अनंत: Difference between revisions
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[[File:Reflections 1090029.jpg|thumb|upright=1.5|right|[[अनंत दर्पण|विरोधी दर्पणों]] के बीच निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब के कारण ऐसा लगता है कि उनके भीतर असीम स्थान और पुनरावृत्ति है।]]अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक {{char|<math>\infty</math>}} द्वारा निरूपित किया जाता है। | [[File:Reflections 1090029.jpg|thumb|upright=1.5|right|[[अनंत दर्पण|विरोधी दर्पणों]] के बीच निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब के कारण ऐसा लगता है कि उनके भीतर असीम स्थान और पुनरावृत्ति है।]]'''अनंत''' वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक {{char|<math>\infty</math>}} द्वारा निरूपित किया जाता है। | ||
[[ग्रीक गणित|प्राचीन यूनानियों]] के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक<ref name=":1">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=The History of Infinity |url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> और [[अतिसूक्ष्म कलन|अतिसूक्ष्म गणना]] के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने [[अनंत श्रृंखला]] के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)<ref name="Jesseph" /> ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।<ref name=":1" /> 19वीं शताब्दी के अंत में, [[जॉर्ज कैंटर]] ने [[अनंत सेट|अनंत समुच्चयों]] और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |last1=Gowers |first1=Timothy |url=https://www.worldcat.org/oclc/659590835 |title=The Princeton companion to mathematics |last2=Barrow-Green |first2=June |publisher=Princeton University Press |others=Imre Leader, Princeton University |year=2008 |isbn=978-1-4008-3039-8 |location=Princeton |language=en |oclc=659590835}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की [[प्रमुखता|प्रधानता]]) [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] की संख्या से बड़ी होती है।<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113–117}}</ref> इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य [[गणितीय वस्तु]] की तरह ही उपयोग किया जा सकता है। | [[ग्रीक गणित|प्राचीन यूनानियों]] के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक<ref name=":1">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=The History of Infinity |url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> और [[अतिसूक्ष्म कलन|अतिसूक्ष्म गणना]] के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने [[अनंत श्रृंखला]] के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)<ref name="Jesseph" /> ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।<ref name=":1" /> 19वीं शताब्दी के अंत में, [[जॉर्ज कैंटर]] ने [[अनंत सेट|अनंत समुच्चयों]] और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |last1=Gowers |first1=Timothy |url=https://www.worldcat.org/oclc/659590835 |title=The Princeton companion to mathematics |last2=Barrow-Green |first2=June |publisher=Princeton University Press |others=Imre Leader, Princeton University |year=2008 |isbn=978-1-4008-3039-8 |location=Princeton |language=en |oclc=659590835}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की [[प्रमुखता|प्रधानता]]) [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] की संख्या से बड़ी होती है।<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113–117}}</ref> इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य [[गणितीय वस्तु]] की तरह ही उपयोग किया जा सकता है। | ||
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== इतिहास == | == इतिहास == | ||
