वक्र अनुकूलन: Difference between revisions

Latest revision as of 10:59, 22 November 2022

एक असममित शिखर मॉडल द्वारा एक शोर वक्र की अनुकूलन, एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया के साथ (गॉस-न्यूटन एल्गोरिथ्म चर भिगोना कारक α के साथ)।
शीर्ष: कच्चा आँकड़े और मॉडल।
निचला: त्रुटियों के वर्गों के सामान्यीकृत योग का विकास।

वक्र अनुकूलन^[1]^[2] वक्र, या गणितीय फलन के निर्माण की प्रक्रिया है, जो आँकड़े बिंदुओं की एक श्रृंखला के लिए सबसे उपयुक्त है,^[3] संभवतः बाधाओं के अधीन है।^[4]^[5] वक्र अनुकूलन में या तो प्रक्षेप सम्मिलित हो सकता है,^[6]^[7]जहां आँकड़े के लिए एक सही अनुरूप की आवश्यकता होती है, या समकरण,^[8]^[9] जिसमें एक "सहज" फलन का निर्माण किया जाता है जो आँकड़े को लगभग अनुरूप करता है। संबंधित विषय प्रतिगमन विश्लेषण है,^[10]^[11] जो सांख्यिकीय अनुमान के प्रश्नों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है जैसे कि वक्र में कितनी अनिश्चितता मौजूद है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ देखे गए आँकड़े के लिए उपयुक्त है। अनुरूप वक्र का उपयोग आँकड़े दृश्यकरण के लिए सहायता के रूप में,^[12]^[13]फलन के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए जहां कोई आँकड़े उपलब्ध नहीं है,^[14] और दो या अधिक चर के बीच संबंधों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है।^[15]बहिर्वेशन प्रेक्षित आँकड़े की सीमा से परे एक अनुरूप वक्र के उपयोग को संदर्भित करता है, [^[16] और अनिश्चितता की एक घात के अधीन है^[17] क्योंकि यह वक्र के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को उतना ही प्रतिबिंबित कर सकता है जितना कि यह देखे गए आँकड़े को दर्शाता है।

आँकड़े के रैखिक-बीजगणितीय विश्लेषण के लिए "अनुकूलन" का अर्थ सामान्यतः उस वक्र को खोजने का प्रयास करना होता है जो वक्र से एक बिंदु के ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) विस्थापन को कम करता है (उदाहरण के लिए, सामान्य न्यूनतम वर्ग)। हालांकि, आलेखी और छवि अनुप्रयोगों के लिए, ज्यामितीय अनुकूलन सर्वोत्तम दृश्य अनुरूप प्रदान करना चाहता है, जिसका सामान्यतः मतलब होता है वक्र के लिए लंबकोणीय दूरी को कम करने की कोशिश करना (जैसे, कुल कम से कम वर्ग), या अन्यथा वक्र से बिंदु के विस्थापन के दोनों अक्षों को सम्मिलित करना। ज्यामितीय अनुरूप लोकप्रिय नहीं हैं क्योंकि उन्हें सामान्यतः गैर-रैखिक और/या पुनरावृत्त गणना की आवश्यकता होती है, हालांकि उनके पास अधिक सौंदर्य और ज्यामितीय रूप से सही परिणाम का लाभ होता है।^[18]^[19]^[20]

आँकड़े बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय अनुकूलन

सबसे सामान्यतः विधि के फलन को अनुरूप करता है $y = f (x)$ .

आँकड़े बिंदुओं के लिए अनुकूलन रेखाएँ और बहुपद कार्य

साइन फलन के साथ उत्पन्न बहुपद वक्र अनुकूलन बिंदु। काली बिंदीदार रेखा वास्तविक आँकड़े है, लाल रेखा एक first Degree polynomial है, हरी रेखा second Degree है, नारंगी रेखा थर्ड घात है और नीली लाइन fourth Degree. है।

पहली घात बहुपद समीकरण

y=ax+b\;

ढाल a वाली एक रेखा है , रेखा किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ेगी, इसलिए प्रथम घात बहुपद समीकरण अलग-अलग x निर्देशांक वाले किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से सही रूप से अनुरूप होता है।

यदि समीकरण के क्रम को दूसरी घात बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:

y=ax^{2}+bx+c\;.

यह बिल्कुल साधारण वक्र को तीन बिंदुओं पर अनुरूप करेगा।

यदि समीकरण के क्रम को एक तिहाई घात बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित प्राप्त होता है:

y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;.

यह बिल्कुल चार बिंदुओं पर अनुरूप होगा।

अधिक सामान्य कथन यह कहना होगा कि यह बिल्कुल चार बाधाओं के अनुरूप होगा। प्रत्येक बाधा एक बिंदु,कोण या वक्रता हो सकती है (जो एक दोलन वृत्त की त्रिज्या का व्युत्क्रम है)। कोण और वक्रता बाधाओं को अक्सर एक वक्र के सिरों पर जोड़ा जाता है, और ऐसे मामलों में अंत की स्थिति कहलाती है। एक ही तख़्ता में निहित बहुपद वक्रों के बीच एक सहज संक्रमण सुनिश्चित करने के लिए समान अंत स्थितियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। उच्च-क्रम की बाधाएं, जैसे "वक्रता की दर में परिवर्तन", को भी जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक कार पर लागू बलों के परिवर्तन की दर को समझने के लिए राजमार्ग तिपतिया घास अभिकल्पना में उपयोगी होगा (झटका देखें), क्योंकि यह तिपतिया घास का अनुसरण तदनुसार उचित गति सीमा निर्धारित करने के लिए करता है।

पहली घात बहुपद समीकरण भी एक बिंदु और एक कोण के लिए एक सही अनुरूप हो सकता है जबकि तीसरी घात बहुपद समीकरण भी दो बिंदुओं, एक कोण बाधा और वक्रता बाधा के लिए सही अनुरूप हो सकता है। इनके लिए और उच्च क्रम वाले बहुपद समीकरणों के लिए बाधाओं के कई अन्य संयोजन संभव हैं।

यदि n + 1 से अधिक बाधाएं हैं (n बहुपद की घात होने के नाते), तो बहुपद वक्र अभी भी उन बाधाओं के माध्यम से चलाया जा सकता है। सभी बाधाओं के लिए एक सही अनुरूप निश्चित नहीं है (लेकिन हो सकता है, उदाहरण के लिए, पहली घात बहुपद के मामले में तीन संरेखबिंदु को बिल्कुल अनुरूप करना)। सामान्य तौर पर, हालांकि, प्रत्येक सन्निकटन का मूल्यांकन करने के लिए कुछ विधि की आवश्यकता होती है। कम से कम वर्ग विधि विचलन की तुलना करने का एक तरीका है।

बहुपद समीकरण की घात को बढ़ाना और सही मिलान प्राप्त करना संभव होने पर अनुमानित अनुरूप होने के कई कारण दिए गए हैं।

यहां तक कि अगर सही मिलान मौजूद है, तो यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सही अनुरूप की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में बहुत अधिक गणक समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है।
एक नमूने में संदिग्ध आँकड़े बिंदुओं के औसत का प्रभाव, उन्हें ठीक से अनुरूप करने के लिए वक्र को विकृत करने के बजाय, वांछनीय हो सकता है।
रंज की घटना: उच्च क्रम बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं A और B से होकर गुजरता है, तो यह अपेक्षा की जाएगी कि वक्र A और B के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है, उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो घनात्मक या ऋणात्मक परिमाण (गणित) में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम वाले बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना है (यह पहली घात बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से चलने की गारंटी भी है)।
निम्न-क्रम वाले बहुपद सहज होते हैं और उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्र "ढेलेदार" होते हैं। इसे और अधिक सही रूप से परिभाषित करने के लिए, बहुपद वक्र में संभव अधिकतम विभक्ति बिंदु n-2 है, जहां n बहुपद समीकरण का क्रम है। विभक्ति बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहां यह एक घनात्मक त्रिज्या से ऋणात्मक पर परिवर्तन करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यह वह जगह है जहां यह "होल्डिंग वॉटर" से "बहाते पानी" में बदल जाता है। ध्यान दें कि यह केवल "संभव" है कि उच्च क्रम वाले बहुपद ढेलेदार होंगे, वे सहज भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। एक पंद्रहवीं घात बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विभक्ति बिंदु हो सकते हैं, लेकिन ग्यारह, या नौ या कोई भी विषम संख्या एक से कम हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपद में n - 2 से नीचे शून्य तक किसी भी सम संख्या में विभक्ति बिंदु हो सकते हैं।)

सही अनुरूप के लिए आवश्यकता से अधिक होने वाले बहुपद वक्र की घात उच्च क्रम बहुपदों के लिए पहले सूचीबद्ध सभी कारणों के लिए अवांछनीय है, लेकिन एक ऐसे मामले की ओर भी ले जाती है जहां अनंत संख्या में समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य दो के बजाय केवल एक बिंदु से विवश एक प्रथम घात बहुपद (एक रेखा), अनंत संख्या में समाधान देगा। यह इस समस्या को सामने लाता है कि कैसे तुलना करें और केवल एक समाधान चुनें, जो सॉफ्टवेयर और मनुष्यों के लिए भी एक समस्या हो सकती है। इस कारण से, सभी बाधाओं पर सही मिलान के लिए जितना संभव हो उतना कम घात चुनना सबसे अच्छा है, और शायद इससे भी कम घात, यदि एक अनुमानित अनुरूप स्वीकार्य है।

गेहूं की उपज और मिट्टी की लवणता के बीच संबंध^[21]

अन्य कार्यों को आँकड़े बिंदुओं पर अनुरूपकरना

कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे त्रिकोणमितीय फलन (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है।

वर्णक्रमिकी में, आँकड़े को गाऊसी, लोरेंत्ज़ियन, वोइग्ट और संबंधित कार्यों के साथ अनुरूप किया जा सकता है।

जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान, और कई अन्य विषयों में, जनसंख्या की वृद्धि , संक्रामक रोग का प्रसार, आदि को तार्किक फलन का उपयोग करके अनुरूप किया जा सकता है।

कृषि में प्रतिलोमित वर्णक्रमिकी अवग्रह फलन (S-वक्र) का उपयोग फसल की उपज और वृद्धि कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापे गए आँकड़े के अवग्रह प्रतिगमन द्वारा बनाई गई थी। यह देखा जा सकता है कि शुरू में, यानी कम मिट्टी की लवणता पर, मिट्टी की लवणता बढ़ने पर फसल की उपज धीरे-धीरे कम हो जाती है, जबकि उसके बाद कमी तेजी से बढ़ती है।

आँकड़े बिंदुओं के लिए विमान वक्र की ज्यामितीय अनुकूलन

यदि $y=f(x)$ विधि का कोई अभिधारणा नहीं किया जा सकता है, तब भी कोई समतल वक्र अनुरूप करने का प्रयास कर सकता है।

कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे कि शंकु खंड(गोलाकार, अण्डाकार, परवलयिक, और अतिशयोक्तिपूर्ण चाप) या त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र एक परवलयिक पथ का अनुसरण करते हैं, जब वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज कर दिया जाता है। इसलिए, एक परवलयिक वक्र के लिए प्रक्षेपवक्र आँकड़े बिंदुओं का मिलान करना समझ में आता है। ज्वार ज्यावक्रीय प्रतिरूप का पालन करते हैं, इसलिए ज्वारीय आँकड़े बिंदुओं को एक साइन लहर से मिलान किया जाना चाहिए, या विभिन्न अवधियों की दो साइन तरंगों का योग, यदि चंद्रमा और सूर्य दोनों के प्रभावों पर विचार किया जाता है।

प्राचलिक वक्र के लिए, इसके प्रत्येक निर्देशांक को चाप लंबाई के एक अलग कार्य के रूप में अनुरूप करना प्रभावी होता है, यह मानते हुए कि आँकड़े बिंदुओं का आदेश दिया जा सकता है, तार दूरी का उपयोग किया जा सकता है।^[22]

ज्यामितीय अनुरूप द्वारा एक वृत्त को अनुरूप करना

कूप विधि के साथ वृत्त अनुकूलन, एक वृत्त चाप का वर्णन करने वाले बिंदु, केंद्र (1, 1), त्रिज्या 4.

दीर्घवृत्त अनुकूलन के विभिन्न मॉडल

बीजीय दूरी को कम करने वाली दीर्घवृत्त अनुकूलन (Fitzgibbon विधि)।

कूप^[23] 2डी आँकड़े बिंदुओं के एक सेट के लिए सर्कल के सर्वोत्तम दृश्य अनुरूप को खोजने की कोशिश करने की समस्या का सामना करता है। विधि सामान्य रूप से गैर-रैखिक समस्या को एक रैखिक समस्या में बदल देती है जिसे पुनरावृत्त संख्यात्मक विधियों का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है, और इसलिए पिछली तकनीकों की तुलना में बहुत तेज़ है।

ज्यामितीय अनुरूप द्वारा एक दीर्घवृत्त को अनुरूप करना

उपरोक्त तकनीक को गैर-रेखीय चरण जोड़कर सामान्य दीर्घवृत्त^[24] तक बढ़ा दिया गया है, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसी विधि है जो तेज है, फिर भी मनमाना अभिविन्यास और विस्थापन के नेत्रहीन मनभावन दीर्घवृत्त पाता है।

अनुकूलन सतह

ध्यान दें कि जबकि यह चर्चा 2D वक्रों के संदर्भ में थी, इस तर्क का अधिकांश भाग 3D सतहों तक भी फैला हुआ है, जिनमें से प्रत्येक खंड को दो प्राचलिक दिशाओं में वक्रों के जाल द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे सामान्यतः u और v कहा जाता है। सतह प्रत्येक दिशा में एक या अधिक सतह खंड से बनी हो सकती है।

सॉफ्टवेयर

कई सांख्यिकीय संपुष्टि जैसे कि R और संख्यात्मक सॉफ्टवेयर जैसे कि ग्नुप्लॉट, जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय, एमएलएबी, मेपल (सॉफ़्टवेयर), मैटलैब , टीके सॉल्वर 6.0, साइलैब , मेथेमेटिका, जीएनयू ऑक्टेव, और साइपी में विभिन्न परिदृश्यों में वक्र अनुकूलन करने के लिए समादेश सम्मिलित हैं। वक्र अनुकूलन करने के लिए विशेष रूप से लिखे गए कार्यक्रम भी हैं, वे सांख्यिकीय और संख्यात्मक-विश्लेषण कार्यक्रमों की सूची के साथ-साथ श्रेणी: प्रतिगमन और वक्र अनुकूलन सॉफ़्टवेयर में पाए जा सकते हैं।

यह भी देखें

कम से कम वर्ग समायोजन
वक्र-अनुकूलन संघनन
अनुमान सिद्धांत
फलन सन्निकटन
स्वस्थ रहने के फायदे
आनुवंशिक क्रमदेशन
लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड एल्गोरिथम
लाइन अनुकूलन
मल्टी व्यंजक क्रमदेशन
अरेखीय प्रतिगमन
अत्युपपन्न
समतल वक्र
संभाव्यता वितरण अनुकूलन
ज्यावक्रीय मॉडल
समकरण
तख़्ता (गणित) (तख़्ता प्रक्षेप , समकरण तख़्ता )
समय श्रृंखला
कुल न्यूनतम वर्ग
रैखिक प्रवृत्ति अनुमान

संदर्भ

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↑ See also: Mollifier
↑ Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos.
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↑ Paul Sheer, A software assistant for manual stereo photometrology, M.Sc. thesis, 1997

अग्रिम पठन

N. Chernov (2010), Circular and linear regression: Fitting circles and lines by least squares, Chapman & Hall/CRC, Monographs on Statistics and Applied Probability, Volume 117 (256 pp.). [2]

[1] Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.

[2] William M. Kolb. Curve Fitting for Programmable Calculators. Syntec, Incorporated, 1984.

[3] S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. ISBN 0306439972 Page 165 (cf. ... functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.)

[4] The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't. By Nate Silver

[5] Data Preparation for Data Mining: Text. By Dorian Pyle.

[6] Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By Jaan Kiusalaas. Page 24.

[7] Numerical Methods in Engineering with Python 3. By Jaan Kiusalaas. Page 21.

[8] Numerical Methods of Curve Fitting. By P. G. Guest, Philip George Guest. Page 349.

[9] See also: Mollifier

[10] Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos.

[11] Regression Analysis By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269.

[12] Visual Informatics. Edited by Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Page 689.

[13] Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models. By John R. Hauser. Page 227.

[14] Methods of Experimental Physics: Spectroscopy, Volume 13, Part 1. By Claire Marton. Page 150.

[15] Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Edited by Neil J. Salkind. Page 266.

[16] Community Analysis and Planning Techniques. By Richard E. Klosterman. Page 1.

[17] An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments. DIANE Publishing. Pg 69

[18] Ahn, Sung-Joon (December 2008), "Geometric Fitting of Parametric Curves and Surfaces" (PDF), Journal of Information Processing Systems, 4 (4): 153–158, doi:10.3745/JIPS.2008.4.4.153, archived from the original (PDF) on 2014-03-13

[19] Chernov, N.; Ma, H. (2011), "Least squares fitting of quadratic curves and surfaces", in Yoshida, Sota R. (ed.), Computer Vision, Nova Science Publishers, pp. 285–302, ISBN 9781612093994

[20] Liu, Yang; Wang, Wenping (2008), "A Revisit to Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Parametric Curves and Surfaces", in Chen, F.; Juttler, B. (eds.), Advances in Geometric Modeling and Processing, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4975, pp. 384–397, CiteSeerX 10.1.1.306.6085, doi:10.1007/978-3-540-79246-8_29, ISBN 978-3-540-79245-1

[21] Calculator for sigmoid regression

[22] .51 in Ahlberg & Nilson (1967) The theory of splines and their applications, Academic Press, 1967 [1]

[23] Coope, I.D. (1993). "रैखिक और अरेखीय कम से कम वर्गों द्वारा सर्कल फिटिंग". Journal of Optimization Theory and Applications. 76 (2): 381–388. doi:10.1007/BF00939613. hdl:10092/11104.

[24] Paul Sheer, A software assistant for manual stereo photometrology, M.Sc. thesis, 1997

