घटाना: Difference between revisions

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{{Short description|One of the four basic arithmetic operations}}
{{Short description|One of the four basic arithmetic operations}}
[[File:Subtraction01.svg|right|thumb|180px| {{nowrap|5 − 2}} = 3 (मौखिक रूप से, पांच घटा दो समान तीन )]]<div वर्ग = दाएं>{{Arithmetic operations}}</div>
[[File:Subtraction01.svg|right|thumb|180px| {{nowrap|5 − 2}} = 3 (मौखिक रूप से, पांच घटा दो समान तीन )]]<div वर्ग = दाएं>{{Arithmetic operations}}</div>
[[File:Shop placard showing 20% reduction.JPG|thumb|[[ BORDEAUX | बोर्डो]] में एक दुकान के बाहर प्लेकार्ड खरीदे गए दूसरे परफ्यूम की कीमत से 20% की घटाए का विज्ञापन है  ]]व्यवकलन (जिसे ऋण चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है {{char|−}}) जोड़, गुणा और भाग के साथ चार अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है। व्यवकलन एक ऑपरेशन है जो संग्रह से वस्तुओं को हटाने का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, निकटवर्ती चित्र में, हैं {{nowrap|5 − 2}} आड़ू—अर्थात् 5 आड़ू जिनमें से 2 निकाले गए, परिणामस्‍वरूप कुल 3 आड़ू। इसलिए, 5 और 2 का अंतर 3 है; अर्थात् वह है, {{nowrap|1=5 − 2 = 3}}. जबकि मुख्य रूप से [[ अंकगणित |अंकगणित]] में प्राकृतिक संख्याओं से जुड़ा हुआ है, व्यवकलन भी नकारात्मक संख्याओं, [[ अंश (गणित) |अंश (गणित)]] , [[ अपरिमेय संख्या |अपरिमेय संख्या]] ओं, [[ यूक्लिडियन वेक्टर |यूक्लिडियन वेक्टर]] , दशमलव, फलन ों और मैट्रिक्स सहित विभिन्न प्रकार की वस्तुओं का उपयोग करके भौतिक और अमूर्त मात्रा को हटाने या घटाने का प्रतिनिधित्व मैट्रिक्स कर सकता है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=घटाव|url=https://mathworld.wolfram.com/घटाव.html|access-date=2020-08-26|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>   
[[File:Shop placard showing 20% reduction.JPG|thumb|[[ BORDEAUX | बोर्डो]] में एक दुकान के बाहर प्लेकार्ड खरीदे गए दूसरे परफ्यूम की कीमत से 20% की घटाए का विज्ञापन है  ]]'''घटाना''' (जिसे ऋण चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है {{char|−}}) जोड़, गुणा और भाग के साथ चार अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है। घटाना एक ऑपरेशन है जो संग्रह से वस्तुओं को हटाने का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, निकटवर्ती चित्र में, हैं {{nowrap|5 − 2}} आड़ू—अर्थात् 5 आड़ू जिनमें से 2 निकाले गए, परिणामस्‍वरूप कुल 3 आड़ू। इसलिए, 5 और 2 का अंतर 3 है; अर्थात् वह है, {{nowrap|1=5 − 2 = 3}}. जबकि मुख्य रूप से [[ अंकगणित |अंकगणित]] में प्राकृतिक संख्याओं से जुड़ा हुआ है, घटाना भी नकारात्मक संख्याओं, [[ अंश (गणित) |अंश (गणित)]], [[ अपरिमेय संख्या |अपरिमेय संख्या]] ओं, [[ यूक्लिडियन वेक्टर |यूक्लिडियन सदिश]], दशमलव, फलन और आव्यूह सहित विभिन्न प्रकार की वस्तुओं का उपयोग करके भौतिक और अमूर्त मात्रा को हटाने या घटाने का प्रतिनिधित्व आव्यूह कर सकता है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=घटाव|url=https://mathworld.wolfram.com/घटाव.html|access-date=2020-08-26|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>   


इस प्रकार से एक अर्थ में, व्यवकलन जोड़ का उलटा है। अर्थात्, c = a - b यदि और केवल यदि c + b = a। शब्दों में: दो संख्याओं का अंतर वह संख्या है जो पहली संख्या को दूसरी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त होती है।
इस प्रकार से एक अर्थ में, घटाना जोड़ का उलटा है। अर्थात्, c = a - b यदि और केवल यदि c + b = a। शब्दों में: दो संख्याओं का अंतर वह संख्या है जो पहली संख्या को दूसरी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त होती है।


व्यवकलन कई महत्वपूर्ण पैटर्न का अनुसरण करता है। यह [[ प्रतिकम्यूटेटिव |प्रतिकम्यूटेटिव]] है, जिसका अर्थ है कि क्रम परवर्तन से उत्तर का चिन्ह परिवर्तित हो जाता है। यह साहचर्यता भी नहीं है, जिसका अर्थ है कि जब कोई दो से अधिक संख्याओं को घटाता है, तो जिस क्रम में व्यवकलन किया जाता है वह मायने रखता है। इसलिये {{num|0}} [[ योग |योगात्मक]] पहचान है, इसे घटाने से कोई संख्या परिवर्तित नहीं होती है। और व्यवकलन भी संबंधित फलन ों से संबंधित अनुमानित नियमों का पालन करता है, जैसे जोड़ और [[ गुणा |गुणा]] । ये सभी नियम [[ गणितीय प्रमाण |गणितीय प्रमाण]] हो सकते हैं, जो [[ पूर्णांकों |पूर्णांकों]] के व्यवकलन से प्रारंभ होते हैं और [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्या]]ओं के माध्यम से और आगे सामान्यीकरण किया जा सकता है। इन पैटर्नों का पालन करने वाले सामान्य [[ द्विआधारी संचालन |बाइनरी ऑपरेशनों]] का [[ सार बीजगणित |सार बीजगणित]] में अध्ययन किया जाता है।
घटाना कई महत्वपूर्ण पैटर्न का अनुसरण करता है। यह [[ प्रतिकम्यूटेटिव |प्रतिकम्यूटेटिव]] है, जिसका अर्थ है कि क्रम परवर्तन से उत्तर का चिन्ह परिवर्तित हो जाता है। यह साहचर्यता भी नहीं है, जिसका अर्थ है कि जब कोई दो से अधिक संख्याओं को घटाता है, तो जिस क्रम में घटाना किया जाता है वह मायने रखता है। इसलिये {{num|0}} [[ योग |योगात्मक]] पहचान है, इसे घटाने से कोई संख्या परिवर्तित नहीं होती है। और घटाना भी संबंधित फलन ों से संबंधित अनुमानित नियमों का पालन करता है, जैसे जोड़ और [[ गुणा |गुणा]] । ये सभी नियम [[ गणितीय प्रमाण |गणितीय प्रमाण]] हो सकते हैं, जो [[ पूर्णांकों |पूर्णांकों]] के घटाना से प्रारंभ होते हैं और [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्या]]ओं के माध्यम से और आगे सामान्यीकरण किया जा सकता है। इन पैटर्नों का पालन करने वाले सामान्य [[ द्विआधारी संचालन |बाइनरी ऑपरेशनों]] का [[ सार बीजगणित |सार बीजगणित]] में अध्ययन किया जाता है।


इस प्रकार से प्राकृतिक संख्याओं पर व्यवकलन करना सबसे सरल संख्यात्मक फलन ों में से है। छोटे बच्चों के लिए बहुत छोटी संख्या का व्यवकलन सुलभ होते है। उदाहरण के लिए [[ प्राथमिक शिक्षा |प्राथमिक शिक्षा]] में, छात्रों को [[ दशमलव |दशमलव]] प्रणाली में संख्याओं को घटाना सिखाया जाता है, जो अंक से प्रारंभ होता है और धीरे-धीरे अधिक कठिन समस्याओं से निपटता है।
इस प्रकार से प्राकृतिक संख्याओं पर घटाना करना सबसे सरल संख्यात्मक फलन ों में से है। छोटे बच्चों के लिए बहुत छोटी संख्या का घटाना सुलभ होते है। उदाहरण के लिए [[ प्राथमिक शिक्षा |प्राथमिक शिक्षा]] में, छात्रों को [[ दशमलव |दशमलव]] प्रणाली में संख्याओं को घटाना सिखाया जाता है, जो अंक से प्रारंभ होता है और धीरे-धीरे अधिक कठिन समस्याओं से निपटता है।


किन्तु उन्नत बीजगणित और [[ कंप्यूटर बीजगणित |कंप्यूटर बीजगणित]] में, अभिव्यक्ति जिसमें व्यवकलन शामिल है {{nowrap|''A'' − ''B''}} सामान्यतः जोड़ के लिए शॉर्टहैंड नोटेशन के रूप में माना जाता है {{nowrap|''A'' + (−''B'')}}. इस प्रकार, {{nowrap|''A'' − ''B''}} इसमें दो शब्द हैं, अर्थात् A और -B। यह साहचर्य और [[ क्रमविनिमेयता |क्रमविनिमेयता]] के आसान उपयोग की अनुमति देता है।
किन्तु उन्नत बीजगणित और [[ कंप्यूटर बीजगणित |कंप्यूटर बीजगणित]] में, अभिव्यक्ति जिसमें घटाना शामिल है {{nowrap|''A'' − ''B''}} सामान्यतः जोड़ के लिए शॉर्टहैंड नोटेशन के रूप में माना जाता है {{nowrap|''A'' + (−''B'')}}. इस प्रकार, {{nowrap|''A'' − ''B''}} इसमें दो शब्द हैं, अर्थात् A और -B। यह साहचर्य और [[ क्रमविनिमेयता |क्रमविनिमेयता]] के आसान उपयोग की अनुमति देता है।


== संकेतन और शब्दावली ==
== संकेतन और शब्दावली ==
[[File:Subtraction chart.png|thumb|180px|संख्याओं का व्यवकलन 0-10. लाइन लेबल = न्यूनतम। X अक्ष = व्यवकलन. Y अक्ष = अंतर.]]इस प्रकार से व्यवकलन सामान्यतः पदों के मध्य ऋण चिह्न "−" का उपयोग करके अंकित जाता है अर्थात्, [[ इंफिक्स नोटेशन |इंफिक्स नोटेशन]] में है । उदाहरण के लिए परिणाम [[ बराबर चिह्न |समान चिह्न]] के साथ व्यक्त किया जाता है।,
[[File:Subtraction chart.png|thumb|180px|संख्याओं का घटाना 0-10. लाइन लेबल = न्यूनतम। X अक्ष = घटाना. Y अक्ष = अंतर.]]इस प्रकार से घटाना सामान्यतः पदों के मध्य ऋण चिह्न "−" का उपयोग करके अंकित जाता है अर्थात्, [[ इंफिक्स नोटेशन |इंफिक्स नोटेशन]] में है । उदाहरण के लिए परिणाम [[ बराबर चिह्न |समान चिह्न]] के साथ व्यक्त किया जाता है।,
:<math>2 - 1 = 1 </math> (उच्चारण के रूप में दो ऋण समान एक)
:<math>2 - 1 = 1 </math> (उच्चारण के रूप में दो ऋण समान एक)
:<math>4 - 2 = 2 </math> (चार घटा दो समान दो के रूप में उच्चारित)
:<math>4 - 2 = 2 </math> (चार घटा दो समान दो के रूप में उच्चारित)
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:<math>4 - 6 = -2 </math> (चार घटा सिक्स समान नेगेटिव दो के रूप में उच्चारित)
:<math>4 - 6 = -2 </math> (चार घटा सिक्स समान नेगेटिव दो के रूप में उच्चारित)


अतः कुछ ऐसी भी स्थितियाँ होती हैं जहाँ व्यवकलन समझा जाता है, भले ही कोई प्रतीक प्रकट न हो:
अतः कुछ ऐसी भी स्थितियाँ होती हैं जहाँ घटाना समझा जाता है, भले ही कोई प्रतीक प्रकट न हो:
* लाल रंग में निचली संख्या के साथ दो संख्याओं का स्तंभ, सामान्यतः इंगित करता है कि स्तंभ में निचली संख्या को पंक्ति के नीचे लिखे अंतर के साथ घटाया जाना है। यह लेखांकन में सबसे समान होती है।
* लाल रंग में निचली संख्या के साथ दो संख्याओं का स्तंभ, सामान्यतः इंगित करता है कि स्तंभ में निचली संख्या को पंक्ति के नीचे लिखे अंतर के साथ घटाया जाना है। यह लेखांकन में सबसे समान होती है।


औपचारिक रूप से, जिस संख्या को घटाया जा रहा है उसे व्यवकलन के रूप में जाना जाता है,<ref name="Schmid_1974">{{cite book |title=दशमलव संगणना|first=Hermann |last=Schmid<!--General Electric Company, Binghamton, NY--> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, NY |isbn=978-0-471-76180-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }}</ref><ref name="Schmid_1983">{{cite book |title=दशमलव संगणना|first=Hermann |last=Schmid<!--General Electric Company, Binghamton, NY--> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=1 (reprint) |publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, FL |isbn=978-0-89874-318-0}}</ref> जबकि वह लघु-अंत है जिस संख्या से इसे घटाया जाता है ।<ref name="Schmid_1974"/><ref name="Schmid_1983"/> अतः परिणाम में अंतर होता है।<ref name="Schmid_1974"/><ref name="Schmid_1983"/><ref name=":0" /><ref>{{Cite web|title=घटाव|url=https://www.mathsisfun.com/numbers/subtraction.html|access-date=2020-08-26|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
औपचारिक रूप से, जिस संख्या को घटाया जा रहा है उसे घटाना के रूप में जाना जाता है,<ref name="Schmid_1974">{{cite book |title=दशमलव संगणना|first=Hermann |last=Schmid<!--General Electric Company, Binghamton, NY--> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, NY |isbn=978-0-471-76180-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }}</ref><ref name="Schmid_1983">{{cite book |title=दशमलव संगणना|first=Hermann |last=Schmid<!--General Electric Company, Binghamton, NY--> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=1 (reprint) |publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, FL |isbn=978-0-89874-318-0}}</ref> जबकि वह लघु-अंत है जिस संख्या से इसे घटाया जाता है ।<ref name="Schmid_1974"/><ref name="Schmid_1983"/> अतः परिणाम में अंतर होता है।<ref name="Schmid_1974"/><ref name="Schmid_1983"/><ref name=":0" /><ref>{{Cite web|title=घटाव|url=https://www.mathsisfun.com/numbers/subtraction.html|access-date=2020-08-26|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
:<math> {\rm minuend} - {\rm subtrahend} = {\rm difference} </math>.
:<math> {\rm minuend} - {\rm subtrahend} = {\rm difference} </math>.


यह सभी शब्दावली [[ लैटिन |लैटिन]] से ली गई है। "व्यवकलन" [[ अंग्रेजी भाषा |अंग्रेजी भाषा]] का शब्द है जो लैटिन [[ क्रिया |क्रिया]] सबट्राहेरे से लिया गया है, जो बदले में "अंडर से" और "टू पुल" का [[ यौगिक (भाषाविज्ञान) |यौगिक (भाषाविज्ञान)]] है। इस प्रकार, घटाना नीचे से निकालना है, या दूर करना है।<ref>{{OED|Subtraction}}</ref> [[ gerundive |गेरुंडिव प्रत्यय]] -एनडी का उपयोग करने से "सबट्रैहेंड", "घटाई जाने वाली चीज़" प्राप्त होती है।<ref group=lower-alpha>"Subtrahend" is shortened by the inflectional Latin suffix -us, e.g. remaining un-declined as in ''numerus subtrahendus'' "the number to be subtracted".</ref> इसी तरह मिन्यूएरे से "कम करना या कम करना" प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है "कम की जाने वाली चीज़" आदि ।
यह सभी शब्दावली [[ लैटिन |लैटिन]] से ली गई है। "घटाना" [[ अंग्रेजी भाषा |अंग्रेजी भाषा]] का शब्द है जो लैटिन [[ क्रिया |क्रिया]] सबट्राहेरे से लिया गया है, जो बदले में "अंडर से" और "टू पुल" का [[ यौगिक (भाषाविज्ञान) |यौगिक (भाषाविज्ञान)]] है। इस प्रकार, घटाना नीचे से निकालना है, या दूर करना है।<ref>{{OED|Subtraction}}</ref> [[ gerundive |गेरुंडिव प्रत्यय]] -एनडी का उपयोग करने से "सबट्रैहेंड", "घटाई जाने वाली चीज़" प्राप्त होती है।<ref group=lower-alpha>"Subtrahend" is shortened by the inflectional Latin suffix -us, e.g. remaining un-declined as in ''numerus subtrahendus'' "the number to be subtracted".</ref> इसी तरह मिन्यूएरे से "कम करना या कम करना" प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है "कम की जाने वाली चीज़" आदि ।


== पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं का ==
== पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं का ==
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: ''a'' + ''b'' = ''c''.
: ''a'' + ''b'' = ''c''.


''c'' से, ''a'' पर वापस जाने के लिए बायीं ओर ''b'' कदम उठाने पड़ते हैं। बाईं ओर का यह आंदोलन व्यवकलन द्वारा प्रतिरूपित है:
''c'' से, ''a'' पर वापस जाने के लिए बायीं ओर ''b'' कदम उठाने पड़ते हैं। बाईं ओर का यह आंदोलन घटाना द्वारा प्रतिरूपित है:
:''c'' − ''b'' = ''a''.
:''c'' − ''b'' = ''a''.


[[File:Subtraction line segment.svg|left| ]]अब, संख्याओं के साथ लेबल किया गया रेखा खंड {{num|1}}, {{num|2}}, तथा {{num|3}}. स्थिति 3 से, 3 पर बने रहने के लिए बाईं ओर कोई कदम नहीं उठाता है, इसलिए {{nowrap|1=3 − 0 = 3}}. स्थिति 1 पर पहुंचने के लिए बाईं ओर 2 कदम लगते हैं, इसलिए {{nowrap|1=3 − 2 = 1}}. यह चित्र वर्णन करने के लिए अपर्याप्त है कि स्थिति 3 के बाईं ओर 3 कदम जाने के पश्चात क्या होगा। इस प्रकार के ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए, रेखा को बढ़ाया जाना चाहिए।
[[File:Subtraction line segment.svg|left| ]]अब, संख्याओं के साथ लेबल किया गया रेखा खंड {{num|1}}, {{num|2}}, तथा {{num|3}}. स्थिति 3 से, 3 पर बने रहने के लिए बाईं ओर कोई कदम नहीं उठाता है, इसलिए {{nowrap|1=3 − 0 = 3}}. स्थिति 1 पर पहुंचने के लिए बाईं ओर 2 कदम लगते हैं, इसलिए {{nowrap|1=3 − 2 = 1}}. यह चित्र वर्णन करने के लिए अपर्याप्त है कि स्थिति 3 के बाईं ओर 3 कदम जाने के पश्चात क्या होगा। इस प्रकार के ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए, रेखा को बढ़ाया जाना चाहिए।


मनमाना [[ प्राकृतिक संख्या |प्राकृतिक संख्या]] ओं को घटाने के लिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) वाली रेखा से प्रारंभ होता है। 3 से, 0 तक पहुँचने के लिए बाईं ओर 3 कदम लगते हैं, इसलिए {{nowrap|1=3 − 3 = 0}}. परंतु {{nowrap|3 − 4}} अभी भी अमान्य है, क्योंकि यह फिर से लाइन छोड़ देता है। प्राकृतिक संख्याएँ व्यवकलन के लिए उपयोगी संदर्भ नहीं हैं।
मनमाना [[ प्राकृतिक संख्या |प्राकृतिक संख्या]] ओं को घटाने के लिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) वाली रेखा से प्रारंभ होता है। 3 से, 0 तक पहुँचने के लिए बाईं ओर 3 कदम लगते हैं, इसलिए {{nowrap|1=3 − 3 = 0}}. परंतु {{nowrap|3 − 4}} अभी भी अमान्य है, क्योंकि यह फिर से लाइन छोड़ देता है। प्राकृतिक संख्याएँ घटाना के लिए उपयोगी संदर्भ नहीं हैं।


समाधान [[ पूर्णांक |पूर्णांक]] [[ संख्या रेखा |संख्या रेखा]] (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) पर विचार करना है। इस तरह, -1 तक पहुँचने के लिए 3 से बाईं ओर 4 कदम लगते हैं:
समाधान [[ पूर्णांक |पूर्णांक]] [[ संख्या रेखा |संख्या रेखा]] (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) पर विचार करना है। इस तरह, -1 तक पहुँचने के लिए 3 से बाईं ओर 4 कदम लगते हैं:
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=== [[ प्राकृतिक संख्या | प्राकृतिक संख्या]]एं ===
=== [[ प्राकृतिक संख्या | प्राकृतिक संख्या]]एं ===
इस प्रकार से प्राकृतिक संख्याओं का व्यवकलन क्लोजर (गणित) नहीं है: अंतर प्राकृतिक संख्या नहीं है जब तक कि मिन्यूएंड सबट्रेंड से अधिक या उसके समान न हो। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या देने के लिए 11 में से 26 नहीं घटाया जा सकता। ऐसा स्तिथियों दो विधियों में से का उपयोग किया जाता है:
इस प्रकार से प्राकृतिक संख्याओं का घटाना क्लोजर (गणित) नहीं है: अंतर प्राकृतिक संख्या नहीं है जब तक कि मिन्यूएंड सबट्रेंड से अधिक या उसके समान न हो। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या देने के लिए 11 में से 26 नहीं घटाया जा सकता। ऐसा स्तिथियों दो विधियों में से का उपयोग किया जाता है:
# निष्कर्ष निकालें कि 11 में से 26 नहीं घटाया जा सकता; व्यवकलन आंशिक फलन बन जाता है।
# निष्कर्ष निकालें कि 11 में से 26 नहीं घटाया जा सकता; घटाना आंशिक फलन बन जाता है।
# उत्तर को ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले पूर्णांक के रूप में दें, इसलिए 11 में से 26 से घटाने पर −15 प्राप्त होता है।
# उत्तर को ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले पूर्णांक के रूप में दें, इसलिए 11 में से 26 से घटाने पर −15 प्राप्त होता है।


=== वास्तविक संख्या ===
=== वास्तविक संख्या ===
वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) को केवल दो द्विआधारी संक्रियाओं, जोड़ और गुणा को निर्दिष्ट करते हुए परिभाषित किया जा सकता है, साथ में योज्य प्रतिलोम और गुणक व्युत्क्रम उत्पन्न करने वाले एकल संक्रियाओं के साथ। अन्य (न्यूनतम) से वास्तविक संख्या (सबट्रेंड) का व्यवकलन तब मिनीएंड के जोड़ और सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, {{math|1=3 − ''π'' = 3 + (−''π'')}}. वैकल्पिक रूप से, इन यूनरी ऑपरेशंस की आवश्यकता के अतिरिक्त , व्यवकलन और [[ डिवीजन (गणित) |डिवीजन (गणित)]] के द्विआधारी संचालन को मूल के रूप में लिया जा सकता है।
वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) को केवल दो द्विआधारी संक्रियाओं, जोड़ और गुणा को निर्दिष्ट करते हुए परिभाषित किया जा सकता है, साथ में योज्य प्रतिलोम और गुणक व्युत्क्रम उत्पन्न करने वाले एकल संक्रियाओं के साथ। अन्य (न्यूनतम) से वास्तविक संख्या (सबट्रेंड) का घटाना तब मिनीएंड के जोड़ और सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, {{math|1=3 − ''π'' = 3 + (−''π'')}}. वैकल्पिक रूप से, इन यूनरी ऑपरेशंस की आवश्यकता के अतिरिक्त, घटाना और [[ डिवीजन (गणित) |डिवीजन (गणित)]] के द्विआधारी संचालन को मूल के रूप में लिया जा सकता है।


== गुण ==
== गुण ==


=== [[ विरोधी क्रमविनिमेय |प्रतिसंक्रामकता]] ===
=== प्रतिसंक्रामकता ===
व्यवकलन विरोधी कम्यूटेटिव है, जिसका अर्थ है कि यदि कोई बाएं से दाएं के अंतर में शब्दों को उलट देता है, तो परिणाम मूल परिणाम का नकारात्मक होता है। प्रतीकात्मक रूप से, यदि a और b कोई दो संख्याएँ हैं, तो
घटाना विरोधी कम्यूटेटिव है, जिसका अर्थ है कि यदि कोई बाएं से दाएं के अंतर में शब्दों को उलट देता है, तो परिणाम मूल परिणाम का नकारात्मक होता है। प्रतीकात्मक रूप से, यदि a और b कोई दो संख्याएँ हैं, तो
:''a'' − ''b'' = −(''b'' − ''a)''.
:''a'' − ''b'' = −(''b'' − ''a)''.


=== गैर-सहयोगी ===
=== गैर-सहयोगी ===
व्यवकलन साहचर्य है | गैर-सहयोगी, जो तब सामने आता है जब कोई बार-बार व्यवकलन को परिभाषित करने की कोशिश करता है। सामान्यतः पर, अभिव्यक्ति होती है ।  
घटाना साहचर्य है | गैर-सहयोगी, जो तब सामने आता है जब कोई बार-बार घटाना को परिभाषित करने की कोशिश करता है। सामान्यतः पर, अभिव्यक्ति होती है ।  
: "''a'' − ''b'' − ''c''"
: "''a'' − ''b'' − ''c''"
इसे या तो (a − b) − c या a − (b − c) अर्थ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिससे इन दो संभावनाओं से अलग-अलग उत्तर मिलते हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, अलग-अलग परिणाम देने वाले विभिन्न आदेशों के साथ, किसी को संचालन का क्रम स्थापित करना होगा। जिसमें अलग-अलग आदेशों से अलग-अलग परिणाम मिलते है ।
इसे या तो (a − b) − c या a − (b − c) अर्थ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिससे इन दो संभावनाओं से अलग-अलग उत्तर मिलते हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, अलग-अलग परिणाम देने वाले विभिन्न आदेशों के साथ, किसी को संचालन का क्रम स्थापित करना होगा। जिसमें अलग-अलग आदेशों से अलग-अलग परिणाम मिलते है ।


=== पूर्ववर्ती ===
=== पूर्ववर्ती ===
पूर्णांकों के संदर्भ में, [[ 1 (संख्या) |1 (संख्या)]] का व्यवकलन भी विशेष भूमिका निभाता है: किसी भी पूर्णांक a के लिए, पूर्णांक {{nowrap|(''a'' − 1)}} a से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक है, जिसे a के पूर्ववर्ती के रूप में भी जाना जाता है।
पूर्णांकों के संदर्भ में, [[ 1 (संख्या) |1 (संख्या)]] का घटाना भी विशेष भूमिका निभाता है: किसी भी पूर्णांक a के लिए, पूर्णांक {{nowrap|(''a'' − 1)}} a से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक है, जिसे a के पूर्ववर्ती के रूप में भी जाना जाता है।


== माप की इकाइयाँ ==
== माप की इकाइयाँ ==
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प्रारंभिक "1" को छोड़ने पर उत्तर मिलता है: 01001110 (दशमलव 78 के समान )
प्रारंभिक "1" को छोड़ने पर उत्तर मिलता है: 01001110 (दशमलव 78 के समान )


== स्कूलों में व्यवकलन की पढ़ाई ==
== स्कूलों में घटाना की पढ़ाई ==
इस प्रकार से प्राथमिक विद्यालय में व्यवकलन सिखाने के लिए उपयुक्त की जाने वाली विधियाँ अलग-अलग देशों में अलग-अलग होती हैं, और देश के अंदर , अलग-अलग समय पर अलग-अलग विधियाँ अपनाए जाते हैं। जिसे संयुक्त राज्य अमेरिका में [[ पारंपरिक गणित |पारंपरिक गणित]] के रूप में जाना जाता है, प्रथम वर्ष के अंत में (या दूसरे वर्ष के समय ) छात्रों को बहु-अंकीय पूर्ण संख्याओं के उपयोग के लिए विशिष्ट प्रक्रिया सिखाई जाती है, और इसे चौथे या चौथे वर्ष में बढ़ाया जाता है। पांचवीं कक्षा में भिन्नात्मक संख्याओं के दशमलव निरूपण को सम्मिलित किया जाता है ।
इस प्रकार से प्राथमिक विद्यालय में घटाना सिखाने के लिए उपयुक्त की जाने वाली विधियाँ अलग-अलग देशों में अलग-अलग होती हैं, और देश के अंदर, अलग-अलग समय पर अलग-अलग विधियाँ अपनाए जाते हैं। जिसे संयुक्त राज्य अमेरिका में [[ पारंपरिक गणित |पारंपरिक गणित]] के रूप में जाना जाता है, प्रथम वर्ष के अंत में (या दूसरे वर्ष के समय ) छात्रों को बहु-अंकीय पूर्ण संख्याओं के उपयोग के लिए विशिष्ट प्रक्रिया सिखाई जाती है, और इसे चौथे या चौथे वर्ष में बढ़ाया जाता है। पांचवीं कक्षा में भिन्नात्मक संख्याओं के दशमलव निरूपण को सम्मिलित किया जाता है ।


===अमेरिका में ===
===अमेरिका में ===
इस प्रकार से लगभग सभी अमेरिकी स्कूल वर्तमान में ऋृण या पुनर्समूहन (अपघटन एल्गोरिथम) और बैसाखी नामक चिह्नों की प्रणाली का उपयोग करके व्यवकलन की विधि सिखाते हैं।<ref name="Klapper1916">{{cite book |author=Klapper |first=Paul |url=https://archive.org/details/teachingarithme00klapgoog |title=अंकगणित का शिक्षण: शिक्षकों के लिए एक मैनुअल|year=1916 |pages=[https://archive.org/details/teachingarithme00klapgoog/page/n94 80]– |author-link=Paul Klapper |access-date=2016-03-11}}</ref><ref>Susan Ross and Mary Pratt-Cotter. 2000. "Subtraction in the United States:  An Historical Perspective," ''The Mathematics Educator'' 8(1):4–11. p. 8: "This new version of the decomposition algorithm [i.e., using Brownell's crutch] has so completely dominated the field that it is rare to see any other algorithm used to teach subtraction today [in America]."</ref> चूँकि ऋृण लेने की विधि प्रथम से ही पाठ्यपुस्तकों में जानी और प्रकाशित की गई थी, विलियम ए ब्राउनेल द्वारा अध्ययन प्रकाशित करने के बाद अमेरिकी स्कूलों में बैसाखी का उपयोग फैल गया - यह दावा करते हुए कि इस पद्धति का उपयोग करने वाले छात्रों के लिए बैसाखी लाभकारी थी।<ref>{{cite journal |title=एक ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य से घटाव|journal=School Science and Mathematics |year=1999 |last1=Ross |first1=Susan C. |last2=Pratt-Cotter |first2=Mary |volume=99 |issue=7 |pages=389–93 |doi=10.1111/j.1949-8594.1999.tb17499.x }}</ref> इस प्रणाली ने तेजी से लोकप्रियता प्राप्त की और उस समय अमेरिका में उपयोग में आने वाली व्यवकलन की अन्य विधियों को विस्थापित कर दिया गया ।
इस प्रकार से लगभग सभी अमेरिकी स्कूल वर्तमान में ऋृण या पुनर्समूहन (अपघटन एल्गोरिथम) और बैसाखी नामक चिह्नों की प्रणाली का उपयोग करके घटाना की विधि सिखाते हैं।<ref name="Klapper1916">{{cite book |author=Klapper |first=Paul |url=https://archive.org/details/teachingarithme00klapgoog |title=अंकगणित का शिक्षण: शिक्षकों के लिए एक मैनुअल|year=1916 |pages=[https://archive.org/details/teachingarithme00klapgoog/page/n94 80]– |author-link=Paul Klapper |access-date=2016-03-11}}</ref><ref>Susan Ross and Mary Pratt-Cotter. 2000. "Subtraction in the United States:  An Historical Perspective," ''The Mathematics Educator'' 8(1):4–11. p. 8: "This new version of the decomposition algorithm [i.e., using Brownell's crutch] has so completely dominated the field that it is rare to see any other algorithm used to teach subtraction today [in America]."</ref> चूँकि ऋृण लेने की विधि प्रथम से ही पाठ्यपुस्तकों में जानी और प्रकाशित की गई थी, विलियम ए ब्राउनेल द्वारा अध्ययन प्रकाशित करने के बाद अमेरिकी स्कूलों में बैसाखी का उपयोग फैल गया - यह दावा करते हुए कि इस पद्धति का उपयोग करने वाले छात्रों के लिए बैसाखी लाभकारी थी।<ref>{{cite journal |title=एक ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य से घटाव|journal=School Science and Mathematics |year=1999 |last1=Ross |first1=Susan C. |last2=Pratt-Cotter |first2=Mary |volume=99 |issue=7 |pages=389–93 |doi=10.1111/j.1949-8594.1999.tb17499.x }}</ref> इस प्रणाली ने तेजी से लोकप्रियता प्राप्त की और उस समय अमेरिका में उपयोग में आने वाली घटाना की अन्य विधियों को विस्थापित कर दिया गया ।


=== यूरोप में ===
=== यूरोप में ===
किन्तु कुछ यूरोपीय स्कूल ऑस्ट्रियन पद्धति नामक व्यवकलन की विधि को नियोजित करते हैं, जिसे अतिरिक्त विधि के रूप में भी जाना जाता है। इस पद्धति में कोई ऋृण नहीं है। बैसाखी (स्मृति में सहायता के लिए चिह्न) भी हैं, जो देश के अनुसार अलग-अलग होते हैं।<ref>Klapper 1916, pp. 177–.</ref><ref name="Smith1913">{{cite book |author=David Eugene Smith |title=अंकगणित की शिक्षा|url=https://archive.org/details/bub_gb_A7NJAAAAIAAJ |year=1913 |publisher=Ginn |pages=[https://archive.org/details/bub_gb_A7NJAAAAIAAJ/page/n85 77]– |access-date=2016-03-11 }}</ref>
किन्तु कुछ यूरोपीय स्कूल ऑस्ट्रियन पद्धति नामक घटाना की विधि को नियोजित करते हैं, जिसे अतिरिक्त विधि के रूप में भी जाना जाता है। इस पद्धति में कोई ऋृण नहीं है। बैसाखी (स्मृति में सहायता के लिए चिह्न) भी हैं, जो देश के अनुसार अलग-अलग होते हैं।<ref>Klapper 1916, pp. 177–.</ref><ref name="Smith1913">{{cite book |author=David Eugene Smith |title=अंकगणित की शिक्षा|url=https://archive.org/details/bub_gb_A7NJAAAAIAAJ |year=1913 |publisher=Ginn |pages=[https://archive.org/details/bub_gb_A7NJAAAAIAAJ/page/n85 77]– |access-date=2016-03-11 }}</ref>
=== दो मुख्य विधियों की तुलना ===
=== दो मुख्य विधियों की तुलना ===
ये दोनों विधियाँ स्थानीय मान द्वारा एक अंक घटाने की प्रक्रिया के रूप में व्यवकलन को तोड़ देती हैं। सबट्रेंड के व्यवकलन में, कम से कम महत्वपूर्ण अंक से प्रारंभ करें:
ये दोनों विधियाँ स्थानीय मान द्वारा एक अंक घटाने की प्रक्रिया के रूप में घटाना को तोड़ देती हैं। सबट्रेंड के घटाना में, कम से कम महत्वपूर्ण अंक से प्रारंभ करें:
:''s<sub>j</sub>'' ''s<sub>j</sub>''<sub>−1</sub> ... ''s''<sub>1</sub>
:''s<sub>j</sub>'' ''s<sub>j</sub>''<sub>−1</sub> ... ''s''<sub>1</sub>
मिनट से
मिनट से
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   \end{array}
   \end{array}
}}
}}
लघुअंड 704 है, व्यवकलन 512 है। लघुअंक अंक हैं {{nowrap|1=''m''<sub>3</sub> = 7}}, {{nowrap|1=''m''<sub>2</sub> = 0}} तथा {{nowrap|1=''m''<sub>1</sub> = 4}}. सबट्रेंड अंक हैं {{nowrap|1=''s''<sub>3</sub> = 5}}, {{nowrap|1=''s''<sub>2</sub> = 1}} तथा {{nowrap|1=''s''<sub>1</sub> = 2}}. के स्थान से प्रारंभ करते हुए, 4, 2 से कम नहीं है, इसलिए अंतर 2 को परिणाम के के स्थान पर लिख दिया जाता है। दहाई के स्थान पर 0, 1 से कम है, इसलिए 0 को 10 से बढ़ा दिया जाता है, और 1 का अंतर, जो कि 9 है, दहाई के स्थान पर लिख दिया जाता है। अमेरिकी पद्धति में दस की वृद्धि के लिए न्यूनतम के सौ स्थान के अंक को से घटाकर सही किया जाता है। अर्थात्, 7 को काट दिया जाता है और 6 से बदल दिया जाता है। व्यवकलन फिर सैकड़े के स्थान पर आगे बढ़ता है, जहाँ 6 5 से कम नहीं है, इसलिए अंतर को परिणाम के सैकड़े के स्थान पर अंकित जाता है। हम अब कर चुके हैं, परिणाम 192 है।   
लघुअंड 704 है, घटाना 512 है। लघुअंक अंक हैं {{nowrap|1=''m''<sub>3</sub> = 7}}, {{nowrap|1=''m''<sub>2</sub> = 0}} तथा {{nowrap|1=''m''<sub>1</sub> = 4}}. सबट्रेंड अंक हैं {{nowrap|1=''s''<sub>3</sub> = 5}}, {{nowrap|1=''s''<sub>2</sub> = 1}} तथा {{nowrap|1=''s''<sub>1</sub> = 2}}. के स्थान से प्रारंभ करते हुए, 4, 2 से कम नहीं है, इसलिए अंतर 2 को परिणाम के के स्थान पर लिख दिया जाता है। दहाई के स्थान पर 0, 1 से कम है, इसलिए 0 को 10 से बढ़ा दिया जाता है, और 1 का अंतर, जो कि 9 है, दहाई के स्थान पर लिख दिया जाता है। अमेरिकी पद्धति में दस की वृद्धि के लिए न्यूनतम के सौ स्थान के अंक को से घटाकर सही किया जाता है। अर्थात्, 7 को काट दिया जाता है और 6 से बदल दिया जाता है। घटाना फिर सैकड़े के स्थान पर आगे बढ़ता है, जहाँ 6 5 से कम नहीं है, इसलिए अंतर को परिणाम के सैकड़े के स्थान पर अंकित जाता है। हम अब कर चुके हैं, परिणाम 192 है।   


ऑस्ट्रियाई पद्धति 7 से 6 तक कम नहीं करती है। किन्तु यह सबट्रेंड सैकड़े के अंक को से बढ़ा देती है। इस अंक के पास या नीचे (विद्यालय के आधार पर) छोटा संकेत बना दिया जाता है। फिर व्यवकलन यह पूछते हुए आगे बढ़ता है कि किस संख्या में 1 से वृद्धि करने पर उसमें 5 जोड़ने पर 7 बनता है। जिसका उत्तर 1 है, और परिणाम के सैकड़े के स्थान पर लिख दिया जाता है।
ऑस्ट्रियाई पद्धति 7 से 6 तक कम नहीं करती है। किन्तु यह सबट्रेंड सैकड़े के अंक को से बढ़ा देती है। इस अंक के पास या नीचे (विद्यालय के आधार पर) छोटा संकेत बना दिया जाता है। फिर घटाना यह पूछते हुए आगे बढ़ता है कि किस संख्या में 1 से वृद्धि करने पर उसमें 5 जोड़ने पर 7 बनता है। जिसका उत्तर 1 है, और परिणाम के सैकड़े के स्थान पर लिख दिया जाता है।


इसमें अतिरिक्त सूक्ष्मता है कि अमेरिकी पद्धति में छात्र सदैव मानसिक व्यवकलन तालिका का उपयोग करता है। ऑस्ट्रियाई पद्धति अधिकांशतः छात्र को विपरीत तालिका में मानसिक रूप से उपयोग करने के लिए प्रोत्साहित करती है। ऊपर दिए गए उदाहरण में, 1 में 5 जोड़ने, 6 प्राप्त करने और 7 से घटाने के अतिरिक्त , छात्र से यह विचार करने के लिए कहा जाता है कि किस संख्या को 1 से बढ़ाने और उसमें 5 जोड़ने पर 7 बनता है।
इसमें अतिरिक्त सूक्ष्मता है कि अमेरिकी पद्धति में छात्र सदैव मानसिक घटाना तालिका का उपयोग करता है। ऑस्ट्रियाई पद्धति अधिकांशतः छात्र को विपरीत तालिका में मानसिक रूप से उपयोग करने के लिए प्रोत्साहित करती है। ऊपर दिए गए उदाहरण में, 1 में 5 जोड़ने, 6 प्राप्त करने और 7 से घटाने के अतिरिक्त, छात्र से यह विचार करने के लिए कहा जाता है कि किस संख्या को 1 से बढ़ाने और उसमें 5 जोड़ने पर 7 बनता है।


== हस्तगत व्यवकलन ==
== हस्तगत घटाना ==


=== ऑस्ट्रियाई विधि ===
=== ऑस्ट्रियाई विधि ===
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File:Vertical Subtraction Method B Step 1.JPG|1 + ... = 3
File:Vertical Subtraction Method B Step 1.JPG|1 + ... = 3
File:Vertical Subtraction Method B Step 2.JPG|The difference is written under the line.
File:Vertical Subtraction Method B Step 2.JPG|अंतर पंक्ति के नीचे लिखा है.
File:Vertical Subtraction Method B Step 3.JPG|9 + ... = 5<br>The required sum (5) is too small.
File:Vertical Subtraction Method B Step 3.JPG|9 + ... = 5<br>आवश्यक योग (5) बहुत छोटा है।
File:Vertical Subtraction Method B Step 4.JPG|So, we add 10 to it and put a 1 under the next higher place in the subtrahend.
File:Vertical Subtraction Method B Step 4.JPG|तो, हम इसमें 10 जोड़ते हैं और सबट्रेंड में अगले उच्च स्थान के नीचे 1 डालते हैं।
File:Vertical Subtraction Method B Step 5.JPG|9 + ... = 15<br>Now we can find the difference as before.
File:Vertical Subtraction Method B Step 5.JPG|9 + ... = 15<br>अब हम पहले की तरह अंतर पा सकते हैं।
File:Vertical Subtraction Method B Step 6.JPG|(4 + 1) + ... = 7
File:Vertical Subtraction Method B Step 6.JPG|(4 + 1) + ... = 7
File:Vertical Subtraction Method B Step 7.JPG|The difference is written under the line.
File:Vertical Subtraction Method B Step 7.JPG|अंतर पंक्ति के नीचे लिखा है।
File:Vertical Subtraction Method B Step 8.JPG|The total difference.
File:Vertical Subtraction Method B Step 8.JPG|कुल अंतर.
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Line 162: Line 172:
उदाहरण:
उदाहरण:
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File:LeftToRight Subtraction Step 1.JPG|7 − 4 = 3<br>This result is only penciled in.
File:LeftToRight Subtraction Step 1.JPG|7 − 4 = 3<br>यह परिणाम ही अंकित है.
File:LeftToRight Subtraction Step 2.JPG|Because the next digit of the minuend is smaller than the subtrahend, we subtract one from our penciled-in-number and mentally add ten to the next.
File:LeftToRight Subtraction Step 2.JPG|क्योंकि मीनूएंड का अगला अंक सबट्रेंड से छोटा है, हम अपने पेंसिल-इन-संख्या से एक घटाते हैं और मानसिक रूप से अगले में दस जोड़ते हैं।
File:LeftToRight Subtraction Step 3.JPG|15 − 9 = 6
File:LeftToRight Subtraction Step 3.JPG|15 − 9 = 6
File:LeftToRight Subtraction Step 4.JPG|Because the next digit in the minuend is not smaller than the subtrahend, we keep this number.
File:LeftToRight Subtraction Step 4.JPG|चूँकि मीनूएंड में अगला अंक सबट्रेंड से छोटा नहीं है, इसलिए हम इस संख्या को रखते हैं।
File:LeftToRight Subtraction Step 5.JPG|3 − 1 = 2
File:LeftToRight Subtraction Step 5.JPG|3 − 1 = 2
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=== अमेरिकी विधि ===
=== अमेरिकी विधि ===
Line 175: Line 196:
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File:Vertical Subtraction Method A Step 1.JPG|3 − 1 = ...
File:Vertical Subtraction Method A Step 1.JPG|3 − 1 = ...
File:Vertical Subtraction Method A Step 2.JPG|We write the difference under the line.
File:Vertical Subtraction Method A Step 2.JPG|हम लाइन के नीचे अंतर लिखते हैं।
File:Vertical Subtraction Method A Step 3.JPG|5 − 9 = ...<br> The minuend (5) is too small!
File:Vertical Subtraction Method A Step 3.JPG|5 − 9 = ...<br> न्यूनतम (5) बहुत छोटा है!
File:Vertical Subtraction Method A Step 4.JPG|So, we add 10 to it. The 10 is "borrowed" from the digit on the left, which goes down by 1.
File:Vertical Subtraction Method A Step 4.JPG|तो, हम इसमें 10 जोड़ते हैं। 10 बायीं ओर के अंक से "उधार" लिया गया है, जो 1 से नीचे चला जाता है।
File:Vertical Subtraction Method A Step 5.JPG|15 − 9 = ...<br> Now the subtraction works, and we write the difference under the line.
File:Vertical Subtraction Method A Step 5.JPG|15 − 9 = ...<br> अब घटाव काम करता है, और हम अंतर को रेखा के नीचे लिखते हैं।
File:Vertical Subtraction Method A Step 6.JPG|6 − 4 = ...
File:Vertical Subtraction Method A Step 6.JPG|6 − 4 = ...
File:Vertical Subtraction Method A Step 7.JPG|We write the difference under the line.
File:Vertical Subtraction Method A Step 7.JPG|हम लाइन के नीचे अंतर लिखते हैं।
File:Vertical Subtraction Method A Step 8.JPG|The total difference.
File:Vertical Subtraction Method A Step 8.JPG|कुल अंतर.
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=== प्रथम ट्रेड ===
=== प्रथम ट्रेड ===
अमेरिकी पद्धति का प्रकार जहां सभी व्यवकलन से प्रथम सभी ऋृण लिया जाता है।<ref>[https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=2014-02-25 }} Subtraction: Trade First</ref>
अमेरिकी पद्धति का प्रकार जहां सभी घटाना से प्रथम सभी ऋृण लिया जाता है।<ref>[https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=2014-02-25 }} Subtraction: Trade First</ref>


उदाहरण:
उदाहरण:
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File:Trade First Subtraction Step 1.JPG|1 − 3 = not possible.<br>We add a 10 to the 1. Because the 10 is "borrowed" from the nearby 5, the 5 is lowered by 1.
File:Trade First Subtraction Step 1.JPG|1 - 3 = संभव नहीं है।<br>हम 1 में 10 जोड़ते हैं। क्योंकि 10 पास के 5 से "उधार" लिया गया है, 5 को 1 से कम किया जाता है।
File:Trade First Subtraction Step 2.JPG|4 − 9 = not possible.<br>So we proceed as in step 1.
File:Trade First Subtraction Step 2.JPG|4 − 9 = संभव नहीं।<br>इसलिए हम चरण 1 के अनुसार आगे बढ़ते हैं।
File:Trade First Subtraction Step 3.JPG|Working from right to left:<br>11 − 3 = 8
File:Trade First Subtraction Step 3.JPG|दाएँ से बाएँ कार्य करना:<br>11 − 3 = 8
File:Trade First Subtraction Step 4.JPG|14 − 9 = 5
File:Trade First Subtraction Step 4.JPG|14 − 9 = 5
File:Trade First Subtraction Step 5.JPG|6 − 4 = 2
File:Trade First Subtraction Step 5.JPG|6 − 4 = 2
</gallery>
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=== आंशिक अंतर ===
=== आंशिक अंतर ===
आंशिक अंतर विधि अन्य लंबवत व्यवकलन विधियों से अलग है क्योंकि कोई ऋृण या ले जाने नहीं होता है। उनके स्थान पर, स्थान धनात्मक या माइनस संकेत देता है जो इस संवाद पर निर्भर करता है कि माइन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा या छोटा है या नहीं। आंशिक अंतर का योग कुल अंतर है।<ref>[http://ouronlineschools.org/Schools/NC/Demoschool/4thGrade/Math/PartialDifferences.htm Partial-Differences Subtraction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140623021239/http://ouronlineschools.org/Schools/NC/Demoschool/4thGrade/Math/PartialDifferences.htm |date=2014-06-23 }}; [https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=2014-02-25 }} Subtraction: Partial Differences</ref>
आंशिक अंतर विधि अन्य लंबवत घटाना विधियों से अलग है क्योंकि कोई ऋृण या ले जाने नहीं होता है। उनके स्थान पर, स्थान धनात्मक या माइनस संकेत देता है जो इस संवाद पर निर्भर करता है कि माइन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा या छोटा है या नहीं। आंशिक अंतर का योग कुल अंतर है।<ref>[http://ouronlineschools.org/Schools/NC/Demoschool/4thGrade/Math/PartialDifferences.htm Partial-Differences Subtraction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140623021239/http://ouronlineschools.org/Schools/NC/Demoschool/4thGrade/Math/PartialDifferences.htm |date=2014-06-23 }}; [https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=2014-02-25 }} Subtraction: Partial Differences</ref>


उदाहरण:
उदाहरण:
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File:Partial-Differences Subtraction Step 1.JPG|The smaller number is subtracted from the greater:<br>700 − 400 = 300<br>Because the minuend is greater than the subtrahend, this difference has a plus sign.
File:Partial-Differences Subtraction Step 1.JPG| छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाया जाता है:<br>700 - 400 = 300<br>क्योंकि छोटी संख्या उपस्कोर से बड़ी है, अंतर में प्लस चिह्न होता है।
File:Partial-Differences Subtraction Step 2.JPG|The smaller number is subtracted from the greater:<br>90 − 50 = 40<br>Because the minuend is smaller than the subtrahend, this difference has a minus sign.
File:Partial-Differences Subtraction Step 2.JPG| छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाया जाता है:<br>90 − 50 = 40<br>क्योंकि मीनूएंड सबट्रेंड से छोटा है, इस अंतर में ऋण चिह्न होता है।
File:Partial-Differences Subtraction Step 3.JPG|The smaller number is subtracted from the greater:<br>3 − 1 = 2<br>Because the minuend is greater than the subtrahend, this difference has a plus sign.
File:Partial-Differences Subtraction Step 3.JPG| छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाया जाता है:<br>3 − 1 = 2<br>क्योंकि लघुअंक उपअंक से बड़ा है, इस अंतर में प्लस चिह्न होता है।
File:Partial-Differences Subtraction Step 4.JPG|+300 − 40 + 2 = 262
File:Partial-Differences Subtraction Step 4.JPG|+300 − 40 + 2 = 262
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=== गैर-ऊर्ध्वाधर विधियाँ  ===
=== गैर-ऊर्ध्वाधर विधियाँ  ===


==== गणना करना ====
==== गणना करना ====
अंक दर अंक का अंतर ज्ञात करने के अतिरिक्त , कोई भी उपवर्ग और लघु अंत के मध्य की संख्याओं की गणना कर सकता है।<ref>[https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=2014-02-25 }} Subtraction: Counting Up</ref>
अंक दर अंक का अंतर ज्ञात करने के अतिरिक्त, कोई भी उपवर्ग और लघु अंत के मध्य की संख्याओं की गणना कर सकता है।<ref>[https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=2014-02-25 }} Subtraction: Counting Up</ref>


उदाहरण:
उदाहरण:
Line 222: Line 275:
कुल अंतर प्राप्त करने के लिए प्रत्येक चरण से मान जोड़ें: {{nowrap|1=3 + 30 + 400 + 234 = 667}}.
कुल अंतर प्राप्त करने के लिए प्रत्येक चरण से मान जोड़ें: {{nowrap|1=3 + 30 + 400 + 234 = 667}}.


==== व्यवकलन को तोड़ना ====
==== घटाना को तोड़ना ====
एक अन्य विधि जो [[ मानसिक गणना |मानसिक गणना]] के लिए उपयोगी है, व्यवकलन को छोटे-छोटे चरणों में विभाजित करना है।<ref>[https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=2014-02-25 }} Subtraction: Left to Right Subtraction</ref>
एक अन्य विधि जो [[ मानसिक गणना |मानसिक गणना]] के लिए उपयोगी है, घटाना को छोटे-छोटे चरणों में विभाजित करना है।<ref>[https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=2014-02-25 }} Subtraction: Left to Right Subtraction</ref>


उदाहरण:
उदाहरण:
Line 269: Line 322:
{{Hyperoperations}}
{{Hyperoperations}}


[[Category: घटाव| ]]
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Latest revision as of 16:31, 6 September 2023

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5 − 2 = 3 (मौखिक रूप से, पांच घटा दो समान तीन )
Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)
File:Shop placard showing 20% reduction.JPG
बोर्डो में एक दुकान के बाहर प्लेकार्ड खरीदे गए दूसरे परफ्यूम की कीमत से 20% की घटाए का विज्ञापन है

घटाना (जिसे ऋण चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है −) जोड़, गुणा और भाग के साथ चार अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है। घटाना एक ऑपरेशन है जो संग्रह से वस्तुओं को हटाने का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, निकटवर्ती चित्र में, हैं 5 − 2 आड़ू—अर्थात् 5 आड़ू जिनमें से 2 निकाले गए, परिणामस्‍वरूप कुल 3 आड़ू। इसलिए, 5 और 2 का अंतर 3 है; अर्थात् वह है, 5 − 2 = 3. जबकि मुख्य रूप से अंकगणित में प्राकृतिक संख्याओं से जुड़ा हुआ है, घटाना भी नकारात्मक संख्याओं, अंश (गणित), अपरिमेय संख्या ओं, यूक्लिडियन सदिश, दशमलव, फलन और आव्यूह सहित विभिन्न प्रकार की वस्तुओं का उपयोग करके भौतिक और अमूर्त मात्रा को हटाने या घटाने का प्रतिनिधित्व आव्यूह कर सकता है।[1]

इस प्रकार से एक अर्थ में, घटाना जोड़ का उलटा है। अर्थात्, c = a - b यदि और केवल यदि c + b = a। शब्दों में: दो संख्याओं का अंतर वह संख्या है जो पहली संख्या को दूसरी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त होती है।

घटाना कई महत्वपूर्ण पैटर्न का अनुसरण करता है। यह प्रतिकम्यूटेटिव है, जिसका अर्थ है कि क्रम परवर्तन से उत्तर का चिन्ह परिवर्तित हो जाता है। यह साहचर्यता भी नहीं है, जिसका अर्थ है कि जब कोई दो से अधिक संख्याओं को घटाता है, तो जिस क्रम में घटाना किया जाता है वह मायने रखता है। इसलिये 0 योगात्मक पहचान है, इसे घटाने से कोई संख्या परिवर्तित नहीं होती है। और घटाना भी संबंधित फलन ों से संबंधित अनुमानित नियमों का पालन करता है, जैसे जोड़ और गुणा । ये सभी नियम गणितीय प्रमाण हो सकते हैं, जो पूर्णांकों के घटाना से प्रारंभ होते हैं और वास्तविक संख्याओं के माध्यम से और आगे सामान्यीकरण किया जा सकता है। इन पैटर्नों का पालन करने वाले सामान्य बाइनरी ऑपरेशनों का सार बीजगणित में अध्ययन किया जाता है।

इस प्रकार से प्राकृतिक संख्याओं पर घटाना करना सबसे सरल संख्यात्मक फलन ों में से है। छोटे बच्चों के लिए बहुत छोटी संख्या का घटाना सुलभ होते है। उदाहरण के लिए प्राथमिक शिक्षा में, छात्रों को दशमलव प्रणाली में संख्याओं को घटाना सिखाया जाता है, जो अंक से प्रारंभ होता है और धीरे-धीरे अधिक कठिन समस्याओं से निपटता है।

किन्तु उन्नत बीजगणित और कंप्यूटर बीजगणित में, अभिव्यक्ति जिसमें घटाना शामिल है A − B सामान्यतः जोड़ के लिए शॉर्टहैंड नोटेशन के रूप में माना जाता है A + (−B). इस प्रकार, A − B इसमें दो शब्द हैं, अर्थात् A और -B। यह साहचर्य और क्रमविनिमेयता के आसान उपयोग की अनुमति देता है।

संकेतन और शब्दावली

File:Subtraction chart.png
संख्याओं का घटाना 0-10. लाइन लेबल = न्यूनतम। X अक्ष = घटाना. Y अक्ष = अंतर.

इस प्रकार से घटाना सामान्यतः पदों के मध्य ऋण चिह्न "−" का उपयोग करके अंकित जाता है अर्थात्, इंफिक्स नोटेशन में है । उदाहरण के लिए परिणाम समान चिह्न के साथ व्यक्त किया जाता है।,

(उच्चारण के रूप में दो ऋण समान एक)
(चार घटा दो समान दो के रूप में उच्चारित)
(उच्चारण छह घटा तीन समान तीन )
(चार घटा सिक्स समान नेगेटिव दो के रूप में उच्चारित)

अतः कुछ ऐसी भी स्थितियाँ होती हैं जहाँ घटाना समझा जाता है, भले ही कोई प्रतीक प्रकट न हो:

  • लाल रंग में निचली संख्या के साथ दो संख्याओं का स्तंभ, सामान्यतः इंगित करता है कि स्तंभ में निचली संख्या को पंक्ति के नीचे लिखे अंतर के साथ घटाया जाना है। यह लेखांकन में सबसे समान होती है।

औपचारिक रूप से, जिस संख्या को घटाया जा रहा है उसे घटाना के रूप में जाना जाता है,[2][3] जबकि वह लघु-अंत है जिस संख्या से इसे घटाया जाता है ।[2][3] अतः परिणाम में अंतर होता है।[2][3][1][4]

.

यह सभी शब्दावली लैटिन से ली गई है। "घटाना" अंग्रेजी भाषा का शब्द है जो लैटिन क्रिया सबट्राहेरे से लिया गया है, जो बदले में "अंडर से" और "टू पुल" का यौगिक (भाषाविज्ञान) है। इस प्रकार, घटाना नीचे से निकालना है, या दूर करना है।[5] गेरुंडिव प्रत्यय -एनडी का उपयोग करने से "सबट्रैहेंड", "घटाई जाने वाली चीज़" प्राप्त होती है।[lower-alpha 1] इसी तरह मिन्यूएरे से "कम करना या कम करना" प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है "कम की जाने वाली चीज़" आदि ।

पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं का

पूर्णांक

File:Line Segment jaredwf.svg

लंबाई b के रेखा खंड की कल्पना करें जिसके बाएँ सिरे पर a और दाएँ सिरे पर c अंकित हो।

a से प्रारंभ करके, c तक पहुँचने के लिए दाईं ओर b कदम उठाता है। दाईं ओर यह आंदोलन गणितीय रूप से अतिरिक्त रूप से तैयार किया गया है:

a + b = c.

c से, a पर वापस जाने के लिए बायीं ओर b कदम उठाने पड़ते हैं। बाईं ओर का यह आंदोलन घटाना द्वारा प्रतिरूपित है:

c − b = a.
File:Subtraction line segment.svg

अब, संख्याओं के साथ लेबल किया गया रेखा खंड 1, 2, तथा 3. स्थिति 3 से, 3 पर बने रहने के लिए बाईं ओर कोई कदम नहीं उठाता है, इसलिए 3 − 0 = 3. स्थिति 1 पर पहुंचने के लिए बाईं ओर 2 कदम लगते हैं, इसलिए 3 − 2 = 1. यह चित्र वर्णन करने के लिए अपर्याप्त है कि स्थिति 3 के बाईं ओर 3 कदम जाने के पश्चात क्या होगा। इस प्रकार के ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए, रेखा को बढ़ाया जाना चाहिए।

मनमाना प्राकृतिक संख्या ओं को घटाने के लिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) वाली रेखा से प्रारंभ होता है। 3 से, 0 तक पहुँचने के लिए बाईं ओर 3 कदम लगते हैं, इसलिए 3 − 3 = 0. परंतु 3 − 4 अभी भी अमान्य है, क्योंकि यह फिर से लाइन छोड़ देता है। प्राकृतिक संख्याएँ घटाना के लिए उपयोगी संदर्भ नहीं हैं।

समाधान पूर्णांक संख्या रेखा (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) पर विचार करना है। इस तरह, -1 तक पहुँचने के लिए 3 से बाईं ओर 4 कदम लगते हैं:

3 − 4 = −1.

प्राकृतिक संख्याएं

इस प्रकार से प्राकृतिक संख्याओं का घटाना क्लोजर (गणित) नहीं है: अंतर प्राकृतिक संख्या नहीं है जब तक कि मिन्यूएंड सबट्रेंड से अधिक या उसके समान न हो। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या देने के लिए 11 में से 26 नहीं घटाया जा सकता। ऐसा स्तिथियों दो विधियों में से का उपयोग किया जाता है:

  1. निष्कर्ष निकालें कि 11 में से 26 नहीं घटाया जा सकता; घटाना आंशिक फलन बन जाता है।
  2. उत्तर को ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले पूर्णांक के रूप में दें, इसलिए 11 में से 26 से घटाने पर −15 प्राप्त होता है।

वास्तविक संख्या

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) को केवल दो द्विआधारी संक्रियाओं, जोड़ और गुणा को निर्दिष्ट करते हुए परिभाषित किया जा सकता है, साथ में योज्य प्रतिलोम और गुणक व्युत्क्रम उत्पन्न करने वाले एकल संक्रियाओं के साथ। अन्य (न्यूनतम) से वास्तविक संख्या (सबट्रेंड) का घटाना तब मिनीएंड के जोड़ और सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 − π = 3 + (−π). वैकल्पिक रूप से, इन यूनरी ऑपरेशंस की आवश्यकता के अतिरिक्त, घटाना और डिवीजन (गणित) के द्विआधारी संचालन को मूल के रूप में लिया जा सकता है।

गुण

प्रतिसंक्रामकता

घटाना विरोधी कम्यूटेटिव है, जिसका अर्थ है कि यदि कोई बाएं से दाएं के अंतर में शब्दों को उलट देता है, तो परिणाम मूल परिणाम का नकारात्मक होता है। प्रतीकात्मक रूप से, यदि a और b कोई दो संख्याएँ हैं, तो

a − b = −(b − a).

गैर-सहयोगी

घटाना साहचर्य है | गैर-सहयोगी, जो तब सामने आता है जब कोई बार-बार घटाना को परिभाषित करने की कोशिश करता है। सामान्यतः पर, अभिव्यक्ति होती है ।

"a − b − c"

इसे या तो (a − b) − c या a − (b − c) अर्थ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिससे इन दो संभावनाओं से अलग-अलग उत्तर मिलते हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, अलग-अलग परिणाम देने वाले विभिन्न आदेशों के साथ, किसी को संचालन का क्रम स्थापित करना होगा। जिसमें अलग-अलग आदेशों से अलग-अलग परिणाम मिलते है ।

पूर्ववर्ती

पूर्णांकों के संदर्भ में, 1 (संख्या) का घटाना भी विशेष भूमिका निभाता है: किसी भी पूर्णांक a के लिए, पूर्णांक (a − 1) a से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक है, जिसे a के पूर्ववर्ती के रूप में भी जाना जाता है।

माप की इकाइयाँ

इस प्रकार से माप की इकाइयों जैसे कि किलोग्राम या पाउंड (द्रव्यमान) के साथ दो संख्याओं को घटाते समय, उनकी ही इकाई होनी चाहिए। अधिकतर स्तिथियों में, अंतर की मूल संख्या के समान इकाई होती है ।

प्रतिशत

प्रतिशत में परिवर्तन को कम से कम दो रूपों में रिपोर्ट किया जा सकता है, प्रतिशत परिवर्तन और प्रतिशत बिंदु परिवर्तन। प्रतिशत परिवर्तन दो मात्राओं के मध्य सापेक्ष परिवर्तन को प्रतिशत के रूप में दर्शाता है, जबकि प्रतिशत बिंदु परिवर्तन केवल दो प्रतिशत घटाकर प्राप्त संख्या है [6][7][8]

उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए कि किसी फैक्ट्री में बने 30% विजेट खराब हैं। छह महीने बाद, 20% विजेट खराब हैं। प्रतिशत परिवर्तन 20% − 30%/30% = −1/3 = −33+1/3%, है जबकि प्रतिशत बिंदु परिवर्तन -10 प्रतिशत अंक है।

कंप्यूटिंग में

पूरक विधि ऐसी विधिया होती है जिसका उपयोग केवल सकारात्मक संख्याओं के योग का उपयोग करके संख्या को दूसरे से घटाने के लिए किया जाता है। इस पद्धति का उपयोग सामान्यतः यांत्रिक कैलकुलेटर में किया जाता था, और अभी भी आधुनिक कंप्यूटर में इसका उपयोग किया जाता है।

Binary
digit 		Ones'
complement
0 1
1 0

एक बाइनरी संख्या x (सबट्रेंड) को किसी अन्य संख्या y (न्यूनतम) से घटाने के लिए y, के पूरक को x में जोड़ा जाता है और को योग में जोड़ा जाता है। इसके बाद परिणाम का अग्रणी अंक "1" हटा दिया जाता है।

पूरक की विधि बाइनरी (मूलांक 2) में विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि प्रत्येक बिट को उल्टा करके ("0" को "1" में बदलना और इसके विपरीत) बहुत आसानी से पूरक प्राप्त किया जाता है। और दो का पूरक प्राप्त करने के लिए 1 जोड़ना कम से कम महत्वपूर्ण बिट में कैरी का अनुकरण करके किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: 

 01100100 (x, दशमलव 100 के समान है)
- 00010110 (y, दशमलव 22 के समान है)

योग बन जाता है: 

 01100100 (x)
+ 11101001 (y का पूरक)
+ 1 (दोनो का पूरक प्राप्त करने के लिए)
———————————
 101001110

प्रारंभिक "1" को छोड़ने पर उत्तर मिलता है: 01001110 (दशमलव 78 के समान )

स्कूलों में घटाना की पढ़ाई

इस प्रकार से प्राथमिक विद्यालय में घटाना सिखाने के लिए उपयुक्त की जाने वाली विधियाँ अलग-अलग देशों में अलग-अलग होती हैं, और देश के अंदर, अलग-अलग समय पर अलग-अलग विधियाँ अपनाए जाते हैं। जिसे संयुक्त राज्य अमेरिका में पारंपरिक गणित के रूप में जाना जाता है, प्रथम वर्ष के अंत में (या दूसरे वर्ष के समय ) छात्रों को बहु-अंकीय पूर्ण संख्याओं के उपयोग के लिए विशिष्ट प्रक्रिया सिखाई जाती है, और इसे चौथे या चौथे वर्ष में बढ़ाया जाता है। पांचवीं कक्षा में भिन्नात्मक संख्याओं के दशमलव निरूपण को सम्मिलित किया जाता है ।

अमेरिका में

इस प्रकार से लगभग सभी अमेरिकी स्कूल वर्तमान में ऋृण या पुनर्समूहन (अपघटन एल्गोरिथम) और बैसाखी नामक चिह्नों की प्रणाली का उपयोग करके घटाना की विधि सिखाते हैं।[9][10] चूँकि ऋृण लेने की विधि प्रथम से ही पाठ्यपुस्तकों में जानी और प्रकाशित की गई थी, विलियम ए ब्राउनेल द्वारा अध्ययन प्रकाशित करने के बाद अमेरिकी स्कूलों में बैसाखी का उपयोग फैल गया - यह दावा करते हुए कि इस पद्धति का उपयोग करने वाले छात्रों के लिए बैसाखी लाभकारी थी।[11] इस प्रणाली ने तेजी से लोकप्रियता प्राप्त की और उस समय अमेरिका में उपयोग में आने वाली घटाना की अन्य विधियों को विस्थापित कर दिया गया ।

यूरोप में

किन्तु कुछ यूरोपीय स्कूल ऑस्ट्रियन पद्धति नामक घटाना की विधि को नियोजित करते हैं, जिसे अतिरिक्त विधि के रूप में भी जाना जाता है। इस पद्धति में कोई ऋृण नहीं है। बैसाखी (स्मृति में सहायता के लिए चिह्न) भी हैं, जो देश के अनुसार अलग-अलग होते हैं।[12][13]

दो मुख्य विधियों की तुलना

ये दोनों विधियाँ स्थानीय मान द्वारा एक अंक घटाने की प्रक्रिया के रूप में घटाना को तोड़ देती हैं। सबट्रेंड के घटाना में, कम से कम महत्वपूर्ण अंक से प्रारंभ करें:

sj sj−1 ... s1

मिनट से

mk mk−1 ... m1,

जहां प्रत्येक si और mi एक अंक है, m1 − s1, m2 − s2, इत्यादि लिखकर आगे बढ़ता है, जब तक कि si mi से अधिक न हो जाए। अन्यथा, mi में 10 की वृद्धि की जाती है और इस वृद्धि को सही करने के लिए कुछ अन्य अंकों को संशोधित किया जाता है। अमेरिकी विधि न्यूनतम अंक mi+1 को एक से कम करने का प्रयास करके (या ऋृण लेने के लिए एक गैर-शून्य अंक होने तक ऋृण को बाईं ओर जारी रखने का प्रयास करके सही करती है)। यूरोपीय विधि सबट्रेंड अंक si+1 को एक से बढ़ाकर सही करती है।

उदाहरण: 704 − 512।

लघुअंड 704 है, घटाना 512 है। लघुअंक अंक हैं m3 = 7, m2 = 0 तथा m1 = 4. सबट्रेंड अंक हैं s3 = 5, s2 = 1 तथा s1 = 2. के स्थान से प्रारंभ करते हुए, 4, 2 से कम नहीं है, इसलिए अंतर 2 को परिणाम के के स्थान पर लिख दिया जाता है। दहाई के स्थान पर 0, 1 से कम है, इसलिए 0 को 10 से बढ़ा दिया जाता है, और 1 का अंतर, जो कि 9 है, दहाई के स्थान पर लिख दिया जाता है। अमेरिकी पद्धति में दस की वृद्धि के लिए न्यूनतम के सौ स्थान के अंक को से घटाकर सही किया जाता है। अर्थात्, 7 को काट दिया जाता है और 6 से बदल दिया जाता है। घटाना फिर सैकड़े के स्थान पर आगे बढ़ता है, जहाँ 6 5 से कम नहीं है, इसलिए अंतर को परिणाम के सैकड़े के स्थान पर अंकित जाता है। हम अब कर चुके हैं, परिणाम 192 है।

ऑस्ट्रियाई पद्धति 7 से 6 तक कम नहीं करती है। किन्तु यह सबट्रेंड सैकड़े के अंक को से बढ़ा देती है। इस अंक के पास या नीचे (विद्यालय के आधार पर) छोटा संकेत बना दिया जाता है। फिर घटाना यह पूछते हुए आगे बढ़ता है कि किस संख्या में 1 से वृद्धि करने पर उसमें 5 जोड़ने पर 7 बनता है। जिसका उत्तर 1 है, और परिणाम के सैकड़े के स्थान पर लिख दिया जाता है।

इसमें अतिरिक्त सूक्ष्मता है कि अमेरिकी पद्धति में छात्र सदैव मानसिक घटाना तालिका का उपयोग करता है। ऑस्ट्रियाई पद्धति अधिकांशतः छात्र को विपरीत तालिका में मानसिक रूप से उपयोग करने के लिए प्रोत्साहित करती है। ऊपर दिए गए उदाहरण में, 1 में 5 जोड़ने, 6 प्राप्त करने और 7 से घटाने के अतिरिक्त, छात्र से यह विचार करने के लिए कहा जाता है कि किस संख्या को 1 से बढ़ाने और उसमें 5 जोड़ने पर 7 बनता है।

हस्तगत घटाना

ऑस्ट्रियाई विधि

उदाहरण:

  • Vertical Subtraction Method B Step 1.JPG

    1 + ... = 3

  • अंतर पंक्ति के नीचे लिखा है.

  • Vertical Subtraction Method B Step 3.JPG

    9 + ... = 5
    आवश्यक योग (5) बहुत छोटा है।

  • Vertical Subtraction Method B Step 4.JPG

    तो, हम इसमें 10 जोड़ते हैं और सबट्रेंड में अगले उच्च स्थान के नीचे 1 डालते हैं।

  • Vertical Subtraction Method B Step 5.JPG

    9 + ... = 15
    अब हम पहले की तरह अंतर पा सकते हैं।

  • Vertical Subtraction Method B Step 6.JPG

    (4 + 1) + ... = 7

  • Vertical Subtraction Method B Step 7.JPG

    अंतर पंक्ति के नीचे लिखा है।

  • Vertical Subtraction Method B Step 8.JPG

    कुल अंतर.







बाएँ से दाएँ घटाना

उदाहरण:

  • LeftToRight Subtraction Step 1.JPG

    7 − 4 = 3
    यह परिणाम ही अंकित है.

  • क्योंकि मीनूएंड का अगला अंक सबट्रेंड से छोटा है, हम अपने पेंसिल-इन-संख्या से एक घटाते हैं और मानसिक रूप से अगले में दस जोड़ते हैं।

    क्योंकि मीनूएंड का अगला अंक सबट्रेंड से छोटा है, हम अपने पेंसिल-इन-संख्या से एक घटाते हैं और मानसिक रूप से अगले में दस जोड़ते हैं।

  • LeftToRight Subtraction Step 3.JPG

    15 − 9 = 6

  • चूँकि मीनूएंड में अगला अंक सबट्रेंड से छोटा नहीं है, इसलिए हम इस संख्या को रखते हैं।

  • LeftToRight Subtraction Step 5.JPG

    3 − 1 = 2







अमेरिकी विधि

इस पद्धति में, सबट्रेंड के प्रत्येक अंक को उसके ऊपर के अंक से दाएं से बाएं से घटाया जाता है। यदि ऊपर की संख्या इतनी छोटी है कि उसमें से नीचे की संख्या को घटाया जा सकता है, तो हम उसमें 10 जोड़ देते हैं; यह 10 ऊपर के अंक से बाईं ओर ऋृण लिया जाता है, जिसमें से हम 1 घटाते हैं। फिर हम अगले अंक को घटाते हैं और आवश्यकतानुसार ऋृण लेते हैं, जब तक कि प्रत्येक अंक घटाया न जाए।

उदाहरण:

  • Vertical Subtraction Method A Step 1.JPG

    3 − 1 = ...

  • हम लाइन के नीचे अंतर लिखते हैं।

  • 5 − 9 = ...
    न्यूनतम (5) बहुत छोटा है!

  • Vertical Subtraction Method A Step 4.JPG

    तो, हम इसमें 10 जोड़ते हैं। 10 बायीं ओर के अंक से "उधार" लिया गया है, जो 1 से नीचे चला जाता है।

  • Vertical Subtraction Method A Step 5.JPG

    15 − 9 = ...
    अब घटाव काम करता है, और हम अंतर को रेखा के नीचे लिखते हैं।

  • Vertical Subtraction Method A Step 6.JPG

    6 − 4 = ...

  • Vertical Subtraction Method A Step 7.JPG

    हम लाइन के नीचे अंतर लिखते हैं।

  • कुल अंतर.

    कुल अंतर.







प्रथम ट्रेड

अमेरिकी पद्धति का प्रकार जहां सभी घटाना से प्रथम सभी ऋृण लिया जाता है।[14]

उदाहरण:

  • Trade First Subtraction Step 1.JPG

    1 - 3 = संभव नहीं है।
    हम 1 में 10 जोड़ते हैं। क्योंकि 10 पास के 5 से "उधार" लिया गया है, 5 को 1 से कम किया जाता है।

  • 4 − 9 = संभव नहीं।
    इसलिए हम चरण 1 के अनुसार आगे बढ़ते हैं।

  • दाएँ से बाएँ कार्य करना:
    11 − 3 = 8

  • 14 − 9 = 5

  • 6 − 4 = 2

    6 − 4 = 2







आंशिक अंतर

आंशिक अंतर विधि अन्य लंबवत घटाना विधियों से अलग है क्योंकि कोई ऋृण या ले जाने नहीं होता है। उनके स्थान पर, स्थान धनात्मक या माइनस संकेत देता है जो इस संवाद पर निर्भर करता है कि माइन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा या छोटा है या नहीं। आंशिक अंतर का योग कुल अंतर है।[15]

उदाहरण:

  • Partial-Differences Subtraction Step 1.JPG

    छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाया जाता है:
    700 - 400 = 300
    क्योंकि छोटी संख्या उपस्कोर से बड़ी है, अंतर में प्लस चिह्न होता है।

  • छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाया जाता है: 90 − 50 = 40 क्योंकि मीनूएंड सबट्रेंड से छोटा है, इस अंतर में ऋण चिह्न होता है।

    छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाया जाता है:
    90 − 50 = 40
    क्योंकि मीनूएंड सबट्रेंड से छोटा है, इस अंतर में ऋण चिह्न होता है।

  • छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाया जाता है:
    3 − 1 = 2
    क्योंकि लघुअंक उपअंक से बड़ा है, इस अंतर में प्लस चिह्न होता है।

  • +300 − 40 + 2 = 262







गैर-ऊर्ध्वाधर विधियाँ

गणना करना

अंक दर अंक का अंतर ज्ञात करने के अतिरिक्त, कोई भी उपवर्ग और लघु अंत के मध्य की संख्याओं की गणना कर सकता है।[16]

उदाहरण:

1234 − 567 = निम्नलिखित चरणों से ज्ञात किया जा सकता है:

  • 567 + 3 = 570
  • 570 + 30 = 600
  • 600 + 400 = 1000
  • 1000 + 234 = 1234

कुल अंतर प्राप्त करने के लिए प्रत्येक चरण से मान जोड़ें: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

घटाना को तोड़ना

एक अन्य विधि जो मानसिक गणना के लिए उपयोगी है, घटाना को छोटे-छोटे चरणों में विभाजित करना है।[17]

उदाहरण:

1234 − 567 = को निम्नलिखित विधियाँ से हल किया जा सकता है:

  • 1234 − 500 = 734
  • 734 − 60 = 674
  • 674 − 7 = 667

समान परिवर्तन

समान परिवर्तन विधि इस तथ्य का उपयोग करती है कि मिन्यूएंड और सबट्रेंड से समान संख्या को जोड़ने या घटाने से उत्तर नहीं परिवर्तित है। सबट्रेंड में शून्य प्राप्त करने के लिए आवश्यक मान जोड़ता है।[18]

उदाहरण: 

1234 - 567 = इस प्रकार हल किया जा सकता है:
  • 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667


यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ "Subtrahend" is shortened by the inflectional Latin suffix -us, e.g. remaining un-declined as in numerus subtrahendus "the number to be subtracted".

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. "घटाव". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-26.
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 Schmid, Hermann (1974). दशमलव संगणना (1 ed.). Binghamton, NY: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-76180-8.
  3. ↑ 3.0 3.1 3.2 Schmid, Hermann (1983) [1974]. दशमलव संगणना (1 (reprint) ed.). Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 978-0-89874-318-0.
  4. ↑ "घटाव". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-26.
  5. ↑ "Subtraction". Oxford English Dictionary (Online ed.). Oxford University Press. (Subscription or participating institution membership required.)
  6. ↑ Paul E. Peterson, Michael Henderson, Martin R. West (2014) Teachers Versus the Public: What Americans Think about Schools and How to Fix Them Brookings Institution Press, p. 163
  7. ↑ Janet Kolodzy (2006) Convergence Journalism: Writing and Reporting across the News Media Rowman & Littlefield Publishers, p. 180
  8. ↑ David Gillborn (2008) Racism and Education: Coincidence Or Conspiracy? Routledge p. 46
  9. ↑ Klapper, Paul (1916). अंकगणित का शिक्षण: शिक्षकों के लिए एक मैनुअल. pp. 80–. Retrieved 2016-03-11.
  10. ↑ Susan Ross and Mary Pratt-Cotter. 2000. "Subtraction in the United States: An Historical Perspective," The Mathematics Educator 8(1):4–11. p. 8: "This new version of the decomposition algorithm [i.e., using Brownell's crutch] has so completely dominated the field that it is rare to see any other algorithm used to teach subtraction today [in America]."
  11. ↑ Ross, Susan C.; Pratt-Cotter, Mary (1999). "एक ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य से घटाव". School Science and Mathematics. 99 (7): 389–93. doi:10.1111/j.1949-8594.1999.tb17499.x.
  12. ↑ Klapper 1916, pp. 177–.
  13. ↑ David Eugene Smith (1913). अंकगणित की शिक्षा. Ginn. pp. 77–. Retrieved 2016-03-11.
  14. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Archived 2014-02-25 at the Wayback Machine Subtraction: Trade First
  15. ↑ Partial-Differences Subtraction Archived 2014-06-23 at the Wayback Machine; The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Archived 2014-02-25 at the Wayback Machine Subtraction: Partial Differences
  16. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Archived 2014-02-25 at the Wayback Machine Subtraction: Counting Up
  17. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Archived 2014-02-25 at the Wayback Machine Subtraction: Left to Right Subtraction
  18. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Same Change Rule

ग्रन्थसूची

बाहरी संबंध

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