{{Further|अनंत (दर्शनशास्त्र)}} | {{Further|अनंत (दर्शनशास्त्र)}} | ||
प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। [[वैदिक काल|प्राचीन भारतीयों]] और [[प्राचीन ग्रीस|यूनानियों]] ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके स्थान पर एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंच | प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। [[वैदिक काल|प्राचीन भारतीयों]] और [[प्राचीन ग्रीस|यूनानियों]] ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके स्थान पर एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंच गया है। | ||
=== प्रारंभिक | === प्रारंभिक ग्रीक === | ||
ग्रीस में अनंत का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार [[Anaximander|एक यूनानी वैज्ञानिक]] (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने अपरिमित शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और संभवतः इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।<ref name=":1" /><ref>{{harvnb|Wallace|2004|p=44}}</ref> | ग्रीस में अनंत का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार [[Anaximander|एक यूनानी वैज्ञानिक]] (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने अपरिमित शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और संभवतः इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।<ref name=":1" /><ref>{{harvnb|Wallace|2004|p=44}}</ref> | ||
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अंत में, 1821 में, [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने सीमा की संतोषजनक परिभाषा और प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, 0 < ''x'' < 1 के लिए,<ref>{{cite book|last=Cauchy|first=Augustin-Louis|author-link=Augustin-Louis Cauchy|access-date=October 12, 2019|title=Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique|year=1821|publisher=Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi|url=https://books.google.com/books?id=UrT0KsbDmDwC&pg=PA1|page=124}}</ref><math display="block">a+ax+ax^2+ax^3+ax^4+ax^5+\cdots=\frac{a}{1-x}.</math>मान लीजिए कि अकिलिस 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0.1 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद में 100 मीटर की प्रारम्भिक बढ़त है। पीछा करने की अवधि कॉची के पैटर्न में ''a'' = 10 सेकंड और ''x'' = 0.01 के साथ उपयुक्त बैठती है। अकिलिस कछुआ से आगे निकल जाता है, यह उसे ले जाता है<math display="block">10+0.1+0.001+0.00001+\cdots=\frac {10}{1-.01}= \frac {10}{0.99}=10.10101\ldots\text{ seconds}.</math> | अंत में, 1821 में, [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने सीमा की संतोषजनक परिभाषा और प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, 0 < ''x'' < 1 के लिए,<ref>{{cite book|last=Cauchy|first=Augustin-Louis|author-link=Augustin-Louis Cauchy|access-date=October 12, 2019|title=Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique|year=1821|publisher=Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi|url=https://books.google.com/books?id=UrT0KsbDmDwC&pg=PA1|page=124}}</ref><math display="block">a+ax+ax^2+ax^3+ax^4+ax^5+\cdots=\frac{a}{1-x}.</math>मान लीजिए कि अकिलिस 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0.1 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद में 100 मीटर की प्रारम्भिक बढ़त है। पीछा करने की अवधि कॉची के पैटर्न में ''a'' = 10 सेकंड और ''x'' = 0.01 के साथ उपयुक्त बैठती है। अकिलिस कछुआ से आगे निकल जाता है, यह उसे ले जाता है<math display="block">10+0.1+0.001+0.00001+\cdots=\frac {10}{1-.01}= \frac {10}{0.99}=10.10101\ldots\text{ seconds}.</math> | ||
===प्रारंभिक भारतीय === | ===प्रारंभिक भारतीय === | ||
