तर्कवाद: Difference between revisions
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गणित के दर्शन में, '''[[तर्क]]वाद''' फलन है जो एक या एक से अधिक सिद्धांतों | गणित के दर्शन में, '''[[तर्क]]वाद''' फलन है जो एक या एक से अधिक सिद्धांतों शामिल है - जो — किसी संगठित 'तर्क' के सार्थक अर्थ के लिए — गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित का एकांतरण तर्क में सम्मिलित है, या गणित का एकांतरण तर्क में [[मॉडल सिद्धांत]] हो सकता है।<ref>[http://www.philosophyprofessor.com/philosophies/logicism.php Logicism]. {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080220075703/http://www.philosophyprofessor.com/philosophies/logicism.php|date=2008-02-20}}.</ref> [[बर्ट्रेंड रसेल]] और [[अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड]] ने इस फलन को समर्थित किया, जो [[भगवान का शुक्र है फ्रीज|गोटलोब फ्रीज]] ने प्रारंभ किया और फिर [[रिचर्ड डेडेकाइंड]] और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था। | ||
== सिंहावलोकन == | == सिंहावलोकन == | ||
डेडेकिंड के तर्कवाद के लिए मोडल का निर्माण करने पर परिवर्तन बिंदु था, जब उन्हें निश्चित राष्ट्रीय संख्याओं के कुछ समुच्चय का उपयोग करके [[वास्तविक संख्या]]ओं की विशेषता बताने वाले [[स्वयंसिद्ध]] को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ था। इस और संबंधित विचारों ने उन्हें यह आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ "तर्क" की भाषा में सम्मिलित किया जा सकता है। इसके अलावा 1872 में उन्होंने निर्धारित किया था कि कि प्राकृतिक संख्याएं खुद भी समुच्चय और मानचित्रण में सम्मिलित की जा सकती हैं। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों से प्रेरित थे। | |||
[[अंकगणित की नींव]] के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से प्राकृतिक संख्याओं के तत्कालीन प्रचलित खातों की [[ज्ञानमीमांसा]] और [[आंटलजी]] प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सत्य का उपयोग किया | [[अंकगणित की नींव|ग्रुंडलागेन डेर अरिथमेटिक]] के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से प्राकृतिक संख्याओं के तत्कालीन प्रचलित खातों की [[ज्ञानमीमांसा]] और [[आंटलजी]] प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सत्य का उपयोग किया था। | ||
यह वक्त तर्कवाद के लिए विस्तार की शुरुआत थी, जिसमें डेडेकिंड और फ्रेगे इसके प्रमुख प्रतिनिधि थे। हालाँकि,इस तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को समुच्चय सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की खोज हुई। फ़्रीज अभियांत्रिकीयता के प्रणाली में असंगति पहचान करने और संचार करने के बाद रसेल द्वारा उसके परिसमाप्ति और ग्रुंडगेसेत्से डेर अरिथ्मेटिक में समस्या की पहचान के बाद, इस तर्कवादी परियोजना पर संकट में लाया गया था। ध्यान दें कि [[अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत]] भी इस समस्या का सामना करता है। | |||
वहीं, 1903 में रसेल ने "[[गणित के सिद्धांत]]" लिखे जिसमें वे गियूसेप्पे पेयानो के ज्यामिति के विकास और उस पराधिन्यों का उपयोग करके पैरॉडॉक्स का विचार किया। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और समुच्चय सिद्धांत में [[आदिम धारणा|प्रारंभिक धारणा]]ओं के विषय को सम्बोधित किया गया, जिसके कारण यह पाठ तर्कवाद के विकास में एक महत्वपूर्ण परिवर्तन है। तर्कवाद के दावे का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने [[गणितीय सिद्धांत|"गणितीय सिद्धांत"]] में एकत्र किया था।<ref>{{cite SEP |url-id=principia-mathematica |title=Principia Mathematica}}</ref> | |||
आज, माना जाता है कि मौजूदा गणित का बड़ा हिस्सा तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल | |||
आज, माना जाता है कि मौजूदा गणित का बड़ा हिस्सा तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या इसके विस्तार [[ZFC]]) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य साबित हुए हैं, लेकिन इस प्रक्रिया में कक्षाओं, सेटों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक#सिमेंटिक्स के अलावा अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। [[विलार्ड वान ऑरमैन क्विन]] के बाद के विचार का प्रभाव। | |||
कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो स्वयंसिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी तरह से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।<ref>[http://philpapers.org/rec/RAAOTP "On the philosophical relevance of Gödel's incompleteness theorems"]</ref> इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए [[डेविड हिल्बर्ट]] के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके तहत 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत साबित किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत तरीकों' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के हिस्से के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत तरीकों' के बारे में संदिग्ध हों। बहरहाल, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है। | कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो स्वयंसिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी तरह से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।<ref>[http://philpapers.org/rec/RAAOTP "On the philosophical relevance of Gödel's incompleteness theorems"]</ref> इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए [[डेविड हिल्बर्ट]] के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके तहत 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत साबित किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत तरीकों' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के हिस्से के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत तरीकों' के बारे में संदिग्ध हों। बहरहाल, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है। | ||
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==तर्कवाद का इरादा, या लक्ष्य== | ==तर्कवाद का इरादा, या लक्ष्य== | ||
तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को [[प्रतीकात्मक तर्क]] (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। [[बीजगणितीय तर्क]] ([[बूलियन तर्क]]) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के | तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को [[प्रतीकात्मक तर्क]] (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। [[बीजगणितीय तर्क]] ([[बूलियन तर्क]]) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के समुच्चय (गैर) से शुरू होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह तय करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और [[मूड सेट करना|मूड समुच्चय करना]] (यानी [1] ए से भौतिक रूप से बी और [का तात्पर्य है) 2] ए, कोई बी प्राप्त कर सकता है)। तर्कवाद भी फ्रेज के आधारभूत कार्य से प्राकृतिक भाषा के कथनों को विषय से घटाकर या तो प्रस्तावात्मक परमाणुओं या तर्क के सामान्यीकरण के कार्य में अपनाता है - सभी, कुछ, वर्ग (संग्रह, समुच्चय) और संबंध की धारणाएं। | ||
प्राकृतिक संख्याओं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से शुरू करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की तुलना में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के [[रचनावाद (गणित का दर्शन)]] के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944)। | प्राकृतिक संख्याओं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से शुरू करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की तुलना में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के [[रचनावाद (गणित का दर्शन)]] के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944)। | ||
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==प्राकृतिक संख्याओं के तर्कवादी निर्माण का उदाहरण: प्रिंसिपिया में रसेल का निर्माण== | ==प्राकृतिक संख्याओं के तर्कवादी निर्माण का उदाहरण: प्रिंसिपिया में रसेल का निर्माण== | ||
फ़्रीज और डेडेकाइंड का तर्कवाद रसेल के समान है, लेकिन विवरण में अंतर है (नीचे आलोचनाएं देखें)। कुल मिलाकर, प्राकृतिक संख्याओं की तार्किक व्युत्पत्तियाँ, उदाहरण के लिए, | फ़्रीज और डेडेकाइंड का तर्कवाद रसेल के समान है, लेकिन विवरण में अंतर है (नीचे आलोचनाएं देखें)। कुल मिलाकर, प्राकृतिक संख्याओं की तार्किक व्युत्पत्तियाँ, उदाहरण के लिए, समुच्चय सिद्धांत ('Z') के लिए ज़र्मेलो के सिद्धांतों से प्राप्त व्युत्पत्तियों से भिन्न हैं। जबकि, Z से व्युत्पत्ति में, संख्या की परिभाषा उस प्रणाली के स्वयंसिद्ध का उपयोग करती है - युग्मन का स्वयंसिद्ध - जो क्रमित जोड़ी की परिभाषा की ओर ले जाता है - प्राकृतिक संख्याओं की व्युत्पत्ति की अनुमति देने वाले विभिन्न तर्कशास्त्री स्वयंसिद्ध प्रणालियों में कोई प्रत्यक्ष संख्या स्वयंसिद्ध मौजूद नहीं है। . ध्यान दें कि किसी संख्या की परिभाषा प्राप्त करने के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध सिद्धांत किसी भी मामले में समुच्चय सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध प्रणालियों के बीच भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ZF और ZFC में, युग्मन का सिद्धांत, और इसलिए अंततः क्रमित जोड़े की धारणा अनंत के सिद्धांत और प्रतिस्थापन के सिद्धांत से व्युत्पन्न है और वॉन न्यूमैन अंकों की परिभाषा में आवश्यक है (लेकिन ज़र्मेलो नहीं) अंक), जबकि एनएफयू में फ़्रीज अंक ग्रंडगेसेट्ज़ में उनकी व्युत्पत्ति के अनुरूप तरीके से प्राप्त किए जा सकते हैं। | ||
प्रिंसिपिया, अपने अग्रदूत ग्रुंडगेसेट्ज़ की तरह, संख्याओं का निर्माण आदिम प्रस्तावों से शुरू करता है जैसे वर्ग, प्रस्तावात्मक कार्य, और विशेष रूप से, समानता के संबंध (समरूपता: संग्रह के तत्वों को एक-से- पत्राचार में रखना) और क्रमबद्ध करना (समतुल्य वर्गों के संग्रह को क्रमबद्ध करने के लिए संबंध के उत्तराधिकारी का उपयोग करना)।<ref>In his 1903 and in ''PM'' Russell refers to such assumptions (there are others) as "primitive propositions" ("pp" as opposed to "axioms" (there are some of those, too). But the reader is never certain whether these pp are axioms/axiom-schemas or construction-devices (like substitution or ''modus ponens''), or what, exactly. Gödel 1944:120 comments on this absence of formal syntax and the absence of a clearly specified substitution process.</ref> तार्किक व्युत्पत्ति इस तरह से निर्मित [[कार्डिनल संख्या]]ओं को प्राकृतिक संख्याओं के बराबर करती है, और ये सभी संख्याएँ ही प्रकार की होती हैं - वर्गों के वर्गों के रूप में - जबकि कुछ | प्रिंसिपिया, अपने अग्रदूत ग्रुंडगेसेट्ज़ की तरह, संख्याओं का निर्माण आदिम प्रस्तावों से शुरू करता है जैसे वर्ग, प्रस्तावात्मक कार्य, और विशेष रूप से, समानता के संबंध (समरूपता: संग्रह के तत्वों को एक-से- पत्राचार में रखना) और क्रमबद्ध करना (समतुल्य वर्गों के संग्रह को क्रमबद्ध करने के लिए संबंध के उत्तराधिकारी का उपयोग करना)।<ref>In his 1903 and in ''PM'' Russell refers to such assumptions (there are others) as "primitive propositions" ("pp" as opposed to "axioms" (there are some of those, too). But the reader is never certain whether these pp are axioms/axiom-schemas or construction-devices (like substitution or ''modus ponens''), or what, exactly. Gödel 1944:120 comments on this absence of formal syntax and the absence of a clearly specified substitution process.</ref> तार्किक व्युत्पत्ति इस तरह से निर्मित [[कार्डिनल संख्या]]ओं को प्राकृतिक संख्याओं के बराबर करती है, और ये सभी संख्याएँ ही प्रकार की होती हैं - वर्गों के वर्गों के रूप में - जबकि कुछ समुच्चय सैद्धांतिक निर्माणों में - उदाहरण के लिए वॉन न्यूमैन और ज़र्मेलो अंक - प्रत्येक संख्या उपसमुच्चय के रूप में इसका पूर्ववर्ती है। क्लेन निम्नलिखित का अवलोकन करता है। (क्लीन की धारणाएं (1) और (2) बताती हैं कि 0 के पास संपत्ति पी है और एन+1 के पास संपत्ति पी है जब भी एन के पास संपत्ति पी है।) | ||
: यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी प्राकृतिक संख्याओं का कोई विशेष गुण P इस प्रकार दिया जाता है कि (1) और (2), तो किसी भी प्राकृतिक संख्या में गुण P अवश्य होना चाहिए। (क्लीन 1952:44)। | : यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी प्राकृतिक संख्याओं का कोई विशेष गुण P इस प्रकार दिया जाता है कि (1) और (2), तो किसी भी प्राकृतिक संख्या में गुण P अवश्य होना चाहिए। (क्लीन 1952:44)। | ||
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उस दर्शन के संबंध में जो इन नींवों को रेखांकित कर सकता है, गोडेल ने रसेल के नो-क्लास सिद्धांत को नाममात्र प्रकार के रचनावाद का प्रतीक माना। . . जिसे बेहतर ढंग से काल्पनिकता कहा जा सकता है (गोडेल 1944:119 में सीएफ फुटनोट 1) - दोषपूर्ण होना। नीचे गोडेल की आलोचना और सुझावों में और अधिक देखें। | उस दर्शन के संबंध में जो इन नींवों को रेखांकित कर सकता है, गोडेल ने रसेल के नो-क्लास सिद्धांत को नाममात्र प्रकार के रचनावाद का प्रतीक माना। . . जिसे बेहतर ढंग से काल्पनिकता कहा जा सकता है (गोडेल 1944:119 में सीएफ फुटनोट 1) - दोषपूर्ण होना। नीचे गोडेल की आलोचना और सुझावों में और अधिक देखें। | ||
संबंधों के जटिल सिद्धांत ने रसेल की व्याख्यात्मक 1919 ''गणितीय दर्शन का परिचय'' और उनके 1927 के ''प्रिंसिपिया'' के दूसरे संस्करण का गला घोंटना जारी रखा। | संबंधों के जटिल सिद्धांत ने रसेल की व्याख्यात्मक 1919 ''गणितीय दर्शन का परिचय'' और उनके 1927 के ''प्रिंसिपिया'' के दूसरे संस्करण का गला घोंटना जारी रखा। समुच्चय सिद्धांत, इस बीच समुच्चय की क्रमबद्ध जोड़ी के संबंध में कमी के साथ आगे बढ़ गया था। ग्राटन-गिनीज का मानना है कि ''प्रिंसिपिया'' के दूसरे संस्करण में रसेल ने इस कमी को नजरअंदाज कर दिया जो उनके अपने छात्र नॉर्बर्ट वीनर (1914) द्वारा हासिल की गई थी। शायद शेष झुंझलाहट के कारण, रसेल ने बिल्कुल भी प्रतिक्रिया नहीं दी।<ref>Russell deemed Wiener "the infant phenomenon . . . more infant than phenomenon"; see ''Russell's confrontation with Wiener'' in Grattan-Guinness 2000:419ff.</ref> 1914 तक हॉसडॉर्फ और समकक्ष परिभाषा प्रदान करेगा, और 1921 में कुराटोस्की आज उपयोग में आने वाली परिभाषा प्रदान करेगा।<ref>See van Heijenoort's commentary and Norbert Wiener's 1914 ''A simplification of the logic of relations'' in van Heijenoort 1967:224ff.</ref> | ||
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यह ऐसा है मानो पशुपालक को अपने सभी पशुओं (भेड़, गाय और घोड़ों) को तीन काल्पनिक बाड़ों ( भेड़ के लिए, गायों के लिए, और घोड़ों के लिए) में इकट्ठा करना था, जो उसके काल्पनिक खेत में स्थित हैं। वास्तव में भेड़ें, गायें और घोड़े (विस्तार) मौजूद हैं, लेकिन काल्पनिक अवधारणाएँ कोरल और रैंच नहीं हैं।{{or|date=May 2019}} | यह ऐसा है मानो पशुपालक को अपने सभी पशुओं (भेड़, गाय और घोड़ों) को तीन काल्पनिक बाड़ों ( भेड़ के लिए, गायों के लिए, और घोड़ों के लिए) में इकट्ठा करना था, जो उसके काल्पनिक खेत में स्थित हैं। वास्तव में भेड़ें, गायें और घोड़े (विस्तार) मौजूद हैं, लेकिन काल्पनिक अवधारणाएँ कोरल और रैंच नहीं हैं।{{or|date=May 2019}} | ||
जब रसेल ने घोषणा की कि सभी वर्ग उपयोगी कल्पनाएँ हैं तो उन्होंने इकाई वर्ग की समस्या का समाधान किया, लेकिन समग्र समस्या दूर नहीं हुई; बल्कि, यह नए रूप में आया: अब (1) शब्दों, (2) वर्गों, (3) वर्गों के वर्गों, और इसी तरह अनंत काल तक अंतर करना आवश्यक होगा; हमें यह मानना होगा कि | जब रसेल ने घोषणा की कि सभी वर्ग उपयोगी कल्पनाएँ हैं तो उन्होंने इकाई वर्ग की समस्या का समाधान किया, लेकिन समग्र समस्या दूर नहीं हुई; बल्कि, यह नए रूप में आया: अब (1) शब्दों, (2) वर्गों, (3) वर्गों के वर्गों, और इसी तरह अनंत काल तक अंतर करना आवश्यक होगा; हमें यह मानना होगा कि समुच्चय का कोई भी सदस्य किसी अन्य समुच्चय का सदस्य नहीं है, और x ε u के लिए आवश्यक है कि x उस समुच्चय से डिग्री कम का समुच्चय होना चाहिए जिससे u संबंधित है। इस प्रकार x ε x अर्थहीन प्रस्ताव बन जाएगा; और इस तरह विरोधाभास से बचा जा सकता है (1903:517)। | ||
यह रसेल का प्रकार का सिद्धांत है। यह गारंटी देने के लिए कि x ε x जैसी अव्यावहारिक अभिव्यक्तियों को उनके तर्क में माना जा सकता है, रसेल ने प्रकार की कार्यशील परिकल्पना के रूप में प्रस्तावित किया कि ऐसी सभी अव्यावहारिक परिभाषाओं में विधेयात्मक परिभाषाएँ होती हैं। इस अनुमान के लिए फ़ंक्शन-ऑर्डर और तर्क-प्रकार की धारणाओं की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, फ़ंक्शंस (और उनके क्लास-एज़-एक्सटेंशन, यानी मैट्रिक्स) को उनके क्रम के अनुसार वर्गीकृत किया जाना चाहिए, जहां व्यक्तियों के फ़ंक्शंस क्रम 1 के होते हैं, फ़ंक्शंस के फ़ंक्शंस (वर्गों