सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण: Difference between revisions

From Vigyanwiki
(Created page with "{{Probability distribution| name =Generalized inverse Gaussian| type =density| pdf_image =Image:GIG distribution pdf.svg|325px|Probability density plot...")
 
No edit summary
 
(12 intermediate revisions by 4 users not shown)
Line 1: Line 1:
{{Probability distribution|
{{Probability distribution|
   name      =Generalized inverse Gaussian|
   name      =सामान्यीकृत व्युत्क्रम गौसिअन|
   type      =density|
   type      =घनत्व|
   pdf_image  =[[Image:GIG distribution pdf.svg|325px|Probability density plots of GIG distributions]]|
   pdf_image  =[[चित्र:जीआईजी वितरण pdf.svg|325px| जीआईजी वितरण का प्रायिकता घनत्व स्थान  ]]|
   cdf_image  =|
   cdf_image  =|
   parameters =''a'' > 0, ''b'' > 0, ''p'' real|
   parameters =वास्तविक ''a'' > 0, ''b'' > 0, ''p''|
   support    =''x'' > 0|
   support    =''x'' > 0|
   pdf        =<math>f(x) = \frac{(a/b)^{p/2}}{2 K_p(\sqrt{ab})} x^{(p-1)} e^{-(ax + b/x)/2}</math>|
   pdf        =<math>f(x) = \frac{(a/b)^{p/2}}{2 K_p(\sqrt{ab})} x^{(p-1)} e^{-(ax + b/x)/2}</math>|
Line 18: Line 18:
   char      =<math>\left(\frac{a}{a-2it}\right)^{\frac{p}{2}}\frac{K_p(\sqrt{b(a-2it)})}{K_p(\sqrt{ab})}</math>|
   char      =<math>\left(\frac{a}{a-2it}\right)^{\frac{p}{2}}\frac{K_p(\sqrt{b(a-2it)})}{K_p(\sqrt{ab})}</math>|
  }}
  }}
संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण (जीआईजी) संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ निरंतर संभाव्यता वितरण का एक तीन-पैरामीटर परिवार है
 
प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, '''सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण (जीआईजी)''' प्रायिकता घनत्व फलन के साथ निरंतर प्रायिकता वितरण का तीन-मापदंड समूह है


:<math>f(x) = \frac{(a/b)^{p/2}}{2 K_p(\sqrt{ab})} x^{(p-1)} e^{-(ax + b/x)/2},\qquad x>0,</math>
:<math>f(x) = \frac{(a/b)^{p/2}}{2 K_p(\sqrt{ab})} x^{(p-1)} e^{-(ax + b/x)/2},\qquad x>0,</math>
जहां के<sub>p</sub>दूसरे प्रकार का एक [[संशोधित बेसेल फ़ंक्शन]] है, a > 0, b > 0 और p एक वास्तविक पैरामीटर। इसका उपयोग भू-सांख्यिकी, सांख्यिकीय भाषाविज्ञान, वित्त आदि में बड़े पैमाने पर किया जाता है। यह वितरण सबसे पहले एटियेन हाल्फेन द्वारा प्रस्तावित किया गया था।<ref>
जहां k<sub>p</sub> दूसरे प्रकार का [[संशोधित बेसेल फ़ंक्शन|संशोधित बेसेल फलन]] है, a > 0, b > 0 और p वास्तविक मापदंड हैं। इसका उपयोग भू-सांख्यिकी, सांख्यिकीय भाषाविज्ञान, वित्त आदि में वृहद् स्तर पर किया जाता है। यह वितरण सबसे पहले एटियेन हाल्फेन द्वारा प्रस्तावित किया गया था।<ref>
{{Cite book
{{Cite book
   | last = Seshadri
   | last = Seshadri
Line 38: Line 39:
   | year = 1997
   | year = 1997
   }}
   }}
</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Perreault | first1 = L. | last2 = Bobée | first2 = B. | last3 = Rasmussen | first3 = P. F. | doi = 10.1061/(ASCE)1084-0699(1999)4:3(189) | title = Halphen Distribution System. I: Mathematical and Statistical Properties | journal = Journal of Hydrologic Engineering | volume = 4 | issue = 3 | pages = 189 | year = 1999 }}</ref><ref>Étienne Halphen was the grandson of the mathematician [[Georges Henri Halphen]].</ref> इसे [[ओले बार्नडॉर्फ-नीलसन]] द्वारा फिर से खोजा और लोकप्रिय बनाया गया, जिन्होंने इसे सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण कहा। बेंट जोर्जेंसन के व्याख्यान नोट्स में इसके सांख्यिकीय गुणों पर चर्चा की गई है।<ref>
</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Perreault | first1 = L. | last2 = Bobée | first2 = B. | last3 = Rasmussen | first3 = P. F. | doi = 10.1061/(ASCE)1084-0699(1999)4:3(189) | title = Halphen Distribution System. I: Mathematical and Statistical Properties | journal = Journal of Hydrologic Engineering | volume = 4 | issue = 3 | pages = 189 | year = 1999 }}</ref><ref>Étienne Halphen was the grandson of the mathematician [[Georges Henri Halphen]].</ref> इसे [[ओले बार्नडॉर्फ-नीलसन]] ने पुनः खोजा और लोकप्रिय बनाया, जिन्होंने इसे सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण कहा था। बेंट जोर्जेंसन के व्याख्यान टिप्पणियों में इसके सांख्यिकीय गुणों का वर्णन किया गया हैं।<ref>
{{cite book
{{cite book
   | last = Jørgensen
   | last = Jørgensen
Line 54: Line 55:
==गुण==
==गुण==


===वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन===
===वैकल्पिक मानकीकरण ===
व्यवस्थित करके <math>\theta = \sqrt{ab}</math> और <math>\eta = \sqrt{b/a}</math>, हम वैकल्पिक रूप से जीआईजी वितरण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं
<math>\theta = \sqrt{ab}</math> और <math>\eta = \sqrt{b/a}</math> को व्यवस्थित कर के, हम वैकल्पिक रूप से जीआईजी वितरण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं


:<math>f(x) = \frac{1}{2\eta K_p(\theta)} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{p-1} e^{-\theta(x/\eta + \eta/x)/2}, </math>
:<math>f(x) = \frac{1}{2\eta K_p(\theta)} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{p-1} e^{-\theta(x/\eta + \eta/x)/2}, </math>
कहाँ <math>\theta</math> जबकि एकाग्रता पैरामीटर है <math>\eta</math> स्केलिंग पैरामीटर है.
जहाँ <math>\theta</math> जबकि निश्चित मापदंड है <math>\eta</math> प्रवर्धन मापदंड हैं।


=== सारांश ===
=== सारांश ===
बार्नडॉर्फ-नील्सन और हेलग्रीन ने साबित किया कि जीआईजी वितरण [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]] है।<ref>O. Barndorff-Nielsen and Christian Halgreen, Infinite Divisibility of the Hyperbolic and Generalized Inverse Gaussian Distributions, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977</ref>
बार्नडॉर्फ-नील्सन और हेलग्रीन ने सिद्ध किया कि जीआईजी वितरण [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]] है।<ref>O. Barndorff-Nielsen and Christian Halgreen, Infinite Divisibility of the Hyperbolic and Generalized Inverse Gaussian Distributions, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977</ref>




Line 73: Line 74:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
कहाँ <math>\left[\frac{d}{d\nu}K_\nu\left(\sqrt{a b}\right)\right]_{\nu=p}</math> ऑर्डर के संबंध में दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है <math>\nu</math> पर मूल्यांकन किया गया <math>\nu=p</math>
जहाँ <math>\left[\frac{d}{d\nu}K_\nu\left(\sqrt{a b}\right)\right]_{\nu=p}</math> क्रम के संबंध में दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फलन का व्युत्पन्न <math>\nu</math> है पर मूल्यांकन <math>\nu=p</math> किया गया हैं।




=== विशेषता कार्य ===
=== विशेषता फलन ===
यादृच्छिक चर की विशेषता <math> X\sim GIG(p, a, b) </math> के रूप में दिया गया है (विशेषता फ़ंक्शन की व्युत्पत्ति के लिए, की पूरक सामग्री देखें)।  <ref>{{cite journal |last1=Pal |first1=Subhadip |last2=Gaskins |first2=Jeremy |title=Modified Pólya-Gamma data augmentation for Bayesian analysis of directional data |journal=Journal of Statistical Computation and Simulation |date=23 May 2022 |volume=92 |issue=16 |pages=3430–3451 |doi=10.1080/00949655.2022.2067853 |s2cid=249022546 |url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00949655.2022.2067853?journalCode=gscs20 |issn=0094-9655}}</ref> )
यादृच्छिक चर की विशेषता <math> X\sim GIG(p, a, b) </math> के रूप में दिया गया है (विशेषता फलन की व्युत्पत्ति के लिए, पूरक सामग्री देखा जाता हैं)।  <ref>{{cite journal |last1=Pal |first1=Subhadip |last2=Gaskins |first2=Jeremy |title=Modified Pólya-Gamma data augmentation for Bayesian analysis of directional data |journal=Journal of Statistical Computation and Simulation |date=23 May 2022 |volume=92 |issue=16 |pages=3430–3451 |doi=10.1080/00949655.2022.2067853 |s2cid=249022546 |url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00949655.2022.2067853?journalCode=gscs20 |issn=0094-9655}}</ref>


:<math> E(e^{itX}) =  \left(\frac{a }{a-2it }\right)^{\frac{p}{2}} \frac{K_{p}\left( \sqrt{(a-2it)b} \right)}{ K_{p}\left( \sqrt{ab} \right) }  </math> के लिए <math> t \in \mathbb{R}</math> कहाँ <math> i </math> [[काल्पनिक संख्या]] को दर्शाता है.
:<math> E(e^{itX}) =  \left(\frac{a }{a-2it }\right)^{\frac{p}{2}} \frac{K_{p}\left( \sqrt{(a-2it)b} \right)}{ K_{p}\left( \sqrt{ab} \right) }  </math> के लिए <math> t \in \mathbb{R}</math> जहाँ <math> i </math> [[काल्पनिक संख्या]] को दर्शाता है।


==संबंधित वितरण==
==संबंधित वितरण==


===विशेष मामले===
===विशेष मामले===
[[व्युत्क्रम गाऊसी वितरण]] और [[गामा वितरण]] वितरण क्रमशः p = −1/2 और b = 0 के लिए सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण के विशेष मामले हैं।<ref name=JKB/>  विशेष रूप से, प्रपत्र का व्युत्क्रम गाऊसी वितरण
[[व्युत्क्रम गाऊसी वितरