अगनेसी की विच: Difference between revisions

Latest revision as of 11:48, 14 September 2023

एग्नेसी वक्र(हरा) के चयनित विच, और त्रिज्या मापदंडों के साथ वे(नीले) से निर्मित मंडलियां हैं

a=1

,

a=2

,

a=4

, तथा

a=8

.

गणित में अगनेसी की डायन (Italian pronunciation: [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi]: [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi])

एक वृत्त के दो बिल्कुल विपरीत बिंदुओं से परिभाषित एक घन समतल वक्र है। इसका नाम इतालवी गणितज्ञ मारिया गेटाना अगनेसी और एक शीट(नौकायन) के लिए एक इतालवी शब्द के गलत अनुवाद से हुआ है।^{[citation needed]} एग्नेसी से पहले, इस वक्र का अध्ययन पियरे डी प्रारूप, लुइगी गुइडो ग्रैंडी और आइजैक न्यूटन ने किया था।

चापस्पर्शी फलन के व्युत्पन्न के फलन का ग्राफ़ अग्नेसी की डायन के लिए एक उदाहरण है। कॉची वितरण के संभाव्यता घनत्व फलन के रूप में, एग्नेसी की डायन में संभाव्यता सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं। यह बहुपदों द्वारा फलन के सन्निकटन में रूंज की परिघटना को भी जन्म देता है,

वर्णक्रमीय रेखाओं के ऊर्जा वितरण और पहाड़ियों के आकार के मॉडल का अनुमान लगाने के लिए इसका उपयोग किया गया है।

डायन दो परिभाषित बिंदुओं में से एक पर अपने परिभाषित वृत्त के लिए स्पर्शरेखा है, और दूसरे बिंदु पर इसके समूहों के लिए प्राप्त मान के लिए स्पर्शरेखा रेखाओं के लिए स्पर्शोन्मुख होते है। इसके परिभाषित वक्र के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर इसका एक अनूठा शीर्ष(वक्र) (इसकी अधिकतम वक्रता का एक बिंदु) है, जो उस बिंदु पर इसका दोलन वक्र भी देता है। इसके दो परिमित विभक्ति बिंदु और एक अनंत विभक्ति बिंदु भी हैं। डायन और उसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच का क्षेत्र परिभाषित वृत्त के क्षेत्रफल का चार गुना होता है, और इसकी परिभाषित रेखाओं के चारों ओर वक्र की क्रांति का आयतन इसके परिभाषित वृत्त के क्रांति के टोरस्र्स के आयतन का दोगुना होता है।

निर्माण

File:Witch of Agnesi, construction.svg

अगनेसी की डायन (वक्र एमपी) लेबल वाले बिंदुओं के साथ

Error creating thumbnail:

अगनेसी की डायन के निर्माण को दर्शाने वाला एक एनीमेशन

इस वक्र का निर्माण करने के लिए, इसके किन्हीं दो बिंदुओं O और M से प्रारम्भ करते हैं और OM को व्यास मानकर एक वृत्त बनाते हैं। इस प्रकार वृत्त पर किसी बिंदु A के लिए, मान लीजिए कि N छेदक रेखा OA और M पर स्पर्श रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

मान लीजिए कि P, A से होकर OM पर लम्बवत रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है, और N से होकर OM के समानांतर रेखा है। तब P अग्नेसी की डायन पर स्थित है। डायन में वे सभी बिंदु P होते हैं जिनका निर्माण O और M के एक ही विकल्प से किया जा सकता है।^[1] इसमें एक सीमित की स्थिति के रूप में, बिंदु एम भी सम्मलित हैं।

समीकरण

मान लीजिए कि बिंदु O उत्पत्ति पर है और बिंदु M धनात्मक पर स्थित है $y$ -अक्ष है, और व्यास OM वाले वृत्त का है

फिर O से निर्मित डायन और M कार्तीय समीकरण है^[2]^[3]

y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}.

इस समीकरण

a={\tfrac {1}{2}}

, के रूप को को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है

y={\frac {1}{x^{2}+1}}.

या समतुल्य रूप से, समाशोधन हर द्वारा, घन बीजगणितीय समीकरण के रूप में

(x^{2}+1)y=1.

अपने सरलीकृत रूप में, यह वक्र आर्कटैंजेंट फलन के व्युत्पन्न के फलन का ग्राफ़ है।^[4] अगनेसी के डायन को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है जिसका पैरामीटर

θ

OM और OA के बीच का कोण है, जिसे दक्षिणावर्त मापा जाता है:^[2]^[3]

{\begin{aligned}x&=2a\tan \theta ,\\y&=2a\cos ^{2}\theta .\end{aligned}}

गुण

इस वक्र के मुख्य गुणों को समाकलन कलन से प्राप्त किया जा सकता है।

डायन और उसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच का क्षेत्र निश्चित वृत्त के क्षेत्रफल $4\pi a^{2}$ .^[2]^[3]^[5] का चार गुना है,

अपने स्पर्शोन्मुख के बारे में अगनेसी की डायन की क्रांति का आयतन $4\pi ^{2}a^{3}$ .^[2] हैं यह एक ही रेखा के चारों ओर डायन के परिभाषित चक्र को घुमाने से बनने वाले टोरस के आयतन का दो गुना है।^[5]

वक्र में अपने परिभाषित चक्र के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर एक अद्वितीय अक्ष होते हैं। यही है, यह बिंदु एकमात्र ऐसा बिंदु है जहां वक्रता स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम तक पहुंचती है।^[6] डायन का परिभाषित चक्र भी शीर्ष पर उसका दोलन चक्र है,^[7] अद्वितीय वृत्त जो समान अभिविन्यास और वक्रता साझा करके उस बिंदु पर वक्र को स्पर्श करता है।^[8] चूँकि यह वक्र के शीर्ष पर एक दोलनशील वृत्त है, इसमें वक्र के साथ संपर्क (गणित) यहाँ पर तीसरा-क्रम संपर्क है।^[9] बिंदुओं पर वक्र के दो विभक्ति बिंदु होते हैं

\left(\pm {\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)

इसके अनुरूप angles

\theta =\pm \pi /6

.^[2]^[3] जब प्रक्षेपी तल में एक वक्र के रूप में माना जाता है, तो उस बिंदु पर एक तीसरा अनंत विभक्ति बिंदु भी होता है, जहां अनन्तता पर रेखा स्पर्शोन्मुख रेखा से पार हो जाती है। क्योंकि इसका एक विभक्ति बिंदु अनंत है, डायन के पास किसी भी गैर-एकैकी घन के परिमित वास्तविक विभक्ति बिंदुओं की न्यूनतम संभव संख्या है।

एक आयत का सबसे बड़ा क्षेत्र $4a^{2}$ , हैं जिसे डायन और उसके स्पर्शोन्मुख के बीच अंकित किया जा सकता है एक आयत के लिए जिसकी ऊँचाई परिभाषित वृत्त की त्रिज्या है और जिसकी चौड़ाई वृत्त के व्यास से दोगुनी है।

इतिहास

प्रारंभिक अध्ययन

Error creating thumbnail:

अगनेसी का 1748 वक्र और उसके निर्माण का चित्रण^[10]

