असंयुक्त संघ: Difference between revisions

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| name = Disjoint union
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| type = [[Set (mathematics)#Basic operations|Set operation]]
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| statement = The disjoint union <math>A \sqcup B</math> of the sets {{math|''A''}} and {{math|''B''}} is the set formed from the elements of {{math|''A''}} and {{math|''B''}} labelled (indexed) with the name of the set from which they come. So, an element belonging to both {{math|''A''}} and {{math|''B''}} appears twice in the disjoint union, with two different labels.  
| statement = असंयुक्त यूनियन <math>A \sqcup B</math> समुच्चय का {{math|''A''}} और {{math|''B''}} के तत्वों से निर्मित समुच्चय है {{math|''A''}} और {{math|''B''}} जिस समुच्चय से वे आते हैं उसके नाम के साथ लेबल (अनुक्रमित) किया जाता है। तो, दोनों से संबंधित एक तत्व {{math|''A''}} और {{math|''B''}} असंयुक्त संघ में दो अलग-अलग लेबलों के साथ दो बार प्रकट होता है.  
| symbolic statement = <math display=block>\bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} \left\{(x, i) : x \in A_i\right\}</math>  
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}}
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गणित में, समुच्चयों के एक परिवार का एक असंयुक्त संघ (या विभेदित संघ)। <math>(A_i : i\in I)</math> एक सेट है <math>A,</math> अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है <math display=inline>\bigsqcup_{i \in I} A_i,</math> प्रत्येक के एक [[इंजेक्शन समारोह]] के साथ <math>A_i</math> में <math>A,</math> जैसे कि इन इंजेक्शनों की [[छवि (गणित)]] एक [[विभाजन (सेट सिद्धांत)]] बनाती है <math>A</math> (अर्थात, प्रत्येक तत्व <math>A</math> बिल्कुल इन छवियों में से एक से संबंधित है)। जोड़ीवार असंयुक्त समुच्चयों के परिवार का असंयुक्त मिलन ही उनका [[संघ (सेट सिद्धांत)]] है।
गणित में समुच्चयों के एक समूह का एक असंयुक्त यूनियन (या विभेदित यूनियन) एक समुच्चय <math>A</math> है जिसे अधिकांशतः <math display="inline">\bigsqcup_{i \in I} A_i,</math> द्वारा दर्शाया जाता है <math>(A_i : i\in I)</math> प्रत्येक <math>A_i</math> के <math>A,</math> में एक इंजेक्शन के साथ, जैसे कि इन इंजेक्शनों की छवियां <math>A</math> का एक [[विभाजन (सेट सिद्धांत)|विभाजन (समुच्चय सिद्धांत)]] बनाती हैं इस प्रकार (अर्थात् <math>A</math> का प्रत्येक तत्व इन छवियों में से पुर्णतः एक से संबंधित है)। इस प्रकार जोड़ीवार असंयुक्त समुच्चयों के समूह का असंयुक्त यूनियन ही उनका यूनियन है।


[[श्रेणी सिद्धांत]] में, असंयुक्त संघ समुच्चयों की श्रेणी का [[सहउत्पाद]] है, और इस प्रकार एक आक्षेप [[तक]] परिभाषित किया गया है। इस संदर्भ में, संकेतन <math display=inline>\coprod_{i\in I} A_i</math> अक्सर प्रयोग किया जाता है.
[[श्रेणी सिद्धांत]] में, असंयुक्त यूनियन समुच्चयों की श्रेणी का [[सहउत्पाद]] है, और इस प्रकार आक्षेप [[तक]] परिभाषित किया गया है। इस संदर्भ में, संकेतन <math display=inline>\coprod_{i\in I} A_i</math> अधिकांशतः प्रयोग किया जाता है.


