अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय

Atiyah–Singer index theorem

Field	Differential geometry
First proof by	Michael Atiyah and Isadore Singer
First proof in	1963
Consequences	Chern–Gauss–Bonnet theorem Grothendieck–Riemann–Roch theorem Hirzebruch signature theorem Rokhlin's theorem

विभेदक ज्यामिति में, अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय, माइकल अतियाह और इसादोर गायक (1963) द्वारा सिद्ध किया गया, बताता है कि कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर अण्डाकार ऑपरेटर के लिए, विश्लेषणात्मक सूचकांक (समाधान के स्थान के आयाम से संबंधित) टोपोलॉजिकल इंडेक्स (कुछ टोपोलॉजिकल डेटा के संदर्भ में परिभाषित) के बराबर है। इसमें कई अन्य प्रमेय शामिल हैं, जैसे चेर्न-गॉस-बोनट प्रमेय और रीमैन-रोच प्रमेय, विशेष मामलों के रूप में, और सैद्धांतिक भौतिकी के लिए इसके अनुप्रयोग हैं।

इतिहास

अण्डाकार अंतर ऑपरेटरों के लिए सूचकांक समस्या इज़राइल गेलफैंड द्वारा प्रस्तुत की गई थी। उन्होंने सूचकांक के होमोटॉपी इनवेरिएंस पर ध्यान दिया, और टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय ्स के माध्यम से इसके लिए सूत्र मांगा। कुछ प्रेरक उदाहरणों में रीमैन-रोच प्रमेय और इसका सामान्यीकरण, हिरज़ेब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय, और हिरज़ेब्रुक हस्ताक्षर प्रमेय शामिल हैं। फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुच और आर्मंड बोरेल ने स्पिन मैनिफोल्ड के जीनस की अभिन्नता को साबित किया था, और अतियाह ने सुझाव दिया कि इस अभिन्नता को समझाया जा सकता है यदि यह डिराक ऑपरेटर का सूचकांक होता (जिसे 1961 में अतियाह और सिंगर द्वारा फिर से खोजा गया था)।

अतियाह-सिंगर प्रमेय की घोषणा 1963 में की गई थी। इस घोषणा में दिए गए सबूत उनके द्वारा कभी प्रकाशित नहीं किए गए, हालांकि यह पैलैस की पुस्तक में दिखाई देता है। यह कार्टन-श्वार्ट्ज सेमिनार 1963/64 में भी दिखाई देता है जो प्रिंसटन विश्वविद्यालय में रिचर्ड पैलेस के नेतृत्व में सेमिनार के साथ-साथ पेरिस में आयोजित किया गया था। पेरिस में आखिरी बातचीत अतियाह ने सीमा के साथ मैनिफोल्ड्स पर की थी। उनका पहला प्रकाशित प्रमाण ने पहले प्रमाण के सह-बॉर्डिज्म सिद्धांत को के-सिद्धांत से बदल दिया, और उन्होंने इसका उपयोग कागजात के दूसरे अनुक्रम में विभिन्न सामान्यीकरणों के प्रमाण देने के लिए किया।

• 1965: सर्गेई नोविकोव (गणितज्ञ)|सर्गेई पी. नोविकोव ने स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर तर्कसंगत पोंट्रीगिन वर्ग के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंस पर अपने परिणाम प्रकाशित किए।
• रॉबिन किर्बी और लॉरेंट सी. सिबेनमैन के परिणाम, रेने थॉम के पेपर के साथ संयुक्त टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स पर तर्कसंगत पोंट्रीगिन वर्गों के अस्तित्व को साबित किया। तर्कसंगत पोंट्रीगिन कक्षाएं चिकनी और टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स पर सूचकांक प्रमेय के आवश्यक तत्व हैं।
• 1969: माइकल अतियाह ने मनमाने मीट्रिक स्थानों पर अमूर्त अण्डाकार ऑपरेटरों को परिभाषित किया। कास्पारोव के सिद्धांत और कोन्स की गैर-अनुवांशिक अंतर ज्यामिति में सार अण्डाकार संचालक नायक बन गए।
• 1971: इसाडोर सिंगर ने सूचकांक सिद्धांत के भविष्य के विस्तार के लिए व्यापक कार्यक्रम का प्रस्ताव रखा।
• 1972: गेनाडी जी. कास्पारोव ने अमूर्त अण्डाकार ऑपरेटरों द्वारा के-होमोलॉजी की प्राप्ति पर अपना काम प्रकाशित किया।
• 1973: अतियाह, राउल बॉट और विजय पटोदी ने सूचकांक प्रमेय का नया प्रमाण दिया मेलरोज़ द्वारा पेपर में वर्णित ऊष्मा समीकरण का उपयोग करते हुए।
• 1977: डेनिस सुलिवान ने 4 से भिन्न आयामों के टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स पर लिप्सचिट्ज़ और क्वासिकोनफॉर्मल मैपिंग संरचनाओं के अस्तित्व और विशिष्टता पर अपना प्रमेय स्थापित किया।
• 1983: एज्रा गेट्ज़लर एडवर्ड विटन के विचारों से प्रेरित और लुइस अल्वारेज़ गौम ने उन ऑपरेटरों के लिए स्थानीय सूचकांक प्रमेय का संक्षिप्त प्रमाण दिया जो स्थानीय रूप से डायराक ऑपरेटर हैं; इसमें कई उपयोगी मामले शामिल हैं।
• 1983: निकोले टेलीमैन ने साबित किया कि वेक्टर बंडलों में मूल्यों वाले हस्ताक्षर ऑपरेटरों के विश्लेषणात्मक सूचकांक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट हैं।
• 1984: टेलीमैन ने टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स पर इंडेक्स प्रमेय स्थापित किया।
• 1986: एलेन कोन्स ने गैर-अनुवांशिक ज्यामिति पर अपना मौलिक पेपर प्रकाशित किया।
• 1989: साइमन डोनाल्डसन|साइमन के. डोनाल्डसन और सुलिवन ने आयाम 4 के क्वासिकोनफॉर्मल मैनिफोल्ड्स पर यांग-मिल्स सिद्धांत का अध्ययन किया। वे डिग्री दो के विभेदक रूपों पर परिभाषित हस्ताक्षर ऑपरेटर एस का परिचय देते हैं।
• 1990: कोन्स और हेनरी मोस्कोविसी ने गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति के संदर्भ में स्थानीय सूचकांक सूत्र को सिद्ध किया।
• 1994: कॉन्स, सुलिवन और टेलीमैन ने क्वासिकोनफॉर्मल मैनिफोल्ड्स पर हस्ताक्षर ऑपरेटरों के लिए सूचकांक प्रमेय को सिद्ध किया।

संकेतन

• एक्स सघन स्थान स्मूथ कई गुना (बिना सीमा के) है।
• E और F, X के ऊपर चिकने वेक्टर बंडल हैं।
• D, E से F तक अण्डाकार अंतर ऑपरेटर है। इसलिए स्थानीय निर्देशांक में यह अंतर ऑपरेटर के रूप में कार्य करता है, जो E के चिकने खंडों को F के चिकने खंडों तक ले जाता है।

डिफरेंशियल ऑपरेटर का प्रतीक

यदि D, k वेरिएबल्स में क्रम n के यूक्लिडियन स्पेस पर डिफरेंशियल ऑपरेटर है $x_{1},\dots ,x_{k}$, तो इसका अंतर ऑपरेटर का प्रतीक 2k चर का कार्य है $x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}$, n से कम क्रम की सभी शर्तों को हटाकर और प्रतिस्थापित करके दिया गया $\partial /\partial x_{i}$ द्वारा $y_{i}$. तो प्रतीक डिग्री n के चर y में सजातीय है। यद्यपि प्रतीक अच्छी तरह से परिभाषित है $\partial /\partial x_{i}$ के साथ आवागमन नहीं करता $x_{i}$ क्योंकि हम केवल उच्चतम ऑर्डर शर्तों को रखते हैं और अंतर ऑपरेटर निम्न-ऑर्डर शर्तों तक कम्यूट करते हैं। यदि प्रतीक अशून्य है तो ऑपरेटर को अण्डाकार कहा जाता है, जब भी कम से कम y अशून्य होता है।

उदाहरण: k वेरिएबल में लाप्लास ऑपरेटर का प्रतीक है $y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}$, और इसलिए यह अण्डाकार है क्योंकि जब भी इनमें से कोई भी अशून्य होता है $y_{i}$शून्येतर हैं. वेव ऑपरेटर का प्रतीक होता है $-y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}$, जो कि अण्डाकार नहीं है यदि $k\geq 2$, क्योंकि ys के कुछ गैर-शून्य मानों के लिए प्रतीक गायब हो जाता है।

स्मूथ मैनिफ़ोल्ड (सामान्य तौर पर, अंतर ऑपरेटर समन्वय परिवर्तन (जेट बंडल देखें) के तहत जटिल तरीके से बदलते हैं; हालांकि, उच्चतम क्रम के शब्द टेंसर की तरह बदलते हैं, इसलिए हमें कोटैंजेंट रिक्त स्थान पर अच्छी तरह से परिभाषित सजातीय कार्य मिलते हैं जो स्थानीय चार्ट की पसंद से स्वतंत्र होते हैं .) अधिक आम तौर पर, दो वेक्टर बंडलों ई और एफ के बीच अंतर ऑपरेटर का प्रतीक बंडल होम (ई, एफ) के एक्स के कोटैंजेंट स्पेस के पुलबैक का खंड है। अंतर ऑपरेटर को अण्डाकार कहा जाता है यदि का तत्व घर_x, एफ_x) X के किसी भी बिंदु x पर सभी गैर-शून्य कोटैंजेंट वैक्टर के लिए उलटा है।

अण्डाकार ऑपरेटरों की प्रमुख संपत्ति यह है कि वे लगभग उलटे होते हैं; इसका इस तथ्य से गहरा संबंध है कि उनके प्रतीक लगभग उलटे हैं। अधिक सटीक रूप से, कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर अण्डाकार ऑपरेटर डी में (गैर-अद्वितीय) 'पैरामीट्रिक्स ' (या 'छद्मविपरीत') डी' होता है जैसे कि डीडी' -1 और डी'डी -1 दोनों कॉम्पैक्ट ऑपरेटर होते हैं। महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि डी का कर्नेल परिमित-आयामी है, क्योंकि कर्नेल के अलावा, कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के सभी आइजनस्पेस परिमित-आयामी हैं। (अण्डाकार विभेदक संचालिका का छद्म व्युत्क्रम लगभग कभी भी विभेदक संचालिका नहीं होता है। हालाँकि, यह अण्डाकार छद्मविभेदक संचालिका है।)

विश्लेषणात्मक सूचकांक

चूंकि अण्डाकार अंतर ऑपरेटर डी में छद्म व्युत्क्रम है, यह फ्रेडहोम संचालक है। किसी भी फ्रेडहोम ऑपरेटर के पास सूचकांक होता है, जिसे डी (डीएफ = 0 के समाधान) के कर्नेल (बीजगणित) के (परिमित) आयाम और डी के कोकर्नेल के (परिमित) आयाम (दाईं ओर की बाधाओं) के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है। -एक अमानवीय समीकरण का हाथ-पक्ष जैसे Df = g, या समकक्ष संचालिका का कर्नेल)। दूसरे शब्दों में,

सूचकांक(डी) = डिम केर(डी) - डिम कोकर(डी) = डिम केर(डी) - डिम केर(डी*)।

इसे कभी-कभी डी का 'विश्लेषणात्मक सूचकांक' भी कहा जाता है।

'उदाहरण:' मान लीजिए कि मैनिफोल्ड वृत्त है (जिसे 'R'/'Z' माना जाता है), और D कुछ जटिल स्थिरांक λ के लिए ऑपरेटर d/dx - λ है। (यह अण्डाकार ऑपरेटर का सबसे सरल उदाहरण है।) तब कर्नेल exp (λx) के गुणकों का स्थान है यदि λ 2πi का अभिन्न गुणक है और अन्यथा 0 है, और सहायक का कर्नेल λ के साथ समान स्थान है इसके जटिल संयुग्म द्वारा प्रतिस्थापित किया गया। तो डी का सूचकांक 0 है। यह उदाहरण दिखाता है कि अण्डाकार ऑपरेटरों के कर्नेल और कोकर्नेल अण्डाकार ऑपरेटर के भिन्न होने पर लगातार कूद सकते हैं, इसलिए निरंतर टोपोलॉजिकल डेटा के संदर्भ में उनके आयामों के लिए कोई अच्छा सूत्र नहीं है। हालाँकि कर्नेल और कोकर्नेल के आयामों में उछाल समान है, इसलिए उनके आयामों के अंतर से दिया गया सूचकांक, वास्तव में लगातार बदलता रहता है, और सूचकांक प्रमेय द्वारा टोपोलॉजिकल डेटा के संदर्भ में दिया जा सकता है।

टोपोलॉजिकल इंडेक्स

अण्डाकार विभेदक ऑपरेटर का टोपोलॉजिकल सूचकांक $D$ चिकने वेक्टर बंडलों के बीच $E$ और $F$ पर $n$-आयामी कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड $X$ द्वारा दिया गया है

$(-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)[X]=(-1)^{n}\int _{X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)$

दूसरे शब्दों में मिश्रित कोहोलॉजी वर्ग के शीर्ष आयामी घटक का मूल्य $\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)$ मैनिफोल्ड के मौलिक समरूपता वर्ग पर $X$ चिह्न के अंतर तक. यहाँ,

• $\operatorname {Td} (X)$ के जटिल स्पर्शरेखा बंडल का टोड वर्ग है $X$.
• $\operatorname {ch} (D)$ के बराबर है $\varphi ^{-1}(\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))))$, कहाँ
  • $\varphi :H^{k}(X;\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X);\mathbb {Q} )$ गोलाकार बंडल के लिए थॉम समरूपता है $p:B(X)/S(X)\to X$
  • $\operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )$ चेर्न चरित्र है
  • $d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))$ में अंतर तत्व है $K(B(X)/S(X))$ दो वेक्टर बंडलों से संबद्ध $p^{*}E$ और $p^{*}F$ पर $B(X)$ और समरूपता $\sigma (D)$ उपस्थान पर उनके बीच $S(X)$.
  • $\sigma (D)$ का प्रतीक है $D$

कुछ स्थितियों में, कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए उपरोक्त सूत्र को सरल बनाना संभव है। विशेषकर, यदि $X$ है $2m$-आयामी उन्मुख (कॉम्पैक्ट) गैर-शून्य यूलर वर्ग के साथ कई गुना $e(TX)$, फिर थॉम समरूपता को लागू करना और यूलर वर्ग द्वारा विभाजित करना, टोपोलॉजिकल इंडेक्स को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$(-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)$

जहाँ खींचने से विभाजन का अर्थ होता है $e(TX)^{-1}$ वर्गीकृत स्थान के कोहोमोलॉजी रिंग से वापस $BSO$.

कोई केवल के-सिद्धांत का उपयोग करके टोपोलॉजिकल इंडेक्स को भी परिभाषित कर सकता है (और यह वैकल्पिक परिभाषा उपरोक्त चेर्न-वर्ण निर्माण के साथ निश्चित अर्थ में संगत है)। यदि किसी तत्व का टोपोलॉजिकल इंडेक्स K(TX) को Y के साथ कुछ यूक्लिडियन स्पेस के साथ इस ऑपरेशन की छवि के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके लिए K(TY) को पूर्णांक 'Z' (बॉट-आवधिकता के परिणामस्वरूप) के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। यह मानचित्र यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक्स के एम्बेडिंग से स्वतंत्र है। अब ऊपर जैसा डिफरेंशियल ऑपरेटर स्वाभाविक रूप से K(TX) के तत्व को परिभाषित करता है, और इस मानचित्र के तहत 'Z' में छवि टोपोलॉजिकल इंडेक्स है।

हमेशा की तरह, डी कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड एक्स पर वेक्टर बंडल ई और एफ के बीच अण्डाकार अंतर ऑपरेटर है।

सूचकांक समस्या निम्नलिखित है: केवल प्रतीक एस और मैनिफोल्ड और वेक्टर बंडल से प्राप्त टोपोलॉजिकल डेटा का उपयोग करके डी के (विश्लेषणात्मक) सूचकांक की गणना करें। अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय इस समस्या का समाधान करता है, और कहता है:

'डी का विश्लेषणात्मक सूचकांक इसके टोपोलॉजिकल इंडेक्स के बराबर है।'

अपनी दुर्जेय परिभाषा के बावजूद, टोपोलॉजिकल इंडेक्स का स्पष्ट रूप से मूल्यांकन करना आमतौर पर आसान होता है। तो इससे विश्लेषणात्मक सूचकांक का मूल्यांकन करना संभव हो जाता है। (एक अण्डाकार ऑपरेटर के कोकर्नेल और कर्नेल का व्यक्तिगत रूप से मूल्यांकन करना आम तौर पर बेहद कठिन होता है; सूचकांक प्रमेय से पता चलता है कि हम आमतौर पर कम से कम उनके 'अंतर' का मूल्यांकन कर सकते हैं।) मैनिफोल्ड के कई महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय (जैसे कि हस्ताक्षर) दिए जा सकते हैं उपयुक्त अंतर ऑपरेटरों के सूचकांक के रूप में, इसलिए सूचकांक प्रमेय हमें टोपोलॉजिकल डेटा के संदर्भ में इन अपरिवर्तनीयों का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है।

यद्यपि विश्लेषणात्मक सूचकांक का सीधे मूल्यांकन करना आमतौर पर कठिन होता है, यह कम से कम स्पष्ट रूप से पूर्णांक है। टोपोलॉजिकल इंडेक्स परिभाषा के अनुसार परिमेय संख्या है, लेकिन आमतौर पर परिभाषा से यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि यह अभिन्न भी है। तो अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय कुछ गहरी अभिन्नता गुणों का तात्पर्य करता है, क्योंकि इसका तात्पर्य है कि टोपोलॉजिकल इंडेक्स अभिन्न है।

यदि ऑपरेटर स्वयं संलग्न है तो अण्डाकार अंतर ऑपरेटर का सूचकांक स्पष्ट रूप से गायब हो जाता है। यह तब भी गायब हो जाता है जब मैनिफोल्ड

ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच से संबंध

ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय | ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय सूचकांक प्रमेय के पीछे मुख्य प्रेरणाओं में से था क्योंकि सूचकांक प्रमेय वास्तविक मैनिफोल्ड्स की सेटिंग में इस प्रमेय का समकक्ष है। अब, यदि कोई नक्शा है $f:X\to Y$ कॉम्पैक्ट स्थिर रूप से लगभग जटिल मैनिफ़ोल्ड का, फिर क्रमविनिमेय आरेख होता है<ब्लॉककोट></ब्लॉककोट>यदि $Y=*$ बिंदु है, तो हम उपरोक्त कथन को पुनर्प्राप्त करते हैं। यहाँ $K(X)$ जटिल वेक्टर बंडलों का ग्रोथेंडिक समूह है। यह क्रमविनिमेय आरेख औपचारिक रूप से जीआरआर प्रमेय के समान है क्योंकि दाईं ओर के कोहोलॉजी समूहों को चिकनी किस्म के चाउ रिंग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और बाईं ओर ग्रोथेंडिक समूह को बीजगणितीय वेक्टर बंडलों के ग्रोथेंडिक समूह द्वारा दिया जाता है।

अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय का विस्तार

टेलीमैन इंडेक्स प्रमेय

इस कारण (टेलीमैन 1983), (टेलीमैन 1984):

किसी भी अमूर्त अण्डाकार ऑपरेटर के लिए (अतियाह 1970) बंद, उन्मुख, टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर, विश्लेषणात्मक सूचकांक टोपोलॉजिकल सूचकांक के बराबर होता है।

इस परिणाम का प्रमाण विशिष्ट विचारों से होकर गुजरता है, जिसमें कॉम्बिनेटरियल और लिप्सचिट्ज़ मैनिफोल्ड्स पर हॉज सिद्धांत का विस्तार शामिल है। (टेलीमैन 1980), (टेलीमैन 1983), अतियाह-सिंगर के हस्ताक्षर ऑपरेटर का लिप्सचिट्ज़ मैनिफोल्ड्स तक विस्तार (टेलीमैन 1983), कास्परोव की के-होमोलॉजी (कास्पारोव 1972) और टोपोलॉजिकल कोबॉर्डिज्म (किर्बी & सिबेनमैन 1977).

इस परिणाम से पता चलता है कि सूचकांक प्रमेय केवल भिन्नता कथन नहीं है, बल्कि टोपोलॉजिकल कथन है।

कॉन्स-डोनाल्डसन-सुलिवन-टेलीमैन इंडेक्स प्रमेय

इस कारण (डोनाल्डसन & सुलिवन 1989), (कोन्स, सुलिवान & टेलीमैन 1994):

किसी भी क्वासिकोनफॉर्मल मैनिफोल्ड के लिए हिरज़ेब्रुच-थॉम विशेषता वर्गों का स्थानीय निर्माण मौजूद है।

यह सिद्धांत हस्ताक्षर ऑपरेटर एस पर आधारित है, जिसे सम-आयामी क्वासिकोनफॉर्मल मैनिफोल्ड्स पर मध्य डिग्री अंतर रूपों पर परिभाषित किया गया है (तुलना करें) (डोनाल्डसन & सुलिवान 1989)).

टोपोलॉजिकल कोबॉर्डिज्म और के-होमोलॉजी का उपयोग करके कोई व्यक्ति क्वासिकोनफॉर्मल मैनिफोल्ड्स पर सूचकांक प्रमेय का पूरा विवरण प्रदान कर सकता है (पृष्ठ 678 देखें) (कोन्स, सुलिवान & टेलीमैन 1994)). काम (कोन्स, सुलिवान & टेलीमैन 1994) आयाम दो में मापने योग्य रीमैन मैपिंग के उच्च आयामी रिश्तेदारों और आयाम चार में यांग-मिल्स सिद्धांत के आधार पर विशिष्ट वर्गों के लिए स्थानीय निर्माण प्रदान करता है।

ये परिणाम गणित में सिंगर के कार्यक्रम संभावनाओं की तर्ज पर महत्वपूर्ण प्रगति का गठन करते हैं (सिंगर 1971). साथ ही, वे टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स पर तर्कसंगत पोंट्रजागिन कक्षाओं का प्रभावी निर्माण भी प्रदान करते हैं। कागज़ (टेलीमैन 1985) थॉम के तर्कसंगत पोंट्रजागिन वर्गों के मूल निर्माण के बीच लिंक प्रदान करता है (थॉम 1956) और सूचकांक सिद्धांत.

यह उल्लेख करना महत्वपूर्ण है कि सूचकांक सूत्र टोपोलॉजिकल कथन है। मिल्नोर, केरवायर, किर्बी, सिबेनमैन, सुलिवन, डोनाल्डसन के कारण बाधा सिद्धांत बताते हैं कि केवल अल्पसंख्यक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स में अलग-अलग संरचनाएं होती हैं और ये जरूरी नहीं कि अद्वितीय हों। लिप्सचिट्ज़ और क्वासिकोनफॉर्मल संरचनाओं पर सुलिवन का परिणाम (Sullivan 1979) दर्शाता है कि 4 से भिन्न आयाम में किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में ऐसी संरचना होती है जो अद्वितीय होती है (पहचान के करीब आइसोटोप तक)।

क्वासिकोनफॉर्मल संरचनाएं (Connes, Sullivan & Teleman 1994) और अधिक सामान्यतः एल^पी-संरचनाएँ, पी > एन(एन+1)/2, एम. हिल्सम द्वारा प्रस्तुत (Hilsum 1999), आयाम n के टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स पर सबसे कमजोर विश्लेषणात्मक संरचनाएं हैं जिनके लिए सूचकांक प्रमेय को जाना जाता है।

अन्य एक्सटेंशन

• अतियाह-सिंगर प्रमेय अण्डाकार स्यूडोडिफरेंशियल ऑपरेटरों पर उसी तरह लागू होता है जैसे अण्डाकार अंतर ऑपरेटरों के लिए। वास्तव में, तकनीकी कारणों से अधिकांश प्रारंभिक प्रमाणों ने विभेदक ऑपरेटरों के बजाय छद्मविभेदक के साथ काम किया: उनके अतिरिक्त लचीलेपन ने प्रमाणों के कुछ चरणों को आसान बना दिया।
• दो वेक्टर बंडलों के बीच अण्डाकार ऑपरेटर के साथ काम करने के बजाय, कभी-कभी अण्डाकार कॉम्प्लेक्स के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है
  $$0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \dotsm \rightarrow E_{m}\rightarrow 0$$
  वेक्टर बंडलों का. अंतर यह है कि प्रतीक अब सटीक अनुक्रम बनाते हैं (शून्य खंड से हटकर)। ऐसे मामले में जब कॉम्प्लेक्स में सिर्फ दो गैर-शून्य बंडल होते हैं, तो इसका मतलब है कि प्रतीक शून्य खंड से समरूपता है, इसलिए 2 शब्दों वाला अण्डाकार कॉम्प्लेक्स अनिवार्य रूप से दो वेक्टर बंडलों के बीच अण्डाकार ऑपरेटर के समान है। इसके विपरीत, अण्डाकार कॉम्प्लेक्स के लिए सूचकांक प्रमेय को आसानी से अण्डाकार ऑपरेटर के मामले में कम किया जा सकता है: दो वेक्टर बंडल कॉम्प्लेक्स के सम या विषम शब्दों के योग द्वारा दिए जाते हैं, और अण्डाकार ऑपरेटर ऑपरेटरों का योग है अण्डाकार परिसर और उनके जोड़, सम बंडलों के योग तक सीमित हैं।
• यदि मैनिफोल्ड को सीमाबद्ध करने की अनुमति है, तो परिमित सूचकांक सुनिश्चित करने के लिए अण्डाकार ऑपरेटर के डोमेन पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाने चाहिए। ये स्थितियां स्थानीय हो सकती हैं (जैसे यह मांग करना कि डोमेन में अनुभाग सीमा पर गायब हो जाएं) या अधिक जटिल वैश्विक स्थितियां (जैसे कि यह आवश्यक है कि डोमेन में अनुभाग कुछ अंतर समीकरण को हल करें)। स्थानीय मामले पर अतियाह और बॉट द्वारा काम किया गया था, लेकिन उन्होंने दिखाया कि कई दिलचस्प ऑपरेटर (उदाहरण के लिए, हस्ताक्षर ऑपरेटर) स्थानीय सीमा शर्तों को स्वीकार नहीं करते हैं। इन ऑपरेटरों को संभालने के लिए, माइकल अतियाह, विजय कुमार पटोदी और इसादोर सिंगर ने वैश्विक सीमा शर्तों की शुरुआत की, जो सीमा के साथ सिलेंडर को मैनिफ़ोल्ड से जोड़ने और फिर डोमेन को उन अनुभागों तक सीमित करने के बराबर है जो सिलेंडर के साथ वर्गाकार एकीकृत हैं। के प्रमाण में यह दृष्टिकोण अपनाया जाता है Melrose (1993) अतियाह-पटोदी-सिंगर सूचकांक प्रमेय के।
• केवल अण्डाकार ऑपरेटर के बजाय, कोई कुछ स्थान Y द्वारा पैरामीटरयुक्त अण्डाकार ऑपरेटरों के परिवार पर विचार कर सकता है। इस मामले में सूचकांक पूर्णांक के बजाय Y के K-सिद्धांत का तत्व है। यदि परिवार में ऑपरेटर वास्तविक हैं, तो सूचकांक Y के वास्तविक K-सिद्धांत में निहित है। यह थोड़ी अतिरिक्त जानकारी देता है, क्योंकि Y के वास्तविक K-सिद्धांत से लेकर जटिल K-सिद्धांत तक का नक्शा हमेशा इंजेक्शन योग्य नहीं होता है। .
• यदि अण्डाकार ऑपरेटर के साथ चलते हुए, कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड इसके अलावा, किसी को लेफ्शेट्ज़ निश्चित-बिंदु प्रमेय का सामान्यीकरण मिलता है, जिसमें समूह जी के निश्चित-बिंदु उपमानों से आने वाले शब्द होते हैं। यह भी देखें: समतुल्य सूचकांक प्रमेय।
• Atiyah (1976) ने दिखाया कि इंडेक्स प्रमेय को कुछ गैर-कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स तक कैसे बढ़ाया जाए, जिस पर कॉम्पैक्ट भागफल के साथ अलग समूह द्वारा कार्य किया जाता है। इस मामले में अण्डाकार ऑपरेटर का कर्नेल सामान्य रूप से अनंत आयामी है, लेकिन वॉन न्यूमैन बीजगणित पर मॉड्यूल के आयाम का उपयोग करके परिमित सूचकांक प्राप्त करना संभव है; यह सूचकांक पूर्णांक मान के बजाय सामान्यतः वास्तविक है। इस संस्करण को एल कहा जाता है²सूचकांक प्रमेय, और द्वारा उपयोग किया गया था Atiyah & Schmid (1977) अर्धसरल झूठ समूहों के असतत श्रृंखला प्रतिनिधित्व के गुणों को पुनः प्राप्त करने के लिए।
• कैलियास सूचकांक प्रमेय गैर-कॉम्पैक्ट विषम-आयामी स्थान पर डिराक ऑपरेटर के लिए सूचकांक प्रमेय है। अतियाह-सिंगर इंडेक्स केवल कॉम्पैक्ट स्पेस पर परिभाषित किया गया है, और जब उनका आयाम विषम होता है तो गायब हो जाता है। 1978 में कॉन्स्टेंटाइन कैलियास ने अपने पीएच.डी. के सुझाव पर। सलाहकार रोमन जैकिव ने हिग्स फील्ड नामक हर्मिटियन मैट्रिक्स से सुसज्जित स्थानों पर इस सूचकांक प्रमेय को प्राप्त करने के लिए चिरल विसंगति का उपयोग किया। डिराक ऑपरेटर का सूचकांक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट है जो अनंत पर गोले पर हिग्स फ़ील्ड की वाइंडिंग को मापता है। यदि यू हिग्स फ़ील्ड की दिशा में इकाई मैट्रिक्स है, तो सूचकांक यू (डीयू) के अभिन्न अंग के समानुपाती होता हैⁿ⁻¹ अनंत पर (n−1)-गोले पर। यदि n सम है, तो यह सदैव शून्य होता है।
  • इस अपरिवर्तनीय की टोपोलॉजिकल व्याख्या और बोरिस फेडोसोव द्वारा प्रस्तावित होर्मेंडर इंडेक्स के साथ इसका संबंध, जैसा कि लार्स होर्मेंडर द्वारा सामान्यीकृत किया गया था, राउल बॉट और रॉबर्ट थॉमस सीली द्वारा प्रकाशित किया गया था।

उदाहरण

चेर्न-गॉस-बोनट प्रमेय

लगता है कि $M$ आयाम का कॉम्पैक्ट ओरिएंटेड मैनिफोल्ड है $n=2r$. अगर हम लेते हैं $\Lambda ^{\text{even}}$ कोटैंजेंट बंडल की सम बाहरी शक्तियों का योग होना, और $\Lambda ^{\text{odd}}$ विषम शक्तियों का योग होना परिभाषित करें $D=d+d^{*}$, से मानचित्र के रूप में माना जाता है $\Lambda ^{\text{even}}$ को $\Lambda ^{\text{odd}}$. फिर का विश्लेषणात्मक सूचकांक $D$ यूलर विशेषता है $\chi (M)$ हॉज कोहोमोलॉजी के $M$, और टोपोलॉजिकल इंडेक्स मैनिफोल्ड पर यूलर वर्ग का अभिन्न अंग है। इस ऑपरेटर के लिए सूचकांक सूत्र चेर्न-गॉस-बोनट प्रमेय उत्पन्न करता है।

ठोस गणना इस प्रकार है: विभाजन सिद्धांत की भिन्नता के अनुसार, यदि $E$ आयाम का वास्तविक वेक्टर बंडल है $n=2r$विशिष्ट वर्गों से जुड़े दावों को साबित करने के लिए, हम मान सकते हैं कि जटिल रेखा बंडल हैं $l_{1},\,\ldots ,\,l_{r}$ ऐसा है कि $E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus \dotsm l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}$. इसलिए, हम चेर्न जड़ों पर विचार कर सकते हैं $x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})$, $x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}{\mathord {\left({\overline {l_{i}}}\right)}}=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )$, $i=1,\,\ldots ,\,r$.

उपरोक्त चेर्न जड़ों और यूलर वर्ग के मानक गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास वह है ${\textstyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$. चेर्न चरित्र और टॉड वर्ग के लिए,

${\begin{aligned}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{\text{even}}-\Lambda ^{\text{odd}}\right)}}&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}-\ldots +(-1)^{n}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\ldots +(-1)^{n}e^{-x_{1}}\dotsm e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)(TM\otimes \mathbb {C} )\\[3pt]\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}$

सूचकांक प्रमेय को लागू करना,

$\chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)$

जो चेर्न-गॉस-बोनट प्रमेय का टोपोलॉजिकल संस्करण है (चेर्न-वील समरूपता को लागू करके ज्यामितीय संस्करण प्राप्त किया जा रहा है)।

हिर्ज़ेब्रुच-रीमैन-रोच प्रमेय

एक्स को होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल वी के साथ (जटिल) आयाम एन के जटिल मैनिफोल्ड के रूप में लें। हम वेक्टर बंडल ई और एफ को आई के साथ प्रकार (0, आई) के वी में गुणांक के साथ अंतर रूपों के बंडलों का योग मानते हैं। सम या विषम, और हम अंतर संचालिका D को योग मानते हैं

${\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}$

ई तक सीमित.

यदि हम अण्डाकार ऑपरेटरों के बजाय अण्डाकार परिसरों के लिए सूचकांक प्रमेय का उपयोग करते हैं तो हिरज़ेब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय की यह व्युत्पत्ति अधिक स्वाभाविक है। हम कॉम्प्लेक्स को मान सकते हैं

$0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \dotsm$

द्वारा दिए गए अंतर के साथ ${\overline {\partial }}$. फिर i'th सहसंगति समूह केवल सुसंगत सहसमरूपता समूह H हैⁱ(X, V), इसलिए इस कॉम्प्लेक्स का विश्लेषणात्मक सूचकांक V की होलोमोर्फिक यूलर विशेषता है:

$\operatorname {index} (D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)=\chi (X,V)$

चूंकि हम जटिल बंडलों से निपट रहे हैं, इसलिए टोपोलॉजिकल इंडेक्स की गणना सरल है। चेर्न जड़ों का उपयोग करना और पिछले उदाहरण की तरह समान गणना करना, यूलर वर्ग द्वारा दिया गया है ${\textstyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$ और

${\begin{aligned}\operatorname {ch} \left(\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}}\right)&=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}\left(1-e^{x_{j}}\right)(TX)\\\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} \left({\overline {TX}}\right)&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)\end{aligned}}$

सूचकांक प्रमेय को लागू करने पर, हम हिरज़ेब्रुच-रीमैन-रोच प्रमेय प्राप्त करते हैं:

$\chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)$

वास्तव में हमें सभी जटिल मैनिफोल्ड्स के लिए इसका सामान्यीकरण मिलता है: हिरज़ेब्रुक का प्रमाण केवल प्रोजेक्टिव कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स X के लिए काम करता है।

हिर्ज़ेब्रुच हस्ताक्षर प्रमेय

हिरज़ेब्रुक हस्ताक्षर प्रमेय में कहा गया है कि आयाम 4k के कॉम्पैक्ट ओरिएंटेड मैनिफोल्ड एक्स का हस्ताक्षर मैनिफोल्ड के एल जीनस द्वारा दिया गया है। यह निम्नलिखित हस्ताक्षर ऑपरेटर पर लागू अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय का अनुसरण करता है।

बंडल E और F, X के विभेदक रूपों के बंडल पर ऑपरेटर के +1 और −1 eigenspaces द्वारा दिए गए हैं, जो k-रूपों पर कार्य करता है $i^{k(k-1)}$ हॉज दोहरे का समय। ऑपरेटर डी हॉज लाप्लासियन है

$D\equiv \Delta \mathrel {:=} \left(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} \right)^{2}$

ई तक ही सीमित है, जहां 'डी' कार्टन बाहरी व्युत्पन्न है और 'डी'* इसका सहायक है।

डी का विश्लेषणात्मक सूचकांक मैनिफोल्ड एक्स का हस्ताक्षर है, और इसका टोपोलॉजिकल इंडेक्स एक्स का एल जीनस है, इसलिए ये बराबर हैं।

जीनस और रोचलिन का प्रमेय

जीनस किसी भी मैनिफोल्ड के लिए परिभाषित परिमेय संख्या है, लेकिन सामान्य तौर पर यह पूर्णांक नहीं है। बोरेल और हिरज़ेब्रुच ने दिखाया कि यह स्पिन मैनिफोल्ड्स के लिए अभिन्न है, और पूर्णांक भी है यदि इसके अलावा आयाम 4 मॉड 8 है। इसे इंडेक्स प्रमेय से निकाला जा सकता है, जिसका अर्थ है कि स्पिन मैनिफोल्ड्स के लिए जीनस डायराक का सूचकांक है ऑपरेटर। आयाम 4 मॉड 8 में 2 का अतिरिक्त कारक इस तथ्य से आता है कि इस मामले में डिराक ऑपरेटर के कर्नेल और कोकर्नेल में चतुर्धातुक संरचना होती है, इसलिए जटिल वेक्टर रिक्त स्थान के रूप में उनके आयाम भी होते हैं, इसलिए सूचकांक भी होता है।

आयाम 4 में यह परिणाम रोचलिन के प्रमेय का तात्पर्य है कि 4-आयामी स्पिन मैनिफोल्ड का हस्ताक्षर 16 से विभाज्य है: यह इस प्रकार है क्योंकि आयाम 4 में जीनस हस्ताक्षर का आठवां हिस्सा शून्य से कम है।

प्रमाण तकनीक

छद्मविभेदक ऑपरेटर

Main article: pseudodifferential operator

यूक्लिडियन स्पेस पर निरंतर गुणांक ऑपरेटरों के मामले में छद्मविभेदक ऑपरेटरों को आसानी से समझाया जा सकता है। इस मामले में, निरंतर गुणांक अंतर ऑपरेटर केवल बहुपदों द्वारा गुणन के फूरियर रूपांतरण हैं, और निरंतर गुणांक छद्मविभेदक ऑपरेटर केवल अधिक सामान्य कार्यों द्वारा गुणन के फूरियर रूपांतरण हैं।

सूचकांक प्रमेय के कई प्रमाण विभेदक ऑपरेटरों के बजाय छद्मविभेदक ऑपरेटरों का उपयोग करते हैं। इसका कारण यह है कि कई उद्देश्यों के लिए पर्याप्त अंतर ऑपरेटर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, सकारात्मक क्रम के अण्डाकार अंतर ऑपरेटर का छद्म व्युत्क्रम अंतर ऑपरेटर नहीं है, बल्कि छद्म अंतर ऑपरेटर है। इसके अलावा, K(B(X), S(X)) (क्लचिंग फ़ंक्शन) के तत्वों का प्रतिनिधित्व करने वाले डेटा और अण्डाकार स्यूडोडिफरेंशियल ऑपरेटरों के प्रतीकों के बीच सीधा पत्राचार है।

स्यूडोडिफ़रेंशियल ऑपरेटरों के पास क्रम होता है, जो कोई भी वास्तविक संख्या या −∞ भी हो सकता है, और उनके प्रतीक होते हैं (जो अब कोटैंजेंट स्पेस पर बहुपद नहीं होते हैं), और अण्डाकार डिफरेंशियल ऑपरेटर्स वे होते हैं जिनके प्रतीक पर्याप्त रूप से बड़े कोटैंजेंट वैक्टर के लिए उलटे होते हैं। सूचकांक प्रमेय के अधिकांश संस्करणों को अण्डाकार अंतर ऑपरेटरों से अण्डाकार छद्मविभेदक ऑपरेटरों तक बढ़ाया जा सकता है।

कोबॉर्डिज्म

प्रारंभिक प्रमाण हिरज़ेब्रुच-रीमैन-रोच प्रमेय (1954) पर आधारित था, और इसमें कोबर्डिज़्म सिद्धांत और छद्म-विभेदक संचालक शामिल थे।

