वक्र अनुकूलन: Difference between revisions

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[[File:Regression pic assymetrique.gif|thumb|upright=1.5|एक असममित शिखर मॉडल द्वारा एक शोर वक्र की फिटिंग, एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया के साथ (गॉस-न्यूटन एल्गोरिथ्म चर भिगोना कारक α के साथ)। <br /> शीर्ष: कच्चा डेटा और मॉडल।<br /> निचला: त्रुटियों के वर्गों के सामान्यीकृत योग का विकास।]]
[[File:Regression pic assymetrique.gif|thumb|upright=1.5|एक असममित शिखर मॉडल द्वारा एक शोर वक्र की फिटिंग, एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया के साथ (गॉस-न्यूटन एल्गोरिथ्म चर भिगोना कारक α के साथ)। <br /> शीर्ष: कच्चा डेटा और मॉडल।<br /> निचला: त्रुटियों के वर्गों के सामान्यीकृत योग का विकास।]]
{{Order-of-approx}}
{{Order-of-approx}}वक्र फिटिंग<ref>Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.</ref><ref>William M. Kolb. [https://books.google.com/books?id=ZiLYAAAAMAAJ&dq=%22Curve+Fitting+for+Programmable+Calculators%22+kolb&focus=searchwithinvolume&q=%22Curve+fitting%22 Curve Fitting for Programmable Calculators]. Syntec, Incorporated, 1984.</ref> एक [[ वक्र ]], या गणितीय फ़ंक्शन के निर्माण की प्रक्रिया है, जो डेटा बिंदुओं की एक श्रृंखला के लिए सबसे उपयुक्त है,<ref>S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. {{ISBN|0306439972}} Page 165 (''cf''. ... functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.)</ref> संभवतः बाधाओं के अधीन है।<ref>[https://books.google.com/books?id=SI-VqAT4_hYC ''The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't.''] By Nate Silver</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=hhdVr9F-JfAC Data Preparation for Data Mining]: Text. By Dorian Pyle.</ref> वक्र फिटिंग में या तो [[ प्रक्षेप ]] शामिल हो सकता है,<ref>Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By Jaan Kiusalaas. Page 24.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=YlkgAwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22curve%20fitting%22&f=false Numerical Methods in Engineering with Python 3]. By Jaan Kiusalaas. Page 21.</ref>जहां डेटा के लिए एक सटीक फिट की आवश्यकता होती है, या चौरसाई,<ref>[https://books.google.com/books?id=UjnB0FIWv_AC&printsec=frontcover#v=onepage&q=smoothing&f=false Numerical Methods of Curve Fitting]. By P. G. Guest, Philip George Guest. Page 349.</ref><ref>See also: [[Mollifier]]</ref> जिसमें एक "चिकनी" फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है जो डेटा को लगभग फिट करता है। एक संबंधित विषय[[ प्रतिगमन विश्लेषण |प्रतिगमन विश्लेषण]] है,<ref>[https://books.google.com/books?id=g1FO9pquF3kC&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22regression%20analysis%22&f=false Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression]. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=Us4YE8lJVYMC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22regression%20analysis%22&f=false Regression Analysis] By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269.</ref> जो सांख्यिकीय अनुमान के प्रश्नों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है जैसे कि वक्र में कितनी अनिश्चितता मौजूद है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ देखे गए डेटा के लिए उपयुक्त है। फिटेड कर्व्स का उपयोग डेटा विज़ुअलाइज़ेशन के लिए सहायता के रूप में किया जा सकता है,<ref>Visual Informatics. Edited by Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Page 689.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=rdJvXG1k3HsC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22Curve%20fitting%22&f=false Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models]. By John R. Hauser. Page 227.</ref> एक फ़ंक्शन के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए जहां कोई डेटा उपलब्ध नहीं है,<ref>Methods of Experimental Physics: Spectroscopy, Volume 13, Part 1. By Claire Marton. Page 150.</ref> और दो या अधिक चर के बीच संबंधों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए।<ref>Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Edited by Neil J. Salkind. Page 266.</ref> [[ एक्सट्रपलेशन ]]प्रेक्षित डेटा की सीमा से परे एक फिट वक्र के उपयोग को संदर्भित करता है, [<ref>[https://books.google.com/books?id=ba0hAQAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22Curve%20fitting%22%20OR%20extrapolation&f=false Community Analysis and Planning Techniques]. By Richard E. Klosterman. Page 1.</ref> और [[ अनिश्चितता |अनिश्चितता]] की एक डिग्री के अधीन है<ref>An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments. DIANE Publishing. [https://books.google.com/books?id=rJ23LWaZAqsC&pg=PA69 Pg 69]</ref> क्योंकि यह वक्र के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को उतना ही प्रतिबिंबित कर सकता है जितना कि यह देखे गए डेटा को दर्शाता है।
वक्र फिटिंग<ref>Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.</ref><ref>William M. Kolb. [https://books.google.com/books?id=ZiLYAAAAMAAJ&dq=%22Curve+Fitting+for+Programmable+Calculators%22+kolb&focus=searchwithinvolume&q=%22Curve+fitting%22 Curve Fitting for Programmable Calculators]. Syntec, Incorporated, 1984.</ref> एक [[ वक्र ]], या फ़ंक्शन (गणित) के निर्माण की प्रक्रिया है, जो डेटा बिंदुओं की एक श्रृंखला के लिए सबसे उपयुक्त है,<ref>S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. {{ISBN|0306439972}} Page 165 (''cf''. ... functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.)</ref> संभवतः बाधाओं के अधीन।<ref>[https://books.google.com/books?id=SI-VqAT4_hYC ''The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't.''] By Nate Silver</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=hhdVr9F-JfAC Data Preparation for Data Mining]: Text. By Dorian Pyle.</ref> वक्र फिटिंग में या तो [[ प्रक्षेप ]] शामिल हो सकता है,<ref>Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By Jaan Kiusalaas. Page 24.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=YlkgAwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22curve%20fitting%22&f=false Numerical Methods in Engineering with Python 3]. By Jaan Kiusalaas. Page 21.</ref> जहां डेटा के लिए एक सटीक फिट की आवश्यकता है, या चौरसाई करना है,<ref>[https://books.google.com/books?id=UjnB0FIWv_AC&printsec=frontcover#v=onepage&q=smoothing&f=false Numerical Methods of Curve Fitting]. By P. G. Guest, Philip George Guest. Page 349.</ref><ref>See also: [[Mollifier]]</ref> जिसमें एक सुचारू कार्य का निर्माण किया जाता है जो लगभग डेटा को फिट करता है। एक संबंधित विषय [[ प्रतिगमन विश्लेषण ]] है,<ref>[https://books.google.com/books?id=g1FO9pquF3kC&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22regression%20analysis%22&f=false Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression]. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=Us4YE8lJVYMC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22regression%20analysis%22&f=false Regression Analysis] By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269.</ref> जो सांख्यिकीय अनुमान के प्रश्नों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है जैसे कि वक्र में कितनी अनिश्चितता मौजूद है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ देखे गए डेटा के लिए उपयुक्त है। फिटेड कर्व्स का उपयोग डेटा विज़ुअलाइज़ेशन के लिए सहायता के रूप में किया जा सकता है,<ref>Visual Informatics. Edited by Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Page 689.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=rdJvXG1k3HsC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22Curve%20fitting%22&f=false Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models]. By John R. Hauser. Page 227.</ref> किसी फ़ंक्शन के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए जहां कोई डेटा उपलब्ध नहीं है,<ref>Methods of Experimental Physics: Spectroscopy, Volume 13, Part 1. By Claire Marton. Page 150.</ref> और दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंधों को संक्षेप में प्रस्तुत करना।<ref>Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Edited by Neil J. Salkind. Page 266.</ref> [[ एक्सट्रपलेशन ]] प्रेक्षित डेटा की सीमा (सांख्यिकी) से परे एक फिट वक्र के उपयोग को संदर्भित करता है,<ref>[https://books.google.com/books?id=ba0hAQAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22Curve%20fitting%22%20OR%20extrapolation&f=false Community Analysis and Planning Techniques]. By Richard E. Klosterman. Page 1.</ref> और एक [[ अनिश्चितता ]] के अधीन है<ref>An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments. DIANE Publishing. [https://books.google.com/books?id=rJ23LWaZAqsC&pg=PA69 Pg 69]</ref> चूंकि यह वक्र के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को उतना ही प्रतिबिंबित कर सकता है जितना कि यह देखे गए डेटा को दर्शाता है।


