अनियमित संहत समुच्चय: Difference between revisions

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गणित में, एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट अनिवार्य रूप से एक [[ कॉम्पैक्ट जगह ]]-वैल्यू [[ अनियमित परिवर्तनशील वस्तु ]] है। यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट यादृच्छिक गतिशील प्रणालियों के लिए आकर्षित करने वालों के अध्ययन में उपयोगी होते हैं।
गणित में, '''अनियमित संहत समुच्चय''' अनिवार्य रूप से [[ कॉम्पैक्ट जगह |संहत समुच्चय]] -मान [[ अनियमित परिवर्तनशील वस्तु |अनियमित परिवर्तनशील वस्तु]] है। अनियमित संहत समुच्चय अनियमित गतिशील प्रणालियों के लिए आकर्षित करने वालों के अध्ययन में उपयोगी होते हैं।                                                                                                                              


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


होने देना <math>(M, d)</math> एक पूर्ण स्थान वियोज्य अंतरिक्ष [[मीट्रिक स्थान]] हो। होने देना <math>\mathcal{K}</math> के सभी कॉम्पैक्ट सबसेट के सेट को निरूपित करें <math>M</math>. हॉसडॉर्फ मीट्रिक <math>h</math> पर <math>\mathcal{K}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
माना <math>(M, d)</math> एक पूर्ण स्थान वियोज्य अंतरिक्ष [[मीट्रिक स्थान|मापीय स्थान]] हो। माना <math>\mathcal{K}</math> के सभी संहत उपसमुच्चय के <math>M</math> समुच्चय को निरूपित करें . हॉसडॉर्फ मापीय <math>h</math> पर <math>\mathcal{K}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है


:<math>h(K_{1}, K_{2}) := \max \left\{ \sup_{a \in K_{1}} \inf_{b \in K_{2}} d(a, b), \sup_{b \in K_{2}} \inf_{a \in K_{1}} d(a, b) \right\}.</math>
:<math>h(K_{1}, K_{2}) := \max \left\{ \sup_{a \in K_{1}} \inf_{b \in K_{2}} d(a, b), \sup_{b \in K_{2}} \inf_{a \in K_{1}} d(a, b) \right\}.</math>


<math>(\mathcal{K}, h)</math> एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान भी है। संबंधित खुले उपसमुच्चय एक सिग्मा बीजगणित उत्पन्न करते हैं|σ-बीजगणित पर <math>\mathcal{K}</math>, [[बोरेल सिग्मा बीजगणित]] <math>\mathcal{B}(\mathcal{K})</math> का <math>\mathcal{K}</math>.
<math>(\mathcal{K}, h)</math> एक पूर्ण वियोज्य मापीय स्थान भी है। संबंधित खुले उपसमुच्चय एक सिग्मा बीजगणित σ-बीजगणित पर <math>\mathcal{K}</math> उत्पन्न करते हैं, [[बोरेल सिग्मा बीजगणित]] <math>\mathcal{B}(\mathcal{K})</math> का <math>\mathcal{K}</math>.


एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट एक औसत दर्जे का कार्य है <math>K</math> [[संभाव्यता स्थान]] से <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math> में <math>(\mathcal{K}, \mathcal{B} (\mathcal{K}) )</math>.
एक अनियमित संहत समुच्चय औसत दर्जे का कार्य है <math>K</math> [[संभाव्यता स्थान]] से <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math> में <math>(\mathcal{K}, \mathcal{B} (\mathcal{K}) )</math>.