[[भारतीय गणित|जैन गणितीय]] ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-<ref>{{cite book|author=Ian Stewart|title=Infinity: a Very Short Introduction|url=https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|year=2017|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-875523-4|page=117|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170403200429/https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|archive-date=April 3, 2017}}</ref> | [[भारतीय गणित|जैन गणितीय]] ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-<ref>{{cite book|author=Ian Stewart|title=Infinity: a Very Short Introduction|url=https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|year=2017|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-875523-4|page=117|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170403200429/https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|archive-date=April 3, 2017}}</ref> | ||
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=== 17वीं शताब्दी === | === 17वीं शताब्दी === | ||
17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का व्यवस्थित ढंग से प्रयोग करना | 17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का व्यवस्थित ढंग से प्रयोग करना प्रारम्भकिया। 1655 में, [[जॉन वालिस]] ने पहली बार अपने डी सेक्शनिबस कॉनिसिस में इस तरह की संख्या के लिए<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=OQZxHpG2y3UC&q=infinity|title=A History of Mathematical Notations|last=Cajori|first=Florian|publisher=Cosimo, Inc.|year=2007|isbn=9781602066854|volume=1|pages=214|language=en}}</ref> अंकन {{char|<math>\infty</math>}} का उपयोग किया और <math>{1\over \infty} | ||
</math> के क्रम में क्षेत्र को चौड़ाई के अत्यंत सूक्ष्म पट्टियों में विभाजित करके क्षेत्र गणना में इसका उपयोग किया।<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 421, Vol. II, p. 44}}</ref> लेकिन अंकगणितीय इन्फिनिटोरम (1655 में भी) में, वह कुछ शर्तों या कारकों को लिखकर और फिर "&c" जोड़ कर अनंत श्रृंखला, अनंत उत्पादों और अनंत निरंतर अंशों को इंगित करता है। जैसा कि "1, 6, 12, 18, 24, और &c।"<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 435, Vol. II, p. 58}}</ref> | </math> के क्रम में क्षेत्र को चौड़ाई के अत्यंत सूक्ष्म पट्टियों में विभाजित करके क्षेत्र गणना में इसका उपयोग किया।<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 421, Vol. II, p. 44}}</ref> लेकिन अंकगणितीय इन्फिनिटोरम (1655 में भी) में, वह कुछ शर्तों या कारकों को लिखकर और फिर "&c" जोड़ कर अनंत श्रृंखला, अनंत उत्पादों और अनंत निरंतर अंशों को इंगित करता है। जैसा कि "1, 6, 12, 18, 24, और &c।"<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 435, Vol. II, p. 58}}</ref> | ||
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=== समुच्चय सिद्धान्त === | === समुच्चय सिद्धान्त === | ||
{{Main| | {{Main|कार्डिनलिटी|क्रमसूचक संख्या}} | ||
[[File:Infinity paradoxon - one-to-one correspondence between infinite set and proper subset.gif|thumb|अनंत समुच्चय और उसके उचित उपसमुच्चय के बीच प्रत्येक से अलग समतुल्यता]]"अनंत" का एक अलग रूप समुच्चय सिद्धान्त की क्रमवाचक संख्या और [[बुनियादी संख्या|गणनसंख्या]] अनंत हैं, जो पहले जॉर्ज कैंटर द्वारा विकसित की गई परिमितातीत (ट्रांसफ़िनिट) संख्याओं की प्रणाली है। इस प्रणाली में, पहला परिमितातीत गणनसंख्या एलेफ़-नल (<span style= font-family:'Cambria Math'; ><big>ℵ</big><sub>0</sub></span>) है, जो प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का गणनांक है। मात्रात्मक अनंत की यह आधुनिक गणितीय अवधारणा 19वीं शताब्दी के अंत में कैंटर, [[भगवान फ्रीज का शुक्र है|गोटलॉब फ्रेग]], [[रिचर्ड डेडेकिंड]] और अन्य लोगों द्वारा संग्रह या समुच्चय के विचार का उपयोग करके विकसित हुई थी।