हैंकेल आव्यूह: Difference between revisions
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रैखिक बीजगणित में, | रैखिक बीजगणित में, हेंकेल मैट्रिक्स (या [[उत्प्रेरक]] मैट्रिक्स), जिसका नाम [[हरमन हैंकेल]] के नाम पर रखा गया है, [[वर्ग मैट्रिक्स]] है जिसमें बाएं से दाएं प्रत्येक आरोही तिरछा-विकर्ण स्थिर है, उदाहरण के लिए: | ||
<math display=block>\qquad\begin{bmatrix} | <math display=block>\qquad\begin{bmatrix} | ||
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==गुण== | ==गुण== | ||
* हैंकेल मैट्रिक्स | * हैंकेल मैट्रिक्स [[सममित मैट्रिक्स]] है। | ||
* होने देना <math>J_n</math> हो <math>n \times n</math> [[विनिमय मैट्रिक्स]]. अगर <math>H</math> | * होने देना <math>J_n</math> हो <math>n \times n</math> [[विनिमय मैट्रिक्स]]. अगर <math>H</math> है <math>m \times n</math> हैंकेल मैट्रिक्स, फिर <math>H = T J_n</math> कहाँ <math>T</math> है <math>m \times n</math> [[टोएप्लिट्ज़ मैट्रिक्स]]। | ||
** अगर <math>T</math> तो, [[वास्तविक संख्या]] सममित है <math>H = T J_n</math> के समान [[eigenvalue]]s होंगे <math>T</math> हस्ताक्षर करने तक.<ref name="simax1">{{cite journal | last = Yasuda | first = M. | title = हर्मिटियन सेंट्रोसिमेट्रिक और हर्मिटियन स्क्यू-सेंट्रोसिमेट्रिक के-मैट्रिसेस का एक वर्णक्रमीय लक्षण वर्णन| journal = SIAM J. Matrix Anal. Appl. | volume = 25 | issue = 3 | pages = 601–605 | year = 2003 | doi = 10.1137/S0895479802418835}}</ref> | ** अगर <math>T</math> तो, [[वास्तविक संख्या]] सममित है <math>H = T J_n</math> के समान [[eigenvalue]]s होंगे <math>T</math> हस्ताक्षर करने तक.<ref name="simax1">{{cite journal | last = Yasuda | first = M. | title = हर्मिटियन सेंट्रोसिमेट्रिक और हर्मिटियन स्क्यू-सेंट्रोसिमेट्रिक के-मैट्रिसेस का एक वर्णक्रमीय लक्षण वर्णन| journal = SIAM J. Matrix Anal. Appl. | volume = 25 | issue = 3 | pages = 601–605 | year = 2003 | doi = 10.1137/S0895479802418835}}</ref> | ||
* [[हिल्बर्ट मैट्रिक्स]] हेंकेल मैट्रिक्स का | * [[हिल्बर्ट मैट्रिक्स]] हेंकेल मैट्रिक्स का उदाहरण है। | ||
==हैंकेल ऑपरेटर== | ==हैंकेल ऑपरेटर== | ||
[[ हिल्बर्ट स्थान ]] पर | [[ हिल्बर्ट स्थान | हिल्बर्ट स्थान]] पर हेंकेल [[ऑपरेटर (गणित)]] वह है जिसका मैट्रिक्स [[ऑर्थोनॉर्मल आधार]] के संबंध में (संभवतः अनंत) हेंकेल मैट्रिक्स है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, हैंकेल मैट्रिक्स मैट्रिक्स है जिसके एंटीडायगोनल्स के साथ स्थिर मान होते हैं, जिसका अर्थ है कि हैंकेल मैट्रिक्स <math>A </math> सभी पंक्तियों के लिए संतुष्ट होना चाहिए <math>i</math> और कॉलम <math>j</math>, <math>(A_{i,j})_{i,j \ge 1}</math>. ध्यान दें कि प्रत्येक प्रविष्टि <math>A_{i,j}</math> पर ही निर्भर करता है <math>i+j</math>. | ||
माना कि संगत हेंकेल ऑपरेटर है <math>H_\alpha</math>. हैंकेल मैट्रिक्स दिया गया है <math>A</math>, फिर संबंधित हैंकेल ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है <math>H_\alpha(u)= Au</math>. | माना कि संगत हेंकेल ऑपरेटर है <math>H_\alpha</math>. हैंकेल मैट्रिक्स दिया गया है <math>A</math>, फिर संबंधित हैंकेल ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है <math>H_\alpha(u)= Au</math>. | ||
हम अक्सर हेंकेल ऑपरेटरों में रुचि रखते हैं <math>H_\alpha: \ell^{2}\left(\mathbb{Z}^{+} \cup\{0\}\right) \rightarrow \ell^{2}\left(\mathbb{Z}^{+} \cup\{0\}\right)</math> हिल्बर्ट स्थान के ऊपर <math>\ell^{2}(\mathbf Z) </math>, वर्गाकार पूर्णांकीय द्विपक्षीय सम्मिश्र संख्या [[अनुक्रम]] | हम अक्सर हेंकेल ऑपरेटरों में रुचि रखते हैं <math>H_\alpha: \ell^{2}\left(\mathbb{Z}^{+} \cup\{0\}\right) \rightarrow \ell^{2}\left(\mathbb{Z}^{+} \cup\{0\}\right)</math> हिल्बर्ट स्थान के ऊपर <math>\ell^{2}(\mathbf Z) </math>, वर्गाकार पूर्णांकीय द्विपक्षीय सम्मिश्र संख्या [[अनुक्रम]] का स्थान। किसी के लिए <math>u \in \ell^{2}(\mathbf Z)</math>, अपने पास | ||
<math display=block>\|u\|_{\ell^{2}(z)}^{2} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|u_{n}\right|^{2}</math> | <math display=block>\|u\|_{\ell^{2}(z)}^{2} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|u_{n}\right|^{2}</math> | ||
हम अक्सर हेंकेल ऑपरेटरों के सन्निकटन में रुचि रखते हैं, संभवतः निम्न-ऑर्डर ऑपरेटरों द्वारा। ऑपरेटर के आउटपुट का अनुमान लगाने के लिए, हम अपने अनुमान की त्रुटि को मापने के लिए वर्णक्रमीय मानदंड (ऑपरेटर 2-मानदंड) का उपयोग कर सकते हैं। यह ऑपरेटर की कार्रवाई का अनुमान लगाने के लिए | हम अक्सर हेंकेल ऑपरेटरों के सन्निकटन में रुचि रखते हैं, संभवतः निम्न-ऑर्डर ऑपरेटरों द्वारा। ऑपरेटर के आउटपुट का अनुमान लगाने के लिए, हम अपने अनुमान की त्रुटि को मापने के लिए वर्णक्रमीय मानदंड (ऑपरेटर 2-मानदंड) का उपयोग कर सकते हैं। यह ऑपरेटर की कार्रवाई का अनुमान लगाने के लिए संभावित तकनीक के रूप में एकल मूल्य अपघटन का सुझाव देता है। | ||
ध्यान दें कि मैट्रिक्स <math>A</math> परिमित होना आवश्यक नहीं है. यदि यह अनंत है, तो व्यक्तिगत एकवचन वैक्टर की गणना के पारंपरिक तरीके सीधे काम नहीं करेंगे। हमें यह भी आवश्यक है कि सन्निकटन | ध्यान दें कि मैट्रिक्स <math>A</math> परिमित होना आवश्यक नहीं है. यदि यह अनंत है, तो व्यक्तिगत एकवचन वैक्टर की गणना के पारंपरिक तरीके सीधे काम नहीं करेंगे। हमें यह भी आवश्यक है कि सन्निकटन हेंकेल मैट्रिक्स हो, जिसे AAK [[सिद्ध]]ांत के साथ दिखाया जा सकता है। | ||
हेंकेल मैट्रिक्स के निर्धारक को कैटेलेक्टिकेंट कहा जाता है। | हेंकेल मैट्रिक्स के निर्धारक को कैटेलेक्टिकेंट कहा जाता है। | ||
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<math display=block>c_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} b_k</math> | <math display=block>c_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} b_k</math> | ||
अनुक्रम के द्विपद परिवर्तन के रूप में <math>\{b_n\}</math>, तो | अनुक्रम के द्विपद परिवर्तन के रूप में <math>\{b_n\}</math>, तो के पास है | ||