डेटा के रैखिक-बीजगणितीय विश्लेषण के लिए, फिटिंग का अर्थ आमतौर पर उस वक्र को खोजने की कोशिश करना होता है जो वक्र से एक बिंदु के ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) विस्थापन को कम करता है (जैसे, साधारण न्यूनतम वर्ग)। हालांकि, ग्राफिकल और छवि अनुप्रयोगों के लिए, ज्यामितीय फिटिंग सर्वोत्तम दृश्य फिट प्रदान करना चाहता है; जिसका आमतौर पर मतलब होता है वक्र के लिए [[ ओर्थोगोनल दूरी ]] को कम करने की कोशिश करना (जैसे, कुल कम से कम वर्ग), या अन्यथा वक्र से एक बिंदु के विस्थापन के दोनों अक्षों को शामिल करना। ज्यामितीय फिट लोकप्रिय नहीं हैं क्योंकि उन्हें आम तौर पर गैर-रैखिक और/या पुनरावृत्ति गणना की आवश्यकता होती है, हालांकि उनके पास अधिक सौंदर्य और ज्यामितीय रूप से सटीक परिणाम का लाभ होता है।<ref>{{citation |first=Sung-Joon |last=Ahn |title=Geometric Fitting of Parametric Curves and Surfaces |journal=Journal of Information Processing Systems |volume=4 |issue=4 |pages=153–158 |date=December 2008 |doi=10.3745/JIPS.2008.4.4.153 |url=http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140313084307/http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf |archivedate=2014-03-13 }}</ref><ref>{{citation |first1=N. |last1=Chernov |first2=H. |last2=Ma |year=2011 |contribution=Least squares fitting of quadratic curves and surfaces |title=Computer Vision |editor-first=Sota R. |editor-last=Yoshida |publisher=Nova Science Publishers |isbn=9781612093994
डेटा के रैखिक-बीजगणितीय विश्लेषण के लिए, "फिटिंग" का अर्थ आमतौर पर उस वक्र को खोजने का प्रयास करना होता है जो वक्र से एक बिंदु के ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) विस्थापन को कम करता है (उदाहरण के लिए, सामान्य न्यूनतम वर्ग)। हालांकि, ग्राफिकल और छवि अनुप्रयोगों के लिए, ज्यामितीय फिटिंग सर्वोत्तम दृश्य फिट प्रदान करना चाहता है; जिसका आमतौर पर मतलब होता है वक्र के लिए[[ ओर्थोगोनल दूरी |ओर्थोगोनल दूरी]]को कम करने की कोशिश करना (जैसे, कुल कम से कम वर्ग), या अन्यथा वक्र से एक बिंदु के विस्थापन के दोनों अक्षों को शामिल करना। ज्यामितीय फिट लोकप्रिय नहीं हैं क्योंकि उन्हें आमतौर पर गैर-रैखिक और/या पुनरावृत्त गणना की आवश्यकता होती है, हालांकि उनके पास अधिक सौंदर्य और ज्यामितीय रूप से सटीक परिणाम का लाभ होता है।<ref>{{citation |first=Sung-Joon |last=Ahn |title=Geometric Fitting of Parametric Curves and Surfaces |journal=Journal of Information Processing Systems |volume=4 |issue=4 |pages=153–158 |date=December 2008 |doi=10.3745/JIPS.2008.4.4.153 |url=http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140313084307/http://jips-k.org/dlibrary/JIPS_v04_no4_paper4.pdf |archivedate=2014-03-13 }}</ref><ref>{{citation |first1=N. |last1=Chernov |first2=H. |last2=Ma |year=2011 |contribution=Least squares fitting of quadratic curves and surfaces |title=Computer Vision |editor-first=Sota R. |editor-last=Yoshida |publisher=Nova Science Publishers |isbn=9781612093994
  |pages=285–302 |url=<!-- http://people.cas.uab.edu/~mosya/papers/CM1nova.pdf No indication of copyright --> }}</ref><ref>{{citation |first1=Yang |last1=Liu |first2=Wenping |last2=Wang |year=2008 |contribution=A Revisit to Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Parametric Curves and Surfaces |editor1-first=F. |editor1-last=Chen |editor2-first=B. |editor2-last=Juttler |title=Advances in Geometric Modeling and Processing |series=Lecture Notes in Computer Science |volume=4975 |pages=384–397 |doi=10.1007/978-3-540-79246-8_29
  |pages=285–302 |url=<!-- http://people.cas.uab.edu/~mosya/papers/CM1nova.pdf No indication of copyright --> }}</ref><ref>{{citation |first1=Yang |last1=Liu |first2=Wenping |last2=Wang |year=2008 |contribution=A Revisit to Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Parametric Curves and Surfaces |editor1-first=F. |editor1-last=Chen |editor2-first=B. |editor2-last=Juttler |title=Advances in Geometric Modeling and Processing |series=Lecture Notes in Computer Science |volume=4975 |pages=384–397 |doi=10.1007/978-3-540-79246-8_29
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== डेटा बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय फिटिंग==
 
== डेटा बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय फिटिंग{{anchor|Functions|Algebraic}}==
सबसे आम तौर पर, कोई फॉर्म के फ़ंक्शन को फिट करता है {{math|''y''{{=}}''f''(''x'')}}.
सबसे आम तौर पर, कोई फॉर्म के फ़ंक्शन को फिट करता है {{math|''y''{{=}}''f''(''x'')}}.


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यह बिल्कुल चार बिंदुओं पर फिट होगा।
यह बिल्कुल चार बिंदुओं पर फिट होगा।


एक अधिक सामान्य कथन यह कहना होगा कि यह बिल्कुल चार बाधाओं के अनुरूप होगा। प्रत्येक बाधा एक बिंदु, [[ कोण ]] या [[ वक्रता ]] हो सकती है (जो एक दोलन वृत्त की त्रिज्या का व्युत्क्रम है)। कोण और वक्रता बाधाओं को अक्सर एक वक्र के सिरों पर जोड़ा जाता है, और ऐसे मामलों में अंत की स्थिति कहलाती है। एक ही रेखा (गणित) के भीतर निहित बहुपद वक्रों के बीच एक सहज संक्रमण सुनिश्चित करने के लिए समान अंत स्थितियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। वक्रता दर में परिवर्तन जैसे उच्च-क्रम की बाधाओं को भी जोड़ा जा सकता है। यह, उदाहरण के लिए, एक कार पर लागू बलों के परिवर्तन की दर को समझने के लिए राजमार्ग [[ तिपतिया घास इंटरचेंज ]] डिज़ाइन में उपयोगी होगा (जर्क (भौतिकी) देखें), क्योंकि यह क्लोवरलीफ का अनुसरण करता है, और तदनुसार उचित गति सीमा निर्धारित करने के लिए।
एक अधिक सामान्य कथन यह कहना होगा कि यह बिल्कुल चार बाधाओं के अनुरूप होगा। प्रत्येक बाधा एक बिंदु,[[ कोण |कोण]] या [[ वक्रता | वक्रता]]हो सकती है (जो एक दोलन वृत्त की त्रिज्या का व्युत्क्रम है)। कोण और वक्रता बाधाओं को अक्सर एक वक्र के सिरों पर जोड़ा जाता है, और ऐसे मामलों में अंत की स्थिति कहलाती है। एक ही तख़्ता में निहित बहुपद वक्रों के बीच एक सहज संक्रमण सुनिश्चित करने के लिए समान अंत स्थितियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। उच्च-क्रम की बाधाएं, जैसे "वक्रता की दर में परिवर्तन", को भी जोड़ा जा सकता है। यह, उदाहरण के लिए, एक कार पर लागू बलों के परिवर्तन की दर को समझने के लिए राजमार्ग[[ तिपतिया घास इंटरचेंज |तिपतिया घास इंटरचेंज]]डिजाइन में उपयोगी होगा (झटका देखें), क्योंकि यह तिपतिया घास का अनुसरण करता है, और तदनुसार उचित गति सीमा निर्धारित करने के लिए।


पहली डिग्री बहुपद समीकरण भी एक बिंदु और एक कोण के लिए एक सटीक फिट हो सकता है जबकि तीसरी डिग्री बहुपद समीकरण भी दो बिंदुओं, एक कोण बाधा और वक्रता बाधा के लिए सटीक फिट हो सकता है। इनके लिए और उच्च क्रम वाले बहुपद समीकरणों के लिए बाधाओं के कई अन्य संयोजन संभव हैं।
पहली डिग्री बहुपद समीकरण भी एक बिंदु और एक कोण के लिए एक सटीक फिट हो सकता है जबकि तीसरी डिग्री बहुपद समीकरण भी दो बिंदुओं, एक कोण बाधा और वक्रता बाधा के लिए सटीक फिट हो सकता है। इनके लिए और उच्च क्रम वाले बहुपद समीकरणों के लिए बाधाओं के कई अन्य संयोजन संभव हैं।


यदि ''n'' + 1 से अधिक बाधाएं हैं (''n'' बहुपद की डिग्री होने के नाते), तो बहुपद वक्र अभी भी उन बाधाओं के माध्यम से चलाया जा सकता है। सभी बाधाओं के लिए एक सटीक फिट निश्चित नहीं है (लेकिन हो सकता है, उदाहरण के लिए, पहली डिग्री बहुपद के मामले में तीन कोलिनियर बिंदुओं को बिल्कुल फिट करना)। सामान्य तौर पर, हालांकि, प्रत्येक सन्निकटन का मूल्यांकन करने के लिए कुछ विधि की आवश्यकता होती है। कम से कम वर्ग विधि विचलन की तुलना करने का एक तरीका है।
यदि n + 1 से अधिक बाधाएं हैं (n बहुपद की डिग्री होने के नाते), तो बहुपद वक्र अभी भी उन बाधाओं के माध्यम से चलाया जा सकता है। सभी बाधाओं के लिए एक सटीक फिट निश्चित नहीं है (लेकिन हो सकता है, उदाहरण के लिए, पहली डिग्री बहुपद के मामले में तीन कोलिनियर बिंदुओं को बिल्कुल फिट करना)। सामान्य तौर पर, हालांकि, प्रत्येक सन्निकटन का मूल्यांकन करने के लिए कुछ विधि की आवश्यकता होती है। कम से कम वर्ग विधि विचलन की तुलना करने का एक तरीका है।


बहुपद समीकरण की डिग्री को बढ़ाना और सटीक मिलान प्राप्त करना संभव होने पर अनुमानित फिट होने के कई कारण दिए गए हैं।
बहुपद समीकरण की डिग्री को बढ़ाना और सटीक मिलान प्राप्त करना संभव होने पर अनुमानित फिट होने के कई कारण दिए गए हैं।


* भले ही एक सटीक मिलान मौजूद हो, यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सटीक फिट की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में बहुत अधिक कंप्यूटर समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है।
* यहां तक ​​​​कि अगर एक सटीक मिलान मौजूद है, तो यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सटीक फिट की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में बहुत अधिक कंप्यूटर समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है।
* एक नमूने में संदिग्ध डेटा बिंदुओं का औसत निकालने का प्रभाव, उन्हें ठीक से फिट करने के लिए वक्र को विकृत करने के बजाय, वांछनीय हो सकता है।
* एक नमूने में संदिग्ध डेटा बिंदुओं के औसत का प्रभाव, उन्हें ठीक से फिट करने के लिए वक्र को विकृत करने के बजाय, वांछनीय हो सकता है।
* रनगे की घटना: उच्च क्रम बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं ''ए'' और ''बी'' से होकर गुजरता है, तो यह अपेक्षा की जाएगी कि वक्र ''ए'' और ''बी'' के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है; उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो सकारात्मक या नकारात्मक [[ परिमाण (गणित) ]] में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम वाले बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना है (यह पहली डिग्री बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से चलने की गारंटी भी है)।
* रंज की घटना: उच्च क्रम बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं A और B से होकर गुजरता है, तो यह अपेक्षा की जाएगी कि वक्र A और B के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है; उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो सकारात्मक या नकारात्मक[[ परिमाण (गणित) |परिमाण (गणित)]]में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम वाले बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना है (यह पहली डिग्री बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से चलने की गारंटी भी है)।
* निम्न कोटि के बहुपद चिकने होते हैं और उच्च कोटि के बहुपद वक्र ढेलेदार होते हैं। इसे और अधिक सटीक रूप से परिभाषित करने के लिए, बहुपद वक्र में संभव अधिकतम विभक्ति बिंदु ''n-2'' है, जहां ''n'' बहुपद समीकरण का क्रम है। एक विभक्ति बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहां यह एक सकारात्मक त्रिज्या से नकारात्मक पर स्विच करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यहीं पर यह जल धारण करने से बहते जल में परिवर्तित हो जाता है। ध्यान दें कि यह केवल संभव है कि उच्च कोटि के बहुपद ढेलेदार हों; वे चिकने भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। एक पंद्रहवीं डिग्री बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विभक्ति बिंदु हो सकते हैं, लेकिन ग्यारह, या नौ या कोई भी विषम संख्या एक से कम हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपद में ''n'' - 2 से शून्य तक कोई भी सम संख्या विभक्ति अंक हो सकते हैं।)
* निम्न-क्रम वाले बहुपद चिकने होते हैं और उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्र "ढेलेदार" होते हैं। इसे और अधिक सटीक रूप से परिभाषित करने के लिए, बहुपद वक्र में संभव अधिकतम विभक्ति बिंदु n-2 है, जहां n बहुपद समीकरण का क्रम है। एक विभक्ति बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहां यह एक सकारात्मक त्रिज्या से नकारात्मक पर स्विच करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यह वह जगह है जहां यह "होल्डिंग वॉटर" से "बहाते पानी" में बदल जाता है। ध्यान दें कि यह केवल "संभव" है कि उच्च क्रम वाले बहुपद ढेलेदार होंगे; वे चिकने भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। एक पंद्रहवीं डिग्री बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विभक्ति बिंदु हो सकते हैं, लेकिन ग्यारह, या नौ या कोई भी विषम संख्या एक से कम हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपद में n - 2 से नीचे शून्य तक किसी भी सम संख्या में विभक्ति बिंदु हो सकते हैं।)


एक सटीक फिट के लिए आवश्यकता से अधिक होने वाले बहुपद वक्र की डिग्री उच्च कोटि के बहुपदों के लिए पहले सूचीबद्ध सभी कारणों के लिए अवांछनीय है, लेकिन यह भी आगे बढ़ता हैo एक ऐसा मामला जहां अनंत संख्या में समाधान हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य दो के बजाय केवल एक बिंदु से विवश एक प्रथम डिग्री बहुपद (एक रेखा), अनंत संख्या में समाधान देगा। यह इस समस्या को सामने लाता है कि कैसे तुलना करें और केवल एक समाधान चुनें, जो सॉफ्टवेयर और मनुष्यों के लिए भी एक समस्या हो सकती है। इस कारण से, सभी बाधाओं पर सटीक मिलान के लिए जितना संभव हो उतना कम डिग्री चुनना सबसे अच्छा है, और शायद इससे भी कम डिग्री, यदि एक अनुमानित फिट स्वीकार्य है।
सटीक फिट के लिए आवश्यकता से अधिक होने वाले बहुपद वक्र की डिग्री उच्च क्रम बहुपदों के लिए पहले सूचीबद्ध सभी कारणों के लिए अवांछनीय है, लेकिन एक ऐसे मामले की ओर भी ले जाती है जहां अनंत संख्या में समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य दो के बजाय केवल एक बिंदु से विवश एक प्रथम डिग्री बहुपद (एक रेखा), अनंत संख्या में समाधान देगा। यह इस समस्या को सामने लाता है कि कैसे तुलना करें और केवल एक समाधान चुनें, जो सॉफ्टवेयर और मनुष्यों के लिए भी एक समस्या हो सकती है। इस कारण से, सभी बाधाओं पर सटीक मिलान के लिए जितना संभव हो उतना कम डिग्री चुनना सबसे अच्छा है, और शायद इससे भी कम डिग्री, यदि एक अनुमानित फिट स्वीकार्य है।


[[File:Gohana inverted S-curve.png|thumb|upright=1.25|गेहूं की उपज और मिट्टी की लवणता के बीच संबंध<ref>[https://www.waterlog.info/sigmoid.htm Calculator for sigmoid regression]</ref>]]
[[File:Gohana inverted S-curve.png|thumb|upright=1.25|गेहूं की उपज और मिट्टी की लवणता के बीच संबंध<ref>[https://www.waterlog.info/sigmoid.htm Calculator for sigmoid regression]</ref>]]
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कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे [[ त्रिकोणमितीय फलन ]] (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है।
कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे [[ त्रिकोणमितीय फलन ]] (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है।


स्पेक्ट्रोस्कोपी में, डेटा को [[ सामान्य वितरण ]], [[ कॉची वितरण ]], [[ वोइगट फंक्शन ]] और संबंधित कार्यों के साथ फिट किया जा सकता है।
स्पेक्ट्रोस्कोपी में, डेटा को [[ सामान्य वितरण | गाऊसी]] , [[ कॉची वितरण |लोरेंत्ज़ियन]] , [[ वोइगट फंक्शन | वोइग्ट]] और संबंधित कार्यों के साथ फिट किया जा सकता है।


जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान, और कई अन्य विषयों में, [[ जनसंख्या वृद्धि ]], संक्रामक रोग का प्रसार, आदि को [[ रसद समारोह ]] का उपयोग करके फिट किया जा सकता है।
जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान, और कई अन्य विषयों में,[[ जनसंख्या वृद्धि | जनसंख्या की वृद्धि]] , संक्रामक रोग का प्रसार, आदि को [[ रसद समारोह ]] का उपयोग करके फिट किया जा सकता है।


[[ कृषि ]] में इनवर्टेड लॉजिस्टिक [[ सिग्मॉइड फ़ंक्शन ]] (एस-वक्र) का उपयोग फसल की उपज और वृद्धि कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापे गए डेटा के सिग्मॉइड रिग्रेशन द्वारा बनाई गई थी। यह देखा जा सकता है कि शुरू में, यानी कम मिट्टी की लवणता पर, मिट्टी की लवणता बढ़ने पर फसल की उपज धीरे-धीरे कम हो जाती है, जबकि उसके बाद कमी तेजी से बढ़ती है।
[[ कृषि ]] में इनवर्टेड लॉजिस्टिक [[ सिग्मॉइड फ़ंक्शन ]] (एस-वक्र) का उपयोग फसल की उपज और वृद्धि कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापे गए डेटा के सिग्मॉइड रिग्रेशन द्वारा बनाई गई थी। यह देखा जा सकता है कि शुरू में, यानी कम मिट्टी की लवणता पर, मिट्टी की लवणता बढ़ने पर फसल की उपज धीरे-धीरे कम हो जाती है, जबकि उसके बाद कमी तेजी से बढ़ती है।

Revision as of 17:19, 15 November 2022

"Best fit" redirects here. For placing ("fitting") variable-sized objects in storage, see Fragmentation (computing).
एक असममित शिखर मॉडल द्वारा एक शोर वक्र की फिटिंग, एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया के साथ (गॉस-न्यूटन एल्गोरिथ्म चर भिगोना कारक α के साथ)।
शीर्ष: कच्चा डेटा और मॉडल।
निचला: त्रुटियों के वर्गों के सामान्यीकृत योग का विकास।
Fit approximation
BigOnotationfunctionapprox popular.svg
Concepts
Orders of approximation
Scale analysis · Big O notation
Curve fitting · False precision
Significant figures
Other fundamentals
Approximation · Generalization error
Taylor polynomial
Scientific modelling

वक्र फिटिंग[1][2] एक वक्र , या गणितीय फ़ंक्शन के निर्माण की प्रक्रिया है, जो डेटा बिंदुओं की एक श्रृंखला के लिए सबसे उपयुक्त है,[3] संभवतः बाधाओं के अधीन है।[4][5] वक्र फिटिंग में या तो प्रक्षेप शामिल हो सकता है,[6][7]जहां डेटा के लिए एक सटीक फिट की आवश्यकता होती है, या चौरसाई,[8][9] जिसमें एक "चिकनी" फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है जो डेटा को लगभग फिट करता है। एक संबंधित विषयप्रतिगमन विश्लेषण है,[10][11] जो सांख्यिकीय अनुमान के प्रश्नों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है जैसे कि वक्र में कितनी अनिश्चितता मौजूद है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ देखे गए डेटा के लिए उपयुक्त है। फिटेड कर्व्स का उपयोग डेटा विज़ुअलाइज़ेशन के लिए सहायता के रूप में किया जा सकता है,[12][13] एक फ़ंक्शन के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए जहां कोई डेटा उपलब्ध नहीं है,[14] और दो या अधिक चर के बीच संबंधों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए।[15] एक्सट्रपलेशन प्रेक्षित डेटा की सीमा से परे एक फिट वक्र के उपयोग को संदर्भित करता है, [[16] और अनिश्चितता की एक डिग्री के अधीन है[17] क्योंकि यह वक्र के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को उतना ही प्रतिबिंबित कर सकता है जितना कि यह देखे गए डेटा को दर्शाता है।

डेटा के रैखिक-बीजगणितीय विश्लेषण के लिए, "फिटिंग" का अर्थ आमतौर पर उस वक्र को खोजने का प्रयास करना होता है जो वक्र से एक बिंदु के ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) विस्थापन को कम करता है (उदाहरण के लिए, सामान्य न्यूनतम वर्ग)। हालांकि, ग्राफिकल और छवि अनुप्रयोगों के लिए, ज्यामितीय फिटिंग सर्वोत्तम दृश्य फिट प्रदान करना चाहता है; जिसका आमतौर पर मतलब होता है वक्र के लिएओर्थोगोनल दूरीको कम करने की कोशिश करना (जैसे, कुल कम से कम वर्ग), या अन्यथा वक्र से एक बिंदु के विस्थापन के दोनों अक्षों को शामिल करना। ज्यामितीय फिट लोकप्रिय नहीं हैं क्योंकि उन्हें आमतौर पर गैर-रैखिक और/या पुनरावृत्त गणना की आवश्यकता होती है, हालांकि उनके पास अधिक सौंदर्य और ज्यामितीय रूप से सटीक परिणाम का लाभ होता है।[18][19][20]

डेटा बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय फिटिंग

सबसे आम तौर पर, कोई फॉर्म के फ़ंक्शन को फिट करता है y=f(x).

डेटा बिंदुओं के लिए फिटिंग लाइनें और बहुपद कार्य

Main article: Polynomial regression
See also: Polynomial interpolation
Polynomial curves fitting a sine function
साइन फ़ंक्शन के साथ उत्पन्न बहुपद वक्र फिटिंग बिंदु। काली बिंदीदार रेखा वास्तविक डेटा है, लाल रेखा एक first Degree polynomial है, हरी रेखा second Degree है, नारंगी रेखा थर्ड डिग्री है और नीली लाइन fourth Degree. है।

पहली डिग्री बहुपद समीकरण

ढलान वाली एक रेखा है a. एक रेखा किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ेगी, इसलिए प्रथम डिग्री बहुपद समीकरण अलग-अलग x निर्देशांक वाले किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से सटीक रूप से फिट होता है।

यदि समीकरण के क्रम को दूसरी डिग्री बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:

यह बिल्कुल एक साधारण वक्र को तीन बिंदुओं पर फिट करेगा।

यदि समीकरण के क्रम को एक तिहाई डिग्री बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित प्राप्त होता है:

यह बिल्कुल चार बिंदुओं पर फिट होगा।

एक अधिक सामान्य कथन यह कहना होगा कि यह बिल्कुल चार बाधाओं के अनुरूप होगा। प्रत्येक बाधा एक बिंदु,कोण या वक्रताहो सकती है (जो एक दोलन वृत्त की त्रिज्या का व्युत्क्रम है)। कोण और वक्रता बाधाओं को अक्सर एक वक्र के सिरों पर जोड़ा जाता है, और ऐसे मामलों में अंत की स्थिति कहलाती है। एक ही तख़्ता में निहित बहुपद वक्रों के बीच एक सहज संक्रमण सुनिश्चित करने के लिए समान अंत स्थितियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। उच्च-क्रम की बाधाएं, जैसे "वक्रता की दर में परिवर्तन", को भी जोड़ा जा सकता है। यह, उदाहरण के लिए, एक कार पर लागू बलों के परिवर्तन की दर को समझने के लिए राजमार्गतिपतिया घास इंटरचेंजडिजाइन में उपयोगी होगा (झटका देखें), क्योंकि यह तिपतिया घास का अनुसरण करता है, और तदनुसार उचित गति सीमा निर्धारित करने के लिए।

पहली डिग्री बहुपद समीकरण भी एक बिंदु और एक कोण के लिए एक सटीक फिट हो सकता है जबकि तीसरी डिग्री बहुपद समीकरण भी दो बिंदुओं, एक कोण बाधा और वक्रता बाधा के लिए सटीक फिट हो सकता है। इनके लिए और उच्च क्रम वाले बहुपद समीकरणों के लिए बाधाओं के कई अन्य संयोजन संभव हैं।

यदि n + 1 से अधिक बाधाएं हैं (n बहुपद की डिग्री होने के नाते), तो बहुपद वक्र अभी भी उन बाधाओं के माध्यम से चलाया जा सकता है। सभी बाधाओं के लिए एक सटीक फिट निश्चित नहीं है (लेकिन हो सकता है, उदाहरण के लिए, पहली डिग्री बहुपद के मामले में तीन कोलिनियर बिंदुओं को बिल्कुल फिट करना)। सामान्य तौर पर, हालांकि, प्रत्येक सन्निकटन का मूल्यांकन करने के लिए कुछ विधि की आवश्यकता होती है। कम से कम वर्ग विधि विचलन की तुलना करने का एक तरीका है।

बहुपद समीकरण की डिग्री को बढ़ाना और सटीक मिलान प्राप्त करना संभव होने पर अनुमानित फिट होने के कई कारण दिए गए हैं।

  • यहां तक ​​​​कि अगर एक सटीक मिलान मौजूद है, तो यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सटीक फिट की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में बहुत अधिक कंप्यूटर समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है।
  • एक नमूने में संदिग्ध डेटा बिंदुओं के औसत का प्रभाव, उन्हें ठीक से फिट करने के लिए वक्र को विकृत करने के बजाय, वांछनीय हो सकता है।
  • रंज की घटना: उच्च क्रम बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं A और B से होकर गुजरता है, तो यह अपेक्षा की जाएगी कि वक्र A और B के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है; उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो सकारात्मक या नकारात्मकपरिमाण (गणित)में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम वाले बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना है (यह पहली डिग्री बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से चलने की गारंटी भी है)।
  • निम्न-क्रम वाले बहुपद चिकने होते हैं और उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्र "ढेलेदार" होते हैं। इसे और अधिक सटीक रूप से परिभाषित करने के लिए, बहुपद वक्र में संभव अधिकतम विभक्ति बिंदु n-2 है, जहां n बहुपद समीकरण का क्रम है। एक विभक्ति बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहां यह एक सकारात्मक त्रिज्या से नकारात्मक पर स्विच करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यह वह जगह है जहां यह "होल्डिंग वॉटर" से "बहाते पानी" में बदल जाता है। ध्यान दें कि यह केवल "संभव" है कि उच्च क्रम वाले बहुपद ढेलेदार होंगे; वे चिकने भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। एक पंद्रहवीं डिग्री बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विभक्ति बिंदु हो सकते हैं, लेकिन ग्यारह, या नौ या कोई भी विषम संख्या एक से कम हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपद में n - 2 से नीचे शून्य तक किसी भी सम संख्या में विभक्ति बिंदु हो सकते हैं।)

सटीक फिट के लिए आवश्यकता से अधिक होने वाले बहुपद वक्र की डिग्री उच्च क्रम बहुपदों के लिए पहले सूचीबद्ध सभी कारणों के लिए अवांछनीय है, लेकिन एक ऐसे मामले की ओर भी ले जाती है जहां अनंत संख्या में समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य दो के बजाय केवल एक बिंदु से विवश एक प्रथम डिग्री बहुपद (एक रेखा), अनंत संख्या में समाधान देगा। यह इस समस्या को सामने लाता है कि कैसे तुलना करें और केवल एक समाधान चुनें, जो सॉफ्टवेयर और मनुष्यों के लिए भी एक समस्या हो सकती है। इस कारण से, सभी बाधाओं पर सटीक मिलान के लिए जितना संभव हो उतना कम डिग्री चुनना सबसे अच्छा है, और शायद इससे भी कम डिग्री, यदि एक अनुमानित फिट स्वीकार्य है।

गेहूं की उपज और मिट्टी की लवणता के बीच संबंध[21]

अन्य कार्यों को डेटा बिंदुओं पर फ़िट करना

कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे त्रिकोणमितीय फलन (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है।

स्पेक्ट्रोस्कोपी में, डेटा को गाऊसी , लोरेंत्ज़ियन , वोइग्ट और संबंधित कार्यों के साथ फिट किया जा सकता है।

जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान, और कई अन्य विषयों में, जनसंख्या की वृद्धि , संक्रामक रोग का प्रसार, आदि को रसद समारोह का उपयोग करके फिट किया जा सकता है।

कृषि में इनवर्टेड लॉजिस्टिक सिग्मॉइड फ़ंक्शन (एस-वक्र) का उपयोग फसल की उपज और वृद्धि कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापे गए डेटा के सिग्मॉइड रिग्रेशन द्वारा बनाई गई थी। यह देखा जा सकता है कि शुरू में, यानी कम मिट्टी की लवणता पर, मिट्टी की लवणता बढ़ने पर फसल की उपज धीरे-धीरे कम हो जाती है, जबकि उसके बाद कमी तेजी से बढ़ती है।

डेटा बिंदुओं के लिए विमान वक्र की ज्यामितीय फिटिंग

यदि फॉर्म का एक फ़ंक्शन अभिधारणा नहीं की जा सकती है, फिर भी कोई समतल वक्र फिट करने का प्रयास कर सकता है।

कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे कि शंकु खंड (गोलाकार, अण्डाकार, परवलयिक, और अतिशयोक्तिपूर्ण चाप) या त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र एक परवलयिक पथ का अनुसरण करते हैं, जब वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज कर दिया जाता है। इसलिए, एक परवलयिक वक्र के लिए प्रक्षेपवक्र डेटा बिंदुओं का मिलान करना समझ में आता है। ज्वार साइनसॉइडल पैटर्न का पालन करते हैं, इसलिए ज्वारीय डेटा बिंदुओं को एक साइन लहर से मिलान किया जाना चाहिए, या विभिन्न अवधियों की दो साइन तरंगों का योग, यदि चंद्रमा और सूर्य दोनों के प्रभावों पर विचार किया जाता है।

एक पैरामीट्रिक वक्र के लिए, इसके प्रत्येक निर्देशांक को चाप लंबाई के एक अलग कार्य के रूप में फिट करना प्रभावी होता है; यह मानते हुए कि डेटा बिंदुओं का आदेश दिया जा सकता है, तार दूरी का उपयोग किया जा सकता है।[22]


ज्यामितीय फिट द्वारा एक वृत्त को फ़िट करना

कूप विधि के साथ वृत्त फिटिंग, एक वृत्त चाप का वर्णन करने वाले बिंदु, केंद्र (1; 1), त्रिज्या 4.
दीर्घवृत्त फिटिंग के विभिन्न मॉडल
बीजीय दूरी को कम करने वाली दीर्घवृत्त फिटिंग (Fitzgibbon विधि)।

सहकारी[23] 2डी डेटा बिंदुओं के एक सेट के लिए सर्कल का सबसे अच्छा दृश्य फिट खोजने की कोशिश करने की समस्या का सामना करता है। विधि सामान्य रूप से गैर-रैखिक समस्या को एक रैखिक समस्या में बदल देती है जिसे पुनरावृत्त संख्यात्मक विधियों का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है, और इसलिए पिछली तकनीकों की तुलना में बहुत तेज़ है।

ज्यामितीय फिट द्वारा एक दीर्घवृत्त को फ़िट करना

उपरोक्त तकनीक सामान्य दीर्घवृत्त तक विस्तारित है[24] एक गैर-रैखिक कदम जोड़कर, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसी विधि है जो तेज़ है, फिर भी मनमाना अभिविन्यास और विस्थापन के नेत्रहीन मनभावन दीर्घवृत्त पाता है।

फिटिंग सतह

Further information: Computer representation of surfaces
See also: Multivariate interpolation and Smoothing

ध्यान दें कि जबकि यह चर्चा 2D वक्रों के संदर्भ में थी, इस तर्क का अधिकांश भाग 3D सतहों तक भी फैला हुआ है, जिनमें से प्रत्येक पैच को दो पैरामीट्रिक दिशाओं में वक्रों के जाल द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आमतौर पर u और v कहा जाता है। एक सतह से बना हो सकता है प्रत्येक दिशा में एक या अधिक सतह पैच।

सॉफ्टवेयर

सांख्यिकीय पैकेजों की कई सूची जैसे R (प्रोग्रामिंग भाषा) और संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ़्टवेयर की सूची जैसे कि gnuplot , जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय , MLAB , मेपल (सॉफ़्टवेयर), MATLAB , TK सॉल्वर 6.0, साइलैब , मेथेमेटिका , GNU ऑक्टेव, और SciPy विभिन्न परिदृश्यों में कर्व फिटिंग करने के लिए कमांड शामिल करें। वक्र फिटिंग करने के लिए विशेष रूप से लिखे गए कार्यक्रम भी हैं; उन्हें सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर की सूची और संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ़्टवेयर की सूची में पाया जा सकता है|संख्यात्मक-विश्लेषण कार्यक्रमों के साथ-साथ:श्रेणी:प्रतिगमन और वक्र फिटिंग सॉफ़्टवेयर।

यह भी देखें


संदर्भ

  1. ↑ Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.
  2. ↑ William M. Kolb. Curve Fitting for Programmable Calculators. Syntec, Incorporated, 1984.
  3. ↑ S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. ISBN 0306439972 Page 165 (cf. ... functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.)
  4. ↑ The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't. By Nate Silver
  5. ↑ Data Preparation for Data Mining: Text. By Dorian Pyle.
  6. ↑ Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By Jaan Kiusalaas. Page 24.
  7. ↑ Numerical Methods in Engineering with Python 3. By Jaan Kiusalaas. Page 21.
  8. ↑ Numerical Methods of Curve Fitting. By P. G. Guest, Philip George Guest. Page 349.
  9. ↑ See also: Mollifier
  10. ↑ Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos.
  11. ↑ Regression Analysis By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269.
  12. ↑ Visual Informatics. Edited by Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Page 689.
  13. ↑ Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models. By John R. Hauser. Page 227.
  14. ↑ Methods of Experimental Physics: Spectroscopy, Volume 13, Part 1. By Claire Marton. Page 150.
  15. ↑ Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Edited by Neil J. Salkind. Page 266.
  16. ↑ Community Analysis and Planning Techniques. By Richard E. Klosterman. Page 1.
  17. ↑ An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments. DIANE Publishing. Pg 69
  18. ↑ Ahn, Sung-Joon (December 2008), "Geometric Fitting of Parametric Curves and Surfaces" (PDF), Journal of Information Processing Systems, 4 (4): 153–158, doi:10.3745/JIPS.2008.4.4.153, archived from the original (PDF) on 2014-03-13
  19. ↑ Chernov, N.; Ma, H. (2011), "Least squares fitting of quadratic curves and surfaces", in Yoshida, Sota R. (ed.), Computer Vision, Nova Science Publishers, pp. 285–302, ISBN 9781612093994
  20. ↑ Liu, Yang; Wang, Wenping (2008), "A Revisit to Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Parametric Curves and Surfaces", in Chen, F.; Juttler, B. (eds.), Advances in Geometric Modeling and Processing, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4975, pp. 384–397, CiteSeerX 10.1.1.306.6085, doi:10.1007/978-3-540-79246-8_29, ISBN 978-3-540-79245-1
  21. ↑ Calculator for sigmoid regression
  22. ↑ p.51 in Ahlberg & Nilson (1967) The theory of splines and their applications, Academic Press, 1967 [1]
  23. ↑ Coope, I.D. (1993). "रैखिक और अरेखीय कम से कम वर्गों द्वारा सर्कल फिटिंग". Journal of Optimization Theory and Applications. 76 (2): 381–388. doi:10.1007/BF00939613. hdl:10092/11104.
  24. ↑ Paul Sheer, A software assistant for manual stereo photometrology, M.Sc. thesis, 1997


अग्रिम पठन

Wikimedia Commons has media related to Curve fitting.
  • N. Chernov (2010), Circular and linear regression: Fitting circles and lines by least squares, Chapman & Hall/CRC, Monographs on Statistics and Applied Probability, Volume 117 (256 pp.). [2]
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