वक्र का अध्ययन पियरे डी फ़र्मेट ने अपने 1659 के ग्रंथ चतुर्भुज(गणित) में किया था। इसमें, प्रारूप वक्र के नीचे क्षेत्र की गणना करता है और(विवरण के बिना) दावा करता है कि विधि डायोक्लेस के सिसॉइड तक भी फैली हुई है। फ़र्मेट लिखते हैं कि वक्र का सुझाव उन्हें एरुडिटो जियोमेट्रा [एक विद्वान जियोमीटर] द्वारा दिया गया था।^[11] पैराडिस, प्ला & वियाडिर (2008) की कल्पना करें कि जिस जियोमीटर ने फ़र्मेट को इस वक्र का सुझाव दिया था, वह एंटोनी डी लालौबेयर हो सकता है।^[12]

इस वक्र के लिए ऊपर दिए गए निर्माण द्वारा पाया गया था Grandi (1718); इसी निर्माण को आइजैक न्यूटन ने पहले भी पाया था, लेकिन बाद में 1779 में केवल मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था।^[13]

Grandi (1718) वक्र के लिए वर्सिएरा (इतालवी में) या वर्सोरिया (लैटिन में) नाम का भी सुझाव दिया।^[14] लैटिन शब्द का प्रयोग शीट (नौकायन) के लिए भी किया जाता है, रस्सी जो पाल को परिवर्तित कर देती है, लेकिन ग्रैंडी ने इसके निर्माण में प्रकट होने वाले उसका संस्करण फलन को संदर्भित करने के अतिरिक्त केवल इसका आशय किया हो सकता है।

1748 में, मारिया गेटाना एग्नेसी ने इस फलन पर एक प्रारंभिक पाठ्यपुस्तक इंस्टीट्यूट एनालिटिश एड यूसो डेला जोवेंटु इटालियाना प्रकाशित की।^[10]

इसमें, पहले दो अन्य वक्रों पर विचार करने के बाद, वह इस वक्र का अध्ययन सम्मिलित करती है। वह वक्र को ज्यामितीय रूप से एक निश्चित अनुपात को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित करती है, इसके बीजगणितीय समीकरण को निर्धारित करती है, और इसके शीर्ष, स्पर्शोन्मुख रेखा और विभक्ति बिंदुओं को खोजती है।^[15]

व्युत्पत्ति

मारिया गेटाना एग्नेसी ने ग्रैंडी, वर्सिएरा के अनुसार वक्र का नाम दिया।^[16]^[15] संयोग से, उस समय इटली में शैतान, ईश्वर के विरोधी के बारे में बात करना एक सरल बात थी, लैटिन एडवर्सेरियस से व्युत्पन्न एवर्सिएरो या वर्सिएरो जैसे अन्य शब्दों के माध्यम से। वर्सिएरा, विशेष रूप से, शैतान, या डायन की पत्नी को इंगित करने के लिए उपयोग किया गया था।^[17] इस कारण कैम्ब्रिज के प्रोफेसर जॉन कोलसन ने वक्र के नाम को डायन के रूप में गलत अनुवाद कर दिया।^[18] अगनेसी और वक्र के बारे में अलग-अलग आधुनिक कार्य थोड़े अलग अनुमानों का सुझाव देते हैं कि वास्तव में यह गलत अनुवाद कैसे हुआ।^[19]^[20] डर्क-जन स्ट्रुइक ने उल्लेख किया है कि:^[15]

वर्सिएरा शब्द लैटिन वर्टेरे से लिया गया है, जिसका अर्थ टर्न है, लेकिन यह इटालियन एवर्सिएरा, फीमेल डेविल का संक्षिप्त नाम भी है। इंग्लैंड में कुछ बुद्धिजीवियों ने एक बार इसका अनुवाद 'विच' कर दिया था, और मूर्खतापूर्ण वाक्य अभी भी अंग्रेजी भाषा की हमारी अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में प्रेमपूर्वक संरक्षित है। ... वक्र पहले से ही फर्मेट ('ओउवेरेस, I, 279-280; III, 233-234) और अन्य के लेखन में प्रकट हो चुका था; वर्सिएरा नाम गुइडो ग्रांडी ('क्वाड्रैटुरा सर्कुली एट हाइपरबोले', पीसा, 1703) से है। वक्र न्यूटन के वर्गीकरण में टाइप 63 है। ... इस अर्थ में 'विच' शब्द का प्रयोग करने वाले पहले व्यक्ति बी विलियमसन, इंटीग्रल कैलकुलस, 7 (1875), 173;^[21] देखें ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी '।

दूसरी ओर, स्टीफन स्टिगलर का सुझाव है कि ग्रैंडी खुद शब्दों पर एक नाटक में लिप्त हो सकते हैं, शैतान को छंद से जोड़ने वाला एक दोहरा वाक्य और महिला के वक्ष के आकार के लिए साइन फलन(दोनों को सेनो के रूप में लिखा जा सकता है)।^[13]

अनुप्रयोग

वक्र का एक छोटा संस्करण कॉची बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन है। यह यादृच्छिक चर पर संभाव्यता वितरण है $x$ निम्नलिखित प्रयोग (संभाव्यता सिद्धांत) द्वारा निर्धारित: एक निश्चित बिंदु के लिए $p$ इसके ऊपर $x$ -अक्ष यादृच्छिक रूप से एक पंक्ति में समान रूप से $p$ ,के माध्यम से चुनें और $x$ उस बिंदु का निर्देशांक हो जहां यह यादृच्छिक रेखा अक्ष को काटती है। कॉची वितरण में एक सीमा का वितरण होता है जो सामान्य वितरण जैसा दिखता है, लेकिन इसकी भारी-पूंछ वितरण इसकी समरूपता के अतिरिक्त सामान्य परिभाषाओं द्वारा अपेक्षित मूल्य होने से रोकता है। डायन के संदर्भ में, इसका मतलब है कि $x$ -अक्ष इस क्षेत्र की समरूपता और परिमित क्षेत्र के अतिरिक्त, वक्र और इसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच के क्षेत्र का केन्द्रक अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।^[13]^[22]

संख्यात्मक विश्लेषण में, जब समान दूरी वाले प्रक्षेप बिंदुओं के साथ बहुपद प्रक्षेप का उपयोग करते हुए इनके फलन का अनुमान लगाया जाता है, तो यह कुछ फलनों के लिए इस स्थिति में हो सकता है कि अधिक बिंदुओं का उपयोग करने से सन्निकटन बन जाता है, जिससे कि प्रक्षेप उस कार्य से अलग हो जाता है जो इसे अभिसरण करने के अतिरिक्त अनुमानित करने का प्रयास करता है। इस विरोधाभासी व्यवहार को रूंज की घटना कहा जाता है। यह पहली बार कार्ल डेविड टोल्मे रनगे द्वारा रनगे के फलन $y=1/(1+25x^{2})$ , के लिए खोजा गया था एग्नेसी की डायन का एक और छोटा संस्करण, जब इस फलन को $[-1,1]$ सीमा के लिए प्रक्षेपित करता है तथा डायन के लिए $y=1/(1+x^{2})$ पर खुद को व्यापक पर interval $[-5,5]$ .^[23] भी यही घटना होती है।

एग्नेसी की डायन वर्णक्रमीय रेखाओं, विशेष रूप से एक्स-रे रेखाओं के वर्णक्रमीय ऊर्जा वितरण का अनुमान लगाती है।^[24]

एक चिकनी पहाड़ी के क्रॉस-सेक्शन में डायन के समान आकार होता है।^[25] गणितीय मॉडलिंग में प्रवाह में इस आकार के वक्रों को सामान्य स्थलाकृतिक बाधा के रूप में उपयोग किया गया है।^[26]^[27]

गहरे पानी में सॉलिटॉन्स भी यह आकार ले सकते हैं।^[28]^[29]