के वर्ग) क्रम 2 के होते हैं, और आगे भी। इसके बाद, वह फ़ंक्शन के तर्कों के प्रकार (फ़ंक्शन के इनपुट) को उनके महत्व की सीमा के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात वे इनपुट α (व्यक्ति? वर्ग? वर्ग-वर्ग? आदि) क्या हैं, जिन्हें f(x) में प्लग किया जाता है। ), सार्थक आउटपुट उत्पन्न करें ω। ध्यान दें कि इसका मतलब यह है कि प्रकार मिश्रित क्रम का हो सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है: | यह रसेल का प्रकार का सिद्धांत है। यह गारंटी देने के लिए कि x ε x जैसी अव्यावहारिक अभिव्यक्तियों को उनके तर्क में माना जा सकता है, रसेल ने प्रकार की कार्यशील परिकल्पना के रूप में प्रस्तावित किया कि ऐसी सभी अव्यावहारिक परिभाषाओं में विधेयात्मक परिभाषाएँ होती हैं। इस अनुमान के लिए फ़ंक्शन-ऑर्डर और तर्क-प्रकार की धारणाओं की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, फ़ंक्शंस (और उनके क्लास-एज़-एक्सटेंशन, यानी मैट्रिक्स) को उनके क्रम के अनुसार वर्गीकृत किया जाना चाहिए, जहां व्यक्तियों के फ़ंक्शंस क्रम 1 के होते हैं, फ़ंक्शंस के फ़ंक्शंस (वर्गों के वर्ग) क्रम 2 के होते हैं, और आगे भी। इसके बाद, वह फ़ंक्शन के तर्कों के प्रकार (फ़ंक्शन के इनपुट) को उनके महत्व की सीमा के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात वे इनपुट α (व्यक्ति? वर्ग? वर्ग-वर्ग? आदि) क्या हैं, जिन्हें f(x) में प्लग किया जाता है। ), सार्थक आउटपुट उत्पन्न करें ω। ध्यान दें कि इसका मतलब यह है कि प्रकार मिश्रित क्रम का हो सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है: | ||
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उन्होंने निम्नलिखित सुझावों और टिप्पणियों के साथ अपना निबंध समाप्त किया: | उन्होंने निम्नलिखित सुझावों और टिप्पणियों के साथ अपना निबंध समाप्त किया: | ||
: किसी को अधिक रूढ़िवादी पाठ्यक्रम अपनाना चाहिए, जैसे कि शब्दों के वर्ग और अवधारणा के अर्थ को स्पष्ट करने की कोशिश करना, और उद्देश्यपूर्ण रूप से विद्यमान संस्थाओं के रूप में वर्गों और अवधारणाओं का सुसंगत सिद्धांत स्थापित करना। यह वह मार्ग है जिस पर गणितीय तर्क का वास्तविक विकास चल रहा है और रसेल को स्वयं अपने काम के अधिक रचनात्मक भागों में प्रवेश करने के लिए मजबूर किया गया है। इस दिशा में किये गये प्रयासों में प्रमुख है. . . प्रकारों का सरल सिद्धांत हैं। . . और स्वयंसिद्ध | : किसी को अधिक रूढ़िवादी पाठ्यक्रम अपनाना चाहिए, जैसे कि शब्दों के वर्ग और अवधारणा के अर्थ को स्पष्ट करने की कोशिश करना, और उद्देश्यपूर्ण रूप से विद्यमान संस्थाओं के रूप में वर्गों और अवधारणाओं का सुसंगत सिद्धांत स्थापित करना। यह वह मार्ग है जिस पर गणितीय तर्क का वास्तविक विकास चल रहा है और रसेल को स्वयं अपने काम के अधिक रचनात्मक भागों में प्रवेश करने के लिए मजबूर किया गया है। इस दिशा में किये गये प्रयासों में प्रमुख है. . . प्रकारों का सरल सिद्धांत हैं। . . और स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत, दोनों ही कम से कम इस हद तक सफल रहे हैं, कि वे आधुनिक गणित की व्युत्पत्ति की अनुमति देते हैं और साथ ही सभी ज्ञात विरोधाभासों से बचते हैं। . . ¶ यह संदेह करना उचित प्रतीत होता है कि यह नींव की अधूरी समझ है जो इस तथ्य के लिए जिम्मेदार है कि गणितीय तर्क अब तक पीनो और अन्य की उच्च अपेक्षाओं से पीछे रहा है। . .. (पृ. 140) | ||
== नव-तर्कवाद == | == नव-तर्कवाद == | ||
नव-तर्कवाद उनके समर्थकों द्वारा मूल तर्कवादी फलन के उत्तराधिकारी माने जाने वाले विचारों की श्रृंखला का वर्णन किया गया है।<ref>Bernard Linsky and [[Edward N. Zalta]], [http://mally.stanford.edu/Papers/neologicism2.pdf "What is Neologicism?"], ''The Bulletin of Symbolic Logic'', '''12'''(1) (2006): 60–99.</ref> अधिक संकीर्ण रूप से, नव-तर्कवाद को गॉटलोब फ़्रीज के कुछ या सभी तत्वों को बचाने के प्रयास के रूप में देखा जा सकता है# तर्कशास्त्री के रूप में कार्य करें|ग्रंडगेसेट्ज़ में फ़्रीज की प्रणाली के संशोधित संस्करण के उपयोग के माध्यम से फ़्रीज का फलन (जिसे प्रकार के रूप में देखा जा सकता है) दूसरे क्रम के तर्क का)। | नव-तर्कवाद उनके समर्थकों द्वारा मूल तर्कवादी फलन के उत्तराधिकारी माने जाने वाले विचारों की श्रृंखला का वर्णन किया गया है।<ref>Bernard Linsky and [[Edward N. Zalta]], [http://mally.stanford.edu/Papers/neologicism2.pdf "What is Neologicism?"], ''The Bulletin of Symbolic Logic'', '''12'''(1) (2006): 60–99.</ref> अधिक संकीर्ण रूप से, नव-तर्कवाद को गॉटलोब फ़्रीज के कुछ या सभी तत्वों को बचाने के प्रयास के रूप में देखा जा सकता है# तर्कशास्त्री के रूप में कार्य करें|ग्रंडगेसेट्ज़ में फ़्रीज की प्रणाली के संशोधित संस्करण के उपयोग के माध्यम से फ़्रीज का फलन (जिसे प्रकार के रूप में देखा जा सकता है) दूसरे क्रम के तर्क का)। | ||
उदाहरण के लिए, कोई [[बुनियादी कानून वी]] (भोले | उदाहरण के लिए, कोई [[बुनियादी कानून वी]] (भोले समुच्चय सिद्धांत में [[अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा]] के अनुरूप) को कुछ 'सुरक्षित' सिद्धांतों से बदल सकता है ताकि ज्ञात विरोधाभासों की व्युत्पत्ति को रोका जा सके। बीएलवी को प्रतिस्थापित करने के लिए सबसे अधिक उद्धृत उम्मीदवार ह्यूम का सिद्धांत है, '#' की प्रासंगिक परिभाषा '#F = #G द्वारा दी गई है यदि और केवल यदि F और G के बीच कोई आपत्ति है।'<ref>[http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/PHIL30067/Syllabus.htm PHIL 30067: Logicism and Neo-Logicism] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110717200246/http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/PHIL30067/Syllabus.htm|date=2011-07-17}}.</ref> इस प्रकार के नव-तर्कवाद को अक्सर नव-फ्रीजिज्म कहा जाता है.<ref name=SEP>{{cite SEP |url-id=logicism |title=Logicism and Neologicism}}</ref> नव-फ्रीजियनवाद के समर्थकों में [[क्रिस्पिन राइट]] और [[बॉब हेल (दार्शनिक)]] शामिल हैं, जिन्हें कभी-कभी स्कॉटिश स्कूल भी कहा जाता है। या अमूर्तवादी प्लैटोनिज्म,<ref>Bob Hale and Crispin Wright (2002), "Benacerraf's dilemma revisited", ''European Journal of Philosophy'' '''10'''(1):101–129, esp. "6. Objections and Qualifications".</ref> जो ज्ञानमीमांसीय आधारवाद के रूप का समर्थन करते हैं।<ref name="st-andrews">[http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/EbertRossbergPurpose.pdf st-andrews.ac.uk]. {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061224165534/http://www.st-andrews.ac.uk/~mr30/papers/EbertRossbergPurpose.pdf|date=2006-12-24}}.</ref> | ||
