प्राचलिक सतह: Difference between revisions

Revision as of 12:11, 16 November 2022

एक प्राचलिक सतह यूक्लिडियन समष्टि में एक सतह (गणित) है $\mathbb {R} ^{3}$ जिसे दो मापदंडों के साथ एक प्राचलिक समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है $\mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ . प्राचलिक प्रतिनिधित्व एक सतह, साथ ही साथ अंतर्निहित अभ्यावेदन को निर्दिष्ट करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है। वेक्टर कलन , स्टोक्स प्रमेय और विचलन प्रमेय के दो मुख्य प्रमेयों में होने वाली सतहों को अक्सर एक प्राचलिक रूप में दिया जाता है। सतह पर वक्रता और घटता की चाप लंबाई, सतह क्षेत्र , विभेदक ज्यामितीय निश्चर कापहला मौलिक रूप और दूसरा मौलिक रूप , गाऊसी वक्रता , माध्य वक्रता , और प्रमुख वक्रता सभी की गणना किसी दिए गए प्राचलीकरण से की जा सकती है।

उदाहरण

टोरस्र्स , समीकरणों के साथ बनाया गया:

x = r sin v

;

y = (R + r cos v) sin u

;

z = (R + r cos v) cos u

.

एक ट्रेफिल गाँठ बनाने वाली पैरामीट्रिक सतह, संलग्न स्रोत कोड में समीकरण विवरण।

* सबसे सरल प्रकार की प्राचलिक सतहों को दो चर के कार्यों के आरेख द्वारा दिया जाता है:

z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)).

एक परिमेय सतह एक ऐसी सतह है जो एक परिमेय फलन द्वारा प्राचलीकरण को स्वीकार करती है। एक परिमेय सतह एक बीजीय सतह है। एक बीजीय सतह को देखते हुए, यह तय करना प्रायः आसान होता है कि क्या यह तर्कसंगत है, इसके तर्कसंगत प्राचलीकरण की गणना करने की तुलना में, यदि यह मौजूद है।
[1] परिभ्रमण की सतह सतहों का एक और महत्वपूर्ण वर्ग देती है जिसे आसानी से प्राचलीकरण किया जा सकता है। अगर ग्राफ z = f(x), a ≤ x ≤ b z-अक्ष के तकरीबन घुमाया जाता है तो परिणामी सतह में एक प्राचलीकरण होता है $\mathbf {r} (u,\phi )=(u\cos \phi ,u\sin \phi ,f(u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi <2\pi .$ इसे पैरामिट्रीकृत भी किया जा सकता है $\mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2}}{1+v^{2}}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,$ दिखा रहा है कि, अगर कार्यात्मक $f$ तर्कसंगत है, तो सतह तर्कसंगत है।
x-अक्ष के परितः R त्रिज्या के सीधे वृत्तीय बेलनाकार (ज्यामिति) में निम्नलिखित पैरामीट्रिक निरूपण है: $\mathbf {r} (x,\phi )=(x,R\cos \phi ,R\sin \phi ).$
गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके, इकाई क्षेत्र को द्वारा पैरामीटर किया जा सकता है $\mathbf {r} (\theta ,\phi )=(\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ),\quad 0\leq \theta <2\pi ,0\leq \phi \leq \pi .$ यह पैरामीट्रिजेशन उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर टूट जाता है जहां दिगंश कोण θ विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है। गोला एक तर्कसंगत सतह है।

