K3 सतह: Difference between revisions

Latest revision as of 15:20, 31 July 2023

3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में तर्कसंगत बिंदु (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।

मोन तालमेल के दूसरे भाग में, K3 के विभिन्न प्रकारों के सम्बन्ध में जानकारी, कुमेर, काहलर, कोडैरा और K2 या कैशेमायर के सम्मान में नामांकित व्यक्ति

मेरी रिपोर्ट के दूसरे भाग में, हम काहलर प्रकारो के सम्बन्ध में चर्चा कर रहे हैं जिन्हें K3 के नाम से जाना जाता है, जिसका नाम कुमेर, काहलर, कोडैरा और कश्मीर के सुन्दर पर्वत K2 के सम्मान में रखा गया है।

आंद्रे Weil (1958, p. 546), "K3 "सतह" नाम का कारण बताते हुए

गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ विहित बंडल और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड जटिल विविध है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी बीजगणितीय सतह जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट चतुर्थक सतह है:-

x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0

जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट जटिल टोरी के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और सामान्य प्रकार की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना बीजगणितीय वक्र या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ 4-कई गुना के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी अन्य-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।

परिभाषा

K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक विभेदक रूप है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।)

परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से प्रक्षेप्य प्रकार है।^[1]) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है।

बेट्टी संख्या की गणना

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।^[2] ( समान तर्क L-एडिक कोहोमोलॉजी का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल $K_{X}=\Omega _{X}^{2}$ तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम $h^{1}(X,O_{X})$ सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का $H^{1}(X,O_{X})$ ) शून्य है. सेरे द्वैत द्वारा,

h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.

परिणामस्वरूप, X का अंकगणितीय जीनस (या होलोमोर्फिक यूलर विशेषता) है:

\chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.

दूसरी ओर, सतहों के लिए रीमैन-रोच प्रमेय (नोएदर का सूत्र) कहता है:

\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),

जहाँ $c_{i}(X)$ स्पर्शरेखा बंडल का i-वाँ चेर्न वर्ग है। तब से $K_{X}$ तुच्छ है, इसकी प्रथम चेर्न क्लास $c_{1} (K_{X}) = - c_{1}$

[1]

[2]