<math display=block>\det (b_{i+j-2})_{1 \le i,j \le n+1} = \det (c_{i+j-2})_{1 \le i,j \le n+1}.</math> | <math display=block>\det (b_{i+j-2})_{1 \le i,j \le n+1} = \det (c_{i+j-2})_{1 \le i,j \le n+1}.</math> | ||
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== हैंकेल मैट्रिसेस के अनुप्रयोग == | == हैंकेल मैट्रिसेस के अनुप्रयोग == | ||
हेंकेल मैट्रिसेस तब बनते हैं, जब आउटपुट डेटा के अनुक्रम को देखते हुए, | हेंकेल मैट्रिसेस तब बनते हैं, जब आउटपुट डेटा के अनुक्रम को देखते हुए, अंतर्निहित राज्य-स्थान या छिपे [[छिपा हुआ मार्कोव मॉडल]] की प्राप्ति वांछित होती है।<ref>{{cite book |first=Masanao |last=Aoki |author-link=Masanao Aoki |chapter=Prediction of Time Series |title=Notes on Economic Time Series Analysis : System Theoretic Perspectives |location=New York |publisher=Springer |year=1983 |isbn=0-387-12696-1 |pages=38–47 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=l_LsCAAAQBAJ&pg=PA38 }}</ref> हैंकेल मैट्रिक्स का एकल मूल्य अपघटन ए, बी और सी मैट्रिक्स की गणना करने का साधन प्रदान करता है जो राज्य-स्थान प्राप्ति को परिभाषित करता है।<ref>{{cite book |first=Masanao |last=Aoki |chapter=Rank determination of Hankel matrices |title=Notes on Economic Time Series Analysis : System Theoretic Perspectives |location=New York |publisher=Springer |year=1983 |isbn=0-387-12696-1 |pages=67–68 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=l_LsCAAAQBAJ&pg=PA67 }}</ref> सिग्नल से निर्मित हेंकेल मैट्रिक्स को गैर-स्थिर सिग्नलों के अपघटन और समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व के लिए उपयोगी पाया गया है। | ||
=== बहुपद बंटन के लिए आघूर्णों की विधि === | === बहुपद बंटन के लिए आघूर्णों की विधि === | ||
| Line 66: | Line 66: | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
* टोप्लिट्ज़ मैट्रिक्स, | * टोप्लिट्ज़ मैट्रिक्स, उल्टा (यानी, पंक्ति-उलटा) हेंकेल मैट्रिक्स | ||
* [[कॉची मैट्रिक्स]] | * [[कॉची मैट्रिक्स]] | ||
* [[वेंडरमोंडे मैट्रिक्स]] | * [[वेंडरमोंडे मैट्रिक्स]] | ||
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{{Matrix classes}} | {{Matrix classes}} | ||
[[Category: मैट्रिसेस]] [[Category: बदल देती है]] | [[Category: मैट्रिसेस]] [[Category: बदल देती है]] | ||
Revision as of 16:04, 5 August 2023
रैखिक बीजगणित में, हेंकेल मैट्रिक्स (या उत्प्रेरक मैट्रिक्स), जिसका नाम हरमन हैंकेल के नाम पर रखा गया है, वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें बाएं से दाएं प्रत्येक आरोही तिरछा-विकर्ण स्थिर है, उदाहरण के लिए:
अधिक सामान्यतः, हेंकेल मैट्रिक्स कोई भी होता है आव्यूह रूप का
घटकों के संदर्भ में, यदि का तत्व से दर्शाया गया है , और मान रहा हूँ , तो हमारे पास हैं सभी के लिए
गुण
- हैंकेल मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स है।
- होने देना हो विनिमय मैट्रिक्स. अगर है हैंकेल मैट्रिक्स, फिर कहाँ है