आंशिक अवकलज: Difference between revisions

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~~{{short description|Derivative of a function with multiple variables}}~~

~~{{Calculus}}~~

[[गणित]] में, [[कई चरों]] के एक [[फलन]] का '''आंशिक अवकलज''' उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है ([[कुल व्युत्पन्न|कुल अवकलज]] के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक [[यौगिक|अवकलज]] का उपयोग [[वेक्टर पथरी|सदिश कलन]] और [[अंतर ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] में किया जाता है।

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आंशिक अवकलज <math>

{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} </math> को <math>U</math> पर परिभाषित एक अन्य फलन के रूप में देखा जा सकता है और फिर से आंशिक रूप से अवकलित किया जा सकता है। यदि अवकलज की दिशा दोहराई नहीं जाती है, तो इसे '''मिश्रित आंशिक अवकलज''' कहा जाता है। यदि सभी मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक अवकलज एक बिंदु (या एक समुच्चय पर) पर निरंतर हैं, तो <math>f </math> को उस बिंदु पर (या उस समुच्चय पर) <math>

\mathbb {C} ^{2}</math> फलन कहा जाता है, इस स्थिति में, आंशिक व्युत्पन्न का आदान-प्रदान [[क्लैरौट के प्रमे]]य द्वारा किया जा सकता है,

\mathbb {C} ^{2}</math> फलन कहा जाता है, इस स्थिति में, आंशिक व्युत्पन्न का आदान-प्रदान [[क्लैरौट के प्रमे]][[य]] द्वारा किया जा सकता है,

<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}</math>

उच्च क्रम के आंशिक अवकलज के लिए, आंशिक अवकलज (फलन) का <math>D_i f</math> jवें चर के संबंध में निरूपित किया जाता है <math>D_j(D_i f)=~~D_{i,j} f</math>. वह है, <math>D_j\circ D_i~~ =D_{i,j}</math>, ताकि वेरिएबल्स को उस क्रम में सूचीबद्ध किया जा सके जिसमें अवकलज लिया जाता है, और इस प्रकार, ऑपरेटरों की संरचना आमतौर पर कैसे नोट की जाती है, इसके विपरीत क्रम में। बेशक, मिश्रित आंशिकों की समानता पर क्लेराट का प्रमेय | क्लेराट का प्रमेय का अर्थ है कि <math>D_{i,j}=~~D_{j~~,~~i}</math> जब तक f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट होती है।~~

== संकेतन ==

अधिक जानकारी, [[∂]]

== ~~ग्रेडिएंट~~ ==

निम्नलिखित उदाहरणों के लिए, मान लीजिए कि x, y और z में f एक फलन है।

~~कई चरों~~ के ~~फलन का एक महत्वपूर्ण उदाहरण~~ [[~~अदिश-मूल्यवान समारोह~~]] f(x<~~sub~~>1</~~sub~~>, ..., ~~एक्स~~<~~sub~~>n</~~sub~~>) ~~यूक्लिडियन अंतरिक्ष~~ में एक ~~डोमेन पर~~ <math>\R^n</math> (~~उदा~~., पर <math>\R^2</math> या <math>\R^3</math>)~~. इस स्थिति~~ में f ~~का आंशिक अवकलज ∂f~~/~~∂x है~~jप्रत्येक चर x ~~के संबंध में~~''j''. बिंदु a पर, ये आंशिक अवकलज सदिश ~~को परिभाषित करते हैं~~

प्रथम-क्रम आंशिक अवकलज

<math>{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}</math>

दूसरे क्रम का आंशिक अवकलज,

<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}

</math>

दूसरे क्रम के [[मिश्रित अवकलज]],

<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}

</math>

उच्च-क्रम आंशिक और मिश्रित अवकलज,

<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}

</math>

एकाधिक चर वाले फलनो का वितरण करते समय, इनमें से कुछ चर एक-दूसरे से संबंधित हो सकते हैं, इस प्रकार यह स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना आवश्यक हो सकता है कि अस्पष्टता से बचने के लिए कौन से चर स्थिर रखे जा रहे हैं। सांख्यिकीय यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज, y और z स्थिरांक रखते हुए, प्रायः <math>{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है।

परंपरागत रूप से, संकेतन की स्पष्टता और सरलता के लिए, आंशिक अवकलज फलन और एक विशिष्ट बिंदु पर फलन के मूल्य को आंशिक अवकलज प्रतीक (लीबनिज़ संकेतन) का उपयोग करने पर फलन तर्कों को सम्मिलित करके संयोजित किया जाता है। इस प्रकार, फलन के लिए <math>{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}

