शृंखला त्वरण: Difference between revisions

Latest revision as of 11:03, 14 August 2023

गणित में, श्रृंखला त्वरण एक श्रृंखला (गणित) के अभिसरण की दर में सुधार के लिए अनुक्रम परिवर्तन के संग्रह में से एक है। श्रृंखला त्वरण की तकनीकों को अधिकांशतः संख्यात्मक विश्लेषण में प्रयुक्त किया जाता है, जहां उनका उपयोग संख्यात्मक एकीकरण की गति में सुधार करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, विशेष कार्य पर विभिन्न प्रकार की पहचान प्राप्त करने के लिए श्रृंखला त्वरण तकनीकों का भी उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार, हाइपरज्यामितीय श्रृंखला पर प्रयुक्त यूलर परिवर्तन कुछ उत्कृष्ट , प्रसिद्ध हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला पहचान देता है।

परिभाषा

एक क्रम दिया गया है

S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

किसी अनुक्रम की एक सीमा होना

\lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell ,

एक त्वरित श्रृंखला दूसरा अनुक्रम है

S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

जो मूल अनुक्रम की तुलना में $\ell$ में तेजी से परिवर्तित होता है, इस अर्थ में

\lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.

यदि मूल अनुक्रम अपसारी श्रृंखला है, तो अनुक्रम परिवर्तन एंटीलिमिट के लिए एक एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में कार्य करता है $\ell$ .

यदि मूल अनुक्रम भिन्न है, तो अनुक्रम परिवर्तन एंटीलिमिट $\ell$ के लिए एक एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में कार्य करता है।

मूल से रूपांतरित श्रृंखला तक की मैपिंग रैखिक मैपिंग (जैसा कि लेख अनुक्रम परिवर्तनों में परिभाषित है), या गैर-रैखिक हो सकती है। सामान्य रूप से गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन अधिक शक्तिशाली होते हैं।

अवलोकन

श्रृंखला त्वरण के लिए दो मौलिक तकनीकें यूलर की श्रृंखला का परिवर्तन हैं^[1] और कुमेर की श्रृंखला का परिवर्तन^[2] 20वीं सदी में बहुत तेजी से अभिसरण और विशेष-स्थिति वाले उपकरणों की एक विविध विकसित की गई है, जिसमें रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन भी सम्मिलित है, जिसे 20वीं सदी की प्रारंभिक में लुईस फ्राई रिचर्डसन द्वारा प्रस्तुत किया गया था, किंतु 1722 में केंको ताकेबे द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; ऐटकेन डेल्टा-स्क्वेर्ड प्रक्रिया, जिसे 1926 में अलेक्जेंडर ऐटकेन द्वारा प्रारंभ किया गया था, किंतु 18वीं शताब्दी में सीटों की अधिक संख्या द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; 1956 में पीटर व्यान (गणितज्ञ) द्वारा दी गई एप्सिलॉन विधि; लेविन यू-ट्रांसफ़ॉर्म; और विल्फ-ज़ीलबर्गर-एखड विधि या डब्ल्यूजेड सिद्धांत द्वारा दी गई।

वैकल्पिक श्रृंखला के लिए, कई शक्तिशाली तकनीकें, से अभिसरण दर की प्रस्तुति $5.828^{-n}$ यहां तक $17.93^{-n}$ के सारांश के लिए $n$ नियम, कोहेन एट अल द्वारा वर्णित हैं।^[3]

यूलर का परिवर्तन

उत्तम अभिसरण की प्रस्तुति करने वाले रैखिक अनुक्रम परिवर्तन का एक मूल उदाहरण, यूलर का परिवर्तन है। इसे एक वैकल्पिक श्रृंखला पर प्रयुक्त करने का संकेत है; यह द्वारा दिया गया है

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}

जहाँ $\Delta$ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है, जिसके लिए सूत्र उपस्थित है

(\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{n-k}.

यदि मूल श्रृंखला, बाईं ओर, केवल धीरे-धीरे परिवर्तित हो रही है, तो आगे के अंतर काफी तेजी से छोटे होते जाएंगे; दो की अतिरिक्त शक्ति दाहिनी ओर अभिसरण की दर को और उत्तम बनाती है।

यूलर ट्रांसफॉर्म का एक विशेष रूप से कुशल संख्यात्मक कार्यान्वयन वैन विजनगार्डन परिवर्तन है।^[4]

अनुरूप मानचित्रण

एक श्रृंखला

S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}

f(1) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां फलन (गणित) f को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

f (z)

[1]

[2]

[3]

[4]

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-गणित में, श्रृंखला त्वरण एक [[श्रृंखला (गणित)]] के [[अभिसरण की दर]] में सुधार के लिए [[अनुक्रम परिवर्तन]] के संग्रह में से एक है। श्रृंखला त्वरण की तकनीकों को  अधिकांशतः [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में प्रयुक्त किया जाता है, जहां उनका उपयोग [[संख्यात्मक एकीकरण]] की गति में सुधार करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[विशेष कार्य]] पर विभिन्न प्रकार की पहचान प्राप्त करने के लिए श्रृंखला त्वरण तकनीकों का भी उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार, [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला]] पर प्रयुक्त [[यूलर परिवर्तन]] कुछ उत्कृष्ट , प्रसिद्ध हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला पहचान देता है।
+गणित में, श्रृंखला त्वरण एक [[श्रृंखला (गणित)]] के [[अभिसरण की दर]] में सुधार के लिए [[अनुक्रम परिवर्तन]] के संग्रह में से एक है। श्रृंखला त्वरण की तकनीकों को अधिकांशतः [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में प्रयुक्त किया जाता है, जहां उनका उपयोग [[संख्यात्मक एकीकरण]] की गति में सुधार करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[विशेष कार्य]] पर विभिन्न प्रकार की पहचान प्राप्त करने के लिए श्रृंखला त्वरण तकनीकों का भी उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार, [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला]] पर प्रयुक्त [[यूलर परिवर्तन]] कुछ उत्कृष्ट , प्रसिद्ध हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला पहचान देता है।
 == परिभाषा                                                                                               ==
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 यदि मूल अनुक्रम भिन्न है, तो अनुक्रम परिवर्तन एंटीलिमिट <math>\ell</math> के लिए एक एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में कार्य करता है।
-मूल से रूपांतरित श्रृंखला तक की मैपिंग रैखिक मैपिंग (जैसा कि लेख अनुक्रम परिवर्तनों में परिभाषित है), या गैर-रैखिक हो सकती है। सामान्य रूप से  गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन अधिक शक्तिशाली होते हैं।
+मूल से रूपांतरित श्रृंखला तक की मैपिंग रैखिक मैपिंग (जैसा कि लेख अनुक्रम परिवर्तनों में परिभाषित है), या गैर-रैखिक हो सकती है। सामान्य रूप से गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन अधिक शक्तिशाली होते हैं।
 == अवलोकन ==
-श्रृंखला त्वरण के लिए दो मौलिक तकनीकें यूलर की श्रृंखला का परिवर्तन हैं<ref>{{AS ref|3, eqn 3.6.27|16}}</ref> और कुमेर की श्रृंखला का परिवर्तन<ref>{{AS ref|3, eqn 3.6.26|16}}</ref> 20वीं सदी में बहुत तेजी से अभिसरण और विशेष-स्थिति वाले उपकरणों की एक विविध  विकसित की गई है, जिसमें [[रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन]] भी सम्मिलित है, जिसे 20वीं सदी की प्रारंभिक में [[लुईस फ्राई रिचर्डसन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था, किंतु 1722 में [[केंको ताकेबे]] द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; [[ऐटकेन डेल्टा-स्क्वेर्ड प्रक्रिया]], जिसे 1926 में [[अलेक्जेंडर ऐटकेन]] द्वारा प्रारंभ किया गया था, किंतु 18वीं शताब्दी में [[सीटों की अधिक संख्या]] द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; 1956 में [[पीटर व्यान (गणितज्ञ)]] द्वारा दी गई [http://mathworld.wolfram.com/WynnsEpsilonMethod.html एप्सिलॉन विधि]; लेविन यू-ट्रांसफ़ॉर्म; और विल्फ-ज़ीलबर्गर-एखड विधि या [[WZ सिद्धांत|डब्ल्यूजेड सिद्धांत]] द्वारा दी गई।
+श्रृंखला त्वरण के लिए दो मौलिक तकनीकें यूलर की श्रृंखला का परिवर्तन हैं<ref>{{AS ref|3, eqn 3.6.27|16}}</ref> और कुमेर की श्रृंखला का परिवर्तन<ref>{{AS ref|3, eqn 3.6.26|16}}</ref> 20वीं सदी में बहुत तेजी से अभिसरण और विशेष-स्थिति वाले उपकरणों की एक विविध विकसित की गई है, जिसमें [[रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन]] भी सम्मिलित है, जिसे 20वीं सदी की प्रारंभिक में [[लुईस फ्राई रिचर्डसन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था, किंतु 1722 में [[केंको ताकेबे]] द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; [[ऐटकेन डेल्टा-स्क्वेर्ड प्रक्रिया]], जिसे 1926 में [[अलेक्जेंडर ऐटकेन]] द्वारा प्रारंभ किया गया था, किंतु 18वीं शताब्दी में [[सीटों की अधिक संख्या]] द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; 1956 में [[पीटर व्यान (गणितज्ञ)]] द्वारा दी गई [http://mathworld.wolfram.com/WynnsEpsilonMethod.html एप्सिलॉन विधि]; लेविन यू-ट्रांसफ़ॉर्म; और विल्फ-ज़ीलबर्गर-एखड विधि या [[WZ सिद्धांत|डब्ल्यूजेड सिद्धांत]] द्वारा दी गई।
 [[वैकल्पिक श्रृंखला]] के लिए, कई शक्तिशाली तकनीकें, से अभिसरण दर की प्रस्तुति <math>5.828^{-n}</math> यहां तक <math>17.93^{-n}
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 फलन f(z) में सम्मिश्र तल (शाखा बिंदु विलक्षणताएं, ध्रुव या आवश्यक विलक्षणताएं) में विलक्षणताएं हो सकती हैं, जो श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या को सीमित करती हैं। यदि बिंदु z = 1 अभिसरण डिस्क की सीमा के निकट या सीमा पर है, तो S के लिए श्रृंखला बहुत धीमी गति से अभिसरित होगी। फिर कोई अनुरूप मानचित्रण के माध्यम से श्रृंखला के अभिसरण में सुधार कर सकता है जो विलक्षणताओं को इस तरह से स्थानांतरित करता है कि जिस बिंदु को z = 1 पर मैप किया जाता है वह अभिसरण की नई डिस्क में अधिक गहराई तक समाप्त होता है।
-अनुरूप परिवर्तन <math>z = \Phi(w)</math> को ऐसे चुना जाना चाहिए कि <math>\Phi(0) = 0</math>, और कोई समान्यत: एक फलन चुनता है जिसमें w = 0 पर एक सीमित व्युत्पन्न होता है। कोई यह मान सकता है कि <math>\Phi(1) = 1</math> व्यापकता के नुकसान के बिना, एक के रूप में <math>\Phi</math> को पुनः परिभाषित करने के लिए w को हमेशा पुनः स्केल कर सकते हैं। फिर हम फलन पर विचार करते हैं
+अनुरूप परिवर्तन <math>z = \Phi(w)</math> को ऐसे चुना जाना चाहिए कि <math>\Phi(0) = 0</math>, और कोई समान्यत: एक फलन चुनता है जिसमें w = 0 पर एक सीमित व्युत्पन्न होता है। कोई यह मान सकता है कि <math>\Phi(1) = 1</math> व्यापकता के हानि के बिना, एक के रूप में <math>\Phi</math> को पुनः परिभाषित करने के लिए w को सदैव पुनः स्केल कर सकते हैं। फिर हम फलन पर विचार करते हैं
 :<math>g(w) = f(\Phi(w)).</math>
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 ऐसे अरेखीय अनुक्रम परिवर्तनों के उदाहरण हैं पैडे सन्निकटन, [[शैंक्स परिवर्तन]] और लेविन-प्रकार अनुक्रम परिवर्तन है ।
-विशेष रूप से गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन  अधिकांशतः अपसारी श्रृंखला या [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] के [[योग]] के लिए शक्तिशाली संख्यात्मक विधि प्रदान करते हैं जो उदाहरण के लिए  [[गड़बड़ी सिद्धांत|अस्तव्यस्तता  सिद्धांत]] में उत्पन्न होते हैं, और अत्यधिक प्रभावी एक्सट्रपलेशन विधियों के रूप में उपयोग किए जा सकते हैं।
+विशेष रूप से गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन अधिकांशतः अपसारी श्रृंखला या [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] के [[योग]] के लिए शक्तिशाली संख्यात्मक विधि प्रदान करते हैं जो उदाहरण के लिए [[गड़बड़ी सिद्धांत|अस्तव्यस्तता सिद्धांत]] में उत्पन्न होते हैं, और अत्यधिक प्रभावी एक्सट्रपलेशन विधियों के रूप में उपयोग किए जा सकते हैं।
 ===ऐटकेन विधि===
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 <references/>
 * C. Brezinski and [[Michela Redivo-Zaglia|M. Redivo Zaglia]], ''Extrapolation Methods. Theory and Practice'', North-Holland, 1991.
-* G. A. Baker Jr. and P. Graves-Morris, ''Padé  Approximants'', Cambridge U.P., 1996.
+* G. A. Baker Jr. and P. Graves-Morris, ''Padé Approximants'', Cambridge U.P., 1996.
 * {{mathworld|urlname=ConvergenceImprovement|title=Convergence Improvement}}
 * Herbert H. H. Homeier: ''Scalar Levin-Type Sequence Transformations'', Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 122, no. 1–2, p 81 (2000). {{Cite journal | last1 = Homeier | first1 = H. H. H. | doi = 10.1016/S0377-0427(00)00359-9 | title = Scalar Levin-type sequence transformations | journal = Journal of Computational and Applied Mathematics | volume = 122 | pages = 81 | year = 2000 | arxiv = math/0005209 | bibcode = 2000JCoAM.122...81H }}, {{arxiv|math/0005209}}.
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 * [https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Series-Acceleration.html GNU Scientific Library, Series Acceleration]
 * [http://dlmf.nist.gov/3.9 Digital Library of Mathematical Functions]
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