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Process of constructing a curve that has the best fit to a series of data points}}
-{{Redirect|Best fit|placing ("fitting") variable-sized objects in storage|Fragmentation (computing)}}
+{{Redirect|सर्वोत्तम योग्य|भंडारण में चर-आकार की वस्तुओं को रखना ("फिटिंग")|विखंडन (कंप्यूटिंग)}}
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+[[File:Regression pic assymetrique.gif|thumb|upright=1.5|एक असममित शिखर मॉडल द्वारा एक शोर वक्र की अनुकूलन, एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया के साथ (गॉस-न्यूटन एल्गोरिथ्म चर भिगोना कारक α के साथ)। <br /> शीर्ष: कच्चा आँकड़े और मॉडल।<br /> निचला: त्रुटियों के वर्गों के सामान्यीकृत योग का विकास।]]
-{{Order-of-approx}}
+'''वक्र अनुकूलन'''<ref>Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.</ref><ref>William M. Kolb. [https://books.google.com/books?id=ZiLYAAAAMAAJ&dq=%22Curve+Fitting+for+Programmable+Calculators%22+kolb&focus=searchwithinvolume&q=%22Curve+fitting%22 Curve Fitting for Programmable Calculators]. Syntec, Incorporated, 1984.</ref> [[ वक्र |वक्र]], या गणितीय फलन के निर्माण की प्रक्रिया है, जो आँकड़े बिंदुओं की एक श्रृंखला के लिए सबसे उपयुक्त है,<ref>S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. {{ISBN|0306439972}} Page 165 (''cf''. ... functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.)</ref> संभवतः बाधाओं के अधीन है।<ref>[https://books.google.com/books?id=SI-VqAT4_hYC ''The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't.''] By Nate Silver</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=hhdVr9F-JfAC Data Preparation for Data Mining]: Text. By Dorian Pyle.</ref> वक्र अनुकूलन में या तो[[ प्रक्षेप | प्रक्षेप]] सम्मिलित हो सकता है,<ref>Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By Jaan Kiusalaas. Page 24.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=YlkgAwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22curve%20fitting%22&f=false Numerical Methods in Engineering with Python 3]. By Jaan Kiusalaas. Page 21.</ref>जहां आँकड़े के लिए एक सही अनुरूप की आवश्यकता होती है, या समकरण,<ref>[https://books.google.com/books?id=UjnB0FIWv_AC&printsec=frontcover#v=onepage&q=smoothing&f=false Numerical Methods of Curve Fitting]. By P. G. Guest, Philip George Guest. Page 349.</ref><ref>See also: [[Mollifier]]</ref> जिसमें एक "सहज" फलन का निर्माण किया जाता है जो आँकड़े को लगभग अनुरूप करता है। संबंधित विषय [[ प्रतिगमन विश्लेषण |प्रतिगमन विश्लेषण]] है,<ref>[https://books.google.com/books?id=g1FO9pquF3kC&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22regression%20analysis%22&f=false Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression]. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=Us4YE8lJVYMC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22regression%20analysis%22&f=false Regression Analysis] By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269.</ref> जो सांख्यिकीय अनुमान के प्रश्नों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है जैसे कि वक्र में कितनी अनिश्चितता मौजूद है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ देखे गए आँकड़े के लिए उपयुक्त है। अनुरूप वक्र का उपयोग आँकड़े दृश्यकरण के लिए सहायता के रूप में,<ref>Visual Informatics. Edited by Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Page 689.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=rdJvXG1k3HsC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22Curve%20fitting%22&f=false Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models]. By John R. Hauser. Page 227.</ref>फलन के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए जहां कोई आँकड़े उपलब्ध नहीं है,<ref>Methods of Experimental Physics: Spectroscopy, Volume 13, Part 1. By Claire Marton. Page 150.</ref> और दो या अधिक चर के बीच संबंधों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है।<ref>Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Edited by Neil J. Salkind. Page 266.</ref>[[ एक्सट्रपलेशन |बहिर्वेशन]] प्रेक्षित आँकड़े की सीमा से परे एक अनुरूप वक्र के उपयोग को संदर्भित करता है, [<ref>[https://books.google.com/books?id=ba0hAQAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22Curve%20fitting%22%20OR%20extrapolation&f=false Community Analysis and Planning Techniques]. By Richard E. Klosterman. Page 1.</ref> और [[ अनिश्चितता |अनिश्चितता]] की एक घात के अधीन है<ref>An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments. DIANE Publishing. [https://books.google.com/books?id=rJ23LWaZAqsC&pg=PA69 Pg 69]</ref> क्योंकि यह वक्र के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को उतना ही प्रतिबिंबित कर सकता है जितना कि यह देखे गए आँकड़े को दर्शाता है।
-वक्र फिटिंग<ref>Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.</ref><ref>William M. Kolb. [https://books.google.com/books?id=ZiLYAAAAMAAJ&dq=%22Curve+Fitting+for+Programmable+Calculators%22+kolb&focus=searchwithinvolume&q=%22Curve+fitting%22 Curve Fitting for Programmable Calculators]. Syntec, Incorporated, 1984.</ref> एक [[ वक्र ]], या फ़ंक्शन (गणित) के निर्माण की प्रक्रिया है, जो डेटा बिंदुओं की एक श्रृंखला के लिए सबसे उपयुक्त है,<ref>S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. {{ISBN|0306439972}} Page 165 (''cf''. ... functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.)</ref> संभवतः बाधाओं के अधीन।<ref>[https://books.google.com/books?id=SI-VqAT4_hYC ''The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't.''] By Nate Silver</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=hhdVr9F-JfAC Data Preparation for Data Mining]: Text. By Dorian Pyle.</ref> वक्र फिटिंग में या तो [[ प्रक्षेप ]] शामिल हो सकता है,<ref>Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By Jaan Kiusalaas. Page 24.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=YlkgAwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22curve%20fitting%22&f=false Numerical Methods in Engineering with Python 3]. By Jaan Kiusalaas. Page 21.</ref> जहां डेटा के लिए एक सटीक फिट की आवश्यकता है, या चौरसाई करना है,<ref>[https://books.google.com/books?id=UjnB0FIWv_AC&printsec=frontcover#v=onepage&q=smoothing&f=false Numerical Methods of Curve Fitting]. By P. G. Guest, Philip George Guest. Page 349.</ref><ref>See also: [[Mollifier]]</ref> जिसमें एक सुचारू कार्य का निर्माण किया जाता है जो लगभग डेटा को फिट करता है। एक संबंधित विषय [[ प्रतिगमन विश्लेषण ]] है,<ref>[https://books.google.com/books?id=g1FO9pquF3kC&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22regression%20analysis%22&f=false Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression]. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=Us4YE8lJVYMC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22regression%20analysis%22&f=false Regression Analysis] By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269.</ref> जो सांख्यिकीय अनुमान के प्रश्नों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है जैसे कि वक्र में कितनी अनिश्चितता मौजूद है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ देखे गए डेटा के लिए उपयुक्त है। फिटेड कर्व्स का उपयोग डेटा विज़ुअलाइज़ेशन के लिए सहायता के रूप में किया जा सकता है,<ref>Visual Informatics. Edited by Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Page 689.