपयोग [[वेक्टर पथरी|सदिश कलन]] और [[अंतर ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] में किया जाता है। | [[गणित]] में, [[कई चरों]] के एक [[फलन]] का '''आंशिक अवकलज''' उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है ([[कुल व्युत्पन्न|कुल अवकलज]] के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक [[यौगिक|अवकलज]] का उपयोग [[वेक्टर पथरी|सदिश कलन]] और [[अंतर ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] में किया जाता है। | ||
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{\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}</math>लिखेगा, जबकि व्यंजक <math>{\displaystyle D_{1}f}</math> पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है। | {\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}</math>लिखेगा, जबकि व्यंजक <math>{\displaystyle D_{1}f}</math> पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में <math>D_i f</math> का आंशिक अवकलज (फलन) <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math> दर्शाया गया है। अर्थात्, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, [[क्लेराट के प्रमेय]] का तात्पर्य यह है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math>, f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता है। | |||
== प्रवणता == | == प्रवणता == | ||
{{Main|प्रवणता}} | {{Main|प्रवणता}} | ||
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यह x के संबंध में f का आंशिक अवकलज है। यहाँ ∂ एक गोलाकार d है जिसे [[आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक|आंशिक अवकलज प्रतीक]] कहा जाता है, इसे d अक्षर से इसे अलग करने के लिए, ∂ को कभी-कभी आंशिक उच्चारित किया जाता है। | यह x के संबंध में f का आंशिक अवकलज है। यहाँ ∂ एक गोलाकार d है जिसे [[आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक|आंशिक अवकलज प्रतीक]] कहा जाता है, इसे d अक्षर से इसे अलग करने के लिए, ∂ को कभी-कभी आंशिक उच्चारित किया जाता है। | ||
== | == उच्चतर कोटि आंशिक अवकलज == | ||
दूसरे और | दूसरे और उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज को एकचर फलनो के उच्चतर कोटि के अवकलज के अनुरूप परिभाषित किया गया है। फलन <math>f(x, y, ...)</math> के लिए x के संबंध में स्वयं का दूसरा आंशिक अवकलज केवल आंशिक अवकलज (दोनों x के संबंध में) का आंशिक अवकलज है,<ref>[[Alpha Chiang|Chiang, Alpha C.]] ''Fundamental Methods of Mathematical Economics'', McGraw-Hill, third edition, 1984.</ref>{{rp|316–318}} | ||
:<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \equiv \partial \frac{{\partial f / \partial x}}{{\partial x}} \equiv \frac{{\partial f_x }}{{\partial x }} \equiv f_{xx}.</math> | :<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \equiv \partial \frac{{\partial f / \partial x}}{{\partial x}} \equiv \frac{{\partial f_x }}{{\partial x }} \equiv f_{xx}.</math> | ||
x और y के संबंध में क्रॉस आंशिक अवकलज, x के संबंध में f | x और y के संबंध में क्रॉस आंशिक अवकलज, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज लेकर प्राप्त किया जाता है, और फिर | ||
:<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial y\, \partial x} \equiv \partial \frac{\partial f / \partial x}{\partial y} \equiv \frac{\partial f_x}{\partial y} \equiv f_{xy}.</math> | :<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial y\, \partial x} \equiv \partial \frac{\partial f / \partial x}{\partial y} \equiv \frac{\partial f_x}{\partial y} \equiv f_{xy}.</math> | ||
प्राप्त करने के लिए y के संबंध में परिणाम का आंशिक अवकलज लिया जाता है। [[श्वार्ज की प्रमेय]] में कहा गया है कि यदि दूसरा अवकलज निरंतर है, तो क्रॉस आंशिक अवकलज के लिए व्यंजक इस बात से अप्रभावित रहता है कि किस चर के संबंध में आंशिक अवकलज को पहले लिया गया है और किसको दूसरे के संबंध में लिया गया है। अर्थात, | |||
:<math>\frac {\partial ^2 f}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial ^2 f}{\partial y\, \partial x}</math> | :<math>\frac {\partial ^2 f}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial ^2 f}{\partial y\, \partial x}</math> | ||
या समकक्ष <math>f_{yx} = f_{xy}.</math> | या समकक्ष <math>f_{yx} = f_{xy}.</math> | ||
[[हेसियन मैट्रिक्स|हेसियन आव्यूह]] में स्वयं और क्रॉस आंशिक अवकलज दिखाई देते हैं जिसका उपयोग[[अनुकूलन|इष्टतमीकरण]] समस्याओं में [[दूसरे क्रम की स्थिति|दूसरे क्रम की स्थितियों]] में उपयोग किया जाता है। उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज क्रमिक अवकलन द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं | |||
आंशिक अवकलज के | |||
के | == प्रतिअवकलज अनुरूप == | ||
आंशिक अवकलज के लिए एक अवधारणा है जो नियमित अवकलज के लिए [[प्रतिअवकलज]] के समान है। आंशिक अवकलज को देखते हुए, यह मूल फलन की आंशिक पुनर्प्राप्ति की अनुमति देता है। | |||
:<math>\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.</math> | :<math>\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.</math> | ||
आंशिक समाकल को x के संबंध में लिया जा सकता है | के उदाहरण पर विचार करें। तथाकथित आंशिक समाकल को x (आंशिक अवकलन के समान तरीके से y को स्थिर मानते हुए) के संबंध में लिया जा सकता है , | ||
:<math>z = \int \frac{\partial z}{\partial x} \,dx = x^2 + xy + g(y).</math> | :<math>z = \int \frac{\partial z}{\partial x} \,dx = x^2 + xy + g(y).</math> | ||
यहाँ, समाकलन का स्थिरांक | यहाँ, [[समाकलन का स्थिरांक]] अब एक स्थिरांक नहीं है, बल्कि x को छोड़कर मूल फलन के सभी चरों का एक फलन है। इसका कारण यह है कि आंशिक अवकलज लेते समय अन्य सभी चरों को स्थिर माना जाता है, इसलिए कोई भी फलन जिसमें <math>x</math>सम्मिलित नहीं होता है, आंशिक अवकलज लेते समय गायब हो जाएगा, और जब हम प्रतिअवकलज लेते हैं तो हमें इसका स्पष्टीकरण देना होता है। इसे दर्शाने का सबसे सामान्य तरीका यह है कि स्थिरांक अन्य सभी चरों के एक अज्ञात फलन का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
इस प्रकार फलनो का | इस प्रकार फलनो का समुच्चय <math>x^2 + xy + g(y)</math>, जहाँ g कोई एक-तर्क फलन है, तथा चर x, y में फलनो के पूरे समुच्चयो का प्रतिनिधित्व करता है जो x-आंशिक अवकलज <math>2x + y</math> उत्पन्न कर सकता है। | ||
यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, प्रवणता के साथ), तो | यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, प्रवणता के साथ), तो मूल फलन को एक स्थिरांक तक पुनर्निर्माण करने के लिए उपरोक्त प्रक्रिया के माध्यम से प्रतिअवकलज का मिलान किया जा सकता है। हालाँकि, एकल-चर स्थिति के विपरीत, फलन का प्रत्येक समुच्चय एकल फलन के सभी (प्रथम) आंशिक अवकलज का समुच्चय नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सदिश क्षेत्र [[रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र|रूढ़िवादी]] नहीं है। | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
