स्केलम वितरण

Skellam

Probability mass function Examples of the probability mass function for the Skellam distribution. The horizontal axis is the index k. (The function is only defined at integer values of k. The connecting lines do not indicate continuity.)
Parameters	$\mu _{1}\geq 0,~~\mu _{2}\geq 0$
Support	$k\in \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$
PMF	$e^{-(\mu _{1}\!+\!\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}\!\!I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})$
Mean	$\mu _{1}-\mu _{2}\,$
Median	N/A
Variance	$\mu _{1}+\mu _{2}\,$
Skewness	${\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{3/2}}}$
Ex. kurtosis	${\frac {1}{\mu _{1}+\mu _{2}}}$
MGF	$e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{t}+\mu _{2}e^{-t}}$
CF	$e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{it}+\mu _{2}e^{-it}}$

स्केलम वितरण अंतर $N_{1}-N_{2}$ का असतत संभाव्यता वितरण है, जो दो सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक वैरियेबल (चर) $N_{1}$ और $N_{2},$ में प्रत्येक के पॉइसन वितरण को संबंधित करके अपेक्षित मानों के साथ $\mu _{1}$ और $\mu _{2}$ के मान को प्राप्त करता हैं। यह साधारण फोटॉन ध्वनि के साथ दो प्रतिबिंबो के अंतर के आंकड़ों का वर्णन करने के साथ-साथ उनमें स्प्रेड बेट्स के वितरण का वर्णन करने में उपयोगी है, जहाँ सभी प्रकार से स्कोर किए गए अंकों के समान होता हैं, जैसे बेसबॉल, आइस हॉकी और फ़ुटबॉल इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

वितरण आश्रित पॉइसन यादृच्छिक वैरियेबल के अंतर की एक विशेष स्थिति पर भी लागू होता है, अपितु यह केवल इसकी स्पष्ट स्थिति है, जहाँ दो वैरियेबल में एक सामान्य योगात्मक यादृच्छिक योगदान देता है, जिसे अंतर द्वारा निरस्त कर दिया जाता है, इस प्रकार विवरण के लिए कार्लिस और नत्ज़ुफ्रास (2003) देखें और इसके लिए आवेदन पत्र की सहायता ली जा सकती हैं।

किसी अंतर के लिए स्केलम वितरण के लिए संभाव्यता द्रव्यमान फलन $K=N_{1}-N_{2}$ साधनों के साथ दो स्वतंत्र पॉइसन वितरित यादृच्छिक वैरियेबल के बीच $\mu _{1}$ और $\mu _{2}$ द्वारा दिया गया है:

$p(k;\mu _{1},\mu _{2})=\Pr\{K=k\}=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})$

जहाँ I_k(z) बेसेल फलन को संशोधित बेसेल फलन कहा जाता है: इसके आधारा पर इसके पहले प्रकार को I.CE.B1.2C K.CE.B1 द्वारा दर्शाया जाता हैं। चूँकि k एक पूर्णांक है, इसलिए हमारे पास I_k(z)=I_|k|(z) समीकरण प्राप्त होता हैंI

व्युत्पत्ति

पॉइसन वितरण की संभाव्यता द्रव्यमान फलन या माध्य μ के साथ पॉइसन-वितरित यादृच्छिक वैरियेबल द्वारा दिया गया है, जो इस प्रकार है-

$p$