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=rdJvXG1k3HsC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22Curve%20fitting%22&f=false Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models]. By John R. Hauser. Page 227.</ref> किसी फ़ंक्शन के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए जहां कोई डेटा उपलब्ध नहीं है,<ref>Methods of Experimental Physics: Spectroscopy, Volume 13, Part 1. By Claire Marton. Page 150.</ref> और दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंधों को संक्षेप में प्रस्तुत करना।<ref>Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Edited by Neil J. Salkind. Page 266.</ref> [[ एक्सट्रपलेशन ]] प्रेक्षित डेटा की सीमा (सांख्यिकी) से परे एक फिट वक्र के उपयोग को संदर्भित करता है,<ref>[https://books.google.com/books?id=ba0hAQAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22Curve%20fitting%22%20OR%20extrapolation&f=false Community Analysis and Planning Techniques]. By Richard E. Klosterman. Page 1.</ref> और एक [[ अनिश्चितता ]] के अधीन है<ref>An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments. DIANE Publishing. [https://books.google.com/books?id=rJ23LWaZAqsC&pg=PA69 Pg 69]</ref> चूंकि यह वक्र के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को उतना ही प्रतिबिंबित कर सकता है जितना कि यह देखे गए डेटा को दर्शाता है।
-डेटा के रैखिक-बीजगणितीय विश्लेषण के लिए, फिटिंग का अर्थ आमतौर पर उस वक्र को खोजने की कोशिश करना होता है जो वक्र से एक बिंदु के ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) विस्थापन को कम करता है (जैसे, साधारण न्यूनतम वर्ग)। हालांकि, ग्राफिकल और छवि अनुप्रयोगों के लिए, ज्यामितीय फिटिंग सर्वोत्तम दृश्य फिट प्रदान करना चाहता है; जिसका आमतौर पर मतलब होता है वक्र के लिए [[ ओर्थोगोनल दूरी ]] को कम करने की कोशिश करना (जैसे, कुल कम से कम वर्ग), या अन्यथा वक्र से एक बिंदु के विस्थापन के दोनों अक्षों को शामिल करना। ज्यामितीय फिट लोकप्रिय नहीं हैं क्योंकि उन्हें आम तौर पर गैर-रैखिक और/या पुनरावृत्ति गणना की आवश्यकता होती है, हालांकि उनके पास अधिक सौंदर्य और ज्यामितीय रूप से सटीक परिणाम का लाभ होता है।<ref>{{citation |first=Sung-Joon |last=Ahn |title=Geometric Fitting of Parametric Curves and Surfaces |journal=Journal of Information Processing Systems |volume=4 |issue=4 |pages=153–158 |date=December 2008 |doi=10.3745/JIPS.2008.4.4.153 |url=http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140313084307/http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf |archivedate=2014-03-13 }}</ref><ref>{{citation |first1=N. |last1=Chernov |first2=H. |last2=Ma |year=2011 |contribution=Least squares fitting of quadratic curves and surfaces |title=Computer Vision |editor-first=Sota R. |editor-last=Yoshida |publisher=Nova Science Publishers |isbn=9781612093994
+आँकड़े के रैखिक-बीजगणितीय विश्लेषण के लिए "अनुकूलन" का अर्थ सामान्यतः उस वक्र को खोजने का प्रयास करना होता है जो वक्र से एक बिंदु के ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) विस्थापन को कम करता है (उदाहरण के लिए, सामान्य न्यूनतम वर्ग)। हालांकि, आलेखी और छवि अनुप्रयोगों के लिए, ज्यामितीय अनुकूलन सर्वोत्तम दृश्य अनुरूप प्रदान करना चाहता है, जिसका सामान्यतः मतलब होता है वक्र के लिए [[ ओर्थोगोनल दूरी |लंबकोणीय दूरी]] को कम करने की कोशिश करना (जैसे, कुल कम से कम वर्ग), या अन्यथा वक्र से बिंदु के विस्थापन के दोनों अक्षों को सम्मिलित करना। ज्यामितीय अनुरूप लोकप्रिय नहीं हैं क्योंकि उन्हें सामान्यतः गैर-रैखिक और/या पुनरावृत्त गणना की आवश्यकता होती है, हालांकि उनके पास अधिक सौंदर्य और ज्यामितीय रूप से सही परिणाम का लाभ होता है।<ref>{{citation |first=Sung-Joon |last=Ahn |title=Geometric Fitting of Parametric Curves and Surfaces |journal=Journal of Information Processing Systems |volume=4 |issue=4 |pages=153–158 |date=December 2008 |doi=10.3745/JIPS.2008.4.4.153 |url=http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140313084307/http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf |archivedate=2014-03-13 }}</ref><ref>{{citation |first1=N. |last1=Chernov |first2=H. |last2=Ma |year=2011 |contribution=Least squares fitting of quadratic curves and surfaces |title=Computer Vision |editor-first=Sota R. |editor-last=Yoshida |publisher=Nova Science Publishers |isbn=9781612093994
   |pages=285–302 |url=<!-- http://people.cas.uab.edu/~mosya/papers/CM1nova.pdf No indication of copyright --> }}</ref><ref>{{citation |first1=Yang |last1=Liu |first2=Wenping |last2=Wang |year=2008 |contribution=A Revisit to Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Parametric Curves and Surfaces |editor1-first=F. |editor1-last=Chen |editor2-first=B. |editor2-last=Juttler |title=Advances in Geometric Modeling and Processing |series=Lecture Notes in Computer Science |volume=4975 |pages=384–397 |doi=10.1007/978-3-540-79246-8_29
   |isbn=978-3-540-79245-1|citeseerx=10.1.1.306.6085 }}</ref>
+== आँकड़े बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय अनुकूलन==
+सबसे सामान्यतः विधि के फलन को अनुरूप करता है {{math|''y''{{=}}''f''(''x'')}}.
+=== आँकड़े बिंदुओं के लिए अनुकूलन रेखाएँ और बहुपद कार्य{{anchor|Polynomials}}===
-== डेटा बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय फिटिंग{{anchor|Functions|Algebraic}}==
+{{main|बहुपद प्रतिगमन}}
-सबसे आम तौर पर, कोई फॉर्म के फ़ंक्शन को फिट करता है {{math|''y''{{=}}''f''(''x'')}}.
+{{See also|बहुपद प्रक्षेप}}
+[[File:Curve fitting.svg|alt=Polynomial curves fitting a sine function|thumb|upright=1.3|साइन  फलन के साथ उत्पन्न बहुपद वक्र अनुकूलन बिंदु। काली बिंदीदार रेखा वास्तविक आँकड़े है, लाल रेखा एक <span style= color:red >first Degree polynomial</span> है, हरी रेखा <span style= color:green >second Degree</span> है, नारंगी रेखा <span style= color:orange >थर्ड घात</span> है और नीली लाइन <span style= color: blue >fourth Degree.</span> है।]]पहली घात [[ बहुपद |बहुपद]] समीकरण
-=== डेटा बिंदुओं के लिए फिटिंग लाइनें और बहुपद कार्य{{anchor|Polynomials}}===
-{{main|Polynomial regression}}
-{{See also|Polynomial interpolation}}
-[[File:Curve fitting.svg|alt=Polynomial curves fitting a sine function|thumb|upright=1.3|साइन फ़ंक्शन के साथ उत्पन्न बहुपद वक्र फिटिंग बिंदु। काली बिंदीदार रेखा वास्तविक डेटा है, लाल रेखा एक <span style= color:red >first Degree polynomial</span> है, हरी रेखा <span style= color:green >second Degree</span> है, नारंगी रेखा <span style= color:orange >थर्ड डिग्री</span> है और नीली लाइन <span style= color: blue >fourth Degree.</span> है।]]पहली डिग्री [[ बहुपद ]] समीकरण
 :<math>y = ax + b\;</math>
-[[ ढलान ]] वाली एक रेखा है a. एक रेखा किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ेगी, इसलिए प्रथम डिग्री बहुपद समीकरण अलग-अलग x निर्देशांक वाले किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से सटीक रूप से फिट होता है।
+[[ ढलान | ढाल]] a वाली एक रेखा है , रेखा किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ेगी, इसलिए प्रथम घात बहुपद समीकरण अलग-अलग x निर्देशांक वाले किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से सही रूप से अनुरूप होता है।
-यदि समीकरण के क्रम को दूसरी डिग्री बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:
+यदि समीकरण के क्रम को दूसरी घात बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:
 :<math>y = ax^2 + bx + c\;.</math>
-यह बिल्कुल एक साधारण वक्र को तीन बिंदुओं पर फिट करेगा।
+यह बिल्कुल साधारण वक्र को तीन बिंदुओं पर अनुरूप करेगा।
-यदि समीकरण के क्रम को एक तिहाई डिग्री बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित प्राप्त होता है:
+यदि समीकरण के क्रम को एक तिहाई घात बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित प्राप्त होता है:
 :<math>y = ax^3 + bx^2 + cx + d\;.</math>
-यह बिल्कुल चार बिंदुओं पर फिट होगा।
+यह बिल्कुल चार बिंदुओं पर अनुरूप होगा।
-एक अधिक सामान्य कथन यह कहना होगा कि यह बिल्कुल चार बाधाओं के अनुरूप होगा। प्रत्येक बाधा एक बिंदु, [[ कोण ]] या [[ वक्रता ]] हो सकती है (जो एक दोलन वृत्त की त्रिज्या का व्युत्क्रम है)। कोण और वक्रता बाधाओं को अक्सर एक वक्र के सिरों पर जोड़ा जाता है, और ऐसे मामलों में अंत की स्थिति कहलाती है। एक ही रेखा (गणित) के भीतर निहित बहुपद वक्रों के बीच एक सहज संक्रमण सुनिश्चित करने के लिए समान अंत स्थितियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। वक्रता दर में परिवर्तन जैसे उच्च-क्रम की बाधाओं को भी जोड़ा जा सकता है। यह, उदाहरण के लिए, एक कार पर लागू बलों के परिवर्तन की दर को समझने के लिए राजमार्ग [[ तिपतिया घास इंटरचेंज ]] डिज़ाइन में उपयोगी होगा (जर्क (भौतिकी) देखें), क्योंकि यह क्लोवरलीफ का अनुसरण करता है, और तदनुसार उचित गति सीमा निर्धारित करने के लिए।
+अधिक सामान्य कथन यह कहना होगा कि यह बिल्कुल चार बाधाओं के अनुरूप होगा। प्रत्येक बाधा एक बिंदु,[[ कोण |कोण]] या [[ वक्रता |वक्रता]] हो सकती है (जो एक दोलन वृत्त की त्रिज्या का व्युत्क्रम है)। कोण और वक्रता बाधाओं को अक्सर एक वक्र के सिरों पर जोड़ा जाता है, और ऐसे मामलों में अंत की स्थिति कहलाती है। एक ही तख़्ता में निहित बहुपद वक्रों के बीच एक सहज संक्रमण सुनिश्चित करने के लिए समान अंत स्थितियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। उच्च-क्रम की बाधाएं, जैसे "वक्रता की दर में परिवर्तन", को भी जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक कार पर लागू बलों के परिवर्तन की दर को समझने के लिए राजमार्ग [[ तिपतिया घास इंटरचेंज |तिपतिया घास]] अभिकल्पना में उपयोगी होगा (झटका देखें), क्योंकि यह तिपतिया घास का अनुसरण तदनुसार उचित गति सीमा निर्धारित करने के लिए करता है।
-पहली डिग्री बहुपद समीकरण भी एक बिंदु और एक कोण के लिए एक सटीक फिट हो सकता है जबकि तीसरी डिग्री बहुपद समीकरण भी दो बिंदुओं, एक कोण बाधा और वक्रता बाधा के लिए सटीक फिट हो सकता है। इनके लिए और उच्च क्रम वाले बहुपद समीकरणों के लिए बाधाओं के कई अन्य संयोजन संभव हैं।
+पहली घात बहुपद समीकरण भी एक बिंदु और एक कोण के लिए एक सही अनुरूप हो सकता है जबकि तीसरी घात बहुपद समीकरण भी दो बिंदुओं, एक कोण बाधा और वक्रता बाधा के लिए सही अनुरूप हो सकता है। इनके लिए और उच्च क्रम वाले बहुपद समीकरणों के लिए बाधाओं के कई अन्य संयोजन संभव हैं।
-यदि ''n'' + 1 से अधिक बाधाएं हैं (''n'' बहुपद की डिग्री होने के नाते), तो बहुपद वक्र अभी भी उन बाधाओं के माध्यम से चलाया जा सकता है। सभी बाधाओं के लिए एक सटीक फिट निश्चित नहीं है (लेकिन हो सकता है, उदाहरण के लिए, पहली डिग्री बहुपद के मामले में तीन कोलिनियर बिंदुओं को बिल्कुल फिट करना)। सामान्य तौर पर, हालांकि, प्रत्येक सन्निकटन का मूल्यांकन करने के लिए कुछ विधि की आवश्यकता होती है। कम से कम वर्ग विधि विचलन की तुलना करने का एक तरीका है।
+यदि n + 1 से अधिक बाधाएं हैं (n बहुपद की घात होने के नाते), तो बहुपद वक्र अभी भी उन बाधाओं के माध्यम से चलाया जा सकता है। सभी बाधाओं के लिए एक सही अनुरूप निश्चित नहीं है (लेकिन हो सकता है, उदाहरण के लिए, पहली घात बहुपद के मामले में तीन संरेखबिंदु को बिल्कुल अनुरूप करना)। सामान्य तौर पर, हालांकि, प्रत्येक सन्निकटन का मूल्यांकन करने के लिए कुछ विधि की आवश्यकता होती है। कम से कम वर्ग विधि विचलन की तुलना करने का एक तरीका है।
-बहुपद समीकरण की डिग्री को बढ़ाना और सटीक मिलान प्राप्त करना संभव होने पर अनुमानित फिट होने के कई कारण दिए गए हैं।
+बहुपद समीकरण की घात को बढ़ाना और सही मिलान प्राप्त करना संभव होने पर अनुमानित अनुरूप होने के कई कारण दिए गए हैं।
-* भले ही एक सटीक मिलान मौजूद हो, यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सटीक फिट की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में बहुत अधिक कंप्यूटर समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है।
+* यहां तक कि अगर सही मिलान मौजूद है, तो यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सही अनुरूप की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में बहुत अधिक गणक समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है।
-* एक नमूने में संदिग्ध डेटा बिंदुओं का औसत निकालने का प्रभाव, उन्हें ठीक से फिट करने के लिए वक्र को विकृत करने के बजाय, वांछनीय हो सकता है।
+* एक नमूने में संदिग्ध आँकड़े बिंदुओं के औसत का प्रभाव, उन्हें ठीक से अनुरूप करने के लिए वक्र को विकृत करने के बजाय, वांछनीय हो सकता है।
-* रनगे की घटना: उच्च क्रम बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं ''ए'' और ''बी'' से होकर गुजरता है, तो यह अपेक्षा की जाएगी कि वक्र ''ए'' और ''बी'' के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है; उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो सकारात्मक या नकारात्मक [[ परिमाण (गणित) ]] में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम वाले बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना है (यह पहली डिग्री बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से चलने की गारंटी भी है)।
+* रंज की घटना: उच्च क्रम बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं A और B से होकर गुजरता है, तो यह अपेक्षा की जाएगी कि वक्र A और B के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है, उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो घनात्मक या ऋणात्मक [[ परिमाण (गणित) |परिमाण (गणित)]] में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम वाले बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना है (यह पहली घात बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से चलने की गारंटी भी है)।
-* निम्न कोटि के बहुपद चिकने होते हैं और उच्च कोटि के बहुपद वक्र ढेलेदार होते हैं। इसे और अधिक सटीक रूप से परिभाषित करने के लिए, बहुपद वक्र में संभव अधिकतम विभक्ति बिंदु ''n-2'' है, जहां ''n'' बहुपद समीकरण का क्रम है। एक विभक्ति बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहां यह एक सकारात्मक त्रिज्या से नकारात्मक पर स्विच करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यहीं पर यह जल धारण करने से बहते जल में परिवर्तित हो जाता है। ध्यान दें कि यह केवल संभव है कि उच्च कोटि के बहुपद ढेलेदार हों; वे चिकने भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। एक पंद्रहवीं डिग्री बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विभक्ति बिंदु हो सकते हैं, लेकिन ग्यारह, या नौ या कोई भी विषम संख्या एक से कम हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपद में ''n'' - 2 से शून्य तक कोई भी सम संख्या विभक्ति अंक हो सकते हैं।)
+* निम्न-क्रम वाले बहुपद सहज होते हैं और उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्र "ढेलेदार" होते हैं। इसे और अधिक सही रूप से परिभाषित करने के लिए, बहुपद वक्र में संभव अधिकतम विभक्ति बिंदु n-2 है, जहां n बहुपद समीकरण का क्रम है। विभक्ति बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहां यह एक घनात्मक त्रिज्या से ऋणात्मक पर परिवर्तन करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यह वह जगह है जहां यह "होल्डिंग वॉटर" से "बहाते पानी" में बदल जाता है। ध्यान दें कि यह केवल "संभव" है कि उच्च क्रम वाले बहुपद ढेलेदार होंगे, वे  सहज भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। एक पंद्रहवीं घात बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विभक्ति बिंदु हो सकते हैं, लेकिन ग्यारह, या नौ या कोई भी विषम संख्या एक से कम हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपद में n - 2 से नीचे शून्य तक किसी भी सम संख्या में विभक्ति बिंदु हो सकते हैं।)
-एक सटीक फिट के लिए आवश्यकता से अधिक होने वाले बहुपद वक्र की डिग्री उच्च कोटि के बहुपदों के लिए पहले सूचीबद्ध सभी कारणों के लिए अवांछनीय है, लेकिन यह भी आगे बढ़ता हैo एक ऐसा मामला जहां अनंत संख्या में समाधान हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य दो के बजाय केवल एक बिंदु से विवश एक प्रथम डिग्री बहुपद (एक रेखा), अनंत संख्या में समाधान देगा। यह इस समस्या को सामने लाता है कि कैसे तुलना करें और केवल एक समाधान चुनें, जो सॉफ्टवेयर और मनुष्यों के लिए भी एक समस्या हो सकती है। इस कारण से, सभी बाधाओं पर सटीक मिलान के लिए जितना संभव हो उतना कम डिग्री चुनना सबसे अच्छा है, और शायद इससे भी कम डिग्री, यदि एक अनुमानित फिट स्वीकार्य है।
+सही अनुरूप के लिए आवश्यकता से अधिक होने वाले बहुपद वक्र की घात उच्च क्रम बहुपदों के लिए पहले सूचीबद्ध सभी कारणों के लिए अवांछनीय है, लेकिन एक ऐसे मामले की ओर भी ले जाती है जहां अनंत संख्या में समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य दो के बजाय केवल एक बिंदु से विवश एक प्रथम घात बहुपद (एक रेखा), अनंत संख्या में समाधान देगा। यह इस समस्या को सामने लाता है कि कैसे तुलना करें और केवल एक समाधान चुनें, जो सॉफ्टवेयर और मनुष्यों के लिए भी एक समस्या हो सकती है। इस कारण से, सभी बाधाओं पर सही मिलान के लिए जितना संभव हो उतना कम घात चुनना सबसे अच्छा है, और शायद इससे भी कम घात, यदि एक अनुमानित अनुरूप स्वीकार्य है।
 [[File:Gohana inverted S-curve.png|thumb|upright=1.25|गेहूं की उपज और मिट्टी की लवणता के बीच संबंध<ref>[https://www.waterlog.info/sigmoid.htm Calculator for sigmoid regression]</ref>]]
-=== अन्य कार्यों को डेटा बिंदुओं पर फ़िट करना ===
+=== अन्य कार्यों को आँकड़े बिंदुओं पर  अनुरूपकरना ===
-कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे [[ त्रिकोणमितीय फलन ]] (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है।
+कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे [[ त्रिकोणमितीय फलन |त्रिकोणमितीय फलन]] (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है।
-स्पेक्ट्रोस्कोपी में, डेटा को [[ सामान्य वितरण ]], [[ कॉची वितरण ]], [[ वोइगट फंक्शन ]] और संबंधित कार्यों के साथ फिट किया जा सकता है।
+वर्णक्रमिकी में, आँकड़े को [[ सामान्य वितरण |गाऊसी]], [[ कॉची वितरण |लोरेंत्ज़ियन]],[[ वोइगट फंक्शन | वोइग्ट]] और संबंधित कार्यों के साथ अनुरूप किया जा सकता है।
-जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान, और कई अन्य विषयों में, [[ जनसंख्या वृद्धि ]], संक्रामक रोग का प्रसार, आदि को [[ रसद समारोह ]] का उपयोग करके फिट किया जा सकता है।
+जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान, और कई अन्य विषयों में,[[ जनसंख्या वृद्धि | जनसंख्या की वृद्धि]] , संक्रामक रोग का प्रसार, आदि को [[ रसद समारोह | तार्किक फलन]] का उपयोग करके अनुरूप किया जा सकता है।
-[[ कृषि ]] में इनवर्टेड लॉजिस्टिक [[ सिग्मॉइड फ़ंक्शन ]] (एस-वक्र) का उपयोग फसल की उपज और वृद्धि कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापे गए डेटा के सिग्मॉइड रिग्रेशन द्वारा बनाई गई थी। यह देखा जा सकता है कि शुरू में, यानी कम मिट्टी की लवणता पर, मिट्टी की लवणता बढ़ने पर फसल की उपज धीरे-धीरे कम हो जाती है, जबकि उसके बाद कमी तेजी से बढ़ती है।
+[[ कृषि |कृषि]] में प्रतिलोमित वर्णक्रमिकी [[ सिग्मॉइड फ़ंक्शन |अवग्रह फलन]] (S-वक्र) का उपयोग फसल की उपज और वृद्धि कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापे गए आँकड़े के अवग्रह प्रतिगमन द्वारा बनाई गई थी। यह देखा जा सकता है कि शुरू में, यानी कम मिट्टी की लवणता पर, मिट्टी की लवणता बढ़ने पर फसल की उपज धीरे-धीरे कम हो जाती है, जबकि उसके बाद कमी तेजी से बढ़ती है।
-== डेटा बिंदुओं के लिए विमान वक्र की ज्यामितीय फिटिंग{{anchor|Plane curves|Geometric}}==
+== आँकड़े बिंदुओं के लिए विमान वक्र की ज्यामितीय अनुकूलन==
-यदि फॉर्म का एक फ़ंक्शन <math>y=f(x)</math> अभिधारणा नहीं की जा सकती है, फिर भी कोई [[ समतल वक्र ]] फिट करने का प्रयास कर सकता है।
+यदि <math>y=f(x)</math>  विधि का कोई अभिधारणा नहीं किया जा सकता है, तब भी कोई [[ समतल वक्र |समतल वक्र]] अनुरूप करने का प्रयास कर सकता है।
-कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे कि [[ शंकु खंड ]] (गोलाकार, अण्डाकार, परवलयिक, और अतिशयोक्तिपूर्ण चाप) या त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र एक परवलयिक पथ का अनुसरण करते हैं, जब वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज कर दिया जाता है। इसलिए, एक परवलयिक वक्र के लिए प्रक्षेपवक्र डेटा बिंदुओं का मिलान करना समझ में आता है। ज्वार साइनसॉइडल पैटर्न का पालन करते हैं, इसलिए ज्वारीय डेटा बिंदुओं को एक साइन लहर से मिलान किया जाना चाहिए, या विभिन्न अवधियों की दो साइन तरंगों का योग, यदि चंद्रमा और सूर्य दोनों के प्रभावों पर विचार किया जाता है।
+कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे कि [[ शंकु खंड |शंकु खंड]](गोलाकार, अण्डाकार, परवलयिक, और अतिशयोक्तिपूर्ण चाप) या त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र एक परवलयिक पथ का अनुसरण करते हैं, जब वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज कर दिया जाता है। इसलिए, एक परवलयिक वक्र के लिए प्रक्षेपवक्र आँकड़े बिंदुओं का मिलान करना समझ में आता है। ज्वार ज्यावक्रीय प्रतिरूप का पालन करते हैं, इसलिए ज्वारीय आँकड़े बिंदुओं को एक साइन लहर से मिलान किया जाना चाहिए, या विभिन्न अवधियों की दो साइन तरंगों का योग, यदि चंद्रमा और सूर्य दोनों के प्रभावों पर विचार किया जाता है।
-एक [[ पैरामीट्रिक वक्र ]] के लिए, इसके प्रत्येक निर्देशांक को चाप लंबाई के एक अलग कार्य के रूप में फिट करना प्रभावी होता है; यह मानते हुए कि डेटा बिंदुओं का आदेश दिया जा सकता है, [[ तार दूरी ]] का उपयोग किया जा सकता है।<ref>p.51 in Ahlberg & Nilson (1967) ''The theory of splines and their applications'', Academic Press, 1967  [https://books.google.com/books?id=S7d1pjJHsRgC&pg=PA51]</ref>
+[[ पैरामीट्रिक वक्र |प्राचलिक वक्र]] के लिए, इसके प्रत्येक निर्देशांक को चाप लंबाई के एक अलग कार्य के रूप में अनुरूप करना प्रभावी होता है, यह मानते हुए कि आँकड़े बिंदुओं का आदेश दिया जा सकता है, [[ तार दूरी |तार दूरी]] का उपयोग किया जा सकता है।<ref>p.51 in Ahlberg & Nilson (1967) ''The theory of splines and their applications'', Academic Press, 1967  [https://books.google.com/books?id=S7d1pjJHsRgC&pg=PA51]</ref>
+=== ज्यामितीय अनुरूप द्वारा एक वृत्त को अनुरूप करना===
+[[File:Regression circulaire coope arc de cercle.svg|thumb|कूप विधि के साथ वृत्त अनुकूलन, एक वृत्त चाप का वर्णन करने वाले बिंदु, केंद्र (1, 1), त्रिज्या 4.]]
+[[File:Wp ellfitting.png|thumb|दीर्घवृत्त अनुकूलन के विभिन्न मॉडल]]
+[[File:Regression elliptique distance algebrique donnees gander.svg|thumb|बीजीय दूरी को कम करने वाली दीर्घवृत्त अनुकूलन (Fitzgibbon विधि)।]]कूप<ref>{{cite journal|author=Coope, I.D.|title=रैखिक और अरेखीय कम से कम वर्गों द्वारा सर्कल फिटिंग|journal=Journal of Optimization Theory and Applications |volume =76|issue =2|year=1993|doi=10.1007/BF00939613|pages=381–388|hdl=10092/11104|hdl-access=free}}</ref> 2डी आँकड़े बिंदुओं के एक सेट के लिए सर्कल के सर्वोत्तम दृश्य अनुरूप को खोजने की कोशिश करने की समस्या का सामना करता है। विधि सामान्य रूप से गैर-रैखिक समस्या को एक रैखिक समस्या में बदल देती है जिसे पुनरावृत्त संख्यात्मक विधियों का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है, और इसलिए पिछली तकनीकों की तुलना में बहुत तेज़ है।
