बहुलता (गणित)

गणित में, एक multiset के सदस्य की बहुलता मल्टीसेट में प्रकट होने की संख्या है। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए बहुपद में किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का रूट जितनी बार होता है, उस रूट की बहुलता होती है।

बहुलता की धारणा अपवादों को निर्दिष्ट किए बिना सही ढंग से गिनने में सक्षम होने के लिए महत्वपूर्ण है (उदाहरण के लिए, दोहरी जड़ें दो बार गिना जाता है)। इसलिए अभिव्यक्ति, बहुलता के साथ गिना जाता है।

यदि बहुलता को नजरअंदाज किया जाता है, तो अलग-अलग जड़ों की संख्या के रूप में 'विशिष्ट' तत्वों की संख्या की गणना करके इस पर जोर दिया जा सकता है। हालांकि, जब भी एक सेट (गणित) (मल्टीसेट के विपरीत) बनता है, तो विशिष्ट शब्द के उपयोग की आवश्यकता के बिना, बहुलता को स्वचालित रूप से अनदेखा कर दिया जाता है।

एक प्रमुख कारक की बहुलता

Main article: p-adic valuation

पूर्णांक गुणनखंड में, एक अभाज्य गुणनखंड की बहुलता उसका p-adic मूल्यांकन है|$p$-एडिक वैल्यूएशन। उदाहरण के लिए, पूर्णांक का प्रधान गुणनखंड 60 है

60 = 2 × 2 × 3 × 5,

प्रमुख कारक की बहुलता 2 है 2, जबकि प्रत्येक प्रमुख कारकों की बहुलता 3 तथा 5 है 1. इस प्रकार, 60 गुणन के लिए अनुमति देने वाले चार प्रमुख कारक हैं, लेकिन केवल तीन अलग-अलग प्रमुख कारक हैं।

एक बहुपद के मूल की बहुलता

होने देना $F$ एक क्षेत्र हो (गणित) और $p(x)$ गुणांक के साथ एक चर में एक बहुपद बनें $F$. एक तत्व $a\in F$ बहुलता के एक समारोह की जड़ है $k$ का $p(x)$ यदि कोई बहुपद है $s(x)$ ऐसा है कि $s(a)\neq 0$ तथा $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$. यदि $k=1$, तो a को 'सरल रूट' कहा जाता है। यदि $k\geq 2$, फिर $a$ बहुमूल कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद $p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4$ फ़ंक्शन के रूट के रूप में 1 और −4 है, और इसे के रूप में लिखा जा सकता है $p(x)=(x+4)(x-1)^{2}$. इसका मतलब है कि 1 बहुलता का मूल है, और -4 एक साधारण जड़ है (बहुलता का 1)। एक जड़ की बहुलता बीजगणित के मौलिक प्रमेय के माध्यम से बहुपद के पूर्ण गुणनखंड में इस जड़ की घटनाओं की संख्या है।

यदि $a$ बहुलता की जड़ है $k$ एक बहुपद का, तो यह गुणन का मूल है $k-1$ उस बहुपद के औपचारिक व्युत्पन्न का, जब तक कि अंतर्निहित क्षेत्र की विशेषता (बीजगणित) का भाजक न हो k, कौनसे मामलेमें $a$ कम से कम बहुलता का मूल है $k$ व्युत्पन्न का।

एक बहुपद का विवेचक शून्य होता है यदि और केवल यदि बहुपद का एक बहुमूल हो।

बहुमूल के निकट बहुपद फलन का व्यवहार

File:Polynomial roots multiplicity.svg

एक्स का ग्राफ³ + 2x² − 7x + 4 x=−4 पर एक साधारण मूल (बहुगुण 1) के साथ और x=1 पर गुणन 2 के मूल के साथ। ग्राफ x अक्ष को सरल मूल पर काटता है। यह बहुमूल पर x अक्ष के स्पर्शरेखा है और इसे पार नहीं करता है, क्योंकि बहुलता सम है।

एक बहुपद फलन के एक फलन का ग्राफ बहुपद के वास्तविक मूलों पर x-अक्ष को स्पर्श करता है। ग्राफ़ f के बहुमूलों पर इसके लिए स्पर्शरेखा है और सरल मूलों पर स्पर्शरेखा नहीं है। ग्राफ x-अक्ष को विषम गुणन के मूल पर काटता है और सम गुणन के मूल पर इसे नहीं काटता है।

एक गैर-शून्य बहुपद फलन हर जगह गैर-ऋणात्मक होता है यदि और केवल तभी जब इसकी सभी जड़ों में सम बहुलता हो और एक मौजूद हो $x_{0}$ ऐसा है कि $f(x_{0})>0$.

प्रतिच्छेदन बहुलता

Main article: Intersection multiplicity

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक बीजीय किस्म की दो उप-किस्मों का प्रतिच्छेदन अपरिमेय किस्म का एक परिमित संघ है। इस तरह के चौराहे के प्रत्येक घटक के लिए एक चौराहे की बहुलता जुड़ी हुई है। यह धारणा स्थानीय संपत्ति इस अर्थ में है कि इसे इस घटक के किसी भी सामान्य बिंदु के पड़ोस में क्या होता है, यह देखकर परिभाषित किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि व्यापकता के नुकसान के बिना, हम प्रतिच्छेदन बहुलता को परिभाषित करने के लिए, दो एफ़िन किस्म (एफ़िन स्पेस की उप-किस्में) के प्रतिच्छेदन पर विचार कर सकते हैं।

इस प्रकार, दी गई दो एफाइन किस्में V₁ और वी₂, V के प्रतिच्छेदन के एक अलघुकरणीय घटक W पर विचार करें₁ और वी₂. डी को डब्ल्यू की बीजगणितीय विविधता का आयाम होने दें, और पी डब्ल्यू का कोई सामान्य बिंदु हो। पी के माध्यम से गुजरने वाली सामान्य स्थिति में डी hyperplane के साथ डब्ल्यू के चौराहे में एक अपरिवर्तनीय घटक होता है जो एकल बिंदु पी तक कम हो जाता है। इसलिए, चौराहे के समन्वय रिंग के इस घटक पर स्थानीय रिंग में केवल एक प्रमुख आदर्श है, और इसलिए यह एक आर्टिनियन रिंग है। इस प्रकार यह वलय जमीनी क्षेत्र के ऊपर एक परिमित आयामी सदिश स्थान है। इसका आयाम V की प्रतिच्छेदन बहुलता है₁ और वी₂ डब्ल्यू पर

यह परिभाषा हमें बेज़ाउट के प्रमेय और इसके सामान्यीकरणों को सटीक रूप से बताने की अनुमति देती है।

यह परिभाषा निम्नलिखित तरीके से एक बहुपद की जड़ की बहुलता को सामान्यीकृत करती है। बहुपद f की जड़ें एफ़िन लाइन पर स्थित बिंदु हैं, जो बहुपद द्वारा परिभाषित बीजीय सेट के घटक हैं। इस एफाइन सेट का निर्देशांक वलय है $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ जहाँ K एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है जिसमें f के गुणांक हैं। यदि $f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}$ f का गुणनखंडन है, तो अभाज्य आदर्श पर R का स्थानीय वलय है $\langle X-\alpha _{i}\rangle$ है $K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .$ यह K पर सदिश समष्टि है, जिसमें बहुलता है $m_{i}$ एक आयाम के रूप में जड़ का।

चौराहे बहुलता की यह परिभाषा, जो मूल रूप से जीन पियरे सेरे की अपनी पुस्तक स्थानीय बीजगणित के कारण है, केवल चौराहे के सेट सैद्धांतिक घटकों (जिन्हें पृथक घटक भी कहा जाता है) के लिए काम करती है, एम्बेडेड प्राइम के लिए नहीं। एम्बेडेड मामले को संभालने के लिए सिद्धांत विकसित किए गए हैं (विवरण के लिए इंटरसेक्शन सिद्धांत देखें)।

जटिल विश्लेषण में

चलो जेड₀ होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन f का मूल बनें, और n को कम से कम सकारात्मक पूर्णांक होने दें, n^th f का व्युत्पन्न z पर मूल्यांकन किया गया₀ शून्य से भिन्न है। फिर f के बारे में z की शक्ति श्रृंखला₀ n से शुरू होता है^वें शब्द, और f को बहुलता (या "क्रम") n की जड़ कहा जाता है। यदि n = 1, जड़ को सरल जड़ कहा जाता है। हम मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन के शून्य (जटिल विश्लेषण) और ध्रुव (जटिल विश्लेषण) की बहुलता को भी परिभाषित कर सकते हैं। अगर हमारे पास मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन है ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ एक बिंदु z . के बारे में g और h की टेलर श्रृंखला लें₀, और प्रत्येक में पहला गैर-शून्य शब्द खोजें (क्रमशः एम और एन के क्रम को इंगित करें) फिर यदि एम = एन, तो बिंदु में गैर-शून्य मान है। यदि $m>n,$ तो बिंदु बहुलता का शून्य है $m-n.$ यदि $m<n$, तो बिंदु में बहुलता का एक ध्रुव होता है $n-m.$

संदर्भ

• Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.