इस वक्र के एक संस्करण का उपयोग गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा $π$ के लिए लीबनिज सूत्र को व्युत्पन्न करने के लिए किया गया था। यह सूत्र, अनंत श्रृंखला

{\frac {\pi }{4}}=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots ,

के अभिन्न के साथ वक्र के नीचे के क्षेत्र की बराबरी करके फंक्शन

1/(1+x^{2})

, प्राप्त किया जा सकता है।

अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में इस फलन के टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करना $1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots$ , और टर्म-बाय-टर्म को एकीकृत करना।^[3]

↑ Eagles, Thomas Henry (1885), "The Witch of Agnesi", Constructive Geometry of Plane Curves: With Numerous Examples, Macmillan and Company, pp. 313–314
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 Lawrence, J. Dennis (2013), "4.3 Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748)", A Catalog of Special Plane Curves, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, pp. 90–93, ISBN 9780486167664
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 Yates, Robert C. (1954), "Witch of Agnesi", Curves and their Properties (PDF), Classics in Mathematics Education, vol. 4, National Council of Teachers of Mathematics, pp. 237–238
↑ Cohen, David W.; Henle, James M. (2005), Calculus: The Language of Change, Jones & Bartlett Learning, p. 351, ISBN 9780763729479
↑ ^5.0 ^5.1 Larsen, Harold D. (January 1946), "The Witch of Agnesi", School Science and Mathematics, 46 (1): 57–62, doi:10.1111/j.1949-8594.1946.tb04418.x
↑ Gibson, C. G. (2001), Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, Exercise 9.1.9, p. 131, doi:10.1017/CBO9781139173377, ISBN 0-521-80453-1, MR 1855907
↑ Haftendorn, Dörte (2017), "4.1 Versiera, die Hexenkurve", Kurven erkunden und verstehen (in Deutsch), Springer, pp. 79–91, doi:10.1007/978-3-658-14749-5, ISBN 978-3-658-14748-8. For the osculating circle, see in particular p. 81: "Der erzeugende Kreis ist der Krümmungskreis der weiten Versiera in ihrem Scheitel."
↑ Lipsman, Ronald L.; Rosenberg, Jonathan M. (2017), Multivariable Calculus with MATLAB®: With Applications to Geometry and Physics, Springer, p. 42, ISBN 9783319650708, The circle "kisses" the curve accurately to second order, thus is given the name osculating circle (from the Latin word for "kissing").
↑ Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge (2007), Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, p. 142, doi:10.1090/mbk/046, ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979
↑ ^10.0 ^10.1 Agnesi, Maria Gaetana (1748), Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana See in particular Problem 3, pp. 380–382, and Fig. 135.
↑ de Fermat, Pierre (1891), Oevres (in Latina), vol. 1, Gauthier-Villars et fils, pp. 280–285
↑ Paradís, Jaume; Pla, Josep; Viader, Pelegrí (2008), "Fermat's method of quadrature", Revue d'Histoire des Mathématiques, 14 (1): 5–51, MR 2493381
↑ ^13.0 ^13.1 ^13.2 Stigler, Stephen M. (August 1974), "Studies in the History of Probability and Statistics. XXXIII. Cauchy and the Witch of Agnesi: An Historical Note on the Cauchy Distribution", Biometrika, 61 (2): 375–380, doi:10.1093/biomet/61.2.375, JSTOR 2334368, MR 0370838
↑ In his notes to Galileo's "Trattato del moto naturalmente accelerato," Grandi had referred to "quella curva che io descrivo nel mio libro delle quadrature [1703], alla prop. IV, nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi Versiera, in latino però Versoria." See Galilei, Opere, 3: 393. One finds the new term in Lorenzo Lorenzini, Exercitatio geometrica, xxxi: "sit pro exemplo curva illa, quam Doctissimus magnusque geometra Guido Grandus versoria nominat."
↑ ^15.0 ^15.1 ^15.2 A translation of Agnesi's work on this curve can be found in: Struik, Dirk J. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200–1800, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, pp. 178–180
↑ Truesdell, C. (1991), "Correction and Additions for "Maria Gaetana Agnesi"", Archive for History of Exact Sciences, 43 (4): 385–386, doi:10.1007/BF00374764, […] nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi la Versiera in latino però Versoria […]
↑ Pietro Fanfani, Vocabolario dell'uso toscano, p. 334
↑ Mulcrone, T. F. (1957), "The names of the curve of Agnesi", American Mathematical Monthly, 64 (5): 359–361, doi:10.2307/2309605, JSTOR 2309605, MR 0085163
↑ Singh, Simon (1997), Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem, New York: Walker and Company, p. 100, ISBN 0-8027-1331-9, MR 1491363
↑ Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, p. 8, ISBN 0-471-27047-4, MR 2078978
↑ Oxford English Dictionary, Oxford University Press, 2018, witch, n.2, 4(e), retrieved 3 July 2018, 1875 B. Williamson Elem. Treat. Integral Calculus vii. 173 Find the area between the witch of Agnesi $xy^{2}=4a^{2}(2a-x)$ and its asymptote.
↑ Alexander, J. McKenzie (2012), "Decision theory meets the Witch of Agnesi", Journal of Philosophy, 109 (12): 712–727, doi:10.5840/jphil20121091233
↑ Cupillari, Antonella; DeThomas, Elizabeth (Spring 2007), "Unmasking the witchy behavior of the Runge function", Mathematics and Computer Education, 41 (2): 143–156, ProQuest 235858817
↑ Spencer, Roy C. (September 1940), "Properties of the Witch of Agnesi—Application to Fitting the Shapes of Spectral Lines", Journal of the Optical Society of America, 30 (9): 415, Bibcode:1940JOSA...30..415S, doi:10.1364/josa.30.000415
↑ Coppin, P. A.; Bradley, E. F.; Finnigan, J. J. (April 1994), "Measurements of flow over an elongated ridge and its thermal stability dependence: The mean field", Boundary-Layer Meteorology, 69 (1–2): 173–199, Bibcode:1994BoLMe..69..173C, doi:10.1007/bf00713302, A useful general form for the hill shape is the so-called 'Witch of Agnesi' profile
↑ Snyder, William H.; Thompson, Roger S.; Eskridge, Robert E.; Lawson, Robert E.; Castro, Ian P.; Lee, J. T.; Hunt, Julian C. R.; Ogawa, Yasushi (March 1985), "The structure of strongly stratified flow over hills: dividing-streamline concept", Journal of Fluid Mechanics, 152 (–1): 249, Bibcode:1985JFM...152..249S, doi:10.1017/s0022112085000684
↑ Lamb, Kevin G. (February 1994), "Numerical simulations of stratified inviscid flow over a smooth obstacle" (PDF), Journal of Fluid Mechanics, 260 (–1): 1, Bibcode:1994JFM...260....1L, doi:10.1017/s0022112094003411, archived from the original (PDF) on 6 January 2014
↑ Benjamin, T. Brooke (September 1967), "Internal waves of permanent form in fluids of great depth", Journal of Fluid Mechanics, 29 (3): 559, Bibcode:1967JFM....29..559B, doi:10.1017/s002211206700103x
↑ Noonan, Julie A.; Smith, Roger K. (September 1985), "Linear and weakly nonlinear internal wave theories applied to 'morning glory' waves", Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics, 33 (1–4): 123–143, Bibcode:1985GApFD..33..123N, doi:10.1080/03091928508245426
↑ Phillips, Dave (12 September 2006), "Local teacher, author figures math into books", The Gazette
↑ Radius – Witch Of Agnesi (Plutonium Records, 2002), Discogs, retrieved 28 May 2018

Cite error: <ref> tag with name "arnold" defined in <references> is not used in prior text.