दूसरा तरीका रखो, एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट एक औसत दर्जे का कार्य है <math>K \colon \Omega \to 2^{M}</math> ऐसा है कि <math>K(\omega)</math> [[लगभग निश्चित रूप से]] कॉम्पैक्ट है और
दूसरा विधि रखो, एक अनियमित संहत समुच्चय औसत दर्जे का कार्य है <math>K \colon \Omega \to 2^{M}</math> ऐसा है कि <math>K(\omega)</math> [[लगभग निश्चित रूप से]] संहत है और


:<math>\omega \mapsto \inf_{b \in K(\omega)} d(x, b)</math>
:<math>\omega \mapsto \inf_{b \in K(\omega)} d(x, b)</math>
प्रत्येक के लिए एक मापने योग्य कार्य है <math>x \in M</math>.
प्रत्येक के लिए मापने योग्य कार्य <math>x \in M</math> है .


== चर्चा ==
== विचार ==


इस अर्थ में रैंडम कॉम्पैक्ट सेट भी [[यादृच्छिक बंद सेट]] हैं जैसा कि [[जॉर्जेस माथेरॉन]] (1975) में है। नतीजतन, अतिरिक्त धारणा के तहत कि वाहक स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, उनका वितरण संभावनाओं द्वारा दिया जाता है
इस अर्थ में अनियमित संहत समुच्चय भी [[यादृच्छिक बंद सेट|अनियमित बंद समुच्चय]] हैं जैसा कि [[जॉर्जेस माथेरॉन]] (1975) में है। परिणाम स्वरुप , अतिरिक्त धारणा के तहत कि वाहक स्थान स्थानीय रूप से संहत है, उनका वितरण संभावनाओं द्वारा दिया जाता है


:<math>\mathbb{P} (X \cap K = \emptyset)</math> के लिए <math>K \in \mathcal{K}.</math>
:<math>\mathbb{P} (X \cap K = \emptyset)</math> के लिए <math>K \in \mathcal{K}.</math>
(एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट उत्तल सेट का वितरण भी सभी समावेशन संभावनाओं की प्रणाली द्वारा दिया जाता है <math>\mathbb{P}(X \subset K).</math>)
(एक अनियमित संहत उत्तल समुच्चय का वितरण भी सभी समावेशन संभावनाओं की प्रणाली <math>\mathbb{P}(X \subset K).</math> द्वारा दिया जाता है )


के लिए <math>K = \{ x \}</math>, संभावना <math>\mathbb{P} (x \in X) </math> प्राप्त होता है, जो संतुष्ट करता है
के लिए <math>K = \{ x \}</math>, संभावना <math>\mathbb{P} (x \in X) </math> प्राप्त होता है, जो संतुष्ट करता है
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:<math>p_{X} (x) = \mathbb{P} (x \in X)</math> के लिए <math>x \in M.</math>
:<math>p_{X} (x) = \mathbb{P} (x \in X)</math> के लिए <math>x \in M.</math>
बिल्कुल, <math>p_{X}</math> संकेतक फ़ंक्शन के माध्य के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है <math>\mathbf{1}_{X}</math>:
बिल्कुल, <math>p_{X}</math> संकेतक फलन <math>\mathbf{1}_{X}</math> के माध्य के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है :


:<math>p_{X} (x) = \mathbb{E} \mathbf{1}_{X} (x).</math>
:<math>p_{X} (x) = \mathbb{E} \mathbf{1}_{X} (x).</math>
कवरिंग फ़ंक्शन के बीच मान लेता है <math> 0 </math> और <math> 1 </math>. सेट <math> b_{X} </math> के सभी <math>x \in M</math> साथ <math> p_{X} (x) > 0 </math> का समर्थन कहा जाता है <math>X</math>. सेट <math> k_X </math>, के सभी <math> x \in M</math> साथ <math> p_X(x)=1 </math> कर्नेल कहा जाता है, निश्चित बिंदुओं का समूह या आवश्यक न्यूनतम <math> e(X) </math>. अगर <math> X_1, X_2, \ldots </math>, आई.आई.डी. का एक क्रम है। यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट, फिर लगभग निश्चित रूप से
कवरिंग फलन के बीच मान लेता है <math> 0 </math> और <math> 1 </math>. समुच्चय <math> b_{X} </math> के सभी <math>x \in M</math> साथ <math> p_{X} (x) > 0 </math> का समर्थन <math>X</math> कहा जाता है . समुच्चय <math> k_X </math>, के सभी <math> x \in M</math> साथ <math> p_X(x)=1 </math> कर्नेल कहा जाता है, निश्चित बिंदुओं का समूह या आवश्यक न्यूनतम <math> e(X) </math>. अगर <math> X_1, X_2, \ldots </math>, i.i.d. का क्रम है। अनियमित संहत समुच्चय, फिर लगभग निश्चित रूप से
   
