अरबी अंक: Difference between revisions
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Revision as of 15:37, 12 October 2023
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| Numeral systems |
|---|
| List of numeral systems |
अरबी अंक दस संख्यात्मक अंक हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 तथा 9. वे दशमलव संख्या लिखने के लिए सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले प्रतीक हैं। उनका उपयोग अन्य प्रणालियों जैसे अष्टभुजाकार में संख्या लिखने के लिए, और पहचानकर्ता लिखने के लिए जैसे संगणक प्रतीकों, ट्रेडमार्क या लाइसेंस प्लेट के लिए भी किया जाता है। शब्द का अर्थ प्रायः एक दशमलव संख्या होता है, विशेष रूप से जब रोमन अंकों के विपरीत होता है।
उन्हें पश्चिमी अरबी अंक, ग़ुबार अंक, हिंदू-अरबी अंक भी कहा जाता है।[disputed (for: कोई संकेत नहीं इस शब्द का अर्थ अंकों के प्रतीकों का यह सबसेट है) ][1] पश्चिमी अंक, लैटिन अंक या यूरोपीय अंक।[2] ऑक्सफोर्ड अंग्रेज़ी शब्दकोष उन्हें पूर्वी अरबी अंकों को संदर्भित करने के लिए पूरी तरह से पूंजीकृत अरबी अंकों के साथ अलग करती है।[3] शब्द संख्या या अंक या अंक प्रायः केवल इन प्रतीकों का अर्थ करते हैं, चूंकि यह केवल संदर्भ से अनुमान लगाया जा सकता है।
यह बेजाइया के अल्जीरियाई शहर में था कि इतालवी लोगों के विद्वान फिबोनैकी ने पहली बार अंकों का सामना किया; पूरे यूरोप में उन्हें ज्ञात कराने में उनका काम महत्वपूर्ण था। यूरोपीय व्यापार, पुस्तकों और उपनिवेशवाद ने दुनिया भर में अरबी अंकों को अपनाने को लोकप्रिय बनाने में मदद की। लैटिन वर्णमाला के समकालीन प्रसार से परे अंकों का दुनिया भर में उपयोग पाया गया है, और लेखन प्रणालियों में सामान्य हो गया है जहां अन्य अंक प्रणालियां पहले सम्मिलित थीं, जैसे कि चीनी अंक और जापानी अंक ।
इतिहास
उत्पत्ति
यूरोप और अमेरिका में अंकों को सामान्यतः अरबी अंकों के रूप में जाना जाता है, इसका कारण यह है कि वे 10 वीं शताब्दी में स्पेन और उत्तरी अफ्रीका के अरबी बोलने वालों द्वारा यूरोप में प्रस्तुत किए गए थे, जो उस समय लीबिया से मोरक्को तक के अंकों का उपयोग कर रहे थे। अरबी प्रायद्वीप के पूर्वी भाग में, अरब पूर्वी अरबी अंकों या मशरिकी अंकों का उपयोग कर रहे थे: ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩[lower-alpha 1][4]
अली इब्न अहमद अल-नसावी | अल-नसावी ने 11वीं शताब्दी के प्रारम्भ में लिखा था कि गणितज्ञ अंकों के रूप पर सहमत नहीं थे, लेकिन उनमें से अधिकांश स्वयं को उन रूपों के साथ प्रशिक्षित करने के लिए सहमत हुए थे जिन्हें अब पूर्वी अरबी अंकों के रूप में जाना जाता है।[5] उपलब्ध लिखित अंकों के सबसे पुराने प्रतिरूप मिस्र से हैं और 873-874 सी ई तक के हैं। वे अंक 2 के तीन रूपों और अंक 3 के दो रूपों को दिखाते हैं, और ये विविधताएं उन भिन्नताओं का संकेत देती हैं जिन्हें बाद में पूर्वी अरबी अंकों और पश्चिमी अरबी अंकों के रूप में जाना जाने लगा।