Cite error: <ref> tag with name "grandi" defined in <references> is not used in prior text.

बाहरी संबंध

"Witch of Agnesi" at MacTutor's Famous Curves Index
Weisstein, Eric W., "Witch of Agnesi", MathWorld
Witch of Agnesi by Chris Boucher based on work by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project.
"Witch of Agnesi" at "mathcurve"
Lamb, Evelyn (28 May 2018), "A Few of My Favorite Spaces: The Witch of Agnesi", Roots of Unity, Scientific American

[eagles-1] Eagles, Thomas Henry (1885), "The Witch of Agnesi", Constructive Geometry of Plane Curves: With Numerous Examples, Macmillan and Company, pp. 313–314

[lawrence-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 Lawrence, J. Dennis (2013), "4.3 Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748)", A Catalog of Special Plane Curves, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, pp. 90–93, ISBN 9780486167664

[yates-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 Yates, Robert C. (1954), "Witch of Agnesi", Curves and their Properties (PDF), Classics in Mathematics Education, vol. 4, National Council of Teachers of Mathematics, pp. 237–238

[calc-4] Cohen, David W.; Henle, James M. (2005), Calculus: The Language of Change, Jones & Bartlett Learning, p. 351, ISBN 9780763729479

[larsen-5] 5.0 ^5.1 Larsen, Harold D. (January 1946), "The Witch of Agnesi", School Science and Mathematics, 46 (1): 57–62, doi:10.1111/j.1949-8594.1946.tb04418.x

[egdc-6] Gibson, C. G. (2001), Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, Exercise 9.1.9, p. 131, doi:10.1017/CBO9781139173377, ISBN 0-521-80453-1, MR 1855907

[haftendorn-7] Haftendorn, Dörte (2017), "4.1 Versiera, die Hexenkurve", Kurven erkunden und verstehen (in Deutsch), Springer, pp. 79–91, doi:10.1007/978-3-658-14749-5, ISBN 978-3-658-14748-8. For the osculating circle, see in particular p. 81: "Der erzeugende Kreis ist der Krümmungskreis der weiten Versiera in ihrem Scheitel."

[kiss-8] Lipsman, Ronald L.; Rosenberg, Jonathan M. (2017), Multivariable Calculus with MATLAB®: With Applications to Geometry and Physics, Springer, p. 42, ISBN 9783319650708, The circle "kisses" the curve accurately to second order, thus is given the name osculating circle (from the Latin word for "kissing").

[omnibus-9] Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge (2007), Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, p. 142, doi:10.1090/mbk/046, ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979

[agnesi-10] 10.0 ^10.1 Agnesi, Maria Gaetana (1748), Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana See in particular Problem 3, pp. 380–382, and Fig. 135.

[fermat-11] Fermat, Pierre (1891), Oevres (in Latina), vol. 1, Gauthier-Villars et fils, pp. 280–285

[fmq-12] Paradís, Jaume; Pla, Josep; Viader, Pelegrí (2008), "Fermat's method of quadrature", Revue d'Histoire des Mathématiques, 14 (1): 5–51, MR 2493381

[stigler-13] 13.0 ^13.1 ^13.2 Stigler, Stephen M. (August 1974), "Studies in the History of Probability and Statistics. XXXIII. Cauchy and the Witch of Agnesi: An Historical Note on the Cauchy Distribution", Biometrika, 61 (2): 375–380, doi:10.1093/biomet/61.2.375, JSTOR 2334368, MR 0370838

[14] In his notes to Galileo's "Trattato del moto naturalmente accelerato," Grandi had referred to "quella curva che io descrivo nel mio libro delle quadrature [1703], alla prop. IV, nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi Versiera, in latino però Versoria." See Galilei, Opere, 3: 393. One finds the new term in Lorenzo Lorenzini, Exercitatio geometrica, xxxi: "sit pro exemplo curva illa, quam Doctissimus magnusque geometra Guido Grandus versoria nominat."

[struik-15] 15.0 ^15.1 ^15.2 A translation of Agnesi's work on this curve can be found in: Struik, Dirk J. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200–1800, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, pp. 178–180

[truesdell-16] Truesdell, C. (1991), "Correction and Additions for "Maria Gaetana Agnesi"", Archive for History of Exact Sciences, 43 (4): 385–386, doi:10.1007/BF00374764, […] nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi la Versiera in latino però Versoria […]

[fanfani-17] Pietro Fanfani, Vocabolario dell'uso toscano, p. 334

[mulcrone-18] Mulcrone, T. F. (1957), "The names of the curve of Agnesi", American Mathematical Monthly, 64 (5): 359–361, doi:10.2307/2309605, JSTOR 2309605, MR 0085163

[singh-19] Singh, Simon (1997), Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem, New York: Walker and Company, p. 100, ISBN 0-8027-1331-9, MR 1491363

[darling-20] Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, p. 8, ISBN 0-471-27047-4, MR 2078978

[oed-21] Oxford English Dictionary, Oxford University Press, 2018, witch, n.2, 4(e), retrieved 3 July 2018, 1875 B. Williamson Elem. Treat. Integral Calculus vii. 173 Find the area between the witch of Agnesi $xy^{2}=4a^{2}(2a-x)$ and its asymptote.

[alexander-22] Alexander, J. McKenzie (2012), "Decision theory meets the Witch of Agnesi", Journal of Philosophy, 109 (12): 712–727, doi:10.5840/jphil20121091233

[runge-23] Cupillari, Antonella; DeThomas, Elizabeth (Spring 2007), "Unmasking the witchy behavior of the Runge function", Mathematics and Computer Education, 41 (2): 143–156, ProQuest 235858817

[spencer-24] Spencer, Roy C. (September 1940), "Properties of the Witch of Agnesi—Application to Fitting the Shapes of Spectral Lines", Journal of the Optical Society of America, 30 (9): 415, Bibcode:1940JOSA...30..415S, doi:10.1364/josa.30.000415

[coppin-25] Coppin, P. A.; Bradley, E. F.; Finnigan, J. J. (April 1994), "Measurements of flow over an elongated ridge and its thermal stability dependence: The mean field", Boundary-Layer Meteorology, 69 (1–2): 173–199, Bibcode:1994BoLMe..69..173C, doi:10.1007/bf00713302, A useful general form for the hill shape is the so-called 'Witch of Agnesi' profile

[snyder-26] Snyder, William H.; Thompson, Roger S.; Eskridge, Robert E.; Lawson, Robert E.; Castro, Ian P.; Lee, J. T.; Hunt, Julian C. R.; Ogawa, Yasushi (March 1985), "The structure of strongly stratified flow over hills: dividing-streamline concept", Journal of Fluid Mechanics, 152 (–1): 249, Bibcode:1985JFM...152..249S, doi:10.1017/s0022112085000684

[lamb-27] Lamb, Kevin G. (February 1994), "Numerical simulations of stratified inviscid flow over a smooth obstacle" (PDF), Journal of Fluid Mechanics, 260 (–1): 1, Bibcode:1994JFM...260....1L, doi:10.1017/s0022112094003411, archived from the original (PDF) on 6 January 2014

[benjamin-28] Benjamin, T. Brooke (September 1967), "Internal waves of permanent form in fluids of great depth", Journal of Fluid Mechanics, 29 (3): 559, Bibcode:1967JFM....29..559B, doi:10.1017/s002211206700103x

