सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण: Difference between revisions

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===वैकल्पिक मानकीकरण ===
===वैकल्पिक मानकीकरण ===
<math>\theta = \sqrt{ab}</math> और <math>\eta = \sqrt{b/a}</math> को व्यवस्थित करके, हम वैकल्पिक रूप से जीआईजी वितरण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं
<math>\theta = \sqrt{ab}</math> और <math>\eta = \sqrt{b/a}</math> को व्यवस्थित कर के, हम वैकल्पिक रूप से जीआईजी वितरण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं


:<math>f(x) = \frac{1}{2\eta K_p(\theta)} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{p-1} e^{-\theta(x/\eta + \eta/x)/2}, </math>
:<math>f(x) = \frac{1}{2\eta K_p(\theta)} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{p-1} e^{-\theta(x/\eta + \eta/x)/2}, </math>
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: <math> f(x;\mu,\lambda) = \left[\frac{\lambda}{2 \pi x^3}\right]^{1/2} \exp{ \left( \frac{-\lambda (x-\mu)^2}{2 \mu^2 x} \right)}</math>
: <math> f(x;\mu,\lambda) = \left[\frac{\lambda}{2 \pi x^3}\right]^{1/2} \exp{ \left( \frac{-\lambda (x-\mu)^2}{2 \mu^2 x} \right)}</math>
के साथ जीआईजी है <math>a = \lambda/\mu^2</math>, <math>b = \lambda</math>, और <math>p=-1/2</math>. प्रपत्र का गामा वितरण
के साथ ''GIG'' है <math>a = \lambda/\mu^2</math>, <math>b = \lambda</math>, और <math>p=-1/2</math>. प्रपत्र का गामा वितरण


: <math>
: <math>
g(x;\alpha,\beta) = \beta^\alpha \frac 1 {\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} </math>
g(x;\alpha,\beta) = \beta^\alpha \frac 1 {\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} </math>
के साथ जीआईजी है <math>a = 2 \beta</math>, <math>b = 0</math>, और <math>p = \alpha</math>.
के साथ ''GIG'' है <math>a = 2 \beta</math>, <math>b = 0</math>, और <math>p = \alpha</math> है।


अन्य विशेष स्थिति में a = 0 के लिए [[व्युत्क्रम-गामा वितरण]] सम्मलित है।<ref name=JKB/>
अन्य विशेष स्थिति में a = 0 के लिए [[व्युत्क्रम-गामा वितरण]] सम्मलित है।<ref name=JKB/>
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P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta) = \text{GIG}\left(z\mid a+T\beta^2,b+S,p-\frac T 2 \right)
P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta) = \text{GIG}\left(z\mid a+T\beta^2,b+S,p-\frac T 2 \right)
</math>
</math>
जहाँ <math>\textstyle S = \sum_{i=1}^T (x_i-\alpha)^2</math>होता है। <ref group="note">Due to the conjugacy, these details can be derived without solving integrals, by noting that  
जहाँ <math>\textstyle S = \sum_{i=1}^T (x_i-\alpha)^2</math> होता है। <ref group="note">Due to the conjugacy, these details can be derived without solving integrals, by noting that  
:<math>P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta)\propto P(z\mid a,b,p)P(X\mid z,\alpha,\beta)</math>.
:<math>P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta)\propto P(z\mid a,b,p)P(X\mid z,\alpha,\beta)</math>.
Omitting all factors independent of <math>z</math>, the right-hand-side can be simplified to give an ''un-normalized'' GIG distribution, from which the posterior parameters can be identified.</ref>
Omitting all factors independent of <math>z</math>, the right-hand-side can be simplified to give an ''un-normalized'' GIG distribution, from which the posterior parameters can be identified.</ref>


===सिचेल वितरण===
===सिचेल वितरण===
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==टिप्पणियाँ==
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==संदर्भ==
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== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
*उलटा गाऊसी वितरण
*उलटा गाऊसी वितरण
*गामा वितरण
*गामा वितरण
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Latest revision as of 19:25, 21 July 2023

सामान्यीकृत व्युत्क्रम गौसिअन
325px| जीआईजी वितरण का प्रायिकता घनत्व स्थान
Parameters वास्तविक a > 0, b > 0, p
Support x > 0
Unknown type
Mean

Mode
Unknown type
MGF
CF

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण (जीआईजी) प्रायिकता घनत्व फलन के साथ निरंतर प्रायिकता वितरण का तीन-मापदंड समूह है

जहां kp दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है, a > 0, b > 0 और p वास्तविक मापदंड हैं। इसका उपयोग भू-सांख्यिकी, सांख्यिकीय भाषाविज्ञान, वित्त आदि में वृहद् स्तर पर किया जाता है। यह वितरण सबसे पहले एटियेन हाल्फेन द्वारा प्रस्तावित किया गया था।[1][2][3] इसे ओले बार्नडॉर्फ-नीलसन ने पुनः खोजा और लोकप्रिय बनाया, जिन्होंने इसे सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण कहा था। बेंट जोर्जेंसन के व्याख्यान टिप्पणियों में इसके सांख्यिकीय गुणों का वर्णन किया गया हैं।[4]