दो समुच्चयों का असंयुक्त मिलन <math>A</math> और <math>B</math> [[इन्फिक्स संकेतन]] के साथ लिखा गया है <math>A \sqcup B</math>. कुछ लेखक वैकल्पिक संकेतन का उपयोग करते हैं <math>A \uplus B</math> या <math>A \operatorname{{\cup}\!\!\!{\cdot}\,} B</math> (संबंधित के साथ <math display=inline>\biguplus_{i\in I} A_i</math> या <math display=inline>\operatorname{{\bigcup}\!\!\!{\cdot}\,}_{i\in I} A_i</math>).
दो समुच्चयों का असंयुक्त यूनियन <math>A</math> और <math>B</math> [[इन्फिक्स संकेतन]] <math>A \sqcup B</math> के साथ लिखा गया है कुछ लेखक वैकल्पिक संकेतन का उपयोग करते हैं इस प्रकार <math>A \uplus B</math> या <math>A \operatorname{{\cup}\!\!\!{\cdot}\,} B</math> (संबंधित के साथ <math display=inline>\biguplus_{i\in I} A_i</math> या <math display=inline>\operatorname{{\bigcup}\!\!\!{\cdot}\,}_{i\in I} A_i</math>) का उपयोग किया जाता है
 
असंबद्ध संघ के निर्माण का एक मानक तरीका परिभाषित करना है <math>A</math> [[क्रमित युग्म]]ों के समुच्चय के रूप में <math>(x, i)</math> ऐसा है कि <math>x \in A_i,</math> और इंजेक्शन <math>A_i \to A</math> जैसा <math>x \mapsto (x, i).</math>


असंबद्ध यूनियन के निर्माण का मानक विधि परिभाषित करना है [[क्रमित युग्म]] <math>A</math> के समुच्चय के रूप में <math>(x, i)</math> ऐसा है कि <math>x \in A_i,</math> और इंजेक्शन <math>A_i \to A</math> है जैसा <math>x \mapsto (x, i).</math> है


==उदाहरण==
==उदाहरण==


सेट पर विचार करें <math>A_0 = \{5, 6, 7\}</math> और <math>A_1 = \{5, 6\}.</math> संबंधित सेट बनाकर सेट तत्वों को सेट मूल के अनुसार अनुक्रमित करना संभव है
समुच्चय <math>A_0 = \{5, 6, 7\}</math> और <math>A_1 = \{5, 6\}.</math> पर विचार करें संबंधित समुच्चय <math>\begin{align}
<math>\begin{align}
A^*_0 & = \{(5, 0), (6, 0), (7, 0)\} \\
A^*_0 & = \{(5, 0), (6, 0), (7, 0)\} \\
A^*_1 & = \{(5, 1), (6, 1)\}, \\
A^*_1 & = \{(5, 1), (6, 1)\}, \\
\end{align}
\end{align}
</math>
</math> बनाकर समुच्चय तत्वों को समुच्चय मूल के अनुसार अनुक्रमित करना संभव है जहां प्रत्येक जोड़ी में दूसरा तत्व मूल समुच्चय की सबस्क्रिप्ट से मेल खाता है (उदाहरण के लिए,)। इस प्रकार <math>0</math> में <math>(5, 0)</math> में सबस्क्रिप्ट से मेल खाता है जिससे <math>A_0,</math> असंयुक्त यूनियन <math>A_0 \sqcup A_1</math> फिर इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:
जहां प्रत्येक जोड़ी में दूसरा तत्व मूल सेट की सबस्क्रिप्ट से मेल खाता है (उदाहरण के लिए,)। <math>0</math> में <math>(5, 0)</math> में सबस्क्रिप्ट से मेल खाता है <math>A_0,</math> वगैरह।)। असंयुक्त संघ <math>A_0 \sqcup A_1</math> फिर इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:
 
<math display="block">A_0 \sqcup A_1 = A^*_0 \cup A^*_1 = \{(5, 0), (6, 0), (7, 0), (5, 1), (6, 1)\}.</math>
<math display="block">A_0 \sqcup A_1 = A^*_0 \cup A^*_1 = \{(5, 0), (6, 0), (7, 0), (5, 1), (6, 1)\}.</math>
==सिद्धांत की परिभाषा निर्धारित करें==


औपचारिक रूप से, माना <math>\left\{A_i : i \in I\right\}</math> द्वारा अनुक्रमित समुच्चयों <math>I.</math> का समूह बनते है इस समूह का विघटित यूनियन ही समुच्चय है
<math display=block>\bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} \left\{(x, i) : x \in A_i\right\}.</math> असंयुक्त यूनियन <math>(x, i).</math> के तत्वों को क्रमित जोड़े कहा जाता है इस प्रकार यहाँ <math>i</math> सहायक सूचकांक के रूप में कार्य करता है जो इंगित करता है कि कौन <math>A_i</math> तत्व <math>x</math> है।


==सिद्धांत परिभाषा सेट करें==
प्रत्येक समुच्चय <math>A_i</math> समुच्चय के लिए विहित रूप से समरूपी है
 
औपचारिक रूप से, चलो <math>\left\{A_i : i \in I\right\}</math> द्वारा अनुक्रमित सेटों का एक परिवार बनें <math>I.</math> इस परिवार का विघटित मिलन ही समुच्चय है
<math display=block>\bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} \left\{(x, i) : x \in A_i\right\}.</math> असंयुक्त संघ के तत्वों को क्रमित जोड़े कहा जाता है <math>(x, i).</math> यहाँ <math>i</math> एक सहायक सूचकांक के रूप में कार्य करता है जो इंगित करता है कि कौन सा है <math>A_i</math> तत्व <math>x</math> से आया।
 
प्रत्येक सेट <math>A_i</math> सेट के लिए विहित रूप से समरूपी है
<math display=block>A_i^* = \left\{(x,i) : x \in A_i\right\}.</math>
<math display=block>A_i^* = \left\{(x,i) : x \in A_i\right\}.</math>
इस समरूपता के माध्यम से, कोई इस पर विचार कर सकता है <math>A_i</math> विहित संघ में विहित रूप से अंतर्निहित है।
इस समरूपता के माध्यम से, कोई इस <math>A_i</math> पर विचार कर सकता है विहित यूनियन में विहित रूप से अंतर्निहित है। इस प्रकार <math>i \neq j,</math>के लिए समुच्चय <math>A_i^*</math> और <math>A_j^*</math> समुच्चय तथापि असंयुक्त हों <math>A_i</math> और <math>A_j</math> नहीं हैं।
के लिए <math>i \neq j,</math> सेट <math>A_i^*</math> और <math>A_j^*</math> समुच्चय भले ही असंयुक्त हों <math>A_i</math> और <math>A_j</math> नहीं हैं।


चरम मामले में जहां प्रत्येक <math>A_i</math> कुछ निश्चित समुच्चय के बराबर है <math>A</math> प्रत्येक के लिए <math>i \in I,</math> असंयुक्त संघ [[कार्तीय गुणन]]फल है <math>A</math> और <math>I</math>:
चरम स्थिति में जहां प्रत्येक <math>A_i</math> कुछ निश्चित समुच्चय के समान है प्रत्येक <math>A</math> के लिए <math>i \in I,</math> असंयुक्त यूनियन [[कार्तीय गुणन]]फल <math>A</math> और <math>I</math> है:
<math display=block>\bigsqcup_{i \in I} A_i = A \times I.</math>
<math display=block>\bigsqcup_{i \in I} A_i = A \times I.</math>
कभी-कभी, संकेतन
कभी-कभी, संकेतन
<math display=block>\sum_{i \in I} A_i</math>
<math display=block>\sum_{i \in I} A_i</math>
समुच्चयों के एक परिवार के असंयुक्त संघ या संकेतन के लिए उपयोग किया जाता है <math>A + B</math> दो सेटों के असंयुक्त मिलन के लिए. यह संकेतन इस तथ्य का सूचक है कि असंयुक्त संघ की [[प्रमुखता]] परिवार में शर्तों की प्रमुखताओं का [[योग]] है। इसकी तुलना सेटों के परिवार के कार्टेशियन उत्पाद के संकेतन से करें।
समुच्चयों के समूह के असंयुक्त यूनियन या संकेतन <math>A + B</math> के लिए उपयोग किया जाता है दो समुच्चयों के असंयुक्त यूनियन के लिए. यह संकेतन इस तथ्य का सूचक है कि असंयुक्त यूनियन की [[प्रमुखता]] समूह में नियमो की प्रमुखताओं का [[योग]] है। इसकी तुलना समुच्चयों के समूह के कार्टेशियन उत्पाद के संकेतन से करते है।