[noonan-29] Noonan, Julie A.; Smith, Roger K. (September 1985), "Linear and weakly nonlinear internal wave theories applied to 'morning glory' waves", Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics, 33 (1–4): 123–143, Bibcode:1985GApFD..33..123N, doi:10.1080/03091928508245426

[gazette-30] Phillips, Dave (12 September 2006), "Local teacher, author figures math into books", The Gazette

[discogs-31] Radius – Witch Of Agnesi (Plutonium Records, 2002), Discogs, retrieved 28 May 2018

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Cubic plane curve}}
-[[File:Witch of Agnesi curves.svg|thumb|upright=1.3|right|एग्नेसी कर्व्स (हरा) के चयनित विच, और त्रिज्या मापदंडों के साथ वे (नीले) से निर्मित मंडलियां हैं <math>a=1</math>, <math>a=2</math>, <math>a=4</math>, तथा <math>a=8</math>.]]गणित में अगनेसी की डायन ({{IPA-it|aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi}}: [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi])
+[[File:Witch of Agnesi curves.svg|thumb|upright=1.3|right|एग्नेसी वक्र(हरा) के चयनित विच, और त्रिज्या मापदंडों के साथ वे(नीले) से निर्मित मंडलियां हैं <math>a=1</math>, <math>a=2</math>, <math>a=4</math>, तथा <math>a=8</math>.]]गणित में अगनेसी की डायन ({{IPA-it|aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi}}: [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi])
-एक वृत्त के दो बिल्कुल विपरीत बिंदुओं से परिभाषित एक [[घन समतल वक्र]] है। इसका नाम इतालवी गणितज्ञ [[मारिया गेटाना अगनेसी]] और एक [[शीट (नौकायन)]] के लिए एक इतालवी शब्द के गलत अनुवाद से हुआ है।{{citation needed|date=November 2022}} एग्नेसी से पहले, इस वक्र का अध्ययन [[पियरे डी फर्मेट]], [[लुइगी गुइडो ग्रैंडी]] और [[आइजैक न्यूटन]] ने किया था।
+एक वृत्त के दो बिल्कुल विपरीत बिंदुओं से परिभाषित एक [[घन समतल वक्र]] है। इसका नाम इतालवी गणितज्ञ [[मारिया गेटाना अगनेसी]] और एक [[शीट (नौकायन)|शीट(नौकायन)]] के लिए एक इतालवी शब्द के गलत अनुवाद से हुआ है।{{citation needed|date=November 2022}} एग्नेसी से पहले, इस वक्र का अध्ययन [[पियरे डी फर्मेट|पियरे डी प्रारूप]], [[लुइगी गुइडो ग्रैंडी]] और [[आइजैक न्यूटन]] ने किया था।
-चापस्पर्शी फलन के व्युत्पन्न के फलन का ग्राफ़ अग्नेसी की डायन के लिए एक उदाहरण है। [[कॉची वितरण]] के संभाव्यता घनत्व फंक्शन के रूप में, एग्नेसी की डायन में संभाव्यता सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं। यह बहुपदों द्वारा फंक्शन के सन्निकटन में रूंज की परिघटना को भी जन्म देता है,
+चापस्पर्शी फलन के व्युत्पन्न के फलन का ग्राफ़ अग्नेसी की डायन के लिए एक उदाहरण है। [[कॉची वितरण]] के संभाव्यता घनत्व फलन के रूप में, एग्नेसी की डायन में संभाव्यता सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं। यह बहुपदों द्वारा फलन के सन्निकटन में रूंज की परिघटना को भी जन्म देता है,
 [[वर्णक्रमीय रेखा|वर्णक्रमीय रेखाओं]] के ऊर्जा वितरण और पहाड़ियों के आकार के मॉडल का अनुमान लगाने के लिए इसका उपयोग किया गया है।
-डायन दो परिभाषित बिंदुओं में से एक पर अपने परिभाषित वृत्त के लिए [[स्पर्शरेखा]] है, और दूसरे बिंदु पर इसके समूहों के लिए प्राप्त मान के लिए स्पर्शरेखा रेखाओं के लिए स्पर्शोन्मुख होते है। इसके परिभाषित वक्र के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर इसका एक अनूठा शीर्ष (वक्र) (इसकी अधिकतम वक्रता का एक बिंदु) है, जो उस बिंदु पर इसका दोलन वक्र भी देता है। इसके दो परिमित विभक्ति बिंदु और एक अनंत विभक्ति बिंदु भी हैं। डायन और उसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच का क्षेत्र परिभाषित वृत्त के क्षेत्रफल का चार गुना होता है, और इसकी परिभाषित रेखाओं के चारों ओर वक्र की क्रांति का आयतन इसके परिभाषित वृत्त के क्रांति के [[टोरस्र्स]] के आयतन का दोगुना होता है।
+डायन दो परिभाषित बिंदुओं में से एक पर अपने परिभाषित वृत्त के लिए [[स्पर्शरेखा]] है, और दूसरे बिंदु पर इसके समूहों के लिए प्राप्त मान के लिए स्पर्शरेखा रेखाओं के लिए स्पर्शोन्मुख होते है। इसके परिभाषित वक्र के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर इसका एक अनूठा शीर्ष(वक्र) (इसकी अधिकतम वक्रता का एक बिंदु) है, जो उस बिंदु पर इसका दोलन वक्र भी देता है। इसके दो परिमित विभक्ति बिंदु और एक अनंत विभक्ति बिंदु भी हैं। डायन और उसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच का क्षेत्र परिभाषित वृत्त के क्षेत्रफल का चार गुना होता है, और इसकी परिभाषित रेखाओं के चारों ओर वक्र की क्रांति का आयतन इसके परिभाषित वृत्त के क्रांति के [[टोरस्र्स]] के आयतन का दोगुना होता है।
 == निर्माण ==
 [[File:Witch of Agnesi, construction.svg|thumb|upright=1.3|right|अगनेसी की डायन (वक्र एमपी) लेबल वाले बिंदुओं के साथ]]
-[[Image:Agnesi.gif|thumb|right|अगनेसी की डायन के निर्माण को दर्शाने वाला एक एनीमेशन]]इस वक्र का निर्माण करने के लिए, इसके किन्हीं दो बिंदुओं O और M से शुरू करते हैं और OM को व्यास मानकर एक वृत्त बनाते हैं। इस प्रकार वृत्त पर किसी बिंदु A के लिए, मान लीजिए कि N छेदक रेखा OA और M पर स्पर्श रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
+[[Image:Agnesi.gif|thumb|right|अगनेसी की डायन के निर्माण को दर्शाने वाला एक एनीमेशन]]इस वक्र का निर्माण करने के लिए, इसके किन्हीं दो बिंदुओं O और M से प्रारम्भ करते हैं और OM को व्यास मानकर एक वृत्त बनाते हैं। इस प्रकार वृत्त पर किसी बिंदु A के लिए, मान लीजिए कि N छेदक रेखा OA और M पर स्पर्श रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
 मान लीजिए कि P, A से होकर OM पर लम्बवत रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है, और N से होकर OM के समानांतर रेखा है। तब P अग्नेसी की डायन पर स्थित है। डायन में वे सभी बिंदु P होते हैं जिनका निर्माण O और M के एक ही विकल्प से किया जा सकता है।{{r|eagles}} इसमें एक सीमित की स्थिति के रूप में, बिंदु एम भी सम्मलित हैं।