+=== ज्यामितीय अनुरूप द्वारा एक दीर्घवृत्त को अनुरूप करना===
+उपरोक्त तकनीक को गैर-रेखीय चरण जोड़कर सामान्य दीर्घवृत्त<ref>Paul Sheer, [http://wiredspace.wits.ac.za/bitstream/handle/10539/22434/Sheer%20Paul%201997.pdf?sequence=1&isAllowed=y A software assistant for manual stereo photometrology], M.Sc. thesis, 1997</ref> तक बढ़ा दिया गया है, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसी विधि है जो तेज है, फिर भी मनमाना अभिविन्यास और विस्थापन के नेत्रहीन मनभावन दीर्घवृत्त पाता है।
-=== ज्यामितीय फिट द्वारा एक वृत्त को फ़िट करना{{anchor|Circles}}===
+== अनुकूलन सतह ==
-[[File:Regression circulaire coope arc de cercle.svg|thumb|कूप विधि के साथ वृत्त फिटिंग, एक वृत्त चाप का वर्णन करने वाले बिंदु, केंद्र (1; 1), त्रिज्या 4.]]
+{{Further|सतहों का कंप्यूटर प्रतिनिधित्व}}
-[[File:Wp ellfitting.png|thumb|दीर्घवृत्त फिटिंग के विभिन्न मॉडल]]
+{{See also|बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप|समरेखण}}
-[[File:Regression elliptique distance algebrique donnees gander.svg|thumb|बीजीय दूरी को कम करने वाली दीर्घवृत्त फिटिंग (Fitzgibbon विधि)।]]सहकारी<ref>{{cite journal|author=Coope, I.D.|title=रैखिक और अरेखीय कम से कम वर्गों द्वारा सर्कल फिटिंग|journal=Journal of Optimization Theory and Applications |volume =76|issue =2|year=1993|doi=10.1007/BF00939613|pages=381–388|hdl=10092/11104|hdl-access=free}}</ref> 2डी डेटा बिंदुओं के एक सेट के लिए सर्कल का सबसे अच्छा दृश्य फिट खोजने की कोशिश करने की समस्या का सामना करता है। विधि सामान्य रूप से गैर-रैखिक समस्या को एक रैखिक समस्या में बदल देती है जिसे पुनरावृत्त संख्यात्मक विधियों का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है, और इसलिए पिछली तकनीकों की तुलना में बहुत तेज़ है।
-=== ज्यामितीय फिट द्वारा एक दीर्घवृत्त को फ़िट करना{{anchor|Ellipses}}===
+ध्यान दें कि जबकि यह चर्चा 2D वक्रों के संदर्भ में थी, इस तर्क का अधिकांश भाग 3D सतहों तक भी फैला हुआ है, जिनमें से प्रत्येक खंड को दो प्राचलिक दिशाओं में वक्रों के जाल द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे सामान्यतः u और v कहा जाता है। सतह प्रत्येक दिशा में एक या अधिक सतह खंड से बनी हो सकती है।
-उपरोक्त तकनीक सामान्य दीर्घवृत्त तक विस्तारित है<ref>Paul Sheer, [http://wiredspace.wits.ac.za/bitstream/handle/10539/22434/Sheer%20Paul%201997.pdf?sequence=1&isAllowed=y A software assistant for manual stereo photometrology], M.Sc. thesis, 1997</ref> एक गैर-रैखिक कदम जोड़कर, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसी विधि है जो तेज़ है, फिर भी मनमाना अभिविन्यास और विस्थापन के नेत्रहीन मनभावन दीर्घवृत्त पाता है।
-== फिटिंग सतह ==
-{{Further|Computer representation of surfaces}}
-{{See also|Multivariate interpolation|Smoothing}}
-ध्यान दें कि जबकि यह चर्चा 2D वक्रों के संदर्भ में थी, इस तर्क का अधिकांश भाग 3D सतहों तक भी फैला हुआ है, जिनमें से प्रत्येक पैच को दो पैरामीट्रिक दिशाओं में वक्रों के जाल द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आमतौर पर u और v कहा जाता है। एक सतह से बना हो सकता है प्रत्येक दिशा में एक या अधिक सतह पैच।
 == सॉफ्टवेयर ==
-सांख्यिकीय पैकेजों की कई सूची जैसे R (प्रोग्रामिंग भाषा) और संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ़्टवेयर की सूची जैसे कि [[ gnuplot ]], [[ जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय ]], [[ MLAB ]], मेपल (सॉफ़्टवेयर), [[ MATLAB ]], TK सॉल्वर 6.0, [[ साइलैब ]], [[ मेथेमेटिका ]], GNU ऑक्टेव, और [[ SciPy ]] विभिन्न परिदृश्यों में कर्व फिटिंग करने के लिए कमांड शामिल करें। वक्र फिटिंग करने के लिए विशेष रूप से लिखे गए कार्यक्रम भी हैं; उन्हें सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर की सूची और संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ़्टवेयर की सूची में पाया जा सकता है|संख्यात्मक-विश्लेषण कार्यक्रमों के साथ-साथ:श्रेणी:प्रतिगमन और वक्र फिटिंग सॉफ़्टवेयर।
+कई सांख्यिकीय संपुष्टि  जैसे कि R और संख्यात्मक सॉफ्टवेयर जैसे कि [[ gnuplot |ग्नुप्लॉट]], [[ जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय | जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय]], [[ MLAB | एमएलएबी]], मेपल (सॉफ़्टवेयर), [[ MATLAB | मैटलैब]] , टीके सॉल्वर 6.0, [[ साइलैब ]], [[ मेथेमेटिका |मेथेमेटिका]], जीएनयू ऑक्टेव, और [[ SciPy |साइपी]] में विभिन्न परिदृश्यों में वक्र अनुकूलन करने के लिए समादेश सम्मिलित हैं। वक्र अनुकूलन करने के लिए विशेष रूप से लिखे गए कार्यक्रम भी हैं, वे सांख्यिकीय और संख्यात्मक-विश्लेषण कार्यक्रमों की सूची के साथ-साथ श्रेणी: प्रतिगमन और वक्र अनुकूलन सॉफ़्टवेयर में पाए जा सकते हैं।
 ==यह भी देखें==
 * [[ कम से कम वर्ग समायोजन ]]
-*[[ वक्र-फिटिंग संघनन ]]
+*[[ वक्र-फिटिंग संघनन | वक्र-अनुकूलन संघनन]]
 * [[ अनुमान सिद्धांत ]]
-* फंक्शन सन्निकटन
+* फलन सन्निकटन
 * [[ स्वस्थ रहने के फायदे ]]
-*[[ आनुवंशिक प्रोग्रामिंग ]]
+*[[ आनुवंशिक प्रोग्रामिंग | आनुवंशिक क्रमदेशन]]
 * लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड एल्गोरिथम
-*[[ लाइन फिटिंग ]]
+*[[ लाइन फिटिंग | लाइन अनुकूलन]]
-* [[ मल्टी एक्सप्रेशन प्रोग्रामिंग ]]
+* [[ मल्टी एक्सप्रेशन प्रोग्रामिंग | मल्टी व्यंजक क्रमदेशन]]
 * [[ अरेखीय प्रतिगमन ]]
-*[[ ओवरफिटिंग ]]
+*[[ ओवरफिटिंग | अत्युपपन्न]]
-*प्लेन कर्व
+*समतल वक्र
-*[[ संभाव्यता वितरण फिटिंग ]]
+*[[ संभाव्यता वितरण फिटिंग | संभाव्यता वितरण अनुकूलन]]
-* [[ साइनसॉइडल मॉडल ]]
+* [[ साइनसॉइडल मॉडल |  ज्यावक्रीय मॉडल]]
-* चौरसाई
+* समकरण
-* तख़्ता (गणित) ([[ तख़्ता प्रक्षेप ]], [[ चौरसाई तख़्ता ]])
+* तख़्ता (गणित) ([[ तख़्ता प्रक्षेप ]], [[ चौरसाई तख़्ता | समकरण तख़्ता]] )
 * [[ समय श्रृंखला ]]
 *कुल न्यूनतम वर्ग
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-==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची==
-*समारोह (गणित)
-*डेटा अंक
-*समरेखण
-*सांख्यिकीय निष्कर्ष
-*रेंज (सांख्यिकी)
-*कुल न्यूनतम वर्ग
-*सामान्य कम चौकोर
-*संक्रमण का बिन्दु
-*तख़्ता (गणित)
-*कम से कम वर्गों
-*समरेख बिंदु
-*झटका (भौतिकी)
-*दोलन चक्र
-*वक्राकार लंबाई
-*सांख्यिकीय पैकेजों की सूची
-*संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की सूची
-*सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर की सूची
-*आर (प्रोग्रामिंग भाषा)
-*मेपल (सॉफ्टवेयर)
-*जीएनयू ऑक्टेव
-*समारोह सन्निकटन
 ==अग्रिम पठन==
 {{Commons category|Curve fitting}}
@@ Line 137: / Line 109: @@
 {{Authority control}}
-[[Category:वक्र फिटिंग| ]]
-[[Category: संख्यात्मक विश्लेषण]]
-[[Category: इंटरपोलेशन]]
-[[Category: प्रतिगमन विश्लेषण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:AC with 0 elements]]
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Contents

आँकड़े बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय अनुकूलन

आँकड़े बिंदुओं के लिए अनुकूलन रेखाएँ और बहुपद कार्य

अन्य कार्यों को आँकड़े बिंदुओं पर अनुरूपकरना

आँकड़े बिंदुओं के लिए विमान वक्र की ज्यामितीय अनुकूलन

ज्यामितीय अनुरूप द्वारा एक वृत्त को अनुरूप करना

ज्यामितीय अनुरूप द्वारा एक दीर्घवृत्त को अनुरूप करना

अनुकूलन सतह

सॉफ्टवेयर

यह भी देखें

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Latest revision as of 10:59, 22 November 2022

आँकड़े बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय अनुकूलन

आँकड़े बिंदुओं के लिए अनुकूलन रेखाएँ और बहुपद कार्य

अन्य कार्यों को आँकड़े बिंदुओं पर अनुरूपकरना

आँकड़े बिंदुओं के लिए विमान वक्र की ज्यामितीय अनुकूलन

ज्यामितीय अनुरूप द्वारा एक वृत्त को अनुरूप करना

ज्यामितीय अनुरूप द्वारा एक दीर्घवृत्त को अनुरूप करना

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