[6] 10वीं शताब्दी के बाद से माघरेब और अल-अंडालस में पश्चिमी अरबी अंकों का उपयोग किया जाने लगा।[7] पश्चिमी अरबी अंक रूपों में निरंतरता की कुछ मात्रा 10वीं शताब्दी से चली आ रही है, जो 976 से सेविले का इसिडोर के एटिमोलोगिया की लैटिन पांडुलिपि में और 12वीं और 13वीं शताब्दी में गेरबर्टियन अबेकस में, टोलेडो शहर से अनुवाद की प्रारंभिक पांडुलिपियों में पाई गई थी। , स्पेन।[4]
गणना मूल रूप से एक धूल बोर्ड (तख़्त, लैटिन: टैबुला) का उपयोग करके की जाती थी, जिसमें एक लेखनी के साथ प्रतीकों को लिखना और उन्हें मिटाना सम्मिलित था। ऐसा प्रतीत होता है कि धूल बोर्ड के उपयोग ने शब्दावली में भी एक विचलन प्रस्तावित किया है: जबकि हिंदू गणना को पूर्व में हिसाब अल-हिंदी कहा जाता था, इसे पश्चिम में हिसाब अल-ग़ुबर कहा जाता था (शाब्दिक रूप से, धूल के साथ गणना)।[8] पश्चिम में अंकों को स्वयं अश्कल अल-ग़ुबर (धूल के आंकड़े) या क़लम अल-ग़ुबर (धूल के अक्षर) के रूप में संदर्भित किया जाता था।[9] अबुल-हसन अल-उक्लिदिसी | अल-उक्लिदिसी ने बाद में बिना बोर्ड और मिटाए स्याही और कागज के साथ गणना की एक प्रणाली का आविष्कार किया।[10] एक लोकप्रिय मिथक का आशय है कि प्रतीकों को उनके कोणों की संख्या के माध्यम से उनके संख्यात्मक मान को संकेत करने के लिए डिज़ाइन किया गया था, लेकिन इसका कोई प्रमाण सम्मिलित नहीं है, और मिथक 4 के बाद किसी भी अंक के साथ सामंजस्य स्थापित करना कठिन है।[11]
गोद लेना और फैलाना
पश्चिम में 1 से 9 तक के अंकों का पहला उल्लेख 976 के कोड विजिलनस में पाया जाता है, स्पेन में पुरातनता से 10 वीं दशक तक की अवधि को कवर करने वाले विभिन्न ऐतिहासिक दस्तावेजों का एक प्रबुद्ध पांडुलिपि संग्रह।[12] अन्य ग्रंथों से पता चलता है कि 1 से 9 तक की संख्याएं कभी-कभी एक स्थानधारक द्वारा पूरक होती हैं जिसे अंग्रेजी में नंबर 0 के लिए नाम के रूप में जाना जाता है, जिसे वृत्त या पहिया के रूप में दर्शाया जाता है, जो 0 के लिए अंतिम प्रतीक की याद दिलाता है। शून्य के लिए अरबी शब्द सिफर है (صفر), लैटिन में सिफ्रा के रूप में लिप्यंतरित, और अंग्रेजी शब्द सिफर की उत्पत्ति हुई है।
980 के दशक से, औरिलैक के गेरबर्ट (बाद में, पोप सिल्वेस्टर II) ने यूरोप में अंकों के ज्ञान का प्रसार करने के लिए अपनी स्थिति का उपयोग किया। गेरबर्ट ने अपनी युवावस्था में बार्सिलोना में अध्ययन किया। वह फ्रांस लौटने के बाद बार्सिलोना के लुपिटस से यंत्र से संबंधित गणितीय ग्रंथों का अनुरोध करने के लिए जाना जाता था।[12]