इस प्रथम प्रमाण का विचार मोटे तौर पर इस प्रकार है। जोड़े (एक्स, वी) द्वारा उत्पन्न रिंग पर विचार करें जहां वी कॉम्पैक्ट स्मूथ ओरिएंटेड मैनिफोल्ड एक्स पर स्मूथ वेक्टर बंडल है, इस संबंध के साथ कि इन जेनरेटर पर रिंग का योग और उत्पाद असंयुक्त संघ और मैनिफोल्ड्स के उत्पाद द्वारा दिया जाता है (के साथ) वेक्टर बंडलों पर स्पष्ट संचालन), और वेक्टर बंडल के साथ मैनिफोल्ड की कोई भी सीमा 0 है। यह ओरिएंटेड मैनिफोल्ड्स के कोबॉर्डिज्म रिंग के समान है, सिवाय इसके कि मैनिफोल्ड्स में वेक्टर बंडल भी होता है। टोपोलॉजिकल और विश्लेषणात्मक सूचकांकों को इस रिंग से पूर्णांक तक के कार्यों के रूप में पुनर्व्याख्यायित किया जाता है। फिर कोई जाँचता है कि ये दोनों कार्य वास्तव में दोनों वलय समरूपताएँ हैं। यह साबित करने के लिए कि वे समान हैं, केवल यह जांचना आवश्यक है कि वे इस रिंग के जनरेटर के सेट पर समान हैं। थॉम्स का कोबॉर्डिज्म सिद्धांत जनरेटर का सेट देता है; उदाहरण के लिए, सम आयामी क्षेत्रों पर कुछ बंडलों के साथ तुच्छ बंडल के साथ जटिल वेक्टर रिक्त स्थान। इसलिए सूचकांक प्रमेय को इन विशेष रूप से सरल मामलों पर जांच कर सिद्ध किया जा सकता है।

K-सिद्धांत

अतियाह और सिंगर के पहले प्रकाशित प्रमाण में सह-बॉर्डिज्म के बजाय के-सिद्धांत का उपयोग किया गया था। यदि मैं एक्स से वाई तक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स का कोई समावेश है, तो उन्होंने 'पुशफॉरवर्ड' ऑपरेशन को परिभाषित किया है_! X के अण्डाकार ऑपरेटरों पर Y के अण्डाकार ऑपरेटरों पर जो सूचकांक को संरक्षित करता है। Y को कुछ ऐसे गोले के रूप में लेने से जिसमें X एम्बेड होता है, यह क्षेत्रों के मामले में सूचकांक प्रमेय को कम कर देता है। यदि Y गोला है और X, Y में अंतर्निहित कोई बिंदु है, तो Y पर कोई भी अण्डाकार ऑपरेटर i के अंतर्गत छवि है_! बिंदु पर कुछ अण्डाकार ऑपरेटर का। यह सूचकांक प्रमेय को बिंदु के मामले में कम कर देता है, जहां यह तुच्छ है।

गर्मी समीकरण

Atiyah, Bott, and Patodi (1973) ने ऊष्मा समीकरण का उपयोग करके सूचकांक प्रमेय का नया प्रमाण दिया, उदाहरण देखें। Berline, Getzler & Vergne (1992). इसका प्रमाण भी प्रकाशित किया गया है (Melrose 1993) और (Gilkey 1994).

यदि D, आसन्न D* के साथ विभेदक संचालिका है, तो D*D और DD* स्व-संयुक्त संचालिका हैं जिनके गैर-शून्य eigenvalues ​​​​की बहुलताएँ समान हैं। हालाँकि उनके शून्य eigenspaces में अलग-अलग बहुलताएँ हो सकती हैं, क्योंकि ये बहुलताएँ D और D* के कर्नेल के आयाम हैं। इसलिए, D का सूचकांक इस प्रकार दिया गया है

$\operatorname {index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\operatorname {Tr} \left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname {Tr} \left(e^{-tDD^{*}}\right)$

किसी भी सकारात्मक टी के लिए. दाहिने हाथ की ओर दो हीट ऑपरेटरों के कर्नेल के अंतर का निशान दिया गया है। इनमें छोटे सकारात्मक टी के लिए स्पर्शोन्मुख विस्तार है, जिसका उपयोग सीमा का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि टी 0 की ओर जाता है, जो अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय का प्रमाण देता है। छोटे टी के लिए स्पर्शोन्मुख विस्तार बहुत जटिल प्रतीत होते हैं, लेकिन अपरिवर्तनीय सिद्धांत से पता चलता है कि शब्दों के बीच बड़े पैमाने पर रद्दीकरण हैं, जिससे प्रमुख शब्दों को स्पष्ट रूप से ढूंढना संभव हो जाता है। इन रद्दीकरणों को बाद में सुपरसिमेट्री का उपयोग करके समझाया गया।

संदर्भ

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• Teleman, N. (1985), "Transversality and the index theorem", Integral Equations and Operator Theory, 8 (5): 693–719, doi:10.1007/BF01201710, S2CID 121137053
• Thom, R. (1956), "Les classes caractéristiques de Pontrjagin de variétés triangulées", Symp. Int. Top. Alg. Mexico, pp. 54–67
• Witten, Edward (1982), "Supersymmetry and Morse theory", J. Diff. Geom., 17 (4): 661–692, doi:10.4310/jdg/1214437492, MR 0683171
• Shing-Tung Yau, ed. (2009) [First published in 2005], The Founders of Index Theory (2nd ed.), Somerville, Mass.: International Press of Boston, ISBN 978-1571461377 - Personal accounts on Atiyah, Bott, Hirzebruch and Singer.

बाहरी संबंध

सिद्धांत पर लिंक

• Mazzeo, Rafe. "अतियाह-गायक सूचकांक प्रमेय: यह क्या है और आपको इसकी परवाह क्यों करनी चाहिए" (PDF). Archived from the original (PDF) on October 10, 2002. पीडीएफ प्रस्तुति।
• Voitsekhovskii, M.I.; Shubin, M.A. (2001) [1994], "Index formulas", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Wassermann, Antony. "अतियाह-गायक सूचकांक प्रमेय पर व्याख्यान नोट्स". Archived from the original on March 29, 2017.

साक्षात्कार के लिंक

• Raussen, Martin; Skau, Christian (2005), "Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer" (PDF), Notices of AMS, pp. 223–231
• आर. आर. सीली और अन्य (1999) सूचकांक सिद्धांत और छद्म के शुरुआती दिनों की यादें- डिफरेंशियल ऑपरेटर्स - सितंबर 1998 में रोस्किल्डे, डेनमार्क में आयोजित संगोष्ठी के दौरान रात्रिभोज के बाद की अनौपचारिक बातचीत का आंशिक प्रतिलेख।

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