प्राचलिक सतह: Difference between revisions

Revision as of 17:23, 16 November 2022

एक प्राचलिक सतह यूक्लिडियन समष्टि में एक सतह (गणित) है $\mathbb {R} ^{3}$ जिसे दो मापदंडों के साथ एक प्राचलिक समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है $\mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ . प्राचलिक प्रतिनिधित्व एक सतह, साथ ही साथ अंतर्निहित अभ्यावेदन को निर्दिष्ट करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है। वेक्टर कलन , स्टोक्स प्रमेय और विचलन प्रमेय के दो मुख्य प्रमेयों में होने वाली सतहों को अक्सर एक प्राचलिक रूप में दिया जाता है। सतह पर वक्रता और घटता की चाप लंबाई, सतह क्षेत्र , विभेदक ज्यामितीय निश्चर कापहला मौलिक रूप और दूसरा मौलिक रूप , गाऊसी वक्रता , माध्य वक्रता , और प्रमुख वक्रता सभी की गणना किसी दिए गए प्राचलीकरण से की जा सकती है।

उदाहरण

टोरस्र्स , समीकरणों के साथ बनाया गया:

x = r sin v

;

y = (R + r cos v) sin u

;

z = (R + r cos v) cos u

.

एक ट्रेफिल गाँठ बनाने वाली पैरामीट्रिक सतह, संलग्न स्रोत कोड में समीकरण विवरण।

* सबसे सरल प्रकार की प्राचलिक सतहों को दो चर के कार्यों के आरेख द्वारा दिया जाता है:

z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)).

एक परिमेय सतह एक ऐसी सतह है जो एक परिमेय फलन द्वारा प्राचलीकरण को स्वीकार करती है। एक परिमेय सतह एक बीजीय सतह है। एक बीजीय सतह को देखते हुए, यह तय करना प्रायः आसान होता है कि क्या यह तर्कसंगत है, इसके तर्कसंगत प्राचलीकरण की गणना करने की तुलना में, यदि यह मौजूद है।
[1] परिभ्रमण की सतह सतहों का एक और महत्वपूर्ण वर्ग देती है जिसे आसानी से प्राचलीकरण किया जा सकता है। अगर ग्राफ z = f(x), a ≤ x ≤ b z-अक्ष के तकरीबन घुमाया जाता है तो परिणामी सतह में एक प्राचलीकरण होता है $\mathbf {r} (u,\phi )=(u\cos \phi ,u\sin \phi ,f(u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi <2\pi .$ इसे पैरामिट्रीकृत भी किया जा सकता है $\mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2}}{1+v^{2}}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,$ दिखा रहा है कि, अगर कार्यात्मक $f$ तर्कसंगत है, तो सतह तर्कसंगत है।
x-अक्ष के परितः R त्रिज्या के सीधे वृत्तीय बेलनाकार (ज्यामिति) में निम्नलिखित पैरामीट्रिक निरूपण है: $\mathbf {r} (x,\phi )=(x,R\cos \phi ,R\sin \phi ).$
गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके, इकाई वृत्त को निम्न के द्वारा पैरामिट्रीकृत किया जा सकता है $\mathbf {r} (\theta ,\phi )=(\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ),\quad 0\leq \theta <2\pi ,0\leq \phi \leq \pi .$ यह प्राचलीकरण उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर टूट जाता है जहां दिगंश कोण θ विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है। गोला एक तर्कसंगत सतह है।

एक ही सतह कई अलग-अलग प्राचलीकरण स्वीकार करती है। उदाहरण के लिए, समन्वय z-समतल को पैरामिट्रीकृत किया जा सकता है

r (u, v) = (a u +

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 === भूतल क्षेत्र ===
-सतह क्षेत्र की गणना सामान्य वेक्टर की लंबाई को एकीकृत करके की जा सकती है <math>\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v</math> पैरामीट्रिक यूवी विमान में उपयुक्त क्षेत्र डी पर सतह पर:
+सतह क्षेत्र की गणना सामान्य सदिश की लंबाई को एकीकृत करके की जा सकती है <math>\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v</math> पैरामीट्रिक uv तल में उपयुक्त क्षेत्र D की सतह पर:
 <math display="block">A(D) = \iint_D\left |\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v \right | du \, dv.</math>
-यद्यपि यह सूत्र सतह क्षेत्र के लिए एक बंद अभिव्यक्ति प्रदान करता है, लेकिन सभी विशेष सतहों के लिए यह एक जटिल [[ दोहरा अभिन्न ]] में परिणत होता है, जिसे आम तौर पर [[ कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली ]] का उपयोग करके मूल्यांकन किया जाता है या संख्यात्मक रूप से अनुमानित किया जाता है। सौभाग्य से, कई सामान्य सतहें अपवाद बनाती हैं, और उनके क्षेत्र स्पष्ट रूप से ज्ञात होते हैं। यह एक सिलेंडर (ज्यामिति), गोले, [[ शंकु (ज्यामिति) ]], टोरस और क्रांति की कुछ अन्य सतह के लिए सही है।
+यद्यपि यह सूत्र सतह क्षेत्र के लिए एक बंद अभिव्यक्ति प्रदान करता है, लेकिन सभी विशेष सतहों के लिए यह एक जटिल [[ दोहरा अभिन्न ]] में परिणत होता है, जिसे प्रायः  [[:en:Computer_algebra_system|परिकलक बीजगणित प्रणाली]]  का उपयोग करके मूल्यांकन किया जाता है या संख्यात्मक रूप से अनुमानित किया जाता है। सौभाग्य से, कई सामान्य सतहें अपवाद बनाती हैं, और उनके क्षेत्र स्पष्ट रूप से ज्ञात होते हैं। यह एक [[:en:Cylinder_(geometry)|बेलनाकार(ज्यामिति),]] [[:en:Sphere|गोले]], [[ शंकु (ज्यामिति) ]], [[:en:Torus|स्थूलक]] और कुछ अन्य [[:en:Surface_of_revolution|परिक्रमा की सतह]] के लिए सही है।
 इसे अदिश क्षेत्र 1 पर एक सतह समाकलन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:
@@ Line 53: / Line 53: @@
 === पहला मौलिक रूप ===
 {{main|First fundamental form}}
-पहला मौलिक रूप [[ द्विघात रूप ]] है
+पहला मौलिक रूप [[:en:Quadratic_form|द्विघात रूप]] है।
 <math display="block"> \mathrm{I} = E\,du^2 + 2\,F\,du\,dv + G\,dv^2 </math>
 सतह पर स्पर्शरेखा तल पर जिसका उपयोग दूरियों और कोणों की गणना के लिए किया जाता है। एक पैरामीट्रिज्ड सतह के लिए <math>\mathbf r=\mathbf r(u,v),</math> इसके गुणांकों की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
@@ Line 59: / Line 59: @@
 F=\mathbf r_u \cdot \mathbf r_v, \quad
 G=\mathbf r_v \cdot \mathbf r_v.</math>
-सतह S पर पैरामीट्रिज्ड वक्रों की चाप की लंबाई, S पर वक्रों के बीच का कोण और सतह क्षेत्र सभी पहले मौलिक रूप के संदर्भ में भाव स्वीकार करते हैं।
+सतह S पर पैरामीट्रिज्ड वक्रों की [[:en:Arc_length|चाप की लंबाई]], S पर वक्रों के बीच का कोण और सतह क्षेत्र सभी पहले मौलिक रूप के संदर्भ में भाव स्वीकार करते हैं।
 यदि {{math|(''u''(''t''), ''v''(''t''))}}, {{math|''a'' ≤ ''t'' ≤ ''b''}} इस सतह पर एक पैरामीट्रिज्ड वक्र का प्रतिनिधित्व करता है तो इसकी चाप लंबाई की गणना अभिन्न के रूप में की जा सकती है:
 <math display="block"> \int_a^b \sqrt{E\,u'(t)^2 + 2F\,u'(t)v'(t) + G\,v'(t)^2}\, dt. </math>
-पहले मौलिक रूप को बिंदु पर सुचारू रूप से निर्भर करते हुए सतह के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा तल पर [[ निश्चित द्विरेखीय रूप ]] [[ सममित द्विरेखीय रूप ]]ों के परिवार के रूप में देखा जा सकता है। यह परिप्रेक्ष्य किसी दिए गए बिंदु पर दो वक्रों के बीच के कोण की गणना करने में मदद करता है। यह कोण वक्रों के स्पर्शरेखा सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है। वैक्टर की इस जोड़ी पर मूल्यांकन किया गया पहला मौलिक रूप उनका [[ डॉट उत्पाद ]] है, और कोण मानक सूत्र से पाया जा सकता है
+पहले मौलिक रूप को बिंदु पर सुचारू रूप से निर्भर करते हुए सतह के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा तल पर [[:en:Definite_quadratic_form#Associated_symmetric_bilinear_form|सकारात्मक निश्चित रूप]]   [[:en:Symmetric_bilinear_form|सममित द्विरेखीय रूप]]  के परिवार के रूप में देखा जा सकता है। यह परिप्रेक्ष्य किसी दिए गए बिंदु पर दो वक्रों के बीच के कोण की गणना करने में मदद करता है। यह कोण वक्रों के स्पर्शरेखा सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है। वैक्टर की इस जोड़ी पर मूल्यांकन किया गया पहला मौलिक रूप उनका [[:en:Dot_product|डॉट उत्पाद]]  है, और कोण मानक सूत्र से पाया जा सकता है
 <math display="block">\cos \theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right|} </math>
-डॉट उत्पाद के माध्यम से कोण के [[ कोज्या ]] को व्यक्त करना।
+डॉट उत्पाद के माध्यम से कोण के  [[:en:Sine_and_cosine|कोटिज्या]]  को व्यक्त करना।
-सतह क्षेत्र को पहले मौलिक रूप के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
+सतह क्षेत्र को पहले मौलिक विधि के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 <math display="block"> A(D) = \iint_D \sqrt{EG-F^2}\, du\,dv.</math>
-लैग्रेंज की पहचान से, वर्गमूल के नीचे का व्यंजक ठीक है <math>\left|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\right|^2</math>, और इसलिए यह नियमित बिंदुओं पर सख्ती से सकारात्मक है।
+लैग्रेंज की अस्मिता से , वर्गमूल के नीचे का व्यंजक ठीक है <math>\left|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\right|^2</math>, और इसलिए यह नियमित बिंदुओं पर सख्ती से सकारात्मक '''है।'''
 === दूसरा मौलिक रूप ===

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