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 [[File:K3 surface.png|thumb|3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में [[तर्कसंगत बिंदु]] (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।]]
 {{quotebox
-|quote=Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.<br><br>
+|quote=मोन तालमेल के दूसरे भाग में, K3 के विभिन्न प्रकारों के सम्बन्ध में जानकारी, कुमेर, काहलर, कोडैरा और K2 या कैशेमायर के सम्मान में नामांकित व्यक्ति<br><br>
-''In the second part of my report, we deal with the Kähler varieties known as K3, named in honor of [[Ernst Kummer|Kummer]], [[Erich Kähler|Kähler]], [[Kunihiko Kodaira|Kodaira]] and of the beautiful mountain [[K2]] in [[Kashmir]].''
+''मेरी रिपोर्ट के दूसरे भाग में, हम काहलर प्रकारो के सम्बन्ध में चर्चा कर रहे हैं जिन्हें K3 के नाम से जाना जाता है, जिसका नाम [[अर्नस्ट कुमेर|कुमेर]], [[एरिच काहलर|काहलर]], [[कुनिहिको कोडैरा|कोडैरा]] और [[कश्मीर]] के सुन्दर पर्वत [[K2]] के सम्मान में रखा गया है।''
-|source=André {{harvtxt|Weil|1958|loc=p.&nbsp;546}}, describing the reason for the name "K3 surface"
+|source=आंद्रे {{harvtxt|Weil|1958|loc=p.&nbsp;546}}, "K3 "सतह" नाम का कारण बताते हुए
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 गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ [[विहित बंडल]] और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड [[ जटिल अनेक गुना |जटिल विविध]] है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी [[बीजगणितीय सतह]] जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट [[चतुर्थक सतह]] है:-
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 केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है, <math>u^2=-2</math> तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।
-केस 2: अन्यथा, <math>\Delta=\{u\in\operatorname{Pic}(X):u^2=-2\}</math>, पिकार्ड जाली के आधारों का समूह आधार के [[ऑर्थोगोनल पूरक]] हाइपरप्लेन का समुच्चय बनाते हैं, जो सभी सकारात्मक शंकु से गुजरते हैं। फिर पर्याप्त शंकु सकारात्मक शंकु में इन हाइपरप्लेन के पूरक का जुड़ा घटक है। ऐसे कोई भी दो घटक जाली पिक (''X'') के ऑर्थोगोनल समूह के माध्यम से आइसोमोर्फिक हैं, क्योंकि इसमें प्रत्येक रूट हाइपरप्लेन में [[प्रतिबिंब (गणित)]] सम्मिलित होती है। इस अर्थ में, पिकार्ड जाली समरूपता तक पर्याप्त शंकु निर्धारित करती है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.2.11.</ref>
+केस 2: अन्यथा, <math>\Delta=\{u\in\operatorname{Pic}(X):u^2=-2\}</math>, पिकार्ड जाली के आधारों का समूह आधार के [[ऑर्थोगोनल पूरक]] हाइपरप्लेन का समुच्चय बनाते हैं, जो सभी सकारात्मक शंकु से निकलते हैं। फिर पर्याप्त शंकु सकारात्मक शंकु में इन हाइपरप्लेन के पूरक का जुड़ा घटक है। ऐसे कोई भी दो घटक जाली पिक (''X'') के ऑर्थोगोनल समूह के माध्यम से आइसोमोर्फिक हैं, क्योंकि इसमें प्रत्येक रूट हाइपरप्लेन में [[प्रतिबिंब (गणित)]] सम्मिलित होती है। इस अर्थ में, पिकार्ड जाली समरूपता तक पर्याप्त शंकु निर्धारित करती है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.2.11.</ref>
 सैंडोर कोवाक्स के कारण संबंधित कथन यह है कि पिक(X) में पर्याप्त भाजक A को जानने से X के वक्रों का पूर्ण शंकु निर्धारित होता है। अर्थात्, मान लीजिए कि X के पास पिकार्ड संख्या<math>\rho\geq 3</math> है I यदि जड़ों का समुच्चय <math>\Delta</math> रिक्त है, तो वक्रों का संवृत शंकु धनात्मक शंकु का संवृत होना है। अन्यथा, वक्रों का संवृत शंकु सभी तत्वों द्वारा विस्तारित हुआ संवृत उत्तल शंकु <math>u\in\Delta</math> है I <math>A\cdot u>0</math> पूर्व सम्बन्ध में, X में कोई (−2)-वक्र नहीं है; दूसरे  सम्बन्ध में, वक्रों का संवृत शंकु सभी (−2)-वक्रों द्वारा विस्तारित हुआ संवृत उत्तल शंकु है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.3.12.</ref> (यदि <math>\rho=2</math>, अन्य संभावना है: वक्रों का शंकु (−2)-वक्र और स्व-प्रतिच्छेदन 0 के साथ वक्र द्वारा विस्तारित किया जा सकता है।) इसलिए वक्रों का शंकु या तो मानक गोल शंकु है, या फिर इसमें तीव्र कोने हैं (क्योंकि प्रत्येक (−2)-वक्र वक्रों के शंकु की पृथक चरम किरण तक विस्तारित होता है)।
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 *सतह को समृद्ध करता है
 *[[टेट अनुमान]]
-*[[छत्रछाया चांदनी]], K3 सतहों और [[मैथ्यू समूह M24]] के मध्य रहस्यमय संबंध।
+*[[छत्रछाया चांदनी|मैथ्यू मूनशाइन]], K3 सतहों और [[मैथ्यू समूह M24]] के मध्य रहस्यमय संबंध।
 ==टिप्पणियाँ==
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