=== ज्यामिति === | === ज्यामिति === | ||
[[Image:Cone 3d.png|thumb|शंकु का आयतन ऊंचाई और त्रिज्या पर निर्भर करता है]] | [[Image:Cone 3d.png|thumb|शंकु का आयतन ऊंचाई और त्रिज्या पर निर्भर करता है]]सूत्र <math>V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}.</math> के अनुसार शंकु [[शंकु (ज्यामिति)|शंकु]] का [[आयतन]] V शंकु की [[ऊँचाई]] h और उसकी [[त्रिज्या]] r पर निर्भर करता है। | ||
: | : | ||
R के संबंध में V का आंशिक अवकलज | |||
:<math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},</math> | :<math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},</math> | ||
जो उस दर का | है जो उस दर का दर्शाता है जिसके साथ शंकु का आयतन बदलता है यदि इसकी त्रिज्या भिन्न होती है और इसकी ऊंचाई स्थिर रहती है। <math>h</math> के संबंध में आंशिक अवकलज <math>\frac{\pi r^2}{3},</math> के बराबर है, जो उस दर का दर्शाता है जिसके साथ मात्रा बदलती है यदि इसकी ऊंचाई भिन्न होती है और इसकी त्रिज्या स्थिर रहती है। | ||
इसके विपरीत, r और h के संबंध में V का कुल अवकलज क्रमशः | इसके विपरीत, r और h के संबंध में V का कुल अवकलज क्रमशः | ||
:<math>\frac{dV}{dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{dh}{dr}</math> | :<math>\frac{dV}{dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{dh}{dr}</math> | ||
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:<math>\frac{dV}{dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{\partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{dr}{dh}</math> | :<math>\frac{dV}{dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{\partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{dr}{dh}</math> | ||
कुल और आंशिक अवकलज के बीच का अंतर आंशिक अवकलज में चर के बीच अप्रत्यक्ष निर्भरता का उन्मूलन है। | है। कुल और आंशिक अवकलज के बीच का अंतर आंशिक अवकलज में चर के बीच अप्रत्यक्ष निर्भरता का उन्मूलन है। | ||
यदि (किसी यादृच्छिक कारण से) शंकु का अनुपात समान रहना है, तथा ऊंचाई और त्रिज्या एक निश्चित अनुपात k, | |||
:<math>k = \frac{h}{r} = \frac{dh}{dr}.</math> | :<math>k = \frac{h}{r} = \frac{dh}{dr}.</math> | ||
यह | में हैं। यह r, | ||
:<math>\frac{dV}{dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + \frac{\pi r^2}{3}k</math> | :<math>\frac{dV}{dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + \frac{\pi r^2}{3}k</math> | ||
जो | के संबंध में कुल अवकलज देता है, जो | ||
:<math>\frac{dV}{dr} = k \pi r^2</math> | :<math>\frac{dV}{dr} = k \pi r^2</math> | ||
इसी प्रकार, | सरल बनाता है, इसी प्रकार, h के संबंध में कुल अवकलज | ||
:<math>\frac{dV}{dh} = \pi r^2</math> | :<math>\frac{dV}{dh} = \pi r^2</math> | ||
इन | है। इन दोनों चरों के अदिश फलन के रूप में नियत आयतन के r और h दोनों के संबंध में कुल अवकलज [[प्रवणता]] सदिश | ||
:<math>\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}\right) = \left(\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2\right).</math> | :<math>\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}\right) = \left(\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2\right).</math> | ||
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=== इष्टतमीकरण === | |||