श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, असंयुक्त संघ समुच्चयों की श्रेणी में सहउत्पाद है। इसलिए यह संबंधित [[सार्वभौमिक संपत्ति]] को संतुष्ट करता है। इसका यह भी अर्थ है कि असंयुक्त संघ कार्टेशियन उत्पाद निर्माण का स्पष्ट द्वैत है। अधिक विवरण के लिए सह-उत्पाद देखें।
श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, असंयुक्त यूनियन समुच्चयों की श्रेणी में सहउत्पाद है। इसलिए यह संबंधित [[सार्वभौमिक संपत्ति]] को संतुष्ट करता है। इसका यह भी अर्थ है कि असंयुक्त यूनियन कार्टेशियन उत्पाद निर्माण का स्पष्ट द्वैत है। अधिक विवरण के लिए सह-उत्पाद देखें।


कई उद्देश्यों के लिए, सहायक सूचकांक की विशेष पसंद महत्वहीन है, और अंकन के सरलीकृत दुरुपयोग में, अनुक्रमित परिवार को केवल सेटों के संग्रह के रूप में माना जा सकता है। इस मामले में <math>A_i^*</math> ए के रूप में जाना जाता है {{em|copy}} का <math>A_i</math> और संकेतन <math>\underset{A \in C}{\,\,\bigcup\nolimits^{*}\!} A</math> कभी-कभी प्रयोग किया जाता है।
कई उद्देश्यों के लिए, सहायक सूचकांक की विशेष पसंद महत्वहीन है, और अंकन के सरलीकृत दुरुपयोग में, अनुक्रमित समूह को केवल समुच्चयों के संग्रह के रूप में माना जा सकता है। इस स्थिति में <math>A_i^*</math> a के रूप में जाना जाता है इस प्रकार {{em|कॉपी}} का <math>A_i</math> और संकेतन <math>\underset{A \in C}{\,\,\bigcup\nolimits^{*}\!} A</math> कभी-कभी प्रयोग किया जाता है।


==श्रेणी सिद्धांत दृष्टिकोण==
==श्रेणी सिद्धांत दृष्टिकोण==


श्रेणी सिद्धांत में असंयुक्त संघ को सेट की श्रेणी में एक सहउत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।
श्रेणी सिद्धांत में असंयुक्त यूनियन को समुच्चय की श्रेणी में सहउत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।


इस प्रकार, असंयुक्त संघ को एक समरूपता तक परिभाषित किया गया है, और उपरोक्त परिभाषा दूसरों के बीच सह-उत्पाद की सिर्फ एक प्राप्ति है। जब सेट जोड़ीदार रूप से असंयुक्त होते हैं, तो सामान्य मिलन सह-उत्पाद का एक और एहसास होता है। यह लीड में दूसरी परिभाषा को सही ठहराता है।
इस प्रकार, असंयुक्त यूनियन को समरूपता तक परिभाषित किया गया है, और उपरोक्त परिभाषा दूसरों के बीच सह-उत्पाद की सिर्फ प्राप्ति है। इस प्रकार जब समुच्चय जोड़ीदार रूप से असंयुक्त होते हैं, जिससे सामान्य यूनियन सह-उत्पाद का और अनुभव होता है। यह लीड में दूसरी परिभाषा को सही स्थिर करता है।


असंयुक्त संघ का यह स्पष्ट पहलू बताता है कि क्यों <math>\coprod</math> के स्थान पर अक्सर प्रयोग किया जाता है <math>\bigsqcup,</math> सहउत्पाद को निरूपित करने के लिए।
असंयुक्त संघ का यह स्पष्ट कथन बताता है कि सहउत्पाद को दर्शाने के लिए <math>\coprod</math> के अतिरिक्त <math>\bigsqcup,</math> का अधिकांशतः उपयोग क्यों किया जाता है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==