गुण

वैकल्पिक मानकीकरण

और को व्यवस्थित कर के, हम वैकल्पिक रूप से जीआईजी वितरण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं

जहाँ जबकि निश्चित मापदंड है प्रवर्धन मापदंड हैं।

सारांश

बार्नडॉर्फ-नील्सन और हेलग्रीन ने सिद्ध किया कि जीआईजी वितरण अनंत विभाज्यता (संभावना) है।[5]


एंट्रॉपी

सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण की एन्ट्रापी इस प्रकार दी गई है[citation needed]

जहाँ क्रम के संबंध में दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फलन का व्युत्पन्न है पर मूल्यांकन किया गया हैं।


विशेषता फलन

यादृच्छिक चर की विशेषता के रूप में दिया गया है (विशेषता फलन की व्युत्पत्ति के लिए, पूरक सामग्री देखा जाता हैं)। [6]

के लिए जहाँ काल्पनिक संख्या को दर्शाता है।

संबंधित वितरण

विशेष मामले

व्युत्क्रम गाऊसी वितरण और गामा वितरण क्रमशः p = −1/2 और b = 0 के लिए सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण की विशेष स्थिति हैं।[7] विशेष रूप से, प्रपत्र का व्युत्क्रम गाऊसी वितरण

के साथ GIG है , , और . प्रपत्र का गामा वितरण

के साथ GIG है , , और है।

अन्य विशेष स्थिति में a = 0 के लिए व्युत्क्रम-गामा वितरण सम्मलित है।[7]


गौसियन के लिए पूर्ववर्ती संयुग्म

सामान्य विचरण-माध्य मिश्रण में मिश्रण वितरण के रूप में कार्य करते समय जीआईजी वितरण सामान्य वितरण से पहले संयुग्मित होता है।[8][9] कुछ अदृश्य चर के लिए पूर्ववर्ती वितरण माना हैं, जो जीआईजी बनाता हैं:

और माना की अवलोकन किए गए डेटा बिंदु, , सामान्य संभावना फलन के साथ, पर स्थित किया जाता हैं:

जहाँ माध्य के साथ सामान्य वितरण और विचरण है। फिर पीछे के लिए , दिया गया डेटा भी जीआईजी है:

जहाँ होता है। [note 1]

सिचेल वितरण

सिचेल वितरण[10][11] परिणाम तब आते हैं जब जीआईजी का उपयोग पॉइसन वितरण मापदंड के लिए मिश्रण वितरण के रूप में किया जाता है।

टिप्पणियाँ

  1. Due to the conjugacy, these details can be derived without solving integrals, by noting that
    .
    Omitting all factors independent of , the right-hand-side can be simplified to give an un-normalized GIG distribution, from which the posterior parameters can be identified.

संदर्भ

  1. Seshadri, V. (1997). "Halphen's laws". In Kotz, S.; Read, C. B.; Banks, D. L. (eds.). Encyclopedia of Statistical Sciences, Update Volume 1. New York: Wiley. pp. 302–306.
  2. Perreault, L.; Bobée, B.; Rasmussen, P. F. (1999). "Halphen Distribution System. I: Mathematical and Statistical Properties". Journal of Hydrologic Engineering. 4 (3): 189. doi:10.1061/(ASCE)1084-0699(1999)4:3(189).
  3. Étienne Halphen was the grandson of the mathematician Georges Henri Halphen.
  4. Jørgensen, Bent (1982). Statistical Properties of the Generalized Inverse Gaussian Distribution. Lecture Notes in Statistics. Vol. 9. New York–Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90665-7. MR 0648107.
  5. O. Barndorff-Nielsen and Christian Halgreen, Infinite Divisibility of the Hyperbolic and Generalized Inverse Gaussian Distributions, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977
  6. Pal, Subhadip; Gaskins, Jeremy (23 May 2022). "Modified Pólya-Gamma data augmentation for Bayesian analysis of directional data". Journal of Statistical Computation and Simulation. 92 (16): 3430–3451. doi:10.1080/00949655.2022.2067853. ISSN 0094-9655. S2CID 249022546.
  7. 7.0 7.1 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, pp. 284–285, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979
  8. Dimitris Karlis, "An EM type algorithm for maximum likelihood estimation of the normal–inverse Gaussian distribution", Statistics & Probability Letters 57 (2002) 43–52.
  9. Barndorf-Nielsen, O.E., 1997. Normal Inverse Gaussian Distributions and stochastic volatility modelling. Scand. J. Statist. 24, 1–13.
  10. Sichel, Herbert S, 1975. "On a distribution law for word frequencies." Journal of the American Statistical Association 70.351a: 542-547.
  11. Stein, Gillian Z., Walter Zucchini, and June M. Juritz, 1987. "Parameter estimation for the Sichel distribution and its multivariate extension." Journal of the American Statistical Association 82.399: 938-944.

यह भी देखें

  • उलटा गाऊसी वितरण
  • गामा वितरण