एक ही सतह कई अलग-अलग पैरामीट्रिजेशन स्वीकार करती है। उदाहरण के लिए, समन्वय जेड-प्लेन को पैरामीट्रिज किया जा सकता है:

r (u, v) = (a u + b v, c u

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-एक पैरामीट्रिक सतह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक [[ सतह (गणित) ]] है <math>\R^3</math> जिसे दो मापदंडों के साथ एक [[ पैरामीट्रिक समीकरण ]] द्वारा परिभाषित किया गया है {{nowrap|<math>\mathbf r: \R^2 \to \R^3</math>.}} पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व एक सतह, साथ ही साथ [[ निहित सतह ]] को निर्दिष्ट करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है। [[ वेक्टर कलन ]], स्टोक्स प्रमेय और [[ विचलन प्रमेय ]] के दो मुख्य प्रमेयों में होने वाली सतहों को अक्सर एक पैरामीट्रिक रूप में दिया जाता है। सतह पर [[ वक्र ]]ता और चाप की लंबाई, [[ सतह क्षेत्र ]], विभेदक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय जैसे कि [[ पहला मौलिक रूप ]] और [[ दूसरा मौलिक रूप ]] मौलिक रूप, [[ गाऊसी वक्रता ]], [[ माध्य वक्रता ]], और प्रमुख वक्रता वक्रता सभी की गणना किसी दिए गए पैरामीट्रिजेशन से की जा सकती है।
+एक प्राचलिक सतह यूक्लिडियन समष्टि में एक [[:en:Surface_(mathematics)|सतह (गणित)]]  है <math>\R^3</math> जिसे दो मापदंडों के साथ एक   [[:en:Parametric_equation|प्राचलिक समीकरण]]  द्वारा परिभाषित किया गया है {{nowrap|<math>\mathbf r: \R^2 \to \R^3</math>.}} प्राचलिक प्रतिनिधित्व एक सतह, साथ ही साथ [[:en:Implicit_surface|अंतर्निहित अभ्यावेदन]]  को निर्दिष्ट करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है।  [[:en:Vector_calculus|वेक्टर कलन]] , [[:en:Stokes'_theorem|स्टोक्स प्रमेय]] और [[ विचलन प्रमेय ]] के दो मुख्य प्रमेयों में होने वाली सतहों को अक्सर एक प्राचलिक रूप में दिया जाता है। सतह पर वक्रता और [[:en:Curve|घटता]] की [[:en:Arc_length|चाप लंबाई]],  [[:en:Surface_area|सतह क्षेत्र]] , विभेदक ज्यामितीय निश्चर का[[ पहला मौलिक रूप ]] और [[ दूसरा मौलिक रूप ]],  [[:en:Gaussian_curvature|गाऊसी वक्रता]] ,  [[:en:Mean_curvature|माध्य वक्रता]] , और [[:en:Principal_curvature|प्रमुख वक्रता]] सभी की गणना किसी दिए गए प्राचलीकरण से की जा सकती है।
 == उदाहरण ==
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 [[File:Parametric surface illustration (torus).png|thumb|[[ टोरस्र्स ]], समीकरणों के साथ बनाया गया: {{math|1= ''x'' = ''r'' sin ''v''}}; {{math|1= ''y'' = (''R'' + ''r'' cos ''v'') sin ''u''}}; {{math|1= ''z'' = (''R'' + ''r'' cos ''v'') cos ''u''}}.]]
-[[File:Parametric surface illustration (trefoil knot).png|thumb|एक ट्रेफिल गाँठ बनाने वाली पैरामीट्रिक सतह, संलग्न स्रोत कोड में समीकरण विवरण।]]* सबसे सरल प्रकार की पैरामीट्रिक सतहों को दो चर के कार्यों के ग्राफ द्वारा दिया जाता है: <math display="block"> z = f(x,y), \quad \mathbf r(x,y) = (x, y, f(x,y)).</math>
+[[File:Parametric surface illustration (trefoil knot).png|thumb|एक ट्रेफिल गाँठ बनाने वाली पैरामीट्रिक सतह, संलग्न स्रोत कोड में समीकरण विवरण।]]* सबसे सरल प्रकार की प्राचलिक सतहों को दो चर के कार्यों के आरेख द्वारा दिया जाता है: <math display="block"> z = f(x,y), \quad \mathbf r(x,y) = (x, y, f(x,y)).</math>