== | आंशिक अवकलज किसी भी कलन-आधारित [[इष्टतमीकरण]] समस्या में एक से अधिक विकल्प चर के साथ दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, [[अर्थशास्त्र]] में एक फर्म दो अलग-अलग प्रकार के निर्गत की मात्रा x और y की पसंद के संबंध में [[लाभ (अर्थशास्त्र)|लाभ]] π(x, y) को अधिकतम करना चाह सकती है। इस इष्टतमीकरण के लिए [[प्रथम क्रम की शर्तें]] π<sub>''x''</sub> = 0 = π<sub>''y''</sub> हैं। चूंकि दोनों आंशिक अवकलज π<sub>''x''</sub> और π<sub>''y''</sub> आम तौर पर स्वयं दोनों तर्कों x और y के फलन होंगे, ये दो प्रथम क्रम की स्थितियाँ दो अज्ञात में [[दो समीकरणों की एक प्रणाली]] बनाती हैं। | ||
=== ऊष्मागतिक, क्वांटम यांत्रिकी और गणितीय भौतिकी === | |||
आंशिक अवकलज [[गिब्स-डुहेम समीकरण]] जैसे ऊष्मागतिक समीकरणों में, क्वांटम यांत्रिकी में [[श्रोडिंगर तरंग समीकरण]] के साथ-साथ [[गणितीय भौतिकी]] के अन्य समीकरणों में दिखाई देते हैं। यहां आंशिक अवकलज में स्थिर रखे जाने वाले चर निम्नलिखित उदाहरण में मोल प्रभाज x<sub>i</sub> जैसे सरल चर का अनुपात हो सकते है, जिसमें टर्नरी मिश्रण प्रणाली में गिब्स ऊर्जा सम्मिलित है, | |||
आंशिक अवकलज | |||
:<math>\bar{G_2}= G + (1-x_2) \left(\frac{{\partial G}}{{\partial x_2}}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} </math> | :<math>\bar{G_2}= G + (1-x_2) \left(\frac{{\partial G}}{{\partial x_2}}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} </math> | ||
किसी घटक के मोल प्रभाज को अन्य घटकों के [[मोल अंश|मोल प्रभाज]] और द्विआधारी मोल अनुपात के फलनो के रूप में व्यक्त करें, | |||
:<math>x_1 = \frac{1-x_2}{1+\frac{x_3}{x_1}}</math> | :<math>x_1 = \frac{1-x_2}{1+\frac{x_3}{x_1}}</math> | ||
:<math>x_3 = \frac{1-x_2}{1+\frac{x_1}{x_3}}</math> | :<math>x_3 = \frac{1-x_2}{1+\frac{x_1}{x_3}}</math> | ||
उपरोक्त की तरह स्थिर अनुपात | उपरोक्त की तरह अवकल भागफल स्थिर अनुपात पर बनाए जा सकते हैं, | ||
:<math>\left(\frac{\partial x_1}{\partial x_2}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} = - \frac{x_1}{1-x_2}</math> | :<math>\left(\frac{\partial x_1}{\partial x_2}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} = - \frac{x_1}{1-x_2}</math> | ||
:<math>\left(\frac{\partial x_3}{\partial x_2}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} = - \frac{x_3}{1-x_2}</math> | :<math>\left(\frac{\partial x_3}{\partial x_2}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} = - \frac{x_3}{1-x_2}</math> | ||
मोल | मोल प्रभाजों के अनुपात X, Y, Z को त्रिगुट और बहुघटक प्रणालियों के लिए लिखा जा सकता है, | ||
:<math>X = \frac{x_3}{x_1 + x_3}</math> | :<math>X = \frac{x_3}{x_1 + x_3}</math> | ||
:<math>Y = \frac{x_3}{x_2 + x_3}</math> | :<math>Y = \frac{x_3}{x_2 + x_3}</math> | ||
:<math>Z = \frac{x_2}{x_1 + x_2}</math> | :<math>Z = \frac{x_2}{x_1 + x_2}</math> | ||
जिसका उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है | जिसका उपयोग [[आंशिक अंतर समीकरणों]] को हल करने के लिए किया जा सकता है, | ||
:<math>\left(\frac{\partial \mu_2}{\partial n_1}\right)_{n_2, n_3} = \left(\frac{\partial \mu_1}{\partial n_2}\right)_{n_1, n_3}</math> | :<math>\left(\frac{\partial \mu_2}{\partial n_1}\right)_{n_2, n_3} = \left(\frac{\partial \mu_1}{\partial n_2}\right)_{n_1, n_3}</math> | ||
इस समानता को एक तरफ मोल | |||