पश्चिम में अरबी अंकों का स्वागत धीरे-धीरे और गुनगुना था, क्योंकि अन्य अंक प्रणालियां पुराने रोमन अंकों के अतिरिक्त परिचालित थीं। एक अनुशासन के रूप में, अरबी अंकों को अपने स्वयं के लेखन के हिस्से के रूप में अपनाने वाले पहले खगोलविद और ज्योतिषी थे, जो 12 वीं शताब्दी के मध्य बवेरिया से जीवित पांडुलिपियों से प्रमाणित थे। पैडरबोर्न के रेनहर (1140-1190) ने अपने पाठ कॉम्पोटस एमेंडैटस में ईस्टर की तिथियों की अधिक आसानी से गणना करने के लिए अपने कैलेंड्रिकल तालिकाओं में अंकों का उपयोग किया।[13]
इटली
लियोनार्डो फाइबोनैचि, पीसा गणराज्य के एक गणितज्ञ, जिन्होंने बीजाई (बुगिया), अल्जीरिया में अध्ययन किया था, ने अपनी 1202 पुस्तक लिबर अबासी की किताब के साथ यूरोप में हिंदू-अरबी अंक प्रणाली को बढ़ावा दिया:
जब मेरे पिता, जिन्हें उनके देश द्वारा सार्वजनिक नोटरी के रूप में नियुक्त किया गया था, जो वहां जाने वाले पिसान व्यापारियों के लिए काम कर रहे बेजाई में थे, प्रभारी थे, उन्होंने मुझे अपने पास बुलाया, जबकि मैं अभी भी एक बच्चा था, और एक आँख थी उपयोगिता और भविष्य की सुविधा के लिए, मुझे वहाँ रहने और लेखा के स्कूल में निर्देश प्राप्त करने की इच्छा थी। वहां, जब मुझे उल्लेखनीय शिक्षण के माध्यम से भारतीयों के नौ प्रतीकों की कला से परिचित कराया गया, तो कला के ज्ञान ने मुझे बहुत जल्द सबसे अधिक प्रसन्न किया और मैं इसे समझ गया।
लिबर अबाची ने स्थितीय संख्यात्मक प्रणाली के विशाल लाभों को दर्शाया, और यह व्यापक रूप से प्रभावशाली था। जैसा कि फाइबोनैचि ने अंकों के लिए बेजाइआ के प्रतीकों का उपयोग किया था, इन प्रतीकों को भी उसी निर्देश में प्रस्तुत किया गया था, जो अंततः उनके व्यापक रूप से अपनाने के लिए अग्रणी था।[14] फाइबोनैचि का प्रारम्भ 12वीं और 13वीं शतक की यूरोप की वाणिज्यिक क्रांति के साथ हुआ, जो इटली में केंद्रित थी। रोमन और अन्य संख्यात्मक प्रणालियों की तुलना में स्थितीय संकेतन का उपयोग तेज और अधिक जटिल गणितीय कार्यों (जैसे मुद्रा रूपांतरण) के लिए किया जा सकता है। वे बड़ी संख्याओं को भी संभाल सकते थे, एक अलग गणना उपकरण की आवश्यकता नहीं थी, और उपयोगकर्ता को पूरी प्रक्रिया को दोहराए बिना गणना की जांच करने की अनुमति दी।[14]चूंकि स्थितीय संकेतन ने ऐसी संभावनाएं खोलीं जो पिछली प्रणालियों द्वारा बाधित थीं, देर से मध्ययुगीन इतालवी व्यापारियों ने रोमन अंकों (या अन्य गणना उपकरण) का उपयोग करना बंद नहीं किया। अन्यथा, अरबी अंक एक अतिरिक्त उपकरण बन गया जिसका उपयोग दूसरों के साथ किया जा सकता था।[14]
यूरोप
14वीं दशक के अंत में अरबी अंकों का उपयोग करने वाले कुछ ही ग्रंथ इटली के बाहर दिखाई दिए। इससे पता चलता है कि व्यावसायिक व्यवहार में अरबी अंकों का उपयोग, और उनके द्वारा प्रदान किया गया महत्वपूर्ण लाभ, 15वीं दशक के अंत तक आभासी इतालवी एकाधिकार बना रहा।[14]यह आंशिक रूप से भाषा का कारण हो सकता है -चूंकि फाइबोनैचि के लिबर अबाची को लैटिन में लिखा गया था, इतालवी अबेकस परंपराओं को मुख्य रूप से इतालवी भाषा में लिखा गया था जो अबेकस स्कूलों या व्यक्तियों के निजी संग्रह में प्रसारित हुआ था। गैर-इतालवी मर्चेंट बैंकरों के लिए व्यापक जानकारी तक प्राप्त करना संभवतः कठिन था।
छापाखाना के आविष्कार से अंकों की यूरोपीय स्वीकृति में तेजी आई और 15वीं दशक के चक्र में वे व्यापक रूप से जाने गए। ल्यों जैसे वित्त और व्यापार के अन्य केंद्रों में उनका उपयोग लगातार बढ़ता गया।[15] मध्य युग में ग्रेट ब्रिटेन में उनके उपयोग के प्रारंभिक साक्ष्य में सम्मिलित हैंI 1396 से एक समान घंटे का भयानक चतुर्थांश (उपकरण),[16] इंग्लैंड में, हीथफील्ड और वाल्ड्रॉन चर्च, ससेक्स के टॉवर पर 1445 का एक शिलालेख; ब्रे, बर्कशायर चर्च, बर्कशायर के लकड़ी के लिच-गेट पर 1448 का एक शिलालेख; और पिडलट्रेंथाइड चर्च, डोर्सेट में घंटाघर के दरवाजे पर 1487 का एक शिलालेख; और स्कॉटलैंड में एल्गिन, मोरे कैथेड्रल में हंटली के पहले अर्ल की कब्र पर 1470 का शिलालेख।[17] मध्य यूरोप में, हंगरी के राजा लैडिसलॉस मरणोपरांत ने अरबी अंकों का उपयोग शुरू किया, जो पहली बार 1456 के एक शाही दस्तावेज़ में दिखाई देते हैं।[18] 16वीं शताब्दी के मध्य तक, वे अधिकांश यूरोप में सामान्य उपयोग में थे। रोमन अंक ज्यादातर हमारे भगवान के वर्ष में वर्षों के अंकन के लिए और घड़ी के चेहरों पर संख्याओं के लिए उपयोग में बने रहे।[citation needed] अन्य अंक (जैसे पूर्वी अरबी) वस्तुतः अज्ञात थे।[citation needed]
रूस
अरबी अंकों के प्रारम्भ से पहले, प्रारंभिक सिरिलिक वर्णमाला से प्राप्त सिरिलिक अंक, दक्षिण स्लाव और पूर्वी स्लाव स्लाविक लोगों द्वारा उपयोग किए जाते थे। इस प्रणाली का उपयोग रूस में 18 वीं दशक के अंत तक किया गया था,चूंकि इसे औपचारिक रूप से 1699 में महान पीटर द्वारा आधिकारिक उपयोग में बदल दिया गया था।[19] माना जाता है कि अक्षरांकीय प्रणाली से पीटर के स्विच के कारण पश्चिम की नकल करने की उनकी इच्छा से परे हैं। इतिहासकार पीटर ब्राउन परिवर्तन के लिए समाजशास्त्रीय, सैन्यवादी और शैक्षणिक कारणों के लिए कारण देते हैं। व्यापक, सामाजिक स्तर पर, रूसी व्यापारी, सैनिक और अधिकारी तेजी से पश्चिम के समकक्षों के संपर्क में आए और अरबी अंकों के सांप्रदायिक उपयोग से परिचित हो गए। महान पीटर ने भी 1697 से 1698 तक अपने भव्य दूतावास के दौरान पूरे उत्तरी यूरोप में गुप्त यात्रा की और इस समय के दौरान अनौपचारिक रूप से पश्चिमी गणित के संपर्क में आने की संभावना थी।[20] गति में वस्तुओं के गुणों की गणना की स्थिति में सिरिलिक संख्यात्मक प्रणाली भी कम थी, जैसे तोपखाने के प्रक्षेपवक्र और परवलयिक उड़ान प्रतिरूप। बैलिस्टिक के बढ़ते विज्ञान में यह अरबी अंकों के साथ गति बनाए रखने में असमर्थ था, जबकि जॉन नेपियर जैसे पश्चिमी गणितज्ञ 1614 से इस विषय पर प्रकाशित कर रहे थे।[21]
चीन
चीनी अंक जो स्थितीय संकेतन का उपयोग करते थे (जैसे कि गिनती की छड़ें और सूज़ौ अंक) अरबी अंकों के प्रारम्भ से पहले चीन में उपयोग में थे,[22][23] कुछ को मध्यकालीन चीन में मुस्लिम हुई लोगों द्वारा दर्शाया गया था। 17 वीं दशक के प्रारम्भ में, यूरोपीय शैली के अरबी अंक स्पेनिश और पुर्तगालीजेसुइट्स द्वारा दर्शाये गए थे।[24][25][26]
एनकोडिंग
दस अरबी अंकों को इलेक्ट्रिक, रेडियो और डिजिटल संचार जैसे मोर्स कोड के लिए डिज़ाइन किए गए लगभग हर वर्ण समूह में एन्कोड किया गया है।
वे एएससीII में 0x30 से 0x39 की स्थिति में एन्कोड किए गए हैं। मास्क (कंप्यूटिंग) निचले चार बाइनरी बिट्स (या अंतिम हेक्साडेसिमल अंक लेते हुए) अंक का मान देता है, शुरुआती कंप्यूटरों पर पाठ को संख्याओं में बदलने में बहुत मदद करता है। ये पद यूनिकोड में उत्तराधिकार में मिले थे।[27] ईबीसीडीआईसी ने विभिन्न मूल्यों का उपयोग किया, लेकिन अंकों के मूल्य के बराबर 4 बिट्स भी कम थे।
| ASCII Binary | ASCII Octal | ASCII Decimal | ASCII Hex | Unicode | EBCDIC Hex | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0011 0000 | 060 | 48 | 30 | U+0030 DIGIT ZERO | F0 |
| 1 | 0011 0001 | 061 | 49 | 31 | U+0031 DIGIT ONE | F1 |
| 2 | 0011 0010 | 062 | 50 | 32 | U+0032 DIGIT TWO | F2 |
| 3 | 0011 0011 | 063 | 51 | 33 | U+0033 DIGIT THREE | F3 |
| 4 | 0011 0100 | 064 | 52 | 34 | U+0034 DIGIT FOUR | F4 |
| 5 | 0011 0101 | 065 | 53 | 35 | U+0035 DIGIT FIVE | F5 |
| 6 | 0011 0110 | 066 | 54 | 36 | U+0036 DIGIT SIX | F6 |
| 7 | 0011 0111 | 067 | 55 | 37 | U+0037 DIGIT SEVEN | F7 |
| 8 | 0011 1000 | 070 | 56 | 38 | U+0038 DIGIT EIGHT | F8 |
| 9 | 0011 1001 | 071 | 57 | 39 | U+0039 DIGIT NINE | F9 |
अन्य अंकों के साथ तुलना
| चिह्न | स्क्रिप्ट के साथ प्रयोग किया जाता है | अंक | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | अनेक | अरबी अंक |
| 𑁦 | 𑁧 | 𑁨 | 𑁩 | 𑁪 | 𑁫 | 𑁬 | 𑁭 | 𑁮 | 𑁯 | ब्राह्मी | ब्राह्मी अंक |
| ० | १ | २ | ३ | ४ | ५ | ६ | ७ | ८ | ९ | देवनागरी | देवनागरी अंक |
| ০ | ১ | ২ | ৩ | ৪ | ৫ | ৬ | ৭ | ৮ | ৯ | बंगाली-असमिया | बंगाली अंक |
| ੦ | ੧ | ੨ | ੩ | ੪ | ੫ | ੬ | ੭ | ੮ | ੯ | गुरमुखी | गुरमुखी अंक |
| ૦ | ૧ | ૨ | ૩ | ૪ | ૫ | ૬ | ૭ | ૮ | ૯ | गुजराती | Gujarati numerals |
| ୦ | ୧ | ୨ | ୩ | ୪ | ୫ | ୬ | ୭ | ୮ | ୯ | उड़िया | उड़िया अंक |
| ᱐ | ᱑ | ᱒ | ᱓ | ᱔ | ᱕ | ᱖ | ᱗ | ᱘ | ᱙ | संथाली | संताली अंक |
| 𑇐 | 𑇑 | 𑇒 | 𑇓 | 𑇔 | 𑇕 | 𑇖 | 𑇗 | 𑇘 | 𑇙 | शारदा | शारदा अंक |
| ௦ | ௧ | ௨ | ௩ | ௪ | ௫ | ௬ | ௭ | ௮ | ௯ | तामिल | तमिल अंक |
| ౦ | ౧ | ౨ | ౩ | ౪ | ౫ | ౬ | ౭ | ౮ | ౯ | तेलुगू | तेलुगु लिपि § अंक |
| ೦ | ೧ | ೨ | ೩ | ೪ | ೫ | ೬ | ೭ | ೮ | ೯ | कन्नडा | कन्नड़ लिपि § अंक |
| ൦ | ൧ | ൨ | ൩ | ൪ | ൫ | ൬ | ൭ | ൮ | ൯ | मलयालम | मलयालम अंक |
| ෦ | ෧ | ෨ | ෩ | ෪ | ෫ | ෬ | ෭ | ෮ | ෯ | सिंहली | सिंहली अंक |
