क्लोजर ऑपरेटर

गणित में, एक सेट (समुच्चय) S पर एक क्लोजर ऑपरेटर फ़ंक्शन (फलन) $\operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)$ के पावर सेट से स्वयं के लिए जो सभी सेट $X,Y\subseteq S$ के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है।

$X\subseteq \operatorname {cl} (X)$	(cl विस्तृत है),
$X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {cl} (X)\subseteq \operatorname {cl} (Y)$	(cl में वृद्धि हो रही है),
$\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (X))=\operatorname {cl} (X)$	(cl वर्गसम है).

क्लोजर ऑपरेटर्स को उनके बंद सेटों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, फॉर्म cl(X) के सेट के बाद से सेट X का क्लोजर cl(X) X युक्त सबसे छोटा बंद सेट है। "बंद सेट" के ऐसे परिवारों को कभी-कभी क्लोजर कहा जाता है। सिस्टम या "मूर परिवार" उस पर एक क्लोजर ऑपरेटर के साथ एक सेट को कभी-कभी क्लोजर स्पेस कहा जाता है। क्लोजर ऑपरेटरों को "हल ऑपरेटर्स" भी कहा जाता है, जो टोपोलॉजी में अध्ययन किए गए "क्लोजर ऑपरेटरों" के साथ मिथक को रोकता है।

इतिहास

ई.एच. मूर ने अपने 1910 के सामान्य विश्लेषण के एक रूप के परिचय में क्लोजर ऑपरेटरों का अध्ययन किया, जबकि एक उपसमुच्चय को बंद करने की अवधारणा टोपोलॉजिकल स्पेस के संबंध में फ्रिग्स रिज के काम में उत्पन्न हुई थी। हालांकि उस समय इसे औपचारिक रूप नहीं दिया गया था, लेकिन बंद करने का विचार 19वीं सदी के अंत में अर्न्स्ट श्रोडर, रिचर्ड डेडेकिंड और जॉर्ज कैंटर के उल्लेखनीय योगदान के साथ उत्पन्न हुआ था।

उदाहरण

टोपोलॉजी से सामान्य सेट क्लोजर एक क्लोजर ऑपरेटर है। अन्य उदाहरणों में एक सदिश स्थान के एक उपसमुच्चय का रेखीय फैलाव, एक सदिश स्थान के एक उपसमुच्चय का उत्तल हल या एफ़ाइन हल या एक फलन $f\colon E\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ का निम्न अर्द्धसतत हल ${\overline {f}}$, जहां $E$ उदा. एक आदर्श स्थान, परिभाषित रूप से $\operatorname {epi} ({\overline {f}})={\overline {\operatorname {epi} (f)}}$ जहां $\operatorname {epi} (f)$ फ़ंक्शन $f$ का एपिग्राफ है।

सापेक्ष आंतरिक $\operatorname {ri}$ क्लोजर ऑपरेटर नहीं है: यद्यपि यह वर्गसम है, यह नहीं बढ़ रहा है और यदि $C_{1}$, $\mathbb {R} ^{3}$ में एक घन है और $C_{2}$ इसका एक फलक है, तो $C_{2}\subset C_{1}$लेकिन $\operatorname {ri} (C_{1})\neq \emptyset \neq \operatorname {ri} (C_{2})$⁡ और $\operatorname {ri} (C_{1})\cap \operatorname {ri} (C_{2})=\emptyset$ इसलिए यह नहीं बढ़ रहा है।

टोपोलॉजी में, क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर होते हैं, जिन्हें संतुष्ट करना चाहिए।

$\operatorname {cl} (X_{1}\cup \dots \cup X_{n})=\operatorname {cl} (X_{1})\cup \dots \cup \operatorname {cl} (X_{n})$

सभी के लिए $n\in \mathbb {N}$ (ध्यान दें कि $n=0$ के लिए इससे $\operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing$ प्राप्त होता है)।

बीजगणित और तर्कशास्त्र में, कई क्लोजर ऑपरेटर अंतिम क्लोजर ऑपरेटर हैं, अर्थात वे संतुष्ट हैं।

$\operatorname {cl} (X)=\bigcup \left\{\operatorname {cl} (Y):Y\subseteq X{\text{ and }}Y{\text{ finite}}\right\}.$

आंशिक रूप से आदेशित सेट के सिद्धांत में, जो सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं, बंद करने वाले ऑपरेटरों की एक अधिक सामान्य परिभाषा है जो प्रतिस्थापित करती है $\subseteq$ साथ $\leq$. (देखें § आंशिक रूप से आदेशित सेटों पर क्लोजर ऑपरेटर.)।

टोपोलॉजी में क्लोजर ऑपरेटर

Main article: कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स

टोपोलॉजिकल स्पेस के एक सबसेट X के टोपोलॉजिकल क्लोजर में स्पेस के सभी बिंदु y होते हैं, जैसे कि y के हर पड़ोस (गणित) में X का एक बिंदु होता है। फंक्शन जो हर सबसेट X को बंद करता है, वह एक टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर है। इसके विपरीत, एक सेट पर प्रत्येक टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर एक टोपोलॉजिकल स्पेस की वृद्धि करता है, जिसके बंद सेट क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बिल्कुल बंद सेट होते हैं।

बीजगणित में क्लोजर ऑपरेटर

फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर सार्वभौमिक बीजगणित में अपेक्षाकृत प्रमुख भूमिका निभाते हैं, और इस संदर्भ में, उन्हें पारंपरिक रूप से बीजगणितीय क्लोजर ऑपरेटर कहा जाता है। एक बीजगणित का प्रत्येक उपसमुच्चय एक सबलजेब्रा उत्पन्न करता है: सबसे छोटा सबलजेब्रा जिसमें सेट होता है। यह एक अंतिम क्लोजर ऑपरेटर की वृद्धि करता है।

संभवतया इसका सबसे प्रसिद्ध उदाहरण वह कार्य है जो किसी दिए गए सदिश स्थान के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके रैखिक विस्तार से जोड़ता है। इसी प्रकार, वह फलन जो किसी दिए गए समूह के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके द्वारा उत्पन्न उपसमूह से जोड़ता है, और इसी प्रकार खेतों और अन्य सभी प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए है।

एक सदिश स्थान में रैखिक अवधि और एक क्षेत्र में समान बीजगणितीय समापन दोनों विनिमय संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: यदि x, A और {y} के मिलन के समापन में है, लेकिन A के संवरण में नहीं है, तो y संवरण में है A और {x} के मिलन का। इस संपत्ति के साथ एक फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर को मैट्रॉइड कहा जाता है। एक सदिश स्थान का आयाम, या एक क्षेत्र की उत्कृष्टता की डिग्री (इसके प्रमुख क्षेत्र पर) संबंधित मैट्रॉइड का श्रेणी है।

फ़ंक्शन जो किसी दिए गए क्षेत्र (गणित) के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके बीजगणितीय बंद करने के लिए मैप करता है, वह भी एक अंतिम समापन ऑपरेटर है, और सामान्य तौर पर यह पहले बताए गए ऑपरेटर से अलग है। फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर्स जो इन दोनों ऑपरेटरों को सामान्यीकृत करते हैं, उन्हें मॉडल सिद्धांत में dcl (निश्चित क्लोजर के लिए) और acl (बीजगणितीय क्लोजर के लिए) के रूप में अध्ययन किया जाता है।

एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्तल हल एक अंतिम क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है। यह एक्सचेंज विरोधी संपत्ति को संतुष्ट करता है: यदि x {y} और A के संघ के समापन में है, लेकिन {y} के संघ में नहीं है और A के समापन में है, तो y {के संघ के समापन में नहीं है। x} और A इस गुण के साथ फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर एंटीमैट्रोइड्स के वृद्धि करते हैं।

बीजगणित में उपयोग किए जाने वाले क्लोजर ऑपरेटर के एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कुछ बीजगणित में A है और X A के जोड़े का एक सेट है, तो X को X से युक्त सबसे छोटा सर्वांगसम संबंध देने वाला ऑपरेटर A x A पर एक परिमित क्लोजर ऑपरेटर है।