</math> जैसे व्यंजक का उपयोग किया जाता है, जबकि बिंदु <math>{\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}</math> पर फलन के मान के लिए <math>{\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}

</math> का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, यह समझौता तब टूट जाता है जब हम <math>{\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}</math> जैसे बिंदु पर आंशिक अवकलज का मूल्यांकन करना चाहते हैं। ऐसे स्थिति में, लीबनिज़ संकेतन का उपयोग करने के लिए फलन का मूल्यांकन

<math>{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}

</math> या

<math>{\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}

</math>

के रूप में एक भारी तरीके से व्यक्त किया जाना चाहिए। इस प्रकार, इन स्थितियों में, i-वें चर के संबंध में आंशिक अवकलज प्रतीक के रूप में <math>D_{i}</math> के साथ ऑयलर अवकल संचालक संकेतन का उपयोग करना बेहतर हो सकता है। उदाहरण के लिए, कोई ऊपर वर्णित उदाहरण के लिए <math>

{\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}</math>लिखेगा, जबकि व्यंजक <math>{\displaystyle D_{1}f}</math> पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है।

उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में <math>D_i f</math> का आंशिक अवकलज (फलन) <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math> दर्शाया गया है। अर्थात्, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, [[क्लेराट के प्रमेय]] का तात्पर्य यह है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math>, f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता है।

== प्रवणता ==

कई चरों वाले फलन का एक महत्वपूर्ण उदाहरण यूक्लिडियन समष्टि <math>\R^n</math> (e.g., पर <math>\R^2</math> या <math>\R^3</math>) में एक प्रक्षेत्र पर [[अदिश-मूल्यवान समारोह|अदिश-मूल्यवान फलन]] f(x1, ..., xn) की स्थिति है। इस स्थिति में f में प्रत्येक चर x''j'' के संबंध में आंशिक अवकलज ∂f/∂xj है। बिंदु a पर, ये आंशिक अवकलज सदिश

: <math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).</math>

इस सदिश को a पर f ~~का ग्रेडिएंट~~ कहा जाता है। यदि f किसी ~~डोमेन~~ में प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, तो ~~ग्रेडिएंट~~ एक सदिश-मूल्यवान फलन ∇f है जो बिंदु a को सदिश ∇f(a) तक ले जाता है। ~~नतीजतन~~, [[ढाल]] एक सदिश क्षेत्र ~~पैदा~~ करता है।

को परिभाषित करते हैं। इस सदिश को a पर f की [[प्रवणता]] कहा जाता है। यदि किसी प्रक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु f पर अवकलनीय है, तो प्रवणता एक सदिश-मूल्यवान फलन ∇f होगी जो बिंदु a को सदिश ∇f(a) पर ले जाता है। परिणामस्वरूप, [[ढाल|प्रवणता]] एक सदिश क्षेत्र उत्पन्न करता है।

अंकन का एक सामान्य दुरुपयोग डेल [[ऑपरेटर]] (∇) को ~~त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में निम्नानुसार~~ परिभाषित करना है ~~<math>\R^3</math>~~ [[यूनिट वैक्टर]] ~~के साथ~~ <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math>:

[[अंकन]] का एक सामान्य [[दुरुपयोग]] डेल [[ऑपरेटर|संचालक]] (∇) को इस प्रकार परिभाषित करना है, जो [[यूनिट वैक्टर|एकांक सदिश]] <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math> के साथ त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] <math>\R^3</math>में निम्नानुसार है,

: <math>\nabla = \left[{\frac{\partial}{\partial x}} \right] \hat{\mathbf{i}} + \left[{\frac{\partial}{\partial y}} \right] \hat{\mathbf{j}} + \left[{\frac{\partial}{\partial z}}\right] \hat{\mathbf{k}}</math>

या, अधिक आम तौर पर, ~~एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस के लिए <math>\R^n</math>~~ निर्देशांक ~~के साथ~~ <math>x_1, \ldots, x_n</math> और ~~यूनिट वैक्टर~~ <math>\hat{\mathbf{e}}_1, \ldots, \hat{\mathbf{e}}_n</math>:

या, अधिक आम तौर पर, निर्देशांक <math>x_1, \ldots, x_n</math> और एकांक सदिश <math>\hat{\mathbf{e}}_1, \ldots, \hat{\mathbf{e}}_n</math> के साथ n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि <math>\R^n</math> के लिए,

: <math>\nabla = \sum_{j=1}^n \left[\frac{\partial}{\partial x_j} \right] \hat{\mathbf{e}}_j = \left[\frac{\partial}{\partial x_1} \right] \hat{\mathbf{e}}_1 + \left[\frac{\partial}{\partial x_2} \right] \hat{\mathbf{e}}_2 + \dots + \left[\frac{\partial}{\partial x_n} \right] \hat{\mathbf{e}}_n</math>

== दिक् अवकलज ==

[[File:Directional derivative contour plot.svg|thumb|<math>

f(x, y)=x^2 + y^2</math> का एक [[समोच्च प्लॉट]], काले रंग में प्रवणता सदिश दिखा रहा है, और एकांक सदिश <math>

\mathbf {u} </math> को नारंगी रंग में <math>

\mathbf {u} </math> के दिक् में दिक् अवकलज द्वारा माप क्रमित किया गया है। प्रवणता सदिश लंबा होता है क्योंकि प्रवणता किसी फलन की वृद्धि की सबसे बड़ी दर की दिक् में निर्दिष्ट करता है।]]

====== यह खंड दिशात्मक व्युत्पन्न § परिभाषा से एक अंश है। ======

== ~~दिशात्मक~~ अवकलज ==

एक सदिश <math>{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}</math> के साथ एक [[अदिश फलन]] <math>{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}</math> का दिक् अवकलज [[सीमा]] <math>{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}</math> द्वारा परिभाषित [[फलन]] <math>{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}} </math> है।

यह परिभाषा संदर्भों की एक विस्तृत श्रृंखला में मान्य है, उदाहरण के लिए जहां एक सदिश (और इसलिए एक एकांक सदिश) का [[मानदंड]] अपरिभाषित है।

== उदाहरण ==

मान लीजिए कि f एक से अधिक चरों का फलन है। उदाहरण के लिए,

मान लीजिए कि f एक से अधिक चरों का एक फलन है। उदाहरण के लिए,

: <math>z = f(x,y) = x^2 + xy + y^2</math>.

Line 110:

Line 153:

| caption2 = A slice of the graph above showing the function in the ''xz''-plane at {{nowrap|1=''y'' = 1}}. Note that the two axes are shown here with different scales. The slope of the tangent line is 3.

}}

इस ~~फलन के एक~~ फलन का ग्राफ़ यूक्लिडियन ~~अंतरिक्ष~~ में एक [[सतह (टोपोलॉजी)]] को परिभाषित करता है। इस सतह के प्रत्येक बिंदु पर अनंत संख्या में स्पर्श रेखाएँ होती हैं। आंशिक ~~विभेदीकरण~~ इन रेखाओं में से किसी एक को चुनने और उसकी [[ढलान]] ~~का पता लगाने का कार्य~~ है। आमतौर पर, ~~सबसे~~ अधिक रुचि की रेखाएँ वे होती हैं जो ~~इसके समानांतर होती हैं~~ <math>xz</math>-~~प्लेन~~, और जो ~~इसके समानांतर हैं~~ <math>yz</math>-~~प्लेन~~ (जो ~~या तो धारण करने का परिणाम है~~ <math>y</math> या <math>x</math> ~~स्थिर, क्रमशः~~)।

इस फलन का [[ग्राफ़]] [[यूक्लिडियन समष्टि]] में एक [[सतह (टोपोलॉजी)|सतह]] को परिभाषित करता है। इस सतह के प्रत्येक बिंदु पर अनंत संख्या में [[स्पर्श रेखाएँ]] होती हैं। आंशिक अवकलन इन रेखाओं में से किसी एक को चुनने और उसकी [[ढलान|प्रवणता]] ज्ञात करने की विधि है। आमतौर पर, अधिक रुचि वाली रेखाएँ वे होती हैं जो <math>xz</math>-तल के समानांतर होती हैं, और वे जो <math>yz</math>-तल (जो क्रमशः <math>y</math> या <math>x</math> स्थिरांक रखने से उत्पन्न होता है) के समानांतर होती हैं।

~~फलन पर स्पर्श रेखा की ढलान खोजने के लिए~~ <math>P(1, 1)</math> और ~~के समानांतर~~ <math>xz</math>-~~प्लेन~~, हम ~~इलाज करते हैं~~ <math>y</math> एक स्थिर के रूप में। ग्राफ और इस विमान को दाईं ओर दिखाया गया है। नीचे, हम देखते हैं कि फलन विमान पर कैसा दिखता है <math>y = 1</math>. यह मानते हुए समीकरण का अवकलज ज्ञात करके <math>y</math> एक स्थिर है, हम पाते हैं कि की ढलान<math>f</math>बिंदु पर <math>(x, y)</math> है:

<math>P(1, 1)</math> पर फलन की स्पर्श रेखा की और <math>xz</math> -तल के समानांतर रेखा की प्रवणता खोजने के लिए, हम <math>y</math> को एक स्थिरांक मानते हैं।

ग्राफ और इस तल को दाईं ओर दिखाया गया है। नीचे, हम देखते हैं कि फलन तल <math>y = 1</math> पर कैसा दिखता है। यह मानते हुए कि <math>y</math> एक स्थिरांक है, समीकरण का अवकलज ज्ञात करके, हम पाते हैं कि बिंदु <math>(x, y)</math> पर <math>f</math> की प्रवणता है,

: <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.</math>

तो पर <math>(1, 1)</math>, प्रतिस्थापन द्वारा, ~~ढलान~~ 3 है। इसलिए,

तो <math>(1, 1)</math> पर, प्रतिस्थापन द्वारा, प्रवणता 3 है। इसलिए, बिंदु पर <math>(1, 1)</math> पर

: <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 3</math>

: <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 3</math>।

~~बिंदु पर~~ <math>(1, 1)</math>~~. अर्थात्, का आंशिक अवकलज~~ <math>z</math> ~~इसके~~ संबंध में <math>~~x</math> पर <math>(1, 1)~~</math> 3 है, जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है।

अर्थात्, <math>(1, 1)</math> पर <math>x</math> के संबंध में <math>z</math> का आंशिक अवकलज 3 है, जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है।

फलन f को अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के ~~कार्यों~~ के ~~परिवार~~ के रूप में ~~पुनर्व्याख्या~~ की जा सकती है:

फलन f की अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के फलनो के समुह के रूप में पुन: व्याख्या की जा सकती है,

: <math>f(x,y) = f_y(x) = x^2 + xy + y^2.</math>

दूसरे शब्दों में, y का प्रत्येक मान एक फलन को परिभाषित करता है, जिसे f ~~द्वारा निरूपित किया जाता है~~y, जो कि एक चर x का फलन है।{{NoteTag|This can also be expressed as the [[adjoint functors|adjointness]] between the [[product topology|product space]] and [[function space]] constructions.}} ~~वह है~~,

दूसरे शब्दों में, y का प्रत्येक मान एक फलन को परिभाषित करता है, जिसे fy कहा जाता है, जो एक चर x का फलन है।{{NoteTag|This can also be expressed as the [[adjoint functors|adjointness]] between the [[product topology|product space]] and [[function space]] constructions.}} अर्थात,

: <math>f_y(x) = x^2 + xy + y^2.</math>

इस ~~खंड~~ में ~~सबस्क्रिप्ट नोटेशन~~ fyy के निश्चित मान पर ~~आकस्मिक~~ फलन को दर्शाता है, न कि आंशिक अवकलज को।

इस अनुभाग में पादांकित संकेतन fy, y के निश्चित मान पर निर्भर एक फलन को दर्शाता है, न कि आंशिक अवकलज को।

एक बार जब y का मान ~~चुन लिया~~ जाता है, मान लीजिए a, तो f(x,y) एक फलन f ~~निर्धारित करता है~~aजो एक वक्र x ~~का पता लगाता है~~2 + ~~कुल्हाड़ी~~ + ए2 ~~पर <math>xz</math>-विमान:~~

एक बार जब y का मान चुना जाता है, मान लीजिए a, तो f(x,y) एक फलन fa निर्धारित करता है जो <math>xz</math> -तल पर एक वक्र x2 + ax +a2 का पता लगाता है,

: <math>f_a(x) = x^2 + ax + a^2.</math>

इस ~~अभिव्यक्ति~~ में, एक स्थिर है, एक चर नहीं है, इसलिए एफaकेवल एक वास्तविक चर का फलन है, जो कि x है। ~~नतीजतन~~, एक चर के एक ~~समारोह~~ के लिए अवकलज की परिभाषा लागू होती है:

इस व्यंजक में, a एक स्थिर है, चर नहीं है, इसलिए faकेवल एक वास्तविक चर का फलन है, जो कि x है। परिणामस्वरूप, एक चर के एक फलन के लिए अवकलज की परिभाषा लागू होती है,

: <math>f_a'(x) = 2x + a.</math>

उपरोक्त प्रक्रिया किसी भी विकल्प के लिए की जा सकती है। अवकलज को एक साथ एक फलन में इकट्ठा करना एक ऐसा फलन ~~देता~~ है जो x दिशा में f की भिन्नता का वर्णन करता है:

उपरोक्त प्रक्रिया किसी भी विकल्प के लिए की जा सकती है। अवकलज को एक साथ एक फलन में इकट्ठा करना एक ऐसा फलन मिलता है जो x दिशा में f की भिन्नता का वर्णन करता है,

: <math>\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x + y.</math>

यह x के संबंध में f का आंशिक अवकलज है। यहाँ ∂ एक गोलाकार d है जिसे [[आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक|आंशिक अवकलज प्रतीक]] कहा जाता है; अक्षर d से इसे अलग करने के लिए, ∂ को कभ

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 [[गणित]] में, [[कई चरों]] के एक [[फलन]] का '''आंशिक अवकलज''' उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है ([[कुल व्युत्पन्न|कुल अवकलज]] के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक [[यौगिक|अवकलज]] का उपयोग [[वेक्टर पथरी|सदिश कलन]] और [[अंतर ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] में किया जाता है।
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 आंशिक अवकलज <math>
 {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} </math> को <math>U</math> पर परिभाषित एक अन्य फलन के रूप में देखा जा सकता है और फिर से आंशिक रूप से अवकलित किया जा सकता है। यदि अवकलज की दिशा दोहराई नहीं जाती है, तो इसे '''मिश्रित आंशिक अवकलज''' कहा जाता है। यदि सभी मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक अवकलज एक बिंदु (या एक समुच्चय पर) पर निरंतर हैं, तो <math>f </math> को उस बिंदु पर (या उस समुच्चय पर) <math>
-\mathbb {C} ^{2}</math> फलन  कहा जाता है, इस स्थिति में, आंशिक व्युत्पन्न का आदान-प्रदान [[क्लैरौट के प्रमे]]य द्वारा किया जा सकता है,
+\mathbb {C} ^{2}</math> फलन  कहा जाता है, इस स्थिति में, आंशिक व्युत्पन्न का आदान-प्रदान [[क्लैरौट के प्रमे]][[य]] द्वारा किया जा सकता है,
 <math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}</math>
-उच्च क्रम के आंशिक अवकलज के लिए, आंशिक अवकलज (फलन) का <math>D_i f</math> jवें चर के संबंध में निरूपित किया जाता है <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math>. वह है, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, ताकि वेरिएबल्स को उस क्रम में सूचीबद्ध किया जा सके जिसमें अवकलज लिया जाता है, और इस प्रकार, ऑपरेटरों की संरचना आमतौर पर कैसे नोट की जाती है, इसके विपरीत क्रम में। बेशक, मिश्रित आंशिकों की समानता पर क्लेराट का प्रमेय | क्लेराट का प्रमेय का अर्थ है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math> जब तक f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट होती है।
+== संकेतन ==
+अधिक जानकारी, [[∂]]
-== ग्रेडिएंट ==
+निम्नलिखित उदाहरणों के लिए, मान लीजिए कि x, y और z में f एक फलन है।
-{{Main|Gradient}}
-कई चरों के फलन का एक महत्वपूर्ण उदाहरण [[अदिश-मूल्यवान समारोह]] f(x<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>n</sub>) यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक डोमेन पर <math>\R^n</math> (उदा., पर <math>\R^2</math> या <math>\R^3</math>). इस स्थिति में f का आंशिक अवकलज ∂f/∂x है<sub>j</sub>प्रत्येक चर x के संबंध में<sub>''j''</sub>. बिंदु a पर, ये आंशिक अवकलज सदिश को परिभाषित करते हैं
+प्रथम-क्रम आंशिक अवकलज
+<math>{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}</math>
+दूसरे क्रम का आंशिक अवकलज,
+<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}
+</math>
+दूसरे क्रम के [[मिश्रित अवकलज]],
+<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}
+</math>
+उच्च-क्रम आंशिक और मिश्रित अवकलज,
+<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}
+</math>
+एकाधिक चर वाले फलनो का वितरण करते समय, इनमें से कुछ चर एक-दूसरे से संबंधित हो सकते हैं, इस प्रकार यह स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना आवश्यक हो सकता है कि अस्पष्टता से बचने के लिए कौन से चर स्थिर रखे जा रहे हैं। सांख्यिकीय यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज, y और z स्थिरांक रखते हुए, प्रायः <math>{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है।
+परंपरागत रूप से, संकेतन की स्पष्टता और सरलता के लिए, आंशिक अवकलज फलन और एक विशिष्ट बिंदु पर फलन के मूल्य को आंशिक अवकलज प्रतीक (लीबनिज़ संकेतन) का उपयोग करने पर फलन तर्कों को सम्मिलित करके संयोजित किया जाता है। इस प्रकार, फलन के लिए <math>{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}
+</math> जैसे व्यंजक का उपयोग किया जाता है, जबकि बिंदु <math>{\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}</math> पर फलन के मान के लिए <math>{\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}
+</math> का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, यह समझौता तब टूट जाता है जब हम <math>{\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}</math> जैसे बिंदु पर आंशिक अवकलज का मूल्यांकन करना चाहते हैं। ऐसे स्थिति में, लीबनिज़ संकेतन का उपयोग करने के लिए फलन का मूल्यांकन
+<math>{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}
+</math> या
+<math>{\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}
+</math>
+के रूप में एक भारी तरीके से व्यक्त किया जाना चाहिए। इस प्रकार, इन स्थितियों में, i-वें चर के संबंध में आंशिक अवकलज प्रतीक के रूप में <math>D_{i}</math> के साथ ऑयलर अवकल संचालक संकेतन का उपयोग करना बेहतर हो सकता है। उदाहरण के लिए, कोई ऊपर वर्णित उदाहरण के लिए <math>
+{\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}</math>लिखेगा, जबकि व्यंजक <math>{\displaystyle D_{1}f}</math> पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है।
+उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में <math>D_i f</math> का आंशिक अवकलज (फलन) <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math> दर्शाया गया है। अर्थात्, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, [[क्लेराट के प्रमेय]] का तात्पर्य यह है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math>, f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता  है।
+== प्रवणता ==
+{{Main|प्रवणता}}
+कई चरों वाले फलन का एक महत्वपूर्ण उदाहरण यूक्लिडियन समष्टि <math>\R^n</math> (e.g., पर <math>\R^2</math> या <math>\R^3</math>) में एक प्रक्षेत्र पर [[अदिश-मूल्यवान समारोह|अदिश-मूल्यवान फलन]] f(x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>) की स्थिति है। इस स्थिति में f में प्रत्येक चर x<sub>''j''</sub> के संबंध में आंशिक अवकलज ∂f/∂x<sub>j</sub> है। बिंदु a पर, ये आंशिक अवकलज सदिश
 : <math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).</math>
-इस सदिश को a पर f का ग्रेडिएंट कहा जाता है। यदि f किसी डोमेन में प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, तो ग्रेडिएंट एक सदिश-मूल्यवान फलन ∇f है जो बिंदु a को सदिश ∇f(a) तक ले जाता है। नतीजतन, [[ढाल]] एक सदिश क्षेत्र पैदा करता है।
+को परिभाषित करते हैं। इस सदिश को a पर f की [[प्रवणता]] कहा जाता है। यदि किसी प्रक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु f पर अवकलनीय है, तो प्रवणता एक सदिश-मूल्यवान फलन ∇f होगी जो बिंदु a को सदिश ∇f(a) पर ले जाता है। परिणामस्वरूप, [[ढाल|प्रवणता]] एक सदिश क्षेत्र उत्पन्न करता है।
-अंकन का एक सामान्य दुरुपयोग डेल [[ऑपरेटर]] (∇) को त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में निम्नानुसार परिभाषित करना है <math>\R^3</math> [[यूनिट वैक्टर]] के साथ <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math>:
+[[अंकन]] का एक सामान्य [[दुरुपयोग]] डेल [[ऑपरेटर|संचालक]] (∇) को इस प्रकार परिभाषित करना है, जो [[यूनिट वैक्टर|एकांक सदिश]] <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math> के साथ त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] <math>\R^3</math>में निम्नानुसार है,
 : <math>\nabla = \left[{\frac{\partial}{\partial x}} \right] \hat{\mathbf{i}} + \left[{\frac{\partial}{\partial y}} \right] \hat{\mathbf{j}} + \left[{\frac{\partial}{\partial z}}\right] \hat{\mathbf{k}}</math>
-या, अधिक आम तौर पर, एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस के लिए <math>\R^n</math> निर्देशांक के साथ <math>x_1, \ldots, x_n</math> और यूनिट वैक्टर <math>\hat{\mathbf{e}}_1, \ldots, \hat{\mathbf{e}}_n</math>:
+या, अधिक आम तौर पर, निर्देशांक <math>x_1, \ldots, x_n</math> और एकांक सदिश <math>\hat{\mathbf{e}}_1, \ldots, \hat{\mathbf{e}}_n</math>   के साथ n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि <math>\R^n</math> के लिए,
 : <math>\nabla = \sum_{j=1}^n \left[\frac{\partial}{\partial x_j} \right] \hat{\mathbf{e}}_j = \left[\frac{\partial}{\partial x_1} \right] \hat{\mathbf{e}}_1 + \left[\frac{\partial}{\partial x_2} \right] \hat{\mathbf{e}}_2 + \dots + \left[\frac{\partial}{\partial x_n} \right] \hat{\mathbf{e}}_n</math>
+== दिक् अवकलज ==
+[[File:Directional derivative contour plot.svg|thumb|<math>
+f(x, y)=x^2 + y^2</math> का एक [[समोच्च प्लॉट]], काले रंग में प्रवणता सदिश दिखा रहा है, और एकांक सदिश <math>
+\mathbf {u} </math> को नारंगी रंग में <math>
+\mathbf {u} </math> के दिक् में दिक् अवकलज द्वारा माप क्रमित किया गया है। प्रवणता सदिश लंबा होता है क्योंकि प्रवणता किसी फलन की वृद्धि की सबसे बड़ी दर की दिक् में निर्दिष्ट करता है।]]
+====== यह खंड दिशात्मक व्युत्पन्न § परिभाषा से एक अंश है। ======
-== दिशात्मक अवकलज ==
+एक सदिश <math>{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}</math> के साथ एक [[अदिश फलन]] <math>{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}</math> का दिक् अवकलज [[सीमा]] <math>{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}</math> द्वारा परिभाषित [[फलन]] <math>{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}} </math> है।
-{{excerpt|Directional derivative|Definition}}
+यह परिभाषा संदर्भों की एक विस्तृत श्रृंखला में मान्य है, उदाहरण के लिए जहां एक सदिश (और इसलिए एक एकांक सदिश) का [[मानदंड]] अपरिभाषित है।
 == उदाहरण ==
-मान लीजिए कि f एक से अधिक चरों का फलन है। उदाहरण के लिए,
+मान लीजिए कि f एक से अधिक चरों का एक फलन है। उदाहरण के लिए,
 : <math>z = f(x,y) = x^2 + xy + y^2</math>.
@@ Line 110: / Line 153: @@
   | caption2 = A slice of the graph above showing the function in the ''xz''-plane at {{nowrap|1=''y'' = 1}}. Note that the two axes are shown here with different scales. The slope of the tangent line is 3.
 }}
-इस फलन के एक फलन का ग्राफ़ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक [[सतह (टोपोलॉजी)]] को परिभाषित करता है। इस सतह के प्रत्येक बिंदु पर अनंत संख्या में स्पर्श रेखाएँ होती हैं। आंशिक विभेदीकरण इन रेखाओं में से किसी एक को चुनने और उसकी [[ढलान]] का पता लगाने का कार्य है। आमतौर पर, सबसे अधिक रुचि की रेखाएँ वे होती हैं जो इसके समानांतर होती हैं <math>xz</math>-प्लेन, और जो इसके समानांतर हैं <math>yz</math>-प्लेन (जो या तो धारण करने का परिणाम है <math>y</math> या <math>x</math> स्थिर, क्रमशः)।
+इस फलन का [[ग्राफ़]] [[यूक्लिडियन समष्टि]] में एक [[सतह (टोपोलॉजी)|सतह]] को परिभाषित करता है। इस सतह के प्रत्येक बिंदु पर अनंत संख्या में [[स्पर्श रेखाएँ]] होती हैं। आंशिक अवकलन इन रेखाओं में से किसी एक को चुनने और उसकी [[ढलान|प्रवणता]] ज्ञात करने की विधि है। आमतौर पर, अधिक रुचि वाली रेखाएँ वे होती हैं जो <math>xz</math>-तल के समानांतर होती हैं, और वे जो <math>yz</math>-तल (जो क्रमशः <math>y</math> या <math>x</math> स्थिरांक रखने से उत्पन्न होता है) के समानांतर होती हैं।
-फलन पर स्पर्श रेखा की ढलान खोजने के लिए <math>P(1, 1)</math> और के समानांतर <math>xz</math>-प्लेन, हम इलाज करते हैं <math>y</math> एक स्थिर के रूप में। ग्राफ और इस विमान को दाईं ओर दिखाया गया है। नीचे, हम देखते हैं कि फलन विमान पर कैसा दिखता है <math>y = 1</math>. यह मानते हुए समीकरण का अवकलज ज्ञात करके <math>y</math> एक स्थिर है, हम पाते हैं कि की ढलान<math>f</math>बिंदु पर <math>(x, y)</math> है:
+<math>P(1, 1)</math> पर फलन की स्पर्श रेखा की और <math>xz</math> -तल के समानांतर रेखा की प्रवणता खोजने के लिए, हम <math>y</math>  को एक स्थिरांक मानते हैं।
+ग्राफ और इस तल को दाईं ओर दिखाया गया है। नीचे, हम देखते हैं कि फलन तल <math>y = 1</math> पर कैसा दिखता है। यह मानते हुए कि <math>y</math> एक स्थिरांक है, समीकरण का अवकलज ज्ञात करके, हम पाते हैं कि बिंदु <math>(x, y)</math> पर <math>f</math> की प्रवणता है,
 : <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.</math>
-तो पर <math>(1, 1)</math>, प्रतिस्थापन द्वारा, ढलान 3 है। इसलिए,
+तो <math>(1, 1)</math> पर, प्रतिस्थापन द्वारा, प्रवणता 3 है। इसलिए, बिंदु पर <math>(1, 1)</math> पर
-: <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 3</math>
+: <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 3</math>।
-बिंदु पर <math>(1, 1)</math>. अर्थात्, का आंशिक अवकलज <math>z</math> इसके संबंध में <math>x</math> पर <math>(1, 1)</math> 3 है, जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है।
+अर्थात्, <math>(1, 1)</math> पर <math>x</math> के संबंध में <math>z</math> का आंशिक अवकलज 3 है, जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है।
-फलन f को अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के कार्यों के परिवार के रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती है:
+फलन f की अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के फलनो के समुह के रूप में पुन: व्याख्या की जा सकती है,
 : <math>f(x,y) = f_y(x) = x^2 + xy + y^2.</math>
-दूसरे शब्दों में, y का प्रत्येक मान एक फलन को परिभाषित करता है, जिसे f द्वारा निरूपित किया जाता है<sub>y</sub>, जो कि एक चर x का फलन है।{{NoteTag|This can also be expressed as the [[adjoint functors|adjointness]] between the [[product topology|product space]] and [[function space]] constructions.}} वह है,
+दूसरे शब्दों में, y का प्रत्येक मान एक फलन को परिभाषित करता है, जिसे f<sub>y</sub> कहा जाता है, जो एक चर x का फलन है।{{NoteTag|This can also be expressed as the [[adjoint functors|adjointness]] between the [[product topology|product space]] and [[function space]] constructions.}} अर्थात,
 : <math>f_y(x) = x^2 + xy + y^2.</math>
-इस खंड में सबस्क्रिप्ट नोटेशन f<sub>y</sub>y के निश्चित मान पर आकस्मिक फलन को दर्शाता है, न कि आंशिक अवकलज को।
+इस अनुभाग में पादांकित संकेतन f<sub>y,</sub> y के निश्चित मान पर निर्भर एक फलन को दर्शाता है, न कि आंशिक अवकलज को।
-एक बार जब y का मान चुन लिया जाता है, मान लीजिए a, तो f(x,y) एक फलन f निर्धारित करता है<sub>a</sub>जो एक वक्र x का पता लगाता है<sup>2</sup> + कुल्हाड़ी + ए<sup>2</sup> पर <math>xz</math>-विमान:
+एक बार जब y का मान चुना जाता है, मान लीजिए a, तो f(x,y) एक फलन f<sub>a</sub> निर्धारित करता है जो <math>xz</math> -तल पर एक वक्र x<sup>2</sup> + ax +a<sup>2</sup> का पता लगाता है,
 : <math>f_a(x) = x^2 + ax + a^2.</math>
-इस अभिव्यक्ति में, एक स्थिर है, एक चर नहीं है, इसलिए एफ<sub>a</sub>केवल एक वास्तविक चर का फलन है, जो कि x है। नतीजतन, एक चर के एक समारोह के लिए अवकलज की परिभाषा लागू होती है:
+इस व्यंजक में, a एक स्थिर है, चर नहीं है, इसलिए f<sub>a</sub>केवल एक वास्तविक चर का फलन है, जो कि x है। परिणामस्वरूप, एक चर के एक फलन के लिए अवकलज की परिभाषा लागू होती है,
 : <math>f_a'(x) = 2x + a.</math>
-उपरोक्त प्रक्रिया किसी भी विकल्प के लिए की जा सकती है। अवकलज को एक साथ एक फलन में इकट्ठा करना एक ऐसा फलन देता है जो x दिशा में f की भिन्नता का वर्णन करता है:
+उपरोक्त प्रक्रिया किसी भी विकल्प के लिए की जा सकती है। अवकलज को एक साथ एक फलन में इकट्ठा करना एक ऐसा फलन मिलता है जो x दिशा में f की भिन्नता का वर्णन करता है,
 : <math>\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x + y.</math>
-यह x के संबंध में f का आंशिक अवकलज है। यहाँ ∂ एक गोलाकार d है जिसे [[आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक|आंशिक अवकलज प्रतीक]] कहा जाता है; अक्षर d से इसे अलग करने के लिए, ∂ को कभ