@@ Line 25: / Line 25: @@
 या समतुल्य रूप से, समाशोधन हर द्वारा, घन [[बीजगणितीय समीकरण]] के रूप में
 <math display=block>(x^2+1)y=1.</math>
-अपने सरलीकृत रूप में, यह वक्र आर्कटैंजेंट फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के फ़ंक्शन का ग्राफ़ है।{{r|calc}}
+अपने सरलीकृत रूप में, यह वक्र आर्कटैंजेंट फलन के व्युत्पन्न के फलन का ग्राफ़ है।{{r|calc}}
 अगनेसी के डायन को [[पैरामीट्रिक समीकरण|पैरामीट्रिक समीकरणों]] द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है जिसका पैरामीटर {{mvar|θ}} OM और OA के बीच का कोण है, जिसे दक्षिणावर्त मापा जाता है:{{r|lawrence|yates}}<math display="block">\begin{align}
 x &= 2a \tan \theta, \\
@@ Line 38: / Line 38: @@
 अपने स्पर्शोन्मुख के बारे में अगनेसी की डायन की क्रांति का आयतन {{nowrap|<math>4\pi^2a^3</math>.{{r|lawrence}} हैं}} यह एक ही रेखा के चारों ओर डायन के परिभाषित चक्र को घुमाने से बनने वाले टोरस के आयतन का दो गुना है।{{r|larsen}}
-वक्र में अपने परिभाषित चक्र के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर एक अद्वितीय अक्ष होते हैं। यही है, यह बिंदु एकमात्र ऐसा बिंदु है जहां [[वक्रता]] स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम तक पहुंचती है।{{r|egdc}} डायन का परिभाषित चक्र भी शीर्ष पर उसका दोलन चक्र है,{{r|haftendorn}} अद्वितीय वृत्त जो समान अभिविन्यास और वक्रता साझा करके उस बिंदु पर वक्र को चूमता है।{{r|kiss}} चूँकि यह वक्र के शीर्ष पर एक दोलनशील वृत्त है, इसमें वक्र के साथ [[संपर्क (गणित)]] यहाँ पर तीसरा-क्रम संपर्क है।{{r|omnibus}}
+वक्र में अपने परिभाषित चक्र के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर एक अद्वितीय अक्ष होते हैं। यही है, यह बिंदु एकमात्र ऐसा बिंदु है जहां [[वक्रता]] स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम तक पहुंचती है।{{r|egdc}} डायन का परिभाषित चक्र भी शीर्ष पर उसका दोलन चक्र है,{{r|haftendorn}} अद्वितीय वृत्त जो समान अभिविन्यास और वक्रता साझा करके उस बिंदु पर वक्र को स्पर्श करता है।{{r|kiss}} चूँकि यह वक्र के शीर्ष पर एक दोलनशील वृत्त है, इसमें वक्र के साथ [[संपर्क (गणित)]] यहाँ पर तीसरा-क्रम संपर्क है।{{r|omnibus}}
-बिंदुओं पर वक्र के दो विभक्ति बिंदु होते हैं<math display="block">\left( \pm\frac{2a}{\sqrt{3}}, \frac{3a}{2}\right)</math>इसके अनुरूप {{nowrap|angles <math>\theta=\pm\pi/6</math>.{{r|lawrence|yates}}}} जब प्रक्षेपी तल में एक वक्र के रूप में माना जाता है, तो उस बिंदु पर एक तीसरा अनंत विभक्ति बिंदु भी होता है, जहां अनन्तता पर रेखा स्पर्शोन्मुख रेखा से पार हो जाती है। क्योंकि इसका एक विभक्ति बिंदु अनंत है, डायन के पास किसी भी गैर-एकैकी घन के परिमित वास्तविक विभक्ति बिंदुओं की न्यूनतम संभव संख्या है। यहाँ {{nowrap|वलय.{{r|arnold}}}}
+बिंदुओं पर वक्र के दो विभक्ति बिंदु होते हैं<math display="block">\left( \pm\frac{2a}{\sqrt{3}}, \frac{3a}{2}\right)</math>इसके अनुरूप {{nowrap|angles <math>\theta=\pm\pi/6</math>.{{r|lawrence|yates}}}} जब प्रक्षेपी तल में एक वक्र के रूप में माना जाता है, तो उस बिंदु पर एक तीसरा अनंत विभक्ति बिंदु भी होता है, जहां अनन्तता पर रेखा स्पर्शोन्मुख रेखा से पार हो जाती है। क्योंकि इसका एक विभक्ति बिंदु अनंत है, डायन के पास किसी भी गैर-एकैकी घन के परिमित वास्तविक विभक्ति बिंदुओं की न्यूनतम संभव संख्या है।
-एक [[आयत]] का सबसे बड़ा क्षेत्र {{nowrap|<math>4a^2</math>,}} हैं जिसे डायन और उसके स्पर्शोन्मुख के बीच अंकित किया जा सकता है एक आयत के लिए जिसकी ऊँचाई परिभाषित वृत्त की त्रिज्या है और जिसकी चौड़ाई आयत के व्यास से दोगुनी है {{nowrap|circle.{{r|larsen}}}}
+एक [[आयत]] का सबसे बड़ा क्षेत्र {{nowrap|<math>4a^2</math>,}} हैं जिसे डायन और उसके स्पर्शोन्मुख के बीच अंकित किया जा सकता है एक आयत के लिए जिसकी ऊँचाई परिभाषित वृत्त की त्रिज्या है और जिसकी चौड़ाई वृत्त के व्यास से दोगुनी है।
 == इतिहास ==
 ===प्रारंभिक अध्ययन===
-[[File:Witch of Agnesi (Agnesi, 1748).jpg|thumb|अगनेसी का 1748 वक्र और उसके निर्माण का चित्रण{{r|agnesi}}]]वक्र का अध्ययन पियरे डी फ़र्मेट ने अपने 1659 के ग्रंथ [[चतुर्भुज (गणित)]] में किया था। इसमें, फर्मेट वक्र के नीचे क्षेत्र की गणना करता है और (विवरण के बिना) दावा करता है किविधि डायोक्लेस के सिसॉइड तक भी फैली हुई है। फ़र्मेट लिखते हैं कि वक्र का सुझाव उन्हें एरुडिटो जियोमेट्रा [एक विद्वान जियोमीटर]  द्वारा दिया गया था।{{r|fermat}} {{harvtxt|पैराडिस|प्ला|वियाडिर|2008}} की कल्पना करें कि जिस जियोमीटर ने फ़र्मेट को इस वक्र का सुझाव दिया था, वह एंटोनी डी लालौबेयर हो सकता है।{{r|fmq}}
+[[File:Witch of Agnesi (Agnesi, 1748).jpg|thumb|अगनेसी का 1748 वक्र और उसके निर्माण का चित्रण{{r|agnesi}}]]वक्र का अध्ययन पियरे डी फ़र्मेट ने अपने 1659 के ग्रंथ [[चतुर्भुज (गणित)|चतुर्भुज(गणित)]] में किया था। इसमें, प्रारूप वक्र के नीचे क्षेत्र की गणना करता है और(विवरण के बिना) दावा करता है कि विधि डायोक्लेस के सिसॉइड तक भी फैली हुई है। फ़र्मेट लिखते हैं कि वक्र का सुझाव उन्हें एरुडिटो जियोमेट्रा [एक विद्वान जियोमीटर]  द्वारा दिया गया था।{{r|fermat}} {{harvtxt|पैराडिस|प्ला|वियाडिर|2008}} की कल्पना करें कि जिस जियोमीटर ने फ़र्मेट को इस वक्र का सुझाव दिया था, वह एंटोनी डी लालौबेयर हो सकता है।{{r|fmq}}
 इस वक्र के लिए ऊपर दिए गए निर्माण द्वारा पाया गया था {{harvtxt|Grandi|1718}}; इसी निर्माण को आइजैक न्यूटन ने पहले भी पाया था, लेकिन बाद में 1779 में केवल मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था।{{r|stigler}}
