ची-वर्ग वितरण

This article is about the mathematics of the chi-squared distribution. For its uses in statistics, see chi-squared test. For the music group, see Chi2 (band).

chi-squared

Probability density function File:Chi-square pdf.svg
Cumulative distribution function
Notation	$\chi ^{2}(k)\;$ or $\chi _{k}^{2}\!$
Parameters	$k\in \mathbb {N} ^{*}~~$ (known as "degrees of freedom")
Support	$x\in (0,+\infty )\;$ if $k=1$, otherwise $x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;$
CDF	${\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;$
Mean	$k$
Median	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$
Mode	$\max(k-2,0)\;$
Variance	$2k\;$
Skewness	${\sqrt {8/k}}\,$
Ex. kurtosis	${\frac {12}{k}}$
Entropy	${\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\frac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\frac {k}{2}})\psi ({\frac {k}{2}})\end{aligned}}$
MGF	$(1-2t)^{-k/2}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}\;$
CF	$(1-2it)^{-k/2}$
PGF	$(1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ for }}0<t<{\sqrt {e}}\;$

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, ची-स्क्वायर वितरण (ची-स्क्वायर या$\chi ^{2}$-वितरण) के साथ $k$ स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) वर्गों के योग का वितरण है $k$ स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) मानक सामान्य यादृच्छिक चर। ची-स्क्वेर्ड डिस्ट्रीब्यूशन गामा वितरण का विशेष मामला है और अनुमानित आंकड़ों में विशेष रूप से परिकल्पना परीक्षण और विश्वास अंतराल के निर्माण में सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संभाव्यता वितरणों में से है। इस वितरण को कभी-कभी केंद्रीय ची-वर्ग वितरण कहा जाता है, जो अधिक सामान्य गैर-केंद्रीय ची-वर्ग वितरण का विशेष मामला है।

ची-स्क्वायर वितरण का उपयोग सामान्य ची-स्क्वायर परीक्षणों में सैद्धांतिक के लिए मनाया वितरण के फिट होने की अच्छाई के लिए किया जाता है, डेटा विश्लेषण के वर्गीकरण के दो मानदंडों की सांख्यिकीय स्वतंत्रता और जनसंख्या मानक विचलन के लिए विश्वास अंतराल अनुमान में नमूना मानक विचलन से सामान्य वितरण। कई अन्य सांख्यिकीय परीक्षण भी इस वितरण का उपयोग करते हैं, जैसे फ्रीडमैन परीक्षण | रैंकों द्वारा भिन्नता का फ्रीडमैन का विश्लेषण।

परिभाषाएँ

अगर Z₁, ..., Z_k स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत), मानक सामान्य यादृच्छिक चर हैं, फिर उनके वर्गों का योग,

$Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},$

के साथ ची-वर्ग वितरण के अनुसार वितरित किया जाता है k स्वतंत्रता की कोटियां। यह आमतौर पर के रूप में निरूपित किया जाता है

$Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.$

ची-स्क्वेर्ड बंटन का प्राचल होता है: धनात्मक पूर्णांक k जो स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) की संख्या निर्दिष्ट करता है (यादृच्छिक चर की संख्या, जेड_i एस)।

परिचय

ची-वर्ग वितरण मुख्य रूप से परिकल्पना परीक्षण में उपयोग किया जाता है, और अंतर्निहित वितरण सामान्य होने पर जनसंख्या भिन्नता के लिए आत्मविश्वास अंतराल के लिए कुछ हद तक उपयोग किया जाता है। सामान्य वितरण और घातीय वितरण जैसे अधिक व्यापक रूप से ज्ञात वितरणों के विपरीत, ची-वर्ग वितरण अक्सर प्राकृतिक घटनाओं के प्रत्यक्ष मॉडलिंग में लागू नहीं होता है। यह दूसरों के बीच निम्नलिखित परिकल्पना परीक्षणों में उत्पन्न होता है:

• पियर्सन का ची-स्क्वायर परीक्षण|आकस्मिक तालिकाओं में स्वतंत्रता का ची-स्क्वेर्ड परीक्षण
• पियर्सन का ची-स्क्वेर्ड टेस्ट|काल्पनिक वितरणों के लिए देखे गए डेटा के फिट होने की अच्छाई का ची-स्क्वेर्ड टेस्ट
• नेस्टेड मॉडलों के लिए संभावना-अनुपात परीक्षण
• उत्तरजीविता विश्लेषण में लॉग-रैंक परीक्षण
• कोच्रन-मेंटल-हेन्ज़ेल सांख्यिकी| स्तरीकृत आकस्मिकता तालिकाओं के लिए कोचरन-मेंटल-हेन्ज़ेल परीक्षण
• वाल्ड परीक्षण
• स्कोर टेस्ट

यह विद्यार्थी के t-वितरण|t-वितरण और F-वितरण|F-वितरण की परिभाषा का घटक भी है जिसका उपयोग t-परीक्षणों में किया जाता है, विचरण का विश्लेषण, और प्रतिगमन विश्लेषण।

प्राथमिक कारण जिसके लिए ची-स्क्वायर वितरण व्यापक रूप से परिकल्पना परीक्षण में उपयोग किया जाता है, सामान्य वितरण से इसका संबंध है। कई परिकल्पना परीक्षण परीक्षण आँकड़ा का उपयोग करते हैं, जैसे कि टी-आँकड़ा | टी-आँकड़ा टी-परीक्षण में। इन परिकल्पना परीक्षणों के लिए, नमूना आकार के रूप में, n, बढ़ता है, परीक्षण आंकड़ों का नमूनाकरण वितरण सामान्य वितरण (केंद्रीय सीमा प्रमेय) तक पहुंचता है। क्योंकि परीक्षण आँकड़ा (जैसे t) समान रूप से सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, बशर्ते नमूना आकार पर्याप्त रूप से बड़ा हो, परिकल्पना परीक्षण के लिए उपयोग किए जाने वाले वितरण को सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। सामान्य वितरण का उपयोग करके परिकल्पनाओं का परीक्षण करना अच्छी तरह से समझा जाता है और अपेक्षाकृत आसान है। सबसे सरल ची-वर्ग वितरण मानक सामान्य वितरण का वर्ग है। तो जहां कहीं परिकल्पना परीक्षण के लिए सामान्य वितरण का उपयोग किया जा सकता है, ची-वर्ग वितरण का उपयोग किया जा सकता है।

लगता है कि $Z$ मानक सामान्य बंटन से लिया गया यादृच्छिक चर है, जहाँ माध्य है $0$ और भिन्नता है $1$: $Z\sim N(0,1)$. अब यादृच्छिक चर पर विचार करें $Q=Z^{2}$. यादृच्छिक चर का वितरण $Q$ ची-वर्ग वितरण का उदाहरण है: $\ Q\ \sim \ \chi _{1}^{2}$. सबस्क्रिप्ट 1 इंगित करता है कि यह विशेष ची-वर्ग वितरण केवल 1 मानक सामान्य वितरण से बनाया गया है। ल मानक सामान्य वितरण को वर्ग करके निर्मित ची-स्क्वायर वितरण को स्वतंत्रता की 1 डिग्री कहा जाता है। इस प्रकार, जैसे ही परिकल्पना परीक्षण के लिए नमूना आकार बढ़ता है, परीक्षण आंकड़ों का वितरण सामान्य वितरण तक पहुंचता है। जिस तरह सामान्य वितरण के चरम मूल्यों की संभावना कम होती है (और छोटे पी-मान देते हैं), ची-स्क्वेर्ड वितरण के चरम मूल्यों की संभावना कम होती है।

ची-स्क्वेर्ड वितरण का व्यापक रूप से उपयोग किए जाने का अतिरिक्त कारण यह है कि यह सामान्यीकृत संभावना-अनुपात परीक्षण (LRT) के बड़े नमूना वितरण के रूप में सामने आता है। एलआरटी में कई वांछनीय गुण होते हैं; विशेष रूप से, सरल LRT आमतौर पर अशक्त परिकल्पना (नेमन-पियर्सन लेम्मा) को अस्वीकार करने के लिए उच्चतम शक्ति प्रदान करते हैं और यह सामान्यीकृत LRTs के इष्टतम गुणों की ओर भी ले जाता है। हालाँकि, सामान्य और ची-स्क्वायर सन्निकटन केवल विषम रूप से मान्य हैं। इस कारण से, छोटे नमूने के आकार के लिए सामान्य सन्निकटन या ची-स्क्वेर्ड सन्निकटन के बजाय टी वितरण का उपयोग करना बेहतर होता है। इसी तरह, आकस्मिक तालिकाओं के विश्लेषण में, ची-स्क्वायर सन्निकटन छोटे नमूने के आकार के लिए खराब होगा, और फिशर के सटीक परीक्षण का उपयोग करना बेहतर होगा। रैमसे दर्शाता है कि सटीक द्विपद परीक्षण हमेशा सामान्य सन्निकटन से अधिक शक्तिशाली होता है। लैंकेस्टर द्विपद, सामान्य और ची-स्क्वायर वितरणों के बीच संबंधों को निम्नानुसार दर्शाता है। डी मोइवर और लाप्लास ने स्थापित किया कि द्विपद वितरण को सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से उन्होंने यादृच्छिक चर की स्पर्शोन्मुख सामान्यता दिखाई

$\chi ={m-Np \over {\sqrt {Npq}}}$

कहाँ $m$ में सफलताओं की संख्या देखी गई है $N$ परीक्षण, जहां सफलता की संभावना है $p$, और $q=1-p$.

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना देता है

$\chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Npq}$ का उपयोग करते हुए $N=Np+N(1-p)$, $N=m+(N-m)$, और $q=1-p$, इस समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

$\chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Np}+{(N-m-Nq)^{2} \over Nq}$ दायीं ओर का व्यंजक उस रूप का है जिसे कार्ल पियर्सन इस रूप का सामान्यीकरण करेंगे

$\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}$ कहाँ

$\chi ^{2}$ = पियर्सन का संचयी परीक्षण आँकड़ा, जो asymptotically a तक पहुँचता है $\chi ^{2}$ वितरण; $O_{i}$ = प्रकार के प्रेक्षणों की संख्या $i$; $E_{i}=Np_{i}$ = अपेक्षित (सैद्धांतिक) प्रकार की आवृत्ति $i$, शून्य परिकल्पना द्वारा दावा किया गया है कि प्रकार का अंश $i$ जनसंख्या में है $p_{i}$; और $n$ = तालिका में कोशिकाओं की संख्या।

द्विपद परिणाम ( सिक्का उछालना) के मामले में, द्विपद वितरण को सामान्य वितरण (पर्याप्त रूप से बड़े के लिए) द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। $n$). क्योंकि मानक सामान्य वितरण का वर्ग स्वतंत्रता की डिग्री के साथ ची-स्क्वेर्ड वितरण है, परिणाम की संभावना जैसे 10 परीक्षणों में 1 हेड्स को या तो सीधे सामान्य वितरण का उपयोग करके, या ची-स्क्वेर्ड वितरण का अनुमान लगाया जा सकता है। देखे गए और अपेक्षित मान के बीच सामान्यीकृत, चुकता अंतर। हालाँकि, कई समस्याओं में द्विपद के दो संभावित परिणामों से अधिक शामिल होते हैं, और इसके बजाय 3 या अधिक श्रेणियों की आवश्यकता होती है, जो बहुपद वितरण की ओर ले जाती है। जिस तरह डी मोइवर और लाप्लास ने द्विपद के लिए सामान्य सन्निकटन की मांग की और पाया, पियर्सन ने बहुराष्ट्रीय वितरण के लिए पतित बहुभिन्नरूपी सामान्य सन्निकटन की मांग की और पाया (प्रत्येक श्रेणी में संख्या कुल नमूना आकार तक जुड़ती है, जिसे निश्चित माना जाता है) . पियर्सन ने दिखाया कि विभिन्न श्रेणियों में टिप्पणियों की संख्या के बीच सांख्यिकीय निर्भरता (नकारात्मक सहसंबंध) का ध्यान रखते हुए, इस तरह के बहुभिन्नरूपी सामान्य सन्निकटन से बहुराष्ट्रीय वितरण के लिए ची-वर्ग वितरण उत्पन्न हुआ।

संभाव्यता घनत्व समारोह

ची-वर्ग बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है

$f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

कहाँ ${\textstyle \Gamma (k/2)}$ गामा समारोह को दर्शाता है, जिसमें गामा फ़ंक्शन के विशेष मान होते हैं | पूर्णांक के लिए बंद-रूप मान $k$.

, दो और के मामलों में पीडीएफ की व्युत्पत्ति के लिए $k$ स्वतंत्रता की डिग्री, ची-स्क्वायर वितरण से संबंधित प्रमाण देखें।

संचयी वितरण समारोह

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चेरनॉफ़ संचयी वितरण फलन के लिए बाध्य है और स्वतंत्रता की दस डिग्री ($k=10$)

इसका संचयी वितरण कार्य है:

$F(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}=P\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right),$

कहाँ $\gamma (s,t)$ निचला अधूरा गामा फ़ंक्शन है और ${\textstyle P(s,t)}$ नियमित गामा फ़ंक्शन # नियमित गामा फ़ंक्शन और पॉइसन यादृच्छिक चर है।

के विशेष मामले में $k=2$ इस फ़ंक्शन का सरल रूप है:

$F(x;\,2)=1-e^{-x/2}$

जिसे आसानी से ीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है $f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}$ सीधे। गामा फ़ंक्शन की पूर्णांक पुनरावृत्ति गणना करना आसान बनाती है $F(x;\,k)$ अन्य छोटे के लिए भी $k$.

ची-स्क्वेर्ड संचयी वितरण फ़ंक्शन की तालिकाएं व्यापक रूप से उपलब्ध हैं और फ़ंक्शन कई स्प्रेडशीट और सभी सांख्यिकीय पैकेजों की सूची में शामिल है।

दे $z\equiv x/k$, चेरनॉफ़ बाउंड#सीडीएफ के निचले और ऊपरी सिरे पर चेरनॉफ़ बाउंड के प्रमाण में पहला चरण प्राप्त किया जा सकता है। मामलों के लिए जब $0<z<1$ (जिसमें सभी मामले शामिल हैं जब यह सीडीएफ आधे से कम है): $F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.$ पूंछ मामलों के लिए बाध्य जब $z>1$, इसी तरह, है

$1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.$

गॉसियन के घन के बाद तैयार किए गए सीडीएफ के लिए और सन्निकटन के लिए, नॉनसेंट्रल ची-स्क्वेर्ड डिस्ट्रीब्यूशन#अप्रॉक्सिमेशन|नॉनसेंट्रल ची-स्क्वेर्ड डिस्ट्रीब्यूशन के तहत देखें।

गुण

कोचरन की प्रमेय

Main article: Cochran's theorem

अगर Z₁, ..., Z_k स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) समान रूप से वितरित (i.i.d.), मानक सामान्य यादृच्छिक चर हैं, फिर $\sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\overline {Z}})^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}$ कहाँ ${\overline {Z}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}.$

Additivity

यह ची-वर्ग वितरण की परिभाषा से अनुसरण करता है कि स्वतंत्र ची-वर्ग चरों का योग भी ची-वर्ग वितरित है। विशेष रूप से, अगर $X_{i},i={\overline {1,n}}$ के साथ स्वतंत्र ची-वर्ग चर हैं $k_{i}$, $i={\overline {1,n}}$ स्वतंत्रता की डिग्री, क्रमशः, फिर $Y=X_{1}+...+X_{n}$ ची-स्क्वायर के साथ वितरित किया गया है $k_{1}+...+k_{n}$ स्वतंत्रता की कोटियां।

नमूना मतलब

का नमूना माध्य $n$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर|i.i.d. डिग्री के ची-वर्ग चर $k$ आकार के साथ गामा वितरण के अनुसार वितरित किया जाता है $\alpha$ और पैमाना $\theta$ पैरामीटर:

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha =n\,k/2,\theta =2/n\right)\qquad {\text{where }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)$

1. स्पर्शोन्मुख गुण, जो स्केल पैरामीटर के लिए दिया गया है $\alpha$ अनंत तक जा रहा है, गामा वितरण अपेक्षा के साथ सामान्य वितरण की ओर अभिसरण करता है $\mu =\alpha \cdot \theta$ और विचरण $\sigma ^{2}=\alpha \,\theta ^{2}$, नमूना माध्य की ओर अभिसरित होता है:

${\overline {X}}\xrightarrow {n\to \infty } N(\mu =k,\sigma ^{2}=2\,k/n)$ ध्यान दें कि हमने केंद्रीय सीमा प्रमेय के बजाय समान परिणाम प्राप्त किया होगा, यह देखते हुए कि डिग्री के प्रत्येक ची-वर्ग चर के लिए $k$ अपेक्षा है $k$ , और इसका विचरण $2\,k$ (और इसलिए नमूना माध्य का विचरण ${\overline {X}}$ प्राणी $\sigma ^{2}={\frac {2k}{n}}$).

एंट्रॉपी

अंतर एन्ट्रापी द्वारा दिया जाता है

$h=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\,\psi \!\left({\frac {k}{2}}\right),$

कहाँ $\psi (x)$ दिगम्मा समारोह है।

ची-स्क्वायर वितरण यादृच्छिक चर के लिए अधिकतम एन्ट्रापी प्रायिकता वितरण है $X$ जिसके लिए $\operatorname {E} (X)=k$ और $\operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)$ फिक्स किए गए हैं। चूंकि ची-स्क्वायर गामा वितरण के परिवार में है, यह गामा वितरण # लॉगरिदमिक अपेक्षा और भिन्नता में उचित मूल्यों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है। अधिक बुनियादी सिद्धांतों से व्युत्पत्ति के लिए, घातीय परिवार में व्युत्पत्ति देखें#पर्याप्त आँकड़ा का क्षण-उत्पन्न कार्य|पर्याप्त आँकड़ा का क्षण-सृजन फलन।

अकेंद्रीय क्षण

के साथ ची-वर्ग वितरण के शून्य के बारे में क्षण $k$ द्वारा स्वतंत्रता की डिग्री दी जाती है

$\operatorname {E} (X^{m})=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)=2^{m}{\frac {\Gamma \left(m+{\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}.$

संचयी

क्यूमुलेंट्स विशेषता फ़ंक्शन के लघुगणक के (औपचारिक) शक्ति श्रृंखला विस्तार द्वारा आसानी से प्राप्त किए जाते हैं:

$\kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k$

ाग्रता

ची-स्क्वायर वितरण अपने माध्य के आसपास मजबूत ाग्रता प्रदर्शित करता है। मानक लॉरेंट-Massart सीमाएं हैं:

$\operatorname {P} (X-k\geq 2{\sqrt {kx}}+2x)\leq \exp(-x)$

$\operatorname {P} (k-X\geq 2{\sqrt {kx}})\leq \exp(-x)$

स्पर्शोन्मुख गुण

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माध्यिका के लिए अनुमानित सूत्र (विल्सन-हिल्फ़र्टी परिवर्तन से) संख्यात्मक क्वांटाइल (शीर्ष) की तुलना में; और संख्यात्मक मात्रा और अनुमानित सूत्र (नीचे) के बीच अंतर (नीला) और सापेक्ष अंतर (लाल)। ची-स्क्वायर वितरण के लिए, केवल स्वतंत्रता की डिग्री (वृत्त) की सकारात्मक पूर्णांक संख्याएं अर्थपूर्ण हैं।

केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा, क्योंकि ची-वर्ग वितरण का योग है $k$ परिमित माध्य और विचरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर, यह बड़े के लिए सामान्य वितरण में परिवर्तित हो जाता है $k$. कई व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, के लिए $k>50$ वितरण सामान्य वितरण के काफी करीब है, इसलिए अंतर इग्नोरेबल है। विशेष रूप से, अगर $X\sim \chi ^{2}(k)$, फिर ऐसे $k$ अनंत की ओर जाता है, का वितरण $(X-k)/{\sqrt {2k}}$ यादृच्छिक चर का अभिसरण # मानक सामान्य वितरण के वितरण में अभिसरण। हालाँकि, तिरछा होने के कारण अभिसरण धीमा है ${\sqrt {8/k}}$ और अतिरिक्त कर्टोसिस है $12/k$.

का नमूना वितरण $\ln(\chi ^{2})$ के नमूनाकरण वितरण की तुलना में बहुत तेजी से सामान्यता में परिवर्तित हो जाता है $\chi ^{2}$, चूंकि लॉगरिदमिक परिवर्तन अधिकांश विषमता को हटा देता है। ची-स्क्वेर्ड बंटन के अन्य फलन अधिक तेजी से सामान्य बंटन में अभिसरित होते हैं। कुछ उदाहरण निम्न हैं:

• अगर $X\sim \chi ^{2}(k)$ तब ${\sqrt {2X}}$ लगभग सामान्य रूप से माध्य के साथ वितरित किया जाता है ${\sqrt {2k-1}}$ और इकाई विचरण (1922, आर. ए. फिशर द्वारा, देखें (18.23), जॉनसन का पृष्ठ 426।* अगर $X\sim \chi ^{2}(k)$ तब ${\sqrt[{3}]{X/k}}$ लगभग सामान्य रूप से माध्य के साथ वितरित किया जाता है $1-{\frac {2}{9k}}$ और विचरण ${\frac {2}{9k}}.$ इसे विल्सन-हिल्फर्टी परिवर्तन के रूप में जाना जाता है, देखें (18.24), पी। जॉनसन के 426।** यह डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) # सामान्यता में परिवर्तन सीधे आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले मध्य सन्निकटन की ओर जाता है $k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$ माध्य से बैक-ट्रांसफ़ॉर्मिंग द्वारा, जो सामान्य वितरण का माध्यिका भी है।

संबंधित वितरण

• जैसा $k\to \infty$, $(\chi _{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~\xrightarrow {d} \ N(0,1)\,$ (सामान्य वितरण)
• $\chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)$ (गैर-केंद्रीयता पैरामीटर के साथ गैर-केंद्रीय ची-वर्ग वितरण $\lambda =0$)
• अगर $Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})$ तब $X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y$ ची-वर्ग वितरण है $\chi _{\nu _{1}}^{2}$

* विशेष मामले के रूप में, यदि $Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,$ तब $X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,$ ची-वर्ग वितरण है $\chi _{1}^{2}$

• $\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}(0,1)\|^{2}\sim \chi _{k}^{2}$ (के मानक सामान्य रूप से वितरित चर का स्क्वायर नॉर्म (गणित) ची-स्क्वायर वितरण है जिसमें स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) है)
• अगर $X\sim \chi _{\nu }^{2}\,$ और $c>0\,$, तब $cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,$. (गामा वितरण)
• अगर $X\sim \chi _{k}^{2}$ तब ${\sqrt {X}}\sim \chi _{k}$ (ची वितरण)
• अगर $X\sim \chi _{2}^{2}$, तब $X\sim \operatorname {Exp} (1/2)$ घातीय वितरण है। (अधिक के लिए गामा वितरण देखें।)
• अगर $X\sim \chi _{2k}^{2}$, तब $X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)$ एरलांग वितरण है।
• अगर $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$, तब $2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}$
• अगर $X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,$ (रेले वितरण) तब $X^{2}\sim \chi _{2}^{2}\,$
• अगर $X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,$ (मैक्सवेल वितरण) तब $X^{2}\sim \chi _{3}^{2}\,$
• अगर $X\sim \chi _{\nu }^{2}$ तब ${\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi _{\nu }^{2}\,$ (उलटा-ची-वर्ग वितरण)
• ची-स्क्वायर वितरण प्रकार III पियर्सन वितरण का विशेष मामला है
• अगर $X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}\,$ और $Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}\,$ तब स्वतंत्र हैं ${\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,$ (बीटा वितरण)
• अगर $X\sim \operatorname {U} (0,1)\,$ (समान वितरण (निरंतर)) तब $-2\log(X)\sim \chi _{2}^{2}\,$
• अगर $X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,$ तब $\sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi _{2n}^{2}\,$
• अगर $X_{i}$ मापदंडों के साथ सामान्यीकृत सामान्य वितरण (संस्करण 1) का अनुसरण करता है $\mu ,\alpha ,\beta$ तब $\sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi _{2n/\beta }^{2}\,$
• ची-स्क्वेर्ड वितरण पारेटो वितरण का रूपांतरण है
• छात्र का टी-वितरण ची-वर्ग वितरण का रूपांतरण है
• छात्र का टी-वितरण ची-वर्ग वितरण और सामान्य वितरण से प्राप्त किया जा सकता है
• नॉनसेंट्रल परेटो वितरण को ची-स्क्वेर्ड डिस्ट्रीब्यूशन और नॉनसेंट्रल ची-स्क्वेर्ड डिस्ट्रीब्यूशन के ट्रांसफॉर्मेशन के रूप में प्राप्त किया जा सकता है
• गैर-केंद्रीय टी-वितरण सामान्य वितरण और ची-वर्ग वितरण से प्राप्त किया जा सकता है

ची-वर्ग चर के साथ $k$ स्वतंत्रता की डिग्री को वर्गों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है $k$ स्वतंत्र मानक सामान्य वितरण यादृच्छिक चर।

अगर $Y$ है $k$मीन वेक्टर के साथ -डायमेंशनल गॉसियन रैंडम वेक्टर $\mu$ और रैंक $k$ सहप्रसरण आव्यूह $C$, तब $X=(Y-\mu )^{T}C^{-1}(Y-\mu )$ ची-स्क्वायर के साथ वितरित किया गया है $k$ स्वतंत्रता की कोटियां।

सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र इकाई-प्रसरण गॉसियन चर के वर्गों का योग, जिसका मतलब शून्य नहीं है, ची-वर्ग वितरण का सामान्यीकरण गैर-केन्द्रीय ची-वर्ग वितरण कहा जाता है।

अगर $Y$ का सदिश है $k$ आई.आई.डी. मानक सामान्य यादृच्छिक चर और $A$ है $k\times k$ सममित मैट्रिक्स, पद के साथ idempotent मैट्रिक्स (रैखिक बीजगणित) $k-n$, फिर द्विघात रूप $Y^{T}AY$ ची-स्क्वायर के साथ वितरित किया जाता है $k-n$ स्वतंत्रता की कोटियां।

अगर $\Sigma$ है $p\times p$ धनात्मक-अर्ध-परिमित सहप्रसरण मैट्रिक्स सख्ती से धनात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ, फिर के लिए $X\sim N(0,\Sigma )$ और $w$ यादृच्छिक $p$-वेक्टर से स्वतंत्र $X$ ऐसा है कि $w_{1}+\cdots +w_{p}=1$ और $w_{i}\geq 0,i=1,\cdots ,p,$ यह मानता है

${\frac {1}{\left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\cdots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)\Sigma \left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\cdots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)^{\top }}}\sim \chi _{1}^{2}.$

ची-वर्ग वितरण स्वाभाविक रूप से गॉसियन से उत्पन्न होने वाले अन्य वितरणों से भी संबंधित है। विशेष रूप से,

• $Y$ F-वितरण है|F-वितरित, $Y\sim F(k_{1},k_{2})$ अगर $Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}$, कहाँ $X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}$ और $X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}$ सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं।
• अगर $X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}$ और $X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}$ सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं, फिर $X_{1}+X_{2}\sim \chi _{k_{1}+k_{2}}^{2}$. अगर $X_{1}$ और $X_{2}$ फिर स्वतंत्र नहीं हैं $X_{1}+X_{2}$ ची-स्क्वायर वितरित नहीं है।

सामान्यीकरण

ची-स्क्वायर वितरण को वर्गों के योग के रूप में प्राप्त किया जाता है k स्वतंत्र, शून्य-माध्य, इकाई-विचरण गॉसियन यादृच्छिक चर। इस वितरण के सामान्यीकरण को अन्य प्रकार के गॉसियन यादृच्छिक चर के वर्गों को जोड़ कर प्राप्त किया जा सकता है। ऐसे कई वितरणों का वर्णन नीचे किया गया है।

रैखिक संयोजन

अगर $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ची वर्ग यादृच्छिक चर हैं और $a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{>0}$, फिर के वितरण के लिए बंद अभिव्यक्ति $X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}$ ज्ञात नहीं है। हालांकि, विशेषता फ़ंक्शन (संभाव्यता सिद्धांत) # ची-स्क्वायर यादृच्छिक चर के गुणों का उपयोग करके इसे कुशलता से अनुमानित किया जा सकता है।

ची-चुकता वितरण

अकेंद्रीय ची-वर्ग वितरण

Main article: Noncentral chi-squared distribution

गैर-केंद्रीय ची-स्क्वायर वितरण स्वतंत्र गॉसियन यादृच्छिक चर के वर्गों के योग से प्राप्त किया जाता है जिसमें इकाई भिन्नता और गैर-शून्य साधन होते हैं।

सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण

Main article: Generalized chi-squared distribution

सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण द्विघात रूप से प्राप्त किया जाता है z'Az कहाँ z शून्य-माध्य गॉसियन वेक्टर है जिसमें मनमाना सहप्रसरण मैट्रिक्स है, और A मनमाना मैट्रिक्स है।

गामा, चरघातांकी, और संबंधित वितरण

ची-वर्ग वितरण $X\sim \chi _{k}^{2}$ उसमें गामा वितरण का विशेष मामला है $X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$ गामा वितरण के दर पैरामीटरकरण का उपयोग करना (या $X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},2\right)$ गामा वितरण के स्केल पैरामीटराइजेशन का उपयोग करके) कहाँ k पूर्णांक है।

चूँकि चरघातांकी वितरण भी गामा वितरण का विशेष मामला है, हमारे पास वह भी है यदि $X\sim \chi _{2}^{2}$, तब $X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)$ घातीय वितरण है।

Erlang वितरण भी गामा वितरण का विशेष मामला है और इस प्रकार हमारे पास वह भी है $X\sim \chi _{k}^{2}$ साथ भी ${\text{k}}$, तब ${\text{X}}$ Erlang आकार पैरामीटर के साथ वितरित किया गया है ${\text{k}}/2$ और स्केल पैरामीटर $1/2$.

घटना और अनुप्रयोग

ची-स्क्वेर्ड वितरण में अनुमानित आँकड़ों में कई अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए ची-स्क्वेर्ड परीक्षणों में और प्रसरणों का अनुमान लगाने में। यह छात्र के टी-वितरण में अपनी भूमिका के माध्यम से सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या के माध्य का अनुमान लगाने और रेखीय प्रतिगमन रेखा के ढलान का अनुमान लगाने की समस्या में प्रवेश करता है। यह एफ-वितरण में अपनी भूमिका के माध्यम से विचरण की समस्याओं के सभी विश्लेषणों में प्रवेश करता है, जो कि दो स्वतंत्र ची-वर्ग यादृच्छिक चर के अनुपात का वितरण है, प्रत्येक को उनकी स्वतंत्रता की संबंधित डिग्री से विभाजित किया जाता है।

निम्नलिखित कुछ सबसे सामान्य स्थितियाँ हैं जिनमें गॉसियन-वितरित नमूने से ची-वर्ग वितरण उत्पन्न होता है।

• अगर $X_{1},...,X_{n}$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं|i.i.d. $N(\mu ,\sigma ^{2})$ यादृच्छिक चर, फिर $\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}$ कहाँ ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$.
• नीचे दिया गया बॉक्स कुछ आंकड़ों पर आधारित दिखाता है $X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,\ldots ,k$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर जिनमें ची-स्क्वेर्ड वितरण से संबंधित संभाव्यता वितरण हैं:

Name	Statistic
chi-squared distribution	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
noncentral chi-squared distribution	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
chi distribution	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
noncentral chi distribution	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग में ची-स्क्वायर वितरण का भी अक्सर सामना किया जाता है।

कम्प्यूटेशनल तरीके

्स की तालिका² वैल्यू बनाम पी-वैल्यू

पी-वैल्यू|पी-वैल्यू ची-स्क्वेर्ड डिस्ट्रीब्यूशन में कम से कम चरम के रूप में परीक्षण आंकड़े को देखने की संभावना है। तदनुसार, चूंकि संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) स्वतंत्रता की उचित डिग्री (डीएफ) के लिए इस बिंदु से कम चरम मूल्य प्राप्त करने की संभावना देता है, सीडीएफ मूल्य को 1 से घटाकर पी-वैल्यू देता है। चुने गए महत्व स्तर के नीचे निम्न पी-मान, सांख्यिकीय महत्व को इंगित करता है, अर्थात शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने के लिए पर्याप्त साक्ष्य। महत्वपूर्ण और गैर-महत्वपूर्ण परिणामों के बीच कटऑफ़ के रूप में अक्सर 0.05 के महत्व स्तर का उपयोग किया जाता है।

नीचे दी गई तालिका में मिलान करने वाले कई पी-मान दिए गए हैं $\chi ^{2}$ स्वतंत्रता की पहली 10 डिग्री के लिए।

Degrees of freedom (df)	$\chi ^{2}$ value
1	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.63	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.61	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
p-value (probability)	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001

इन मूल्यों की गणना ची-स्क्वेर्ड वितरण के मात्रात्मक समारोह (इनवर्स सीडीएफ या आईसीडीएफ के रूप में भी जाना जाता है) का मूल्यांकन करके की जा सकती है; इ। जी., द χ² आईसीडीएफ के लिए p = 0.05 और df = 7 पैदावार 2.1673 ≈ 2.17 उपरोक्त तालिका के अनुसार, यह देखते हुए 1 – p पी-वैल्यू है | टेबल से पी-वैल्यू।

इतिहास

इस वितरण का वर्णन पहली बार 1875-6 के पत्रों में जर्मन भूगर्भ विज्ञानी और सांख्यिकीविद् फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मर्ट द्वारा किया गया था। जहां उन्होंने सामान्य जनसंख्या के नमूना प्रसरण के नमूना वितरण की गणना की। इस प्रकार जर्मन में यह परंपरागत रूप से हेल्मर्टशे (हेल्मर्टियन) या हेल्मर्ट वितरण के रूप में जाना जाता था।

फिट की अच्छाई के संदर्भ में अंग्रेजी गणितज्ञ कार्ल पियर्सन द्वारा वितरण को स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा गया, जिसके लिए उन्होंने 1900 में प्रकाशित अपने पियर्सन के ची-स्क्वेर्ड टेस्ट को विकसित किया, जिसमें मूल्यों की गणना की गई तालिका प्रकाशित की गई थी। (Elderton 1902) में त्र किया गया (Pearson 1914, pp. xxxi–xxxiii, 26–28, Table XII). ची-स्क्वायर नाम अंततः ग्रीक अक्षर ची (अक्षर) के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण में प्रतिपादक के लिए पियर्सन के आशुलिपि से निकला है। −½χ² आधुनिक अंकन में क्या दिखाई देगा −½x^TΣ⁻¹x (Σ सहप्रसरण मैट्रिक्स होने के नाते)। ची-स्क्वेर्ड वितरण के परिवार का विचार, हालांकि, पियर्सन के कारण नहीं है, बल्कि 1920 के दशक में फिशर के कारण और विकास के रूप में उत्पन्न हुआ।

यह भी देखें

• ची वितरण
• प्रवर्धित प्रतिलोम ची-वर्ग वितरण
• गामा वितरण
• सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण
• गैर-केंद्रीय ची-वर्ग वितरण
• पियर्सन का ची-स्क्वायर परीक्षण
• कम ची-स्क्वायर आँकड़ा
• विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण
• संशोधित आधा सामान्य वितरण पीडीएफ के साथ $(0,\infty )$ के रूप में दिया जाता है $f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}$, कहाँ $\Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)$ फॉक्स-राइट साई समारोह को दर्शाता है।

अग्रिम पठन

• Hald, Anders (1998). A history of mathematical statistics from 1750 to 1930. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-17912-2.
• Elderton, William Palin (1902). "Tables for Testing the Goodness of Fit of Theory to Observation". Biometrika. 1 (2): 155–163. doi:10.1093/biomet/1.2.155.
• "Chi-squared distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Pearson, Karl (1914). "On the probability that two independent distributions of frequency are really samples of the same population, with special reference to recent work on the identity of Trypanosome strains". Biometrika. 10: 85–154. doi:10.1093/biomet/10.1.85.

बाहरी संबंध

• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Chi squared has a brief history
• Course notes on Chi-Squared Goodness of Fit Testing from Yale University Stats 101 class.
• Mathematica demonstration showing the chi-squared sampling distribution of various statistics, e. g. Σx², for a normal population
• Simple algorithm for approximating cdf and inverse cdf for the chi-squared distribution with a pocket calculator
• Values of the Chi-squared distribution