| ၀ | ၁ | ၂ | ၃ | ၄ | ၅ | ၆ | ၇ | ၈ | ၉ | बर्मी | बर्मी अंक |
| ༠ | ༡ | ༢ | ༣ | ༤ | ༥ | ༦ | ༧ | ༨ | ༩ | तिब्बती | तिब्बती अंक |
| ᠐ | ᠑ | ᠒ | ᠓ | ᠔ | ᠕ | ᠖ | ᠗ | ᠘ | ᠙ | मंगोलियन | मंगोलियाई अंक |
| ០ | ១ | ២ | ៣ | ៤ | ៥ | ៦ | ៧ | ៨ | ៩ | खमेर | खमेर अंक |
| ๐ | ๑ | ๒ | ๓ | ๔ | ๕ | ๖ | ๗ | ๘ | ๙ | थाई | थाई अंक |
| ໐ | ໑ | ໒ | ໓ | ໔ | ໕ | ໖ | ໗ | ໘ | ໙ | लाओ | लाओ लिपि § अंक |
| ᮰ | ᮱ | ᮲ | ᮳ | ᮴ | ᮵ | ᮶ | ᮷ | ᮸ | ᮹ | सुंडानी | सुंडानी अंक |
| ꧐ | ꧑ | ꧒ | ꧓ | ꧔ | ꧕ | ꧖ | ꧗ | ꧘ | ꧙ | जावानीस | जावानीस अंक |
| ᭐ | ᭑ | ᭒ | ᭓ | ᭔ | ᭕ | ᭖ | ᭗ | ᭘ | ᭙ | बाली | बाली अंक |
| ٠ | ١ | ٢ | ٣ | ٤ | ٥ | ٦ | ٧ | ٨ | ٩ | अरबी | पूर्वी अरबी अंक |
| ۰ | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ۷ | ۸ | ۹ | फ़ारसी / दारी / पश्तो | |
| ۰ | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ۷ | ۸ | ۹ | उर्दू / शाहमुखी | |
| - | ፩ | ፪ | ፫ | ፬ | ፭ | ፮ | ፯ | ፰ | ፱ | इथियो-सेमेटिक | गीज़ अंक |
| 〇 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | पूर्व एशिया | चीनी अंक |
यह भी देखें
- क्षेत्रीय लिखावट भिन्नता#अरबी अंक
- अरबी अंक विविधताएं
- पाठ के आंकड़े
- सात खंड प्रदर्शन
व्याख्यात्मक नोट्स
- ↑ Shown right-to-left, zero is on the right, nine on the left.
उद्धरण
- ↑ "अरबी अंक". American Heritage Dictionary. Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. 2020. Archived from the original on 21 November 2021. Retrieved 21 November 2021.
- ↑ Terminology for Digits Archived 26 October 2021 at the Wayback Machine. Unicode Consortium.
- ↑ "Arabic", Oxford English Dictionary, 2nd edition
- ↑ 4.0 4.1 Burnett, Charles (2002). Dold-Samplonius, Yvonne; Van Dalen, Benno; Dauben, Joseph; Folkerts, Menso (eds.). चीन से पेरिस तक: गणितीय विचारों का 2000 साल का प्रसारण (in English). Franz Steiner Verlag. pp. 237–288. ISBN 978-3-515-08223-5. Archived from the original on 30 July 2022. Retrieved 29 July 2022.
- ↑ Kunitzsch 2003, p. 7: "Les personnes qui se sont occupées de la science du calcul n'ont pas été d'accord sur une partie des formes de ces neuf signes; mais la plupart d'entre elles sont convenues de les former comme il suit."
- ↑ Kunitzsch 2003, p. 5.
- ↑ Kunitzsch 2003, pp. 12–13: "While specimens of Western Arabic numerals from the early period—the tenth to thirteenth centuries—are still not available, we know at least that Hindu reckoning (called ḥisāb al-ghubār) was known in the West from the 10th century onward..."
- ↑ Kunitzsch 2003, p. 8.
- ↑ Kunitzsch 2003, p. 10.
- ↑ Kunitzsch 2003, pp. 7–8.
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