वक्र अनुकूलन: Difference between revisions
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{{Short description|Process of constructing a curve that has the best fit to a series of data points}} | {{Short description|Process of constructing a curve that has the best fit to a series of data points}} | ||
{{Redirect|Best fit|placing ("fitting") variable-sized objects in storage|Fragmentation (computing)}} | {{Redirect|Best fit|placing ("fitting") variable-sized objects in storage|Fragmentation (computing)}} | ||
[[File:Regression pic assymetrique.gif|thumb|upright=1.5|एक असममित शिखर मॉडल द्वारा एक शोर वक्र की | [[File:Regression pic assymetrique.gif|thumb|upright=1.5|एक असममित शिखर मॉडल द्वारा एक शोर वक्र की अनुकूलन, एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया के साथ (गॉस-न्यूटन एल्गोरिथ्म चर भिगोना कारक α के साथ)। <br /> शीर्ष: कच्चा आँकड़े और मॉडल।<br /> निचला: त्रुटियों के वर्गों के सामान्यीकृत योग का विकास।]] | ||
'''वक्र अनुकूलन'''<ref>Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.</ref><ref>William M. Kolb. [https://books.google.com/books?id=ZiLYAAAAMAAJ&dq=%22Curve+Fitting+for+Programmable+Calculators%22+kolb&focus=searchwithinvolume&q=%22Curve+fitting%22 Curve Fitting for Programmable Calculators]. Syntec, Incorporated, 1984.</ref> एक [[ वक्र |वक्र]], या गणितीय फलन के निर्माण की प्रक्रिया है, जो आँकड़े बिंदुओं की एक श्रृंखला के लिए सबसे उपयुक्त है,<ref>S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. {{ISBN|0306439972}} Page 165 (''cf''. ... functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.)</ref> संभवतः बाधाओं के अधीन है।<ref>[https://books.google.com/books?id=SI-VqAT4_hYC ''The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't.''] By Nate Silver</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=hhdVr9F-JfAC Data Preparation for Data Mining]: Text. By Dorian Pyle.</ref> वक्र अनुकूलन में या तो [[ प्रक्षेप ]] शामिल हो सकता है,<ref>Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By Jaan Kiusalaas. Page 24.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=YlkgAwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22curve%20fitting%22&f=false Numerical Methods in Engineering with Python 3]. By Jaan Kiusalaas. Page 21.</ref>जहां आँकड़े के लिए एक सटीक फिट की आवश्यकता होती है, या चौरसाई,<ref>[https://books.google.com/books?id=UjnB0FIWv_AC&printsec=frontcover#v=onepage&q=smoothing&f=false Numerical Methods of Curve Fitting]. By P. G. Guest, Philip George Guest. Page 349.</ref><ref>See also: [[Mollifier]]</ref> जिसमें एक "चिकनी" फलन का निर्माण किया जाता है जो आँकड़े को लगभग फिट करता है। एक संबंधित विषय[[ प्रतिगमन विश्लेषण |प्रतिगमन विश्लेषण]] है,<ref>[https://books.google.com/books?id=g1FO9pquF3kC&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22regression%20analysis%22&f=false Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression]. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=Us4YE8lJVYMC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22regression%20analysis%22&f=false Regression Analysis] By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269.</ref> जो सांख्यिकीय अनुमान के प्रश्नों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है जैसे कि वक्र में कितनी अनिश्चितता मौजूद है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ देखे गए आँकड़े के लिए उपयुक्त है। फिटेड कर्व्स का उपयोग आँकड़े विज़ुअलाइज़ेशन के लिए सहायता के रूप में किया जा सकता है,<ref>Visual Informatics. Edited by Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Page 689.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=rdJvXG1k3HsC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22Curve%20fitting%22&f=false Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models]. By John R. Hauser. Page 227.</ref> एक फलन के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए जहां कोई आँकड़े उपलब्ध नहीं है,<ref>Methods of Experimental Physics: Spectroscopy, Volume 13, Part 1. By Claire Marton. Page 150.</ref> और दो या अधिक चर के बीच संबंधों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए।<ref>Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Edited by Neil J. Salkind. Page 266.</ref> [[ एक्सट्रपलेशन ]]प्रेक्षित आँकड़े की सीमा से परे एक फिट वक्र के उपयोग को संदर्भित करता है, [<ref>[https://books.google.com/books?id=ba0hAQAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22Curve%20fitting%22%20OR%20extrapolation&f=false Community Analysis and Planning Techniques]. By Richard E. Klosterman. Page 1.</ref> और [[ अनिश्चितता |अनिश्चितता]] की एक डिग्री के अधीन है<ref>An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments. DIANE Publishing. [https://books.google.com/books?id=rJ23LWaZAqsC&pg=PA69 Pg 69]</ref> क्योंकि यह वक्र के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को उतना ही प्रतिबिंबित कर सकता है जितना कि यह देखे गए आँकड़े को दर्शाता है। | |||
आँकड़े के रैखिक-बीजगणितीय विश्लेषण के लिए, "अनुकूलन" का अर्थ आमतौर पर उस वक्र को खोजने का प्रयास करना होता है जो वक्र से एक बिंदु के ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) विस्थापन को कम करता है (उदाहरण के लिए, सामान्य न्यूनतम वर्ग)। हालांकि, ग्राफिकल और छवि अनुप्रयोगों के लिए, ज्यामितीय अनुकूलन सर्वोत्तम दृश्य फिट प्रदान करना चाहता है; जिसका आमतौर पर मतलब होता है वक्र के लिए[[ ओर्थोगोनल दूरी |ओर्थोगोनल दूरी]]को कम करने की कोशिश करना (जैसे, कुल कम से कम वर्ग), या अन्यथा वक्र से एक बिंदु के विस्थापन के दोनों अक्षों को शामिल करना। ज्यामितीय फिट लोकप्रिय नहीं हैं क्योंकि उन्हें आमतौर पर गैर-रैखिक और/या पुनरावृत्त गणना की आवश्यकता होती है, हालांकि उनके पास अधिक सौंदर्य और ज्यामितीय रूप से सटीक परिणाम का लाभ होता है।<ref>{{citation |first=Sung-Joon |last=Ahn |title=Geometric Fitting of Parametric Curves and Surfaces |journal=Journal of Information Processing Systems |volume=4 |issue=4 |pages=153–158 |date=December 2008 |doi=10.3745/JIPS.2008.4.4.153 |url=http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140313084307/http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf |archivedate=2014-03-13 }}</ref><ref>{{citation |first1=N. |last1=Chernov |first2=H. |last2=Ma |year=2011 |contribution=Least squares fitting of quadratic curves and surfaces |title=Computer Vision |editor-first=Sota R. |editor-last=Yoshida |publisher=Nova Science Publishers |isbn=9781612093994 | |||
|pages=285–302 |url=<!-- http://people.cas.uab.edu/~mosya/papers/CM1nova.pdf No indication of copyright --> }}</ref><ref>{{citation |first1=Yang |last1=Liu |first2=Wenping |last2=Wang |year=2008 |contribution=A Revisit to Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Parametric Curves and Surfaces |editor1-first=F. |editor1-last=Chen |editor2-first=B. |editor2-last=Juttler |title=Advances in Geometric Modeling and Processing |series=Lecture Notes in Computer Science |volume=4975 |pages=384–397 |doi=10.1007/978-3-540-79246-8_29 | |pages=285–302 |url=<!-- http://people.cas.uab.edu/~mosya/papers/CM1nova.pdf No indication of copyright --> }}</ref><ref>{{citation |first1=Yang |last1=Liu |first2=Wenping |last2=Wang |year=2008 |contribution=A Revisit to Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Parametric Curves and Surfaces |editor1-first=F. |editor1-last=Chen |editor2-first=B. |editor2-last=Juttler |title=Advances in Geometric Modeling and Processing |series=Lecture Notes in Computer Science |volume=4975 |pages=384–397 |doi=10.1007/978-3-540-79246-8_29 | ||
|isbn=978-3-540-79245-1|citeseerx=10.1.1.306.6085 }}</ref> | |isbn=978-3-540-79245-1|citeseerx=10.1.1.306.6085 }}</ref> | ||
== | == आँकड़े बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय अनुकूलन== | ||
सबसे आम तौर पर, कोई फॉर्म के | सबसे आम तौर पर, कोई फॉर्म के फलन को फिट करता है {{math|''y''{{=}}''f''(''x'')}}. | ||
=== | === आँकड़े बिंदुओं के लिए अनुकूलन लाइनें और बहुपद कार्य{{anchor|Polynomials}}=== | ||
{{main|Polynomial regression}} | {{main|Polynomial regression}} | ||
{{See also|Polynomial interpolation}} | {{See also|Polynomial interpolation}} | ||
[[File:Curve fitting.svg|alt=Polynomial curves fitting a sine function|thumb|upright=1.3|साइन | [[File:Curve fitting.svg|alt=Polynomial curves fitting a sine function|thumb|upright=1.3|साइन फलन के साथ उत्पन्न बहुपद वक्र अनुकूलन बिंदु। काली बिंदीदार रेखा वास्तविक आँकड़े है, लाल रेखा एक <span style= color:red >first Degree polynomial</span> है, हरी रेखा <span style= color:green >second Degree</span> है, नारंगी रेखा <span style= color:orange >थर्ड डिग्री</span> है और नीली लाइन <span style= color: blue >fourth Degree.</span> है।]]पहली डिग्री [[ बहुपद ]] समीकरण | ||
:<math>y = ax + b\;</math> | :<math>y = ax + b\;</math> | ||
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* यहां तक कि अगर एक सटीक मिलान मौजूद है, तो यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सटीक फिट की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में बहुत अधिक कंप्यूटर समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है। | * यहां तक कि अगर एक सटीक मिलान मौजूद है, तो यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सटीक फिट की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में बहुत अधिक कंप्यूटर समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है। | ||
* एक नमूने में संदिग्ध | * एक नमूने में संदिग्ध आँकड़े बिंदुओं के औसत का प्रभाव, उन्हें ठीक से फिट करने के लिए वक्र को विकृत करने के बजाय, वांछनीय हो सकता है। | ||
* रंज की घटना: उच्च क्रम बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं A और B से होकर गुजरता है, तो यह अपेक्षा की जाएगी कि वक्र A और B के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है; उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो सकारात्मक या नकारात्मक[[ परिमाण (गणित) |परिमाण (गणित)]]में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम वाले बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना है (यह पहली डिग्री बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से चलने की गारंटी भी है)। | * रंज की घटना: उच्च क्रम बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं A और B से होकर गुजरता है, तो यह अपेक्षा की जाएगी कि वक्र A और B के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है; उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो सकारात्मक या नकारात्मक[[ परिमाण (गणित) |परिमाण (गणित)]]में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम वाले बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना है (यह पहली डिग्री बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से चलने की गारंटी भी है)। | ||
* निम्न-क्रम वाले बहुपद चिकने होते हैं और उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्र "ढेलेदार" होते हैं। इसे और अधिक सटीक रूप से परिभाषित करने के लिए, बहुपद वक्र में संभव अधिकतम विभक्ति बिंदु n-2 है, जहां n बहुपद समीकरण का क्रम है। एक विभक्ति बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहां यह एक सकारात्मक त्रिज्या से नकारात्मक पर स्विच करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यह वह जगह है जहां यह "होल्डिंग वॉटर" से "बहाते पानी" में बदल जाता है। ध्यान दें कि यह केवल "संभव" है कि उच्च क्रम वाले बहुपद ढेलेदार होंगे; वे चिकने भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। एक पंद्रहवीं डिग्री बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विभक्ति बिंदु हो सकते हैं, लेकिन ग्यारह, या नौ या कोई भी विषम संख्या एक से कम हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपद में n - 2 से नीचे शून्य तक किसी भी सम संख्या में विभक्ति बिंदु हो सकते हैं।) | * निम्न-क्रम वाले बहुपद चिकने होते हैं और उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्र "ढेलेदार" होते हैं। इसे और अधिक सटीक रूप से परिभाषित करने के लिए, बहुपद वक्र में संभव अधिकतम विभक्ति बिंदु n-2 है, जहां n बहुपद समीकरण का क्रम है। एक विभक्ति बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहां यह एक सकारात्मक त्रिज्या से नकारात्मक पर स्विच करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यह वह जगह है जहां यह "होल्डिंग वॉटर" से "बहाते पानी" में बदल जाता है। ध्यान दें कि यह केवल "संभव" है कि उच्च क्रम वाले बहुपद ढेलेदार होंगे; वे चिकने भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। एक पंद्रहवीं डिग्री बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विभक्ति बिंदु हो सकते हैं, लेकिन ग्यारह, या नौ या कोई भी विषम संख्या एक से कम हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपद में n - 2 से नीचे शून्य तक किसी भी सम संख्या में विभक्ति बिंदु हो सकते हैं।) | ||
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[[File:Gohana inverted S-curve.png|thumb|upright=1.25|गेहूं की उपज और मिट्टी की लवणता के बीच संबंध<ref>[https://www.waterlog.info/sigmoid.htm Calculator for sigmoid regression]</ref>]] | [[File:Gohana inverted S-curve.png|thumb|upright=1.25|गेहूं की उपज और मिट्टी की लवणता के बीच संबंध<ref>[https://www.waterlog.info/sigmoid.htm Calculator for sigmoid regression]</ref>]] | ||
=== अन्य कार्यों को | === अन्य कार्यों को आँकड़े बिंदुओं पर फ़िट करना === | ||
कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे [[ त्रिकोणमितीय फलन ]] (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है। | कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे [[ त्रिकोणमितीय फलन ]] (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है। | ||
स्पेक्ट्रोस्कोपी में, | स्पेक्ट्रोस्कोपी में, आँकड़े को [[ सामान्य वितरण | गाऊसी]] , [[ कॉची वितरण |लोरेंत्ज़ियन]] , [[ वोइगट फंक्शन | वोइग्ट]] और संबंधित कार्यों के साथ फिट किया जा सकता है। | ||
जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान, और कई अन्य विषयों में,[[ जनसंख्या वृद्धि | जनसंख्या की वृद्धि]] , संक्रामक रोग का प्रसार, आदि को [[ रसद समारोह ]] का उपयोग करके फिट किया जा सकता है। | जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान, और कई अन्य विषयों में,[[ जनसंख्या वृद्धि | जनसंख्या की वृद्धि]] , संक्रामक रोग का प्रसार, आदि को [[ रसद समारोह ]] का उपयोग करके फिट किया जा सकता है। | ||
[[ कृषि ]] में इनवर्टेड लॉजिस्टिक [[ सिग्मॉइड फ़ंक्शन ]] (एस-वक्र) का उपयोग फसल की उपज और वृद्धि कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापे गए | [[ कृषि ]] में इनवर्टेड लॉजिस्टिक [[ सिग्मॉइड फ़ंक्शन | सिग्मॉइड फलन]] (एस-वक्र) का उपयोग फसल की उपज और वृद्धि कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापे गए आँकड़े के सिग्मॉइड रिग्रेशन द्वारा बनाई गई थी। यह देखा जा सकता है कि शुरू में, यानी कम मिट्टी की लवणता पर, मिट्टी की लवणता बढ़ने पर फसल की उपज धीरे-धीरे कम हो जाती है, जबकि उसके बाद कमी तेजी से बढ़ती है। | ||
== | == आँकड़े बिंदुओं के लिए विमान वक्र की ज्यामितीय अनुकूलन== | ||
यदि <math>y=f(x)</math> फॉर्म का कोई फंक्शन पोस्ट नहीं किया जा सकता है, तब भी कोई [[ समतल वक्र |समतल वक्र]]फिट करने का प्रयास कर सकता है। | यदि <math>y=f(x)</math> फॉर्म का कोई फंक्शन पोस्ट नहीं किया जा सकता है, तब भी कोई [[ समतल वक्र |समतल वक्र]]फिट करने का प्रयास कर सकता है। | ||
कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे कि [[ शंकु खंड |शंकु खंड]](गोलाकार, अण्डाकार, परवलयिक, और अतिशयोक्तिपूर्ण चाप) या त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र एक परवलयिक पथ का अनुसरण करते हैं, जब वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज कर दिया जाता है। इसलिए, एक परवलयिक वक्र के लिए प्रक्षेपवक्र | कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे कि [[ शंकु खंड |शंकु खंड]](गोलाकार, अण्डाकार, परवलयिक, और अतिशयोक्तिपूर्ण चाप) या त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र एक परवलयिक पथ का अनुसरण करते हैं, जब वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज कर दिया जाता है। इसलिए, एक परवलयिक वक्र के लिए प्रक्षेपवक्र आँकड़े बिंदुओं का मिलान करना समझ में आता है। ज्वार साइनसॉइडल पैटर्न का पालन करते हैं, इसलिए ज्वारीय आँकड़े बिंदुओं को एक साइन लहर से मिलान किया जाना चाहिए, या विभिन्न अवधियों की दो साइन तरंगों का योग, यदि चंद्रमा और सूर्य दोनों के प्रभावों पर विचार किया जाता है। | ||
एक [[ पैरामीट्रिक वक्र | पैरामीट्रिक वक्र]]के लिए, इसके प्रत्येक निर्देशांक को चाप लंबाई के एक अलग कार्य के रूप में फिट करना प्रभावी होता है; यह मानते हुए कि | एक [[ पैरामीट्रिक वक्र | पैरामीट्रिक वक्र]]के लिए, इसके प्रत्येक निर्देशांक को चाप लंबाई के एक अलग कार्य के रूप में फिट करना प्रभावी होता है; यह मानते हुए कि आँकड़े बिंदुओं का आदेश दिया जा सकता है, [[ तार दूरी |तार दूरी]] का उपयोग किया जा सकता है।<ref>p.51 in Ahlberg & Nilson (1967) ''The theory of splines and their applications'', Academic Press, 1967 [https://books.google.com/books?id=S7d1pjJHsRgC&pg=PA51]</ref> | ||
=== ज्यामितीय फिट द्वारा एक वृत्त को फ़िट करना{{anchor|Circles}}=== | === ज्यामितीय फिट द्वारा एक वृत्त को फ़िट करना{{anchor|Circles}}=== | ||
[[File:Regression circulaire coope arc de cercle.svg|thumb|कूप विधि के साथ वृत्त | [[File:Regression circulaire coope arc de cercle.svg|thumb|कूप विधि के साथ वृत्त अनुकूलन, एक वृत्त चाप का वर्णन करने वाले बिंदु, केंद्र (1; 1), त्रिज्या 4.]] | ||
[[File:Wp ellfitting.png|thumb|दीर्घवृत्त | [[File:Wp ellfitting.png|thumb|दीर्घवृत्त अनुकूलन के विभिन्न मॉडल]] | ||
[[File:Regression elliptique distance algebrique donnees gander.svg|thumb|बीजीय दूरी को कम करने वाली दीर्घवृत्त | [[File:Regression elliptique distance algebrique donnees gander.svg|thumb|बीजीय दूरी को कम करने वाली दीर्घवृत्त अनुकूलन (Fitzgibbon विधि)।]]कूप<ref>{{cite journal|author=Coope, I.D.|title=रैखिक और अरेखीय कम से कम वर्गों द्वारा सर्कल फिटिंग|journal=Journal of Optimization Theory and Applications |volume =76|issue =2|year=1993|doi=10.1007/BF00939613|pages=381–388|hdl=10092/11104|hdl-access=free}}</ref> 2डी आँकड़े बिंदुओं के एक सेट के लिए सर्कल के सर्वोत्तम दृश्य फिट को खोजने की कोशिश करने की समस्या का सामना करता है। विधि सामान्य रूप से गैर-रैखिक समस्या को एक रैखिक समस्या में बदल देती है जिसे पुनरावृत्त संख्यात्मक विधियों का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है, और इसलिए पिछली तकनीकों की तुलना में बहुत तेज़ है। | ||
=== ज्यामितीय फिट द्वारा एक दीर्घवृत्त को फ़िट करना=== | === ज्यामितीय फिट द्वारा एक दीर्घवृत्त को फ़िट करना=== | ||
उपरोक्त तकनीक को एक गैर-रेखीय चरण जोड़कर सामान्य दीर्घवृत्त<ref>Paul Sheer, [http://wiredspace.wits.ac.za/bitstream/handle/10539/22434/Sheer%20Paul%201997.pdf?sequence=1&isAllowed=y A software assistant for manual stereo photometrology], M.Sc. thesis, 1997</ref> तक बढ़ा दिया गया है, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसी विधि है जो तेज है, फिर भी मनमाना अभिविन्यास और विस्थापन के नेत्रहीन मनभावन दीर्घवृत्त पाता है। | उपरोक्त तकनीक को एक गैर-रेखीय चरण जोड़कर सामान्य दीर्घवृत्त<ref>Paul Sheer, [http://wiredspace.wits.ac.za/bitstream/handle/10539/22434/Sheer%20Paul%201997.pdf?sequence=1&isAllowed=y A software assistant for manual stereo photometrology], M.Sc. thesis, 1997</ref> तक बढ़ा दिया गया है, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसी विधि है जो तेज है, फिर भी मनमाना अभिविन्यास और विस्थापन के नेत्रहीन मनभावन दीर्घवृत्त पाता है। | ||
== | == अनुकूलन सतह == | ||
{{Further|Computer representation of surfaces}} | {{Further|Computer representation of surfaces}} | ||
{{See also|Multivariate interpolation|Smoothing}} | {{See also|Multivariate interpolation|Smoothing}} | ||
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== सॉफ्टवेयर == | == सॉफ्टवेयर == | ||
कई सांख्यिकीय पैकेज जैसे कि आर और संख्यात्मक सॉफ्टवेयर जैसे कि [[ gnuplot |ग्नुप्लॉट]] , [[ जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय | जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय]], [[ MLAB | एमएलएबी]], मेपल (सॉफ़्टवेयर), [[ MATLAB | मैटलैब]] , टीके सॉल्वर 6.0, [[ साइलैब ]], [[ मेथेमेटिका ]], जीएनयू ऑक्टेव, और [[ SciPy |साइपी]]में विभिन्न परिदृश्यों में कर्व | कई सांख्यिकीय पैकेज जैसे कि आर और संख्यात्मक सॉफ्टवेयर जैसे कि [[ gnuplot |ग्नुप्लॉट]] , [[ जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय | जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय]], [[ MLAB | एमएलएबी]], मेपल (सॉफ़्टवेयर), [[ MATLAB | मैटलैब]] , टीके सॉल्वर 6.0, [[ साइलैब ]], [[ मेथेमेटिका ]], जीएनयू ऑक्टेव, और [[ SciPy |साइपी]]में विभिन्न परिदृश्यों में कर्व अनुकूलन करने के लिए कमांड शामिल हैं। वक्र अनुकूलन करने के लिए विशेष रूप से लिखे गए कार्यक्रम भी हैं; वे सांख्यिकीय और संख्यात्मक-विश्लेषण कार्यक्रमों की सूची के साथ-साथ श्रेणी:प्रतिगमन और वक्र अनुकूलन सॉफ़्टवेयर में पाए जा सकते हैं। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
* [[ कम से कम वर्ग समायोजन ]] | * [[ कम से कम वर्ग समायोजन ]] | ||
*[[ वक्र-फिटिंग संघनन ]] | *[[ वक्र-फिटिंग संघनन | वक्र-अनुकूलन संघनन]] | ||
* [[ अनुमान सिद्धांत ]] | * [[ अनुमान सिद्धांत ]] | ||
* फंक्शन सन्निकटन | * फंक्शन सन्निकटन | ||
| Line 84: | Line 84: | ||
*[[ आनुवंशिक प्रोग्रामिंग ]] | *[[ आनुवंशिक प्रोग्रामिंग ]] | ||
* लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड एल्गोरिथम | * लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड एल्गोरिथम | ||
*[[ लाइन फिटिंग ]] | *[[ लाइन फिटिंग | लाइन अनुकूलन]] | ||
* [[ मल्टी एक्सप्रेशन प्रोग्रामिंग ]] | * [[ मल्टी एक्सप्रेशन प्रोग्रामिंग ]] | ||
* [[ अरेखीय प्रतिगमन ]] | * [[ अरेखीय प्रतिगमन ]] | ||
*[[ ओवरफिटिंग ]] | *[[ ओवरफिटिंग | ओवरअनुकूलन]] | ||
*प्लेन कर्व | *प्लेन कर्व | ||
*[[ संभाव्यता वितरण फिटिंग ]] | *[[ संभाव्यता वितरण फिटिंग | संभाव्यता वितरण अनुकूलन]] | ||
* [[ साइनसॉइडल मॉडल ]] | * [[ साइनसॉइडल मॉडल ]] | ||
* चौरसाई | * चौरसाई | ||
Revision as of 09:42, 16 November 2022
वक्र अनुकूलन[1][2] एक वक्र, या गणितीय फलन के निर्माण की प्रक्रिया है, जो आँकड़े बिंदुओं की एक श्रृंखला के लिए सबसे उपयुक्त है,[3] संभवतः बाधाओं के अधीन है।[4][5] वक्र अनुकूलन में या तो प्रक्षेप शामिल हो सकता है,[6][7]जहां आँकड़े के लिए एक सटीक फिट की आवश्यकता होती है, या चौरसाई,[8][9] जिसमें एक "चिकनी" फलन का निर्माण किया जाता है जो आँकड़े को लगभग फिट करता है। एक संबंधित विषयप्रतिगमन विश्लेषण है,[10][11] जो सांख्यिकीय अनुमान के प्रश्नों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है जैसे कि वक्र में कितनी अनिश्चितता मौजूद है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ देखे गए आँकड़े के लिए उपयुक्त है। फिटेड कर्व्स का उपयोग आँकड़े विज़ुअलाइज़ेशन के लिए सहायता के रूप में किया जा सकता है,[12][13] एक फलन के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए जहां कोई आँकड़े उपलब्ध नहीं है,[14] और दो या अधिक चर के बीच संबंधों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए।[15] एक्सट्रपलेशन प्रेक्षित आँकड़े की सीमा से परे एक फिट वक्र के उपयोग को संदर्भित करता है, [[16] और अनिश्चितता की एक डिग्री के अधीन है[17] क्योंकि यह वक्र के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को उतना ही प्रतिबिंबित कर सकता है जितना कि यह देखे गए आँकड़े को दर्शाता है।
आँकड़े के रैखिक-बीजगणितीय विश्लेषण के लिए, "अनुकूलन" का अर्थ आमतौर पर उस वक्र को खोजने का प्रयास करना होता है जो वक्र से एक बिंदु के ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) विस्थापन को कम करता है (उदाहरण के लिए, सामान्य न्यूनतम वर्ग)। हालांकि, ग्राफिकल और छवि अनुप्रयोगों के लिए, ज्यामितीय अनुकूलन सर्वोत्तम दृश्य फिट प्रदान करना चाहता है; जिसका आमतौर पर मतलब होता है वक्र के लिएओर्थोगोनल दूरीको कम करने की कोशिश करना (जैसे, कुल कम से कम वर्ग), या अन्यथा वक्र से एक बिंदु के विस्थापन के दोनों अक्षों को शामिल करना। ज्यामितीय फिट लोकप्रिय नहीं हैं क्योंकि उन्हें आमतौर पर गैर-रैखिक और/या पुनरावृत्त गणना की आवश्यकता होती है, हालांकि उनके पास अधिक सौंदर्य और ज्यामितीय रूप से सटीक परिणाम का लाभ होता है।[18][19][20]
आँकड़े बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय अनुकूलन
सबसे आम तौर पर, कोई फॉर्म के फलन को फिट करता है y=f(x).
आँकड़े बिंदुओं के लिए अनुकूलन लाइनें और बहुपद कार्य
पहली डिग्री बहुपद समीकरण
ढलान वाली एक रेखा है a. एक रेखा किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ेगी, इसलिए प्रथम डिग्री बहुपद समीकरण अलग-अलग x निर्देशांक वाले किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से सटीक रूप से फिट होता है।
यदि समीकरण के क्रम को दूसरी डिग्री बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:
यह बिल्कुल एक साधारण वक्र को तीन बिंदुओं पर फिट करेगा।
यदि समीकरण के क्रम को एक तिहाई डिग्री बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित प्राप्त होता है:
यह बिल्कुल चार बिंदुओं पर फिट होगा।
एक अधिक सामान्य कथन यह कहना होगा कि यह बिल्कुल चार बाधाओं के अनुरूप होगा। प्रत्येक बाधा एक बिंदु,कोण या वक्रताहो सकती है (जो एक दोलन वृत्त की त्रिज्या का व्युत्क्रम है)। कोण और वक्रता बाधाओं को अक्सर एक वक्र के सिरों पर जोड़ा जाता है, और ऐसे मामलों में अंत की स्थिति कहलाती है। एक ही तख़्ता में निहित बहुपद वक्रों के बीच एक सहज संक्रमण सुनिश्चित करने के लिए समान अंत स्थितियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। उच्च-क्रम की बाधाएं, जैसे "वक्रता की दर में परिवर्तन", को भी जोड़ा जा सकता है। यह, उदाहरण के लिए, एक कार पर लागू बलों के परिवर्तन की दर को समझने के लिए राजमार्गतिपतिया घास इंटरचेंजडिजाइन में उपयोगी होगा (झटका देखें), क्योंकि यह तिपतिया घास का अनुसरण करता है, और तदनुसार उचित गति सीमा निर्धारित करने के लिए।
पहली डिग्री बहुपद समीकरण भी एक बिंदु और एक कोण के लिए एक सटीक फिट हो सकता है जबकि तीसरी डिग्री बहुपद समीकरण भी दो बिंदुओं, एक कोण बाधा और वक्रता बाधा के लिए सटीक फिट हो सकता है। इनके लिए और उच्च क्रम वाले बहुपद समीकरणों के लिए बाधाओं के कई अन्य संयोजन संभव हैं।
यदि n + 1 से अधिक बाधाएं हैं (n बहुपद की डिग्री होने के नाते), तो बहुपद वक्र अभी भी उन बाधाओं के माध्यम से चलाया जा सकता है। सभी बाधाओं के लिए एक सटीक फिट निश्चित नहीं है (लेकिन हो सकता है, उदाहरण के लिए, पहली डिग्री बहुपद के मामले में तीन कोलिनियर बिंदुओं को बिल्कुल फिट करना)। सामान्य तौर पर, हालांकि, प्रत्येक सन्निकटन का मूल्यांकन करने के लिए कुछ विधि की आवश्यकता होती है। कम से कम वर्ग विधि विचलन की तुलना करने का एक तरीका है।
बहुपद समीकरण की डिग्री को बढ़ाना और सटीक मिलान प्राप्त करना संभव होने पर अनुमानित फिट होने के कई कारण दिए गए हैं।
- यहां तक कि अगर एक सटीक मिलान मौजूद है, तो यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सटीक फिट की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में बहुत अधिक कंप्यूटर समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है।
- एक नमूने में संदिग्ध आँकड़े बिंदुओं के औसत का प्रभाव, उन्हें ठीक से फिट करने के लिए वक्र को विकृत करने के बजाय, वांछनीय हो सकता है।
- रंज की घटना: उच्च क्रम बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं A और B से होकर गुजरता है, तो यह अपेक्षा की जाएगी कि वक्र A और B के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है; उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो सकारात्मक या नकारात्मकपरिमाण (गणित)में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम वाले बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना है (यह पहली डिग्री बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से चलने की गारंटी भी है)।
- निम्न-क्रम वाले बहुपद चिकने होते हैं और उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्र "ढेलेदार" होते हैं। इसे और अधिक सटीक रूप से परिभाषित करने के लिए, बहुपद वक्र में संभव अधिकतम विभक्ति बिंदु n-2 है, जहां n बहुपद समीकरण का क्रम है। एक विभक्ति बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहां यह एक सकारात्मक त्रिज्या से नकारात्मक पर स्विच करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यह वह जगह है जहां यह "होल्डिंग वॉटर" से "बहाते पानी" में बदल जाता है। ध्यान दें कि यह केवल "संभव" है कि उच्च क्रम वाले बहुपद ढेलेदार होंगे; वे चिकने भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। एक पंद्रहवीं डिग्री बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विभक्ति बिंदु हो सकते हैं, लेकिन ग्यारह, या नौ या कोई भी विषम संख्या एक से कम हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपद में n - 2 से नीचे शून्य तक किसी भी सम संख्या में विभक्ति बिंदु हो सकते हैं।)
सटीक फिट के लिए आवश्यकता से अधिक होने वाले बहुपद वक्र की डिग्री उच्च क्रम बहुपदों के लिए पहले सूचीबद्ध सभी कारणों के लिए अवांछनीय है, लेकिन एक ऐसे मामले की ओर भी ले जाती है जहां अनंत संख्या में समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य दो के बजाय केवल एक बिंदु से विवश एक प्रथम डिग्री बहुपद (एक रेखा), अनंत संख्या में समाधान देगा। यह इस समस्या को सामने लाता है कि कैसे तुलना करें और केवल एक समाधान चुनें, जो सॉफ्टवेयर और मनुष्यों के लिए भी एक समस्या हो सकती है। इस कारण से, सभी बाधाओं पर सटीक मिलान के लिए जितना संभव हो उतना कम डिग्री चुनना सबसे अच्छा है, और शायद इससे भी कम डिग्री, यदि एक अनुमानित फिट स्वीकार्य है।
गेहूं की उपज और मिट्टी की लवणता के बीच संबंध[21]
अन्य कार्यों को आँकड़े बिंदुओं पर फ़िट करना
कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे त्रिकोणमितीय फलन (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है।
स्पेक्ट्रोस्कोपी में, आँकड़े को गाऊसी , लोरेंत्ज़ियन , वोइग्ट और संबंधित कार्यों के साथ फिट किया जा सकता है।
जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान, और कई अन्य विषयों में, जनसंख्या की वृद्धि , संक्रामक रोग का प्रसार, आदि को रसद समारोह का उपयोग करके फिट किया जा सकता है।
कृषि में इनवर्टेड लॉजिस्टिक सिग्मॉइड फलन (एस-वक्र) का उपयोग फसल की उपज और वृद्धि कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापे गए आँकड़े के सिग्मॉइड रिग्रेशन द्वारा बनाई गई थी। यह देखा जा सकता है कि शुरू में, यानी कम मिट्टी की लवणता पर, मिट्टी की लवणता बढ़ने पर फसल की उपज धीरे-धीरे कम हो जाती है, जबकि उसके बाद कमी तेजी से बढ़ती है।
आँकड़े बिंदुओं के लिए विमान वक्र की ज्यामितीय अनुकूलन
यदि फॉर्म का कोई फंक्शन पोस्ट नहीं किया जा सकता है, तब भी कोई समतल वक्रफिट करने का प्रयास कर सकता है।
कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे कि शंकु खंड(गोलाकार, अण्डाकार, परवलयिक, और अतिशयोक्तिपूर्ण चाप) या त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र एक परवलयिक पथ का अनुसरण करते हैं, जब वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज कर दिया जाता है। इसलिए, एक परवलयिक वक्र के लिए प्रक्षेपवक्र आँकड़े बिंदुओं का मिलान करना समझ में आता है। ज्वार साइनसॉइडल पैटर्न का पालन करते हैं, इसलिए ज्वारीय आँकड़े बिंदुओं को एक साइन लहर से मिलान किया जाना चाहिए, या विभिन्न अवधियों की दो साइन तरंगों का योग, यदि चंद्रमा और सूर्य दोनों के प्रभावों पर विचार किया जाता है।
एक पैरामीट्रिक वक्रके लिए, इसके प्रत्येक निर्देशांक को चाप लंबाई के एक अलग कार्य के रूप में फिट करना प्रभावी होता है; यह मानते हुए कि आँकड़े बिंदुओं का आदेश दिया जा सकता है, तार दूरी का उपयोग किया जा सकता है।[22]
ज्यामितीय फिट द्वारा एक वृत्त को फ़िट करना
कूप[23] 2डी आँकड़े बिंदुओं के एक सेट के लिए सर्कल के सर्वोत्तम दृश्य फिट को खोजने की कोशिश करने की समस्या का सामना करता है। विधि सामान्य रूप से गैर-रैखिक समस्या को एक रैखिक समस्या में बदल देती है जिसे पुनरावृत्त संख्यात्मक विधियों का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है, और इसलिए पिछली तकनीकों की तुलना में बहुत तेज़ है।
ज्यामितीय फिट द्वारा एक दीर्घवृत्त को फ़िट करना
उपरोक्त तकनीक को एक गैर-रेखीय चरण जोड़कर सामान्य दीर्घवृत्त[24] तक बढ़ा दिया गया है, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसी विधि है जो तेज है, फिर भी मनमाना अभिविन्यास और विस्थापन के नेत्रहीन मनभावन दीर्घवृत्त पाता है।
अनुकूलन सतह
ध्यान दें कि जबकि यह चर्चा 2D वक्रों के संदर्भ में थी, इस तर्क का अधिकांश भाग 3D सतहों तक भी फैला हुआ है, जिनमें से प्रत्येक पैच को दो पैरामीट्रिक दिशाओं में वक्रों के जाल द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आमतौर पर u और v कहा जाता है। एक सतह प्रत्येक दिशा में एक या अधिक सतह पैच से बनी हो सकती है।
सॉफ्टवेयर
कई सांख्यिकीय पैकेज जैसे कि आर और संख्यात्मक सॉफ्टवेयर जैसे कि ग्नुप्लॉट , जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय, एमएलएबी, मेपल (सॉफ़्टवेयर), मैटलैब , टीके सॉल्वर 6.0, साइलैब , मेथेमेटिका , जीएनयू ऑक्टेव, और साइपीमें विभिन्न परिदृश्यों में कर्व अनुकूलन करने के लिए कमांड शामिल हैं। वक्र अनुकूलन करने के लिए विशेष रूप से लिखे गए कार्यक्रम भी हैं; वे सांख्यिकीय और संख्यात्मक-विश्लेषण कार्यक्रमों की सूची के साथ-साथ श्रेणी:प्रतिगमन और वक्र अनुकूलन सॉफ़्टवेयर में पाए जा सकते हैं।
यह भी देखें
- कम से कम वर्ग समायोजन
- वक्र-अनुकूलन संघनन
- अनुमान सिद्धांत
- फंक्शन सन्निकटन
- स्वस्थ रहने के फायदे
- आनुवंशिक प्रोग्रामिंग
- लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड एल्गोरिथम
- लाइन अनुकूलन
- मल्टी एक्सप्रेशन प्रोग्रामिंग
- अरेखीय प्रतिगमन
- ओवरअनुकूलन
- प्लेन कर्व
- संभाव्यता वितरण अनुकूलन
- साइनसॉइडल मॉडल
- चौरसाई
- तख़्ता (गणित) (तख़्ता प्रक्षेप , चौरसाई तख़्ता )
- समय श्रृंखला
- कुल न्यूनतम वर्ग
- रैखिक प्रवृत्ति अनुमान
संदर्भ
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- ↑ William M. Kolb. Curve Fitting for Programmable Calculators. Syntec, Incorporated, 1984.
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- ↑ See also: Mollifier
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- ↑ Calculator for sigmoid regression
- ↑ p.51 in Ahlberg & Nilson (1967) The theory of splines and their applications, Academic Press, 1967 [1]
- ↑ Coope, I.D. (1993). "रैखिक और अरेखीय कम से कम वर्गों द्वारा सर्कल फिटिंग". Journal of Optimization Theory and Applications. 76 (2): 381–388. doi:10.1007/BF00939613. hdl:10092/11104.
- ↑ Paul Sheer, A software assistant for manual stereo photometrology, M.Sc. thesis, 1997
अग्रिम पठन
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- N. Chernov (2010), Circular and linear regression: Fitting circles and lines by least squares, Chapman & Hall/CRC, Monographs on Statistics and Applied Probability, Volume 117 (256 pp.). [2]