<ref name=":1" /> | [[File:Infinity paradoxon - one-to-one correspondence between infinite set and proper subset.gif|thumb|अनंत समुच्चय और उसके उचित उपसमुच्चय के बीच प्रत्येक से अलग समतुल्यता]]"अनंत" का एक अलग रूप समुच्चय सिद्धान्त की क्रमवाचक संख्या और [[बुनियादी संख्या|गणनसंख्या]] अनंत हैं, जो पहले जॉर्ज कैंटर द्वारा विकसित की गई परिमितातीत (ट्रांसफ़िनिट) संख्याओं की प्रणाली है। इस प्रणाली में, पहला परिमितातीत गणनसंख्या एलेफ़-नल (<span style= font-family:'Cambria Math'; ><big>ℵ</big><sub>0</sub></span>) है, जो प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का गणनांक है। मात्रात्मक अनंत की यह आधुनिक गणितीय अवधारणा 19वीं शताब्दी के अंत में कैंटर, [[भगवान फ्रीज का शुक्र है|गोटलॉब फ्रेग]], [[रिचर्ड डेडेकिंड]] और अन्य लोगों द्वारा संग्रह या समुच्चय के विचार का उपयोग करके विकसित हुई थी।<ref name=":1" /> | ||
डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से समुच्चय के आकार की तुलना करने के लिए प्रत्येक से अलग समतुल्यता के विचार को एक मानक के रूप में अपनाने और गैलीलियो (यूक्लिड से प्राप्त) के विचार को अस्वीकार करने के लिए था कि पूरे भाग के समान आकार नहीं हो सकते। (हालांकि, गैलीलियो के विरोधाभास को देखें जहां गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांकों की तुलना सकारात्मक [[वर्ग संख्या|वर्ग पूर्णांकों]] के उपसमुच्चय से नहीं की जा सकती है क्योंकि दोनों अनंत समुच्चय हैं।) एक अनंत समुच्चय को केवल उसी आकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका आकार कम से कम उसके उचित भागों में से एक के समान है, अनंत की इस धारणा को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है। दाईं ओर आरेख उदाहरण देता है- बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में देखने वाली रेखाएं, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को उच्च नीली रेखा के लिए और पूरी निचली नीली रेखा (लाल समतुल्यता) के बदले में प्रत्येक के लिए अलग अलग तरीके (हरे समतुल्यता) में मैप किया जा सकता है, इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और उसके बाएं आधे हिस्से में एक ही गणनांक है, अर्थात "आकार"। | डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से समुच्चय के आकार की तुलना करने के लिए प्रत्येक से अलग समतुल्यता के विचार को एक मानक के रूप में अपनाने और गैलीलियो (यूक्लिड से प्राप्त) के विचार को अस्वीकार करने के लिए था कि पूरे भाग के समान आकार नहीं हो सकते। (हालांकि, गैलीलियो के विरोधाभास को देखें जहां गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांकों की तुलना सकारात्मक [[वर्ग संख्या|वर्ग पूर्णांकों]] के उपसमुच्चय से नहीं की जा सकती है क्योंकि दोनों अनंत समुच्चय हैं।) एक अनंत समुच्चय को केवल उसी आकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका आकार कम से कम उसके उचित भागों में से एक के समान है, अनंत की इस धारणा को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है। दाईं ओर आरेख उदाहरण देता है- बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में देखने वाली रेखाएं, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को उच्च नीली रेखा के लिए और पूरी निचली नीली रेखा (लाल समतुल्यता) के बदले में प्रत्येक के लिए अलग अलग तरीके (हरे समतुल्यता) में मैप किया जा सकता है, इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और उसके बाएं आधे हिस्से में एक ही गणनांक है, अर्थात "आकार"। | ||
कैंटर ने दो प्रकार की अनंत संख्याओं को परिभाषित किया- क्रमवाचक संख्याएँ और गणन संख्याएँ। क्रमवाचक संख्याएँ [[सुव्यवस्थित]] समुच्चयों की विशेषता बताती हैं, या किसी भी निष्कर्ष पर की गई गिनती, जिसमें अनंत संख्या के बाद के अंक पहले ही गिने जा चुके हैं। परिमित और (साधारण) अनंत [[अनुक्रम|अनुक्रमों]] का सामान्यीकरण, जो धनात्मक [[पूर्णांकों]] से मानचित्र हैं, तथा क्रमवाचक संख्याओं से परिमितातीत अनुक्रमों तक मानचित्रण की ओर जाता हैं। क्रमवाचक संख्याएँ समुच्चय के आकार को परिभाषित करती हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें कितने सदस्य हैं, और उस आकार के क्रमवाचक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक निश्चित आकार की पहली क्रमवाचक संख्या चुनकर मानकीकृत किया जा सकता है। सबसे छोटी क्रमवाचक अनंत धनात्मक पूर्णांकों की होती है, और कोई भी समुच्चय जिसमें पूर्णांकों का गणनांक होता है, वह गणनीय रूप से अनंत होता है। यदि एक समुच्चय सकारात्मक पूर्णांकों के साथ प्रत्येक से अलग समतुल्यता में रखने के लिए बहुत बड़ा है, तो इसे [[बेशुमार सेट|अगणनीय]] कहा जाता है। कैंटर के विचार प्रचलित थे और आधुनिक गणित संगत और सुसंगत सिद्धांत के भाग के रूप में वास्तविक अनंतता को स्वीकार करती है।<ref>{{Cite web|url=https://math.dartmouth.edu/~matc/Readers/HowManyAngels/अनंतताMind/IM.html|title=अनंतता|website=math.dartmouth.edu|access-date=2019-11-16}}</ref><ref>{{cite book | कैंटर ने दो प्रकार की अनंत संख्याओं को परिभाषित किया- क्रमवाचक संख्याएँ और गणन संख्याएँ। क्रमवाचक संख्याएँ [[सुव्यवस्थित]] समुच्चयों की विशेषता बताती हैं, या किसी भी निष्कर्ष पर की गई गिनती, जिसमें अनंत संख्या के बाद के अंक पहले ही गिने जा चुके हैं। परिमित और (साधारण) अनंत [[अनुक्रम|अनुक्रमों]] का सामान्यीकरण, जो धनात्मक [[पूर्णांकों]] से मानचित्र हैं, तथा क्रमवाचक संख्याओं से परिमितातीत अनुक्रमों तक मानचित्रण की ओर जाता हैं। क्रमवाचक संख्याएँ समुच्चय के आकार को परिभाषित करती हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें कितने सदस्य हैं, और उस आकार के क्रमवाचक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक निश्चित आकार की पहली क्रमवाचक संख्या चुनकर मानकीकृत किया जा सकता है। सबसे छोटी क्रमवाचक अनंत धनात्मक पूर्णांकों की होती है, और कोई भी समुच्चय जिसमें पूर्णांकों का गणनांक होता है, वह गणनीय रूप से अनंत होता है। यदि एक समुच्चय सकारात्मक पूर्णांकों के साथ प्रत्येक से अलग समतुल्यता में रखने के लिए बहुत बड़ा है, तो इसे [[बेशुमार सेट|अगणनीय]] कहा जाता है। कैंटर के विचार प्रचलित थे और आधुनिक गणित संगत और सुसंगत सिद्धांत के भाग के रूप में वास्तविक अनंतता को स्वीकार करती है।<ref>{{Cite web|url=https://math.dartmouth.edu/~matc/Readers/HowManyAngels/अनंतताMind/IM.html|title=अनंतता|website=math.dartmouth.edu|access-date=2019-11-16}}</ref><ref>{{cite book | ||
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|publisher=Routledge | |publisher=Routledge | ||
|year=1991}} | |year=1991}} | ||
</ref>{{page needed|date=June 2014}} कुछ विस्तारित संख्या प्रणालियाँ, जैसे कि अतिवास्तविक संख्याएँ, साधारण (परिमित) संख्याएँ और विभिन्न आकारों की अनंत संख्याएँ सम्मिलित करती हैं। | </ref>{{page needed|date=June 2014}} कुछ विस्तारित संख्या प्रणालियाँ, जैसे कि अतिवास्तविक संख्याएँ, साधारण (परिमित) संख्याएँ और विभिन्न आकारों की अनंत संख्याएँ सम्मिलित करती हैं। | ||
==== सातत्य का गणनांक ==== | ==== सातत्य का गणनांक ==== | ||
{{Main|सातत्य का गणनांक}} | {{Main|सातत्य का गणनांक}} | ||
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इस परिकल्पना को व्यापक रूप से स्वीकृत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के भीतर सिद्ध या अस्वीकृत नहीं किया जा सकता है, यहाँ तक कि स्वयंसिद्ध के चुनाव को भी मानते हुए।<ref>{{harvnb|Cohen|1963|p=1143}}</ref> | इस परिकल्पना को व्यापक रूप से स्वीकृत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के भीतर सिद्ध या अस्वीकृत नहीं किया जा सकता है, यहाँ तक कि स्वयंसिद्ध के चुनाव को भी मानते हुए।<ref>{{harvnb|Cohen|1963|p=1143}}</ref> | ||
[[कार्डिनल अंकगणित|गणनांक अंकगणित]] का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि [[वास्तविक संख्या रेखा]] में बिंदुओं की संख्या उस रेखा के किसी भी [[रेखा खंड|खंड]] में बिंदुओं की संख्या के बराबर है, बल्कि यह भी कि यह समतल पर बिंदुओं की संख्या के बराबर है। और वास्तव में, किसी भी परिमित-आयामी स्थान में। | [[कार्डिनल अंकगणित|गणनांक अंकगणित]] का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि [[वास्तविक संख्या रेखा]] में बिंदुओं की संख्या उस रेखा के किसी भी [[रेखा खंड|खंड]] में बिंदुओं की संख्या के बराबर है, बल्कि यह भी कि यह समतल पर बिंदुओं की संख्या के बराबर है। और वास्तव में, किसी भी परिमित-आयामी स्थान में। | ||
[[File:Peanocurve.svg|thumb|एक फ्रैक्टल निर्माण के पहले तीन चरण जिसकी सीमा [[जगह भरने वाला कर्व|स्थान-भरने वाले वक्र]] है, यह दर्शाता है कि एक-आयामी रेखा में उतने ही बिंदु हैं जितने कि एक द्वि-आयामी वर्ग में हैं।]]इनमें से पहला परिणाम, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा फलन पर विचार करने से स्पष्ट होता है, जो [[अंतराल]] (−{{sfrac|π|2}}, {{sfrac|π|2}}) और '''R''' के बीच प्रत्येक से अलग संगति प्रदान करता है। {{math|}}{{math|}}.{{see also|ग्रांड होटल का हिल्बर्ट विरोधाभास}} | [[File:Peanocurve.svg|thumb|एक फ्रैक्टल निर्माण के पहले तीन चरण जिसकी सीमा [[जगह भरने वाला कर्व|स्थान-भरने वाले वक्र]] है, यह दर्शाता है कि एक-आयामी रेखा में उतने ही बिंदु हैं जितने कि एक द्वि-आयामी वर्ग में हैं।]]इनमें से पहला परिणाम, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा फलन पर विचार करने से स्पष्ट होता है, जो [[अंतराल]] (−{{sfrac|π|2}}, {{sfrac|π|2}}) और '''R''' के बीच प्रत्येक से अलग संगति प्रदान करता है। {{math|}}{{math|}}.{{see also|ग्रांड होटल का हिल्बर्ट विरोधाभास}} | ||
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===[[भग्न|भग्न (फ्रैक्टल)]] === | ===[[भग्न|भग्न (फ्रैक्टल)]] === | ||
भग्न वस्तु की संरचना को उसके आवर्धन में दोहराया जाता है। भग्न अपनी संरचना खोए बिना और "चिकनी" बने बिना अनिश्चित काल के लिए आवर्धित किए जा सकते हैं उनके पास अनंत परिमाप हैं, और अनंत या परिमित क्षेत्र हो सकते हैं। अनंत परिधि और परिमित क्षेत्र के साथ ऐसा ही एक [[भग्न वक्र]] कोच हिमपात है। | भग्न वस्तु की संरचना को उसके आवर्धन में दोहराया जाता है। भग्न अपनी संरचना खोए बिना और "चिकनी" बने बिना अनिश्चित काल के लिए आवर्धित किए जा सकते हैं उनके पास अनंत परिमाप हैं, और अनंत या परिमित क्षेत्र हो सकते हैं। अनंत परिधि और परिमित क्षेत्र के साथ ऐसा ही एक [[भग्न वक्र]] कोच हिमपात है। | ||
=== अनंत के बिना गणित === | === अनंत के बिना गणित === | ||
[[लियोपोल्ड क्रोनकर]] अनंत की धारणा और 1870 और 1880 के दशक में उनके साथी गणितज्ञ इसका उपयोग कैसे कर रहे थे, इस पर संदेह था। इस संशयवाद को गणित के दर्शनशास्त्र में विकसित किया गया था जिसे [[finitism|परिमिततावाद]] कहा जाता है, जो [[गणितीय रचनावाद|रचनावाद]] और अंतर्ज्ञानवाद के सामान्य दार्शनिक और गणितीय विद्यालयों में गणितीय दर्शन का एक चरम रूप है।<ref>{{harvnb|Kline|1972|pp=1197–1198}}</ref> | [[लियोपोल्ड क्रोनकर]] अनंत की धारणा और 1870 और 1880 के दशक में उनके साथी गणितज्ञ इसका उपयोग कैसे कर रहे थे, इस पर संदेह था। इस संशयवाद को गणित के दर्शनशास्त्र में विकसित किया गया था जिसे [[finitism|परिमिततावाद]] कहा जाता है, जो [[गणितीय रचनावाद|रचनावाद]] और अंतर्ज्ञानवाद के सामान्य दार्शनिक और गणितीय विद्यालयों में गणितीय दर्शन का एक चरम रूप है।<ref>{{harvnb|Kline|1972|pp=1197–1198}}</ref> | ||
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|archive-url= https://web.archive.org/web/20120325064205/http://www.rogerstokes.free-online.co.uk/19.htm#10 | |archive-url= https://web.archive.org/web/20120325064205/http://www.rogerstokes.free-online.co.uk/19.htm#10 | ||
|archive-date= 25 March 2012 | |archive-date= 25 March 2012 | ||
}}</ref> प्रोग्रामर को भाषा स्थिरांक के रूप में धनात्मक और ऋणात्मक अनंत मानों तक स्पष्ट पहुंच प्रदान करते हैं। इन्हें सबसे बड़े और सबसे कम तत्वों के रूप में उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि वे अन्य सभी मानों से अधिक या कम की तुलना (क्रमशः) करते हैं। [[छँटाई|श्रेणीबद्ध]], [[कलन विधि|खोज]], या [[खिड़की समारोह|विंडोइंग]] से जुड़े एल्गोरिदम में [[प्रहरी मूल्य|प्रहरी मान]] के रूप में उनका उपयोग होता है। | }}</ref> प्रोग्रामर को भाषा स्थिरांक के रूप में धनात्मक और ऋणात्मक अनंत मानों तक स्पष्ट पहुंच प्रदान करते हैं। इन्हें सबसे बड़े और सबसे कम तत्वों के रूप में उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि वे अन्य सभी मानों से अधिक या कम की तुलना (क्रमशः) करते हैं। [[छँटाई|श्रेणीबद्ध]], [[कलन विधि|खोज]], या [[खिड़की समारोह|विंडोइंग]] से जुड़े एल्गोरिदम में [[प्रहरी मूल्य|प्रहरी मान]] के रूप में उनका उपयोग होता है। | ||
उन भाषाओं में जिनमें सबसे बड़े और सबसे कम तत्व नहीं होते हैं, लेकिन [[रिलेशनल ऑपरेटर|संबंधपरक संचालकों]] के अतिभारण की अनुमति देते हैं, प्रोग्रामर के लिए यह संभव है कि वह सबसे बड़ा और सबसे कम तत्व बना सके। उन भाषाओं में जो प्रोग्राम की प्रारंभिक स्थिति से ऐसे मानों तक स्पष्ट पहुंच प्रदान नहीं करती हैं, लेकिन फ़्लोटिंग-पॉइंट [[डेटा प्रकार]] को लागू करती हैं, अनंत मान अभी भी कुछ संचालन के परिणाम के रूप में सुलभ और उपयोग योग्य हो सकते हैं। | उन भाषाओं में जिनमें सबसे बड़े और सबसे कम तत्व नहीं होते हैं, लेकिन [[रिलेशनल ऑपरेटर|संबंधपरक संचालकों]] के अतिभारण की अनुमति देते हैं, प्रोग्रामर के लिए यह संभव है कि वह सबसे बड़ा और सबसे कम तत्व बना सके। उन भाषाओं में जो प्रोग्राम की प्रारंभिक स्थिति से ऐसे मानों तक स्पष्ट पहुंच प्रदान नहीं करती हैं, लेकिन फ़्लोटिंग-पॉइंट [[डेटा प्रकार]] को लागू करती हैं, अनंत मान अभी भी कुछ संचालन के परिणाम के रूप में सुलभ और उपयोग योग्य हो सकते हैं। | ||
प्रोग्रामिंग में, [[अनंत लूप]] एक [[पाश (कंप्यूटिंग)|लूप]] होता है जिसकी निकास स्थिति कभी संतुष्ट नहीं होती है, इस प्रकार अनिश्चित काल तक निष्पादित होती है। | प्रोग्रामिंग में, [[अनंत लूप]] एक [[पाश (कंप्यूटिंग)|लूप]] होता है जिसकी निकास स्थिति कभी संतुष्ट नहीं होती है, इस प्रकार अनिश्चित काल तक निष्पादित होती है। | ||
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}}, [https://books.google.com/books?id=f-e0bro-0FUC&pg=PA229 Section 10-7, p. 229] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160516173217/https://books.google.com/books?id=f-e0bro-0FUC&pg=PA229 |date=2016-05-16 }} | }}, [https://books.google.com/books?id=f-e0bro-0FUC&pg=PA229 Section 10-7, p. 229] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160516173217/https://books.google.com/books?id=f-e0bro-0FUC&pg=PA229 |date=2016-05-16 }} | ||
</ref> कलाकार एम.सी. एस्चर विशेष रूप से अनंत की अवधारणा को अपने काम में इस और अन्य तरीकों से नियोजित करने के लिए जाना जाता है। | </ref> कलाकार एम.सी. एस्चर विशेष रूप से अनंत की अवधारणा को अपने काम में इस और अन्य तरीकों से नियोजित करने के लिए जाना जाता है। | ||
असीमित बोर्ड पर खेले जाने वाले [[शतरंज]] के विभिन्न प्रकारों को [[अनंत शतरंज]] कहा जाता है।<ref>[http://www.chessvariants.com/boardrules.dir/infinite.html Infinite chess at the Chess Variant Pages] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170402082426/http://www.chessvariants.com/boardrules.dir/infinite.html |date=2017-04-02 }} An infinite chess scheme.</ref><ref>[https://www.youtube.com/watch?v=PN-I6u-AxMg "Infinite Chess, PBS Infinite Series"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170407211614/https://www.youtube.com/watch?v=PN-I6u-AxMg |date=2017-04-07 }} PBS Infinite Series,with academic sources by J. Hamkins (infinite chess: {{cite arXiv |eprint=1302.4377 |last1=Evans |first1=C.D.A |title=Transfinite game values in infinite chess |author2=Joel David Hamkins |class=math.LO |year=2013 }} and {{cite arXiv |eprint=1510.08155 |last1=Evans |first1=C.D.A |title=A position in infinite chess with game value $ω^4$ |author2=Joel David Hamkins |author3=Norman Lewis Perlmutter |class=math.LO |year=2015 }}).</ref> | असीमित बोर्ड पर खेले जाने वाले [[शतरंज]] के विभिन्न प्रकारों को [[अनंत शतरंज]] कहा जाता है।<ref>[http://www.chessvariants.com/boardrules.dir/infinite.html Infinite chess at the Chess Variant Pages] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170402082426/http://www.chessvariants.com/boardrules.dir/infinite.html |date=2017-04-02 }} An infinite chess scheme.</ref><ref>[https://www.youtube.com/watch?v=PN-I6u-AxMg "Infinite Chess, PBS Infinite Series"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170407211614/https://www.youtube.com/watch?v=PN-I6u-AxMg |date=2017-04-07 }} PBS Infinite Series,with academic sources by J. Hamkins (infinite chess: {{cite arXiv |eprint=1302.4377 |last1=Evans |first1=C.D.A |title=Transfinite game values in infinite chess |author2=Joel David Hamkins |class=math.LO |year=2013 }} and {{cite arXiv |eprint=1510.08155 |last1=Evans |first1=C.D.A |title=A position in infinite chess with game value $ω^4$ |author2=Joel David Hamkins |author3=Norman Lewis Perlmutter |class=math.LO |year=2015 }}).</ref> | ||
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Latest revision as of 17:17, 28 August 2023
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विरोधी दर्पणों के बीच निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब के कारण ऐसा लगता है कि उनके भीतर असीम स्थान और पुनरावृत्ति है।
अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी प्राकृतिक संख्या से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है।
प्राचीन यूनानियों के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक[1] और अतिसूक्ष्म गणना के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने अनंत श्रृंखला के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)[2] ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।[1] 19वीं शताब्दी के अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अनंत समुच्चयों और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।[1][3] उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की प्रधानता) पूर्णांकों की संख्या से बड़ी होती है।[4] इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य गणितीय वस्तु की तरह ही उपयोग किया जा सकता है।
अनंत की गणितीय अवधारणा पुरानी दार्शनिक अवधारणा को परिशोधित और विस्तारित करती है, विशेष रूप से अनंत समुच्चयों के असीम रूप से कई अलग-अलग आकारों को प्रस्तुत करके। जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों में, जिस पर अधिकांश आधुनिक गणित विकसित की जा सकती हैं, अनंत का स्वयंसिद्ध है, जो अनंत समुच्चयों के अस्तित्व का दायित्व देता है।[1] अनंतता की गणितीय अवधारणा और अनंत समुच्चयों के हेरफेर का उपयोग गणित में प्रत्येक स्थान पर किया जाता है, यहां तक कि साहचर्य जैसे क्षेत्रों में भी जिनका उनसे कोई लेना-देना नहीं है। उदाहरण के लिए, फर्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण प्रारंभिक अंकगणित के संदर्भ में दी गई लंबी समस्या को हल करने के लिए बहुत बड़े अनंत समुच्चयोंं के अस्तित्व पर निर्भर करता है।[5]
भौतिकी और ब्रह्माण्ड विज्ञान में, क्या ब्रह्माण्ड स्थानिक रूप से अनंत है यह एक विवादास्पद प्रश्न है।