   
:<math> \bigcap_{i=1}^\infty X_i = e(X) </math>
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* Matheron, G. (1975) ''Random Sets and Integral Geometry''. J.Wiley & Sons, New York.
* Matheron, G. (1975) ''Random Sets and Integral Geometry''. J.Wiley & Sons, New York.
* Molchanov, I. (2005) ''The Theory of Random Sets''. Springer, New York.
* Molchanov, I. (2005) ''The Theory of Random Sets''. Springer, New York.
* Stoyan D., and H.Stoyan (1994) ''Fractals, Random Shapes and Point Fields''. John Wiley & Sons, Chichester, New York.
* Stoyan D., and H.Stoyan (1994) ''Fractals, Random Shapes and Point Fields''. John Wiley & Sons, Chichester, New York.


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Latest revision as of 15:57, 13 September 2023

गणित में, अनियमित संहत समुच्चय अनिवार्य रूप से संहत समुच्चय -मान अनियमित परिवर्तनशील वस्तु है। अनियमित संहत समुच्चय अनियमित गतिशील प्रणालियों के लिए आकर्षित करने वालों के अध्ययन में उपयोगी होते हैं।

परिभाषा

माना एक पूर्ण स्थान वियोज्य अंतरिक्ष मापीय स्थान हो। माना के सभी संहत उपसमुच्चय के समुच्चय को निरूपित करें . हॉसडॉर्फ मापीय पर द्वारा परिभाषित किया गया है

एक पूर्ण वियोज्य मापीय स्थान भी है। संबंधित खुले उपसमुच्चय एक सिग्मा बीजगणित σ-बीजगणित पर उत्पन्न करते हैं, बोरेल सिग्मा बीजगणित का .

एक अनियमित संहत समुच्चय औसत दर्जे का कार्य है संभाव्यता स्थान से में .

दूसरा विधि रखो, एक अनियमित संहत समुच्चय औसत दर्जे का कार्य है ऐसा है कि लगभग निश्चित रूप से संहत है और

प्रत्येक के लिए मापने योग्य कार्य है .

विचार

इस अर्थ में अनियमित संहत समुच्चय भी अनियमित बंद समुच्चय हैं जैसा कि जॉर्जेस माथेरॉन (1975) में है। परिणाम स्वरुप , अतिरिक्त धारणा के तहत कि वाहक स्थान स्थानीय रूप से संहत है, उनका वितरण संभावनाओं द्वारा दिया जाता है

के लिए

(एक अनियमित संहत उत्तल समुच्चय का वितरण भी सभी समावेशन संभावनाओं की प्रणाली द्वारा दिया जाता है )

के लिए , संभावना प्राप्त होता है, जो संतुष्ट करता है

इस प्रकार आवरण कार्य द्वारा दिया गया है

के लिए

बिल्कुल, संकेतक फलन के माध्य के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है :

कवरिंग फलन के बीच मान लेता है और . समुच्चय के सभी साथ का समर्थन कहा जाता है . समुच्चय , के सभी साथ कर्नेल कहा जाता है, निश्चित बिंदुओं का समूह या आवश्यक न्यूनतम . अगर , i.i.d. का क्रम है। अनियमित संहत समुच्चय, फिर लगभग निश्चित रूप से

और लगभग निश्चित रूप से अभिसरण करता है


संदर्भ

  • Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
  • Molchanov, I. (2005) The Theory of Random Sets. Springer, New York.
  • Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.