-* एक परिमेय सतह एक ऐसी सतह है जो एक परिमेय फलन द्वारा मानकों को स्वीकार करती है। एक परिमेय सतह एक [[ बीजीय सतह ]] है। एक बीजीय सतह को देखते हुए, यह तय करना आम तौर पर आसान होता है कि क्या यह तर्कसंगत है, इसके तर्कसंगत पैरामीटर की गणना करने की तुलना में, यदि यह मौजूद है।
+* एक [[:en:Rational_surface|परिमेय सतह]] एक ऐसी सतह है जो एक [[परिमेय फलन]] द्वारा प्राचलीकरण को स्वीकार करती है। एक परिमेय सतह एक  [[:en:Algebraic_surface|बीजीय सतह]]  है। एक बीजीय सतह को देखते हुए, यह तय करना प्रायः आसान होता है कि क्या यह तर्कसंगत है, इसके तर्कसंगत प्राचलीकरण की गणना करने की तुलना में, यदि यह मौजूद है।
-* [[ क्रांति की सतह ]] सतहों का एक और महत्वपूर्ण वर्ग देती है जिसे आसानी से पैरामीट्रिज किया जा सकता है। अगर ग्राफ {{nowrap|1=''z'' = ''f''(''x'')}}, {{nowrap|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}} z-अक्ष के बारे में घुमाया जाता है तो परिणामी सतह में एक पैरामीट्रिजेशन होता है <math display="block"> \mathbf r(u,\phi) = (u\cos\phi, u\sin\phi, f(u)), \quad a\leq u\leq b, 0\leq\phi <  2\pi.</math> इसे पैरामीटरयुक्त भी किया जा सकता है <math display="block"> \mathbf r(u,v) = \left(u\frac{1-v^2}{1+v^2}, u\frac{2v}{1+v^2}, f(u)\right), \quad a\leq u\leq b, </math> दिखा रहा है कि, अगर समारोह {{mvar|f}} तर्कसंगत है, तो सतह तर्कसंगत है।
+* [https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_of_revolution][[ क्रांति की सतह | परिभ्रमण की सतह]] सतहों का एक और महत्वपूर्ण वर्ग देती है जिसे आसानी से  प्राचलीकरण किया जा सकता है। अगर ग्राफ {{nowrap|1=''z'' = ''f''(''x'')}}, {{nowrap|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}} z-अक्ष के तकरीबन घुमाया जाता है तो परिणामी सतह में एक प्राचलीकरण होता है <math display="block"> \mathbf r(u,\phi) = (u\cos\phi, u\sin\phi, f(u)), \quad a\leq u\leq b, 0\leq\phi <  2\pi.</math> इसे पैरामिट्रीकृत भी किया जा सकता है <math display="block"> \mathbf r(u,v) = \left(u\frac{1-v^2}{1+v^2}, u\frac{2v}{1+v^2}, f(u)\right), \quad a\leq u\leq b, </math> दिखा रहा है कि, अगर कार्यात्मक  {{mvar|f}} तर्कसंगत है, तो सतह तर्कसंगत है।
-* x-अक्ष के परितः R त्रिज्या के सीधे वृत्तीय बेलन (ज्यामिति) में निम्नलिखित पैरामीट्रिक निरूपण है: <math display="block">\mathbf r(x, \phi) = (x, R\cos\phi, R\sin\phi). </math>
+* x-अक्ष के परितः R त्रिज्या के सीधे वृत्तीय बेलनाकार (ज्यामिति) में निम्नलिखित पैरामीट्रिक निरूपण है: <math display="block">\mathbf r(x, \phi) = (x, R\cos\phi, R\sin\phi). </math>
 * [[ गोलाकार निर्देशांक ]] का उपयोग करके, इकाई क्षेत्र को द्वारा पैरामीटर किया जा सकता है <math display="block">\mathbf r(\theta,\phi) = (\cos\theta \sin\phi, \sin\theta \sin \phi, \cos\phi), \quad 0 \leq \theta < 2\pi, 0 \leq \phi \leq \pi.</math> यह पैरामीट्रिजेशन उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर टूट जाता है जहां दिगंश कोण θ विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है। गोला एक तर्कसंगत सतह है।

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