नव-तर्कवाद के अन्य प्रमुख समर्थकों में [[बर्नार्ड लिंस्की]] और एडवर्ड एन. ज़ाल्टा शामिल हैं, जिन्हें कभी-कभी स्टैनफोर्ड-एडमॉन्टन स्कूल भी कहा जाता है, [[अमूर्त संरचनावाद]] या मॉडल नव-तर्कवाद, जो [[स्वयंसिद्ध तत्वमीमांसा]] के रूप का समर्थन करते हैं।<ref name=st-andrews/><ref name=SEP/>मोडल नव-तर्कवाद द्वितीय-क्रम तर्क|द्वितीय-क्रम [[मॉडल तर्क]] सार वस्तु सिद्धांत के भीतर पीनो स्वयंसिद्धों को प्राप्त करता है।<ref>[[Edward N. Zalta]], "Natural Numbers and Natural Cardinals as Abstract Objects: A Partial Reconstruction of Frege's ''Grundgesetze'' in Object Theory", ''Journal of Philosophical Logic'', '''28'''(6) (1999): 619–660.</ref><ref>[[Edward N. Zalta]], "Neo-Logicism? An Ontological Reduction of Mathematics to Metaphysics", ''Erkenntnis'', '''53'''(1–2) (2000), 219–265.</ref> | नव-तर्कवाद के अन्य प्रमुख समर्थकों में [[बर्नार्ड लिंस्की]] और एडवर्ड एन. ज़ाल्टा शामिल हैं, जिन्हें कभी-कभी स्टैनफोर्ड-एडमॉन्टन स्कूल भी कहा जाता है, [[अमूर्त संरचनावाद]] या मॉडल नव-तर्कवाद, जो [[स्वयंसिद्ध तत्वमीमांसा]] के रूप का समर्थन करते हैं।<ref name=st-andrews/><ref name=SEP/>मोडल नव-तर्कवाद द्वितीय-क्रम तर्क|द्वितीय-क्रम [[मॉडल तर्क]] सार वस्तु सिद्धांत के भीतर पीनो स्वयंसिद्धों को प्राप्त करता है।<ref>[[Edward N. Zalta]], "Natural Numbers and Natural Cardinals as Abstract Objects: A Partial Reconstruction of Frege's ''Grundgesetze'' in Object Theory", ''Journal of Philosophical Logic'', '''28'''(6) (1999): 619–660.</ref><ref>[[Edward N. Zalta]], "Neo-Logicism? An Ontological Reduction of Mathematics to Metaphysics", ''Erkenntnis'', '''53'''(1–2) (2000), 219–265.</ref> | ||
अन्य अर्ध-नव-तर्कशास्त्री दृष्टिकोण एम. रान्डेल होम्स द्वारा सुझाया गया है। ग्रुंडगेसेट्ज़ में इस तरह के संशोधन में, बीएलवी बरकरार रहता है, क्वीन की [[नई नींव]] और संबंधित प्रणालियों के तरीके में स्तरीकृत सूत्रों पर प्रतिबंध को छोड़कर। मूलतः सभी ग्रुंडगेसेट्ज़ तब 'गुजरते हैं'। परिणामी प्रणाली में [[रोनाल्ड जेन्सेन]] के एनएफयू + जे. बार्कले रोसेर के एक्सिओम ऑफ काउंटिंग के समान स्थिरता शक्ति है।<ref>M. Randall Holmes, [https://randall-holmes.github.io/Gottlob/fregenote.pdf "Repairing Frege’s Logic"], August 5, 2018.</ref> | अन्य अर्ध-नव-तर्कशास्त्री दृष्टिकोण एम. रान्डेल होम्स द्वारा सुझाया गया है। ग्रुंडगेसेट्ज़ में इस तरह के संशोधन में, बीएलवी बरकरार रहता है, क्वीन की [[नई नींव]] और संबंधित प्रणालियों के तरीके में स्तरीकृत सूत्रों पर प्रतिबंध को छोड़कर। मूलतः सभी ग्रुंडगेसेट्ज़ तब 'गुजरते हैं'। परिणामी प्रणाली में [[रोनाल्ड जेन्सेन]] के एनएफयू + जे. बार्कले रोसेर के एक्सिओम ऑफ काउंटिंग के समान स्थिरता शक्ति है।<ref>M. Randall Holmes, [https://randall-holmes.github.io/Gottlob/fregenote.pdf "Repairing Frege’s Logic"], August 5, 2018.</ref> | ||
Revision as of 21:01, 21 July 2023
गणित के दर्शन में, तर्कवाद फलन है जो एक या एक से अधिक सिद्धांतों शामिल है - जो — किसी संगठित 'तर्क' के सार्थक अर्थ के लिए — गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित का एकांतरण तर्क में सम्मिलित है, या गणित का एकांतरण तर्क में मॉडल सिद्धांत हो सकता है।[1] बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने इस फलन को समर्थित किया, जो गोटलोब फ्रीज ने प्रारंभ किया और फिर रिचर्ड डेडेकाइंड और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था।