-{{harvtxt|Grandi|1718}} वक्र के लिए वर्सिएरा (इतालवी में) या वर्सोरिया (लैटिन में) नाम का भी सुझाव दिया।<ref>In his notes to Galileo's "Trattato del moto naturalmente accelerato," Grandi had referred to "quella curva che io descrivo nel mio libro delle quadrature [1703], alla prop. IV, nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi ''Versiera'', in latino però ''Versoria''." See Galilei, ''Opere'', 3: 393. One finds the new term in Lorenzo Lorenzini, ''Exercitatio geometrica'', xxxi: "sit pro exemplo curva illa, quam Doctissimus magnusque geometra Guido Grandus versoria nominat."</ref> लैटिन शब्द का प्रयोग शीट (नौकायन) के लिए भी किया जाता है, रस्सी जो पाल को परिवर्तित कर देती है, लेकिन ग्रैंडी ने इसके निर्माण में प्रकट होने वाले [[उसका संस्करण]] फ़ंक्शन को संदर्भित करने के अतिरिक्त केवल इसका आशय किया हो सकता है।{{r|larsen|stigler|truesdell|grandi}}
+{{harvtxt|Grandi|1718}} वक्र के लिए वर्सिएरा (इतालवी में) या वर्सोरिया (लैटिन में) नाम का भी सुझाव दिया।<ref>In his notes to Galileo's "Trattato del moto naturalmente accelerato," Grandi had referred to "quella curva che io descrivo nel mio libro delle quadrature [1703], alla prop. IV, nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi ''Versiera'', in latino però ''Versoria''." See Galilei, ''Opere'', 3: 393. One finds the new term in Lorenzo Lorenzini, ''Exercitatio geometrica'', xxxi: "sit pro exemplo curva illa, quam Doctissimus magnusque geometra Guido Grandus versoria nominat."</ref> लैटिन शब्द का प्रयोग शीट (नौकायन) के लिए भी किया जाता है, रस्सी जो पाल को परिवर्तित कर देती है, लेकिन ग्रैंडी ने इसके निर्माण में प्रकट होने वाले [[उसका संस्करण]] फलन को संदर्भित करने के अतिरिक्त केवल इसका आशय किया हो सकता है।
-में, मारिया गेटाना एग्नेसी ने इस फंक्शन पर एक प्रारंभिक पाठ्यपुस्तक इंस्टीट्यूट एनालिटिश एड यूसो डेला जोवेंटु इटालियाना प्रकाशित की।{{r|agnesi}}
+में, मारिया गेटाना एग्नेसी ने इस फलन पर एक प्रारंभिक पाठ्यपुस्तक इंस्टीट्यूट एनालिटिश एड यूसो डेला जोवेंटु इटालियाना प्रकाशित की।{{r|agnesi}}
-इसमें, पहले दो अन्य वक्रों पर विचार करने के बाद, वह इस वक्र का अध्ययन शामिल करती है। वह वक्र को ज्यामितीय रूप से एक निश्चित अनुपात को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित करती है, इसके बीजगणितीय समीकरण को निर्धारित करती है, और इसके शीर्ष, स्पर्शोन्मुख रेखा और विभक्ति बिंदुओं को खोजती है।{{r|struik}}
+इसमें, पहले दो अन्य वक्रों पर विचार करने के बाद, वह इस वक्र का अध्ययन सम्मिलित करती है। वह वक्र को ज्यामितीय रूप से एक निश्चित अनुपात को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित करती है, इसके बीजगणितीय समीकरण को निर्धारित करती है, और इसके शीर्ष, स्पर्शोन्मुख रेखा और विभक्ति बिंदुओं को खोजती है।{{r|struik}}
 === व्युत्पत्ति ===
 मारिया गेटाना एग्नेसी ने ग्रैंडी, वर्सिएरा के अनुसार वक्र का नाम दिया।{{r|truesdell|struik}} संयोग से, उस समय इटली में [[शैतान]], ईश्वर के विरोधी के बारे में बात करना एक सरल बात थी, लैटिन एडवर्सेरियस से व्युत्पन्न एवर्सिएरो या वर्सिएरो जैसे अन्य शब्दों के माध्यम से। वर्सिएरा, विशेष रूप से, शैतान, या डायन की पत्नी को इंगित करने के लिए उपयोग किया गया था।{{r|fanfani}} इस कारण कैम्ब्रिज के प्रोफेसर [[जॉन कोलसन]] ने वक्र के नाम को डायन के रूप में गलत अनुवाद कर दिया।{{r|mulcrone}} अगनेसी और वक्र के बारे में अलग-अलग आधुनिक कार्य थोड़े अलग अनुमानों का सुझाव देते हैं कि वास्तव में यह गलत अनुवाद कैसे हुआ।{{r|singh|darling}} [[डर्क-जन स्ट्रुइक]] ने उल्लेख किया है कि:{{r|struik}}
 {{blockquote|''वर्सिएरा'' शब्द लैटिन ''वर्टेरे'' से लिया गया है, जिसका अर्थ टर्न है, लेकिन यह इटालियन ''एवर्सिएरा'', फीमेल डेविल का संक्षिप्त नाम भी है। इंग्लैंड में कुछ बुद्धिजीवियों ने एक बार इसका अनुवाद 'विच' कर दिया था, और मूर्खतापूर्ण वाक्य अभी भी अंग्रेजी भाषा की हमारी अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में प्रेमपूर्वक संरक्षित है। ... वक्र पहले से ही [[पियरे डी फर्मेट|फर्मेट]] ('ओउवेरेस'', I, 279-280; III, 233-234) और अन्य के लेखन में प्रकट हो चुका था; वर्सिएरा नाम गुइडो ग्रांडी ('क्वाड्रैटुरा सर्कुली एट हाइपरबोले', पीसा, 1703) से है। वक्र [[आइज़ैक न्यूटन|न्यूटन]] के वर्गीकरण में टाइप 63 है। ... इस अर्थ में 'विच' शब्द का प्रयोग करने वाले पहले व्यक्ति बी विलियमसन, ''इंटीग्रल कैलकुलस'', 7 (1875), 173;{{r|oed}} देखें ''ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी'' '।}}
-दूसरी ओर, [[स्टीफन स्टिगलर]] का सुझाव है कि ग्रैंडी खुद शब्दों पर एक नाटक में लिप्त हो सकते हैं, शैतान को छंद से जोड़ने वाला एक दोहरा वाक्य और महिला के स्तन के आकार के लिए साइन फ़ंक्शन (दोनों को सेनो के रूप में लिखा जा सकता है) इटली भाषा में)।{{r|stigler}}
+दूसरी ओर, [[स्टीफन स्टिगलर]] का सुझाव है कि ग्रैंडी खुद शब्दों पर एक नाटक में लिप्त हो सकते हैं, शैतान को छंद से जोड़ने वाला एक दोहरा वाक्य और महिला के वक्ष के आकार के लिए साइन फलन(दोनों को सेनो के रूप में लिखा जा सकता है)।{{r|stigler}}
 == अनुप्रयोग ==
 वक्र का एक छोटा संस्करण कॉची बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन है। यह यादृच्छिक चर पर संभाव्यता वितरण है <math>x</math> निम्नलिखित [[प्रयोग (संभाव्यता सिद्धांत)]] द्वारा निर्धारित: एक निश्चित बिंदु के लिए <math>p</math> इसके ऊपर {{nowrap|<math>x</math>-अक्ष}} यादृच्छिक रूप से एक पंक्ति में समान रूप से {{nowrap| <math>p</math>,के माध्यम से}} चुनें और <math>x</math> उस बिंदु का निर्देशांक हो जहां यह यादृच्छिक रेखा अक्ष को काटती है। कॉची वितरण में एक सीमा का वितरण होता है जो [[सामान्य वितरण]] जैसा दिखता है, लेकिन इसकी भारी-पूंछ वितरण इसकी समरूपता के अतिरिक्त सामान्य परिभाषाओं द्वारा [[अपेक्षित मूल्य]] होने से रोकता है। डायन के संदर्भ में, इसका मतलब है कि {{nowrap|<math>x</math>-अक्ष}} इस क्षेत्र की समरूपता और परिमित क्षेत्र के अतिरिक्त, वक्र और इसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच के क्षेत्र का [[केन्द्रक]] अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।{{r|stigler|alexander}}