* {{annotated link|Coproduct}}
* {{annotated link|सहउत्पाद}}
* {{annotated link|Direct limit}}
* {{annotated link|प्रत्यक्ष सीमा}}
* {{annotated link|Disjoint union (topology)}}
* {{annotated link|असंयुक्त यूनियन (टोपोलॉजी)}}
* {{annotated link|Disjoint union of graphs}}
* {{annotated link|रेखांकन का असंयुक्त यूनियन}}
* {{annotated link|Intersection (set theory)}}
* {{annotated link|प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत)}}
* {{annotated link|List of set identities and relations}}
* {{annotated link|निर्धारित पहचान और संबंधों की सूची}}
* {{annotated link|Partition of a set}}
* {{annotated link|किसी समुच्चय का विभाजन}}
* {{annotated link|Sum type}}
* {{annotated link|जोड़ प्रकार}}
* {{annotated link|Symmetric difference}}
* {{annotated link|सममित अंतर}}
* {{annotated link|Tagged union}}
* {{annotated link|टैग की गई यूनियन}}
* {{annotated link|Union (computer science)}}
* {{annotated link|यूनियन (कंप्यूटर साइंस)}}


== संदर्भ ==
== संदर्भ                                                                                                                                                                                                                       ==


{{reflist}}
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{{reflist|group=note}}
* {{Lang Algebra | edition=3r2004 | page=60}}
* {{Lang Algebra | edition=3r2004 | page=60}}
* {{MathWorld |title=Disjoint Union |urlname=DisjointUnion}}
* {{MathWorld |title=Disjoint Union |urlname=DisjointUnion}}


{{Set theory}}
{{Set theory}}
[[Category: सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएँ]] [[Category: सेट पर संचालन]]


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[[Category:Created On 08/07/2023]]
[[Category:Created On 08/07/2023]]
[[Category:Lua-based templates]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Navigational boxes| ]]
[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
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[[Category:Wikipedia metatemplates]]
[[Category:सेट पर संचालन]]
[[Category:सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएँ]]

Latest revision as of 09:57, 28 July 2023

This article is about समुच्चय पर संचालन. For कंप्यूटर विज्ञान शब्द का अर्थ, see टैग यूनियन. For ग्राफ़ पर संचालन, see disjoint union of graphs.
Not to be confused with विच्छेदनात्मक यूनियन.
असंयुक्त यूनियन
PolygonsSetDisjointUnion.svg
Typeसमुच्चय संचालन
Fieldसमुच्चय सिद्धांत
Statementअसंयुक्त यूनियन समुच्चय का A और B के तत्वों से निर्मित समुच्चय है A और B जिस समुच्चय से वे आते हैं उसके नाम के साथ लेबल (अनुक्रमित) किया जाता है। तो, दोनों से संबंधित एक तत्व A और B असंयुक्त संघ में दो अलग-अलग लेबलों के साथ दो बार प्रकट होता है.
Symbolic statement

गणित में समुच्चयों के एक समूह का एक असंयुक्त यूनियन (या विभेदित यूनियन) एक समुच्चय है जिसे अधिकांशतः द्वारा दर्शाया जाता है प्रत्येक के में एक इंजेक्शन के साथ, जैसे कि इन इंजेक्शनों की छवियां का एक विभाजन (समुच्चय सिद्धांत) बनाती हैं इस प्रकार (अर्थात् का प्रत्येक तत्व इन छवियों में से पुर्णतः एक से संबंधित है)। इस प्रकार जोड़ीवार असंयुक्त समुच्चयों के समूह का असंयुक्त यूनियन ही उनका यूनियन है।

श्रेणी सिद्धांत में, असंयुक्त यूनियन समुच्चयों की श्रेणी का सहउत्पाद है, और इस प्रकार आक्षेप तक परिभाषित किया गया है। इस संदर्भ में, संकेतन अधिकांशतः प्रयोग किया जाता है.

दो समुच्चयों का असंयुक्त यूनियन और इन्फिक्स संकेतन के साथ लिखा गया है कुछ लेखक वैकल्पिक संकेतन का उपयोग करते हैं इस प्रकार या