-[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, जब समान दूरी वाले प्रक्षेप बिंदुओं के साथ [[बहुपद प्रक्षेप]] का उपयोग करते हुए इनके फंक्शन का अनुमान लगाया जाता है, तो यह कुछ फंक्शन्स के लिए इस स्थिति में हो सकता है कि अधिक बिंदुओं का उपयोग करने से सन्निकटन बन जाता है, जिससे कि प्रक्षेप उस कार्य से अलग हो जाता है जो इसे अभिसरण करने के अतिरिक्त अनुमानित करने का प्रयास करता है। इस विरोधाभासी व्यवहार को रूंज की घटना कहा जाता है। यह पहली बार कार्ल डेविड टोल्मे रनगे द्वारा रनगे के फंक्शन {{nowrap|<math>y=1/(1+25x^2)</math>,}} के लिए खोजा गया था एग्नेसी की डायन का एक और छोटा संस्करण, जब इस फ़ंक्शन को {{nowrap| <math>[-1,1]</math> सीमा के लिए}} प्रक्षेपित करता है तथा डायन के लिए <math>y=1/(1+x^2)</math> पर खुद को व्यापक पर {{nowrap|interval <math>[-5,5]</math>.{{r|runge}}}} भी यही घटना होती है।
+[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, जब समान दूरी वाले प्रक्षेप बिंदुओं के साथ [[बहुपद प्रक्षेप]] का उपयोग करते हुए इनके फलन का अनुमान लगाया जाता है, तो यह कुछ फलनों के लिए इस स्थिति में हो सकता है कि अधिक बिंदुओं का उपयोग करने से सन्निकटन बन जाता है, जिससे कि प्रक्षेप उस कार्य से अलग हो जाता है जो इसे अभिसरण करने के अतिरिक्त अनुमानित करने का प्रयास करता है। इस विरोधाभासी व्यवहार को रूंज की घटना कहा जाता है। यह पहली बार कार्ल डेविड टोल्मे रनगे द्वारा रनगे के फलन {{nowrap|<math>y=1/(1+25x^2)</math>,}} के लिए खोजा गया था एग्नेसी की डायन का एक और छोटा संस्करण, जब इस फलन को {{nowrap| <math>[-1,1]</math> सीमा के लिए}} प्रक्षेपित करता है तथा डायन के लिए <math>y=1/(1+x^2)</math> पर खुद को व्यापक पर {{nowrap|interval <math>[-5,5]</math>.{{r|runge}}}} भी यही घटना होती है।
 एग्नेसी की डायन वर्णक्रमीय रेखाओं, विशेष रूप से [[एक्स-रे]] रेखाओं के [[वर्णक्रमीय ऊर्जा वितरण]] का अनुमान लगाती है।{{r|spencer}}
@@ Line 74: / Line 75: @@
 के अभिन्न के साथ वक्र के नीचे के क्षेत्र की बराबरी करके {{nowrap|फंक्शन <math>1/(1+x^2)</math>,}} प्राप्त किया जा सकता है।
-अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में इस फ़ंक्शन के [[टेलर श्रृंखला]] विस्तार का उपयोग करना {{nowrap|<math>1-x^2+x^4-x^6+\cdots</math>,}} और टर्म-बाय-टर्म को एकीकृत करना।{{r|yates}}
+अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में इस फलन के [[टेलर श्रृंखला]] विस्तार का उपयोग करना {{nowrap|<math>1-x^2+x^4-x^6+\cdots</math>,}} और टर्म-बाय-टर्म को एकीकृत करना।{{r|yates}}
 == लोकप्रिय संस्कृति में ==
 रॉबर्ट स्पिलर के एक उपन्यास का शीर्षक द विच ऑफ एग्नेसी है। इसमें एक दृश्य सम्मलित है जिसमें शिक्षक शब्द के इतिहास का एक संस्करण देता है।{{r|gazette}}
@@ Line 344: / Line 345: @@
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
-*अंक शास्त्र
-*किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़
-*संभाव्यता घनत्व कार्य
-*वृत्तों को स्पर्श रेखाएँ
-*asymptotic
-*शिखर (वक्र)
-*संक्रमण का बिन्दु
-*ओस्क्यूलेटिंग सर्कल
-*सिद्धांत संभावना
-*सेकेंडरी लाइन
-*समाशोधन भाजक
-*यौगिक
-*समाकलन गणित
-*क्रांति की मात्रा
-*अनंत पर रेखा
-*प्रक्षेपी विमान
-*डायोक्लेस का सिसॉइड
-*गणना
-*अनियमित चर
-*भारी पूंछ वाला वितरण
-*वर्णक्रमीय रेखाएँ
-*सॉलिटन
-*जियोमीट्रिक श्रंखला
 ==बाहरी संबंध==
-{{EB1911 poster|Witch of Agnesi}}
-{{commons|Witch of Agnesi}}
 *[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Witch.html "Witch of Agnesi" at MacTutor's Famous Curves Index]
 *{{MathWorld | urlname=WitchofAgnesi | title=Witch of Agnesi|mode=cs2}}
@@ Line 380: / Line 353: @@
 {{good article}}
-[[Category: बीजगणितीय वक्र]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
+[[Category:Articles with short description]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from November 2022]]
+[[Category:CS1 Deutsch-language sources (de)]]
+[[Category:CS1 Latina-language sources (la)]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
+[[Category:CS1 italiano-language sources (it)]]
+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)]]
+[[Category:Citation Style 1 templates|W]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 24/11/2022]]
+[[Category:Good articles]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages with reference errors]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates based on the Citation/CS1 Lua module]]
+[[Category:Templates generating COinS|Cite web]]
+[[Category:Templates generating microformats]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
+[[Category:Templates used by AutoWikiBrowser|Cite web]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Wikipedia fully protected templates|Cite web]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:बीजगणितीय वक्र]]

Anonymous

Search

अगनेसी की विच: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Latest revision as of 11:48, 14 September 2023

Contents

निर्माण

समीकरण

गुण

इतिहास

प्रारंभिक अध्ययन

व्युत्पत्ति

अनुप्रयोग

लोकप्रिय संस्कृति में

टिप्पणियाँ

बाहरी संबंध

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

अगनेसी की विच: Difference between revisions

Latest revision as of 11:48, 14 September 2023

निर्माण

समीकरण

गुण

इतिहास

प्रारंभिक अध्ययन

व्युत्पत्ति

अनुप्रयोग

लोकप्रिय संस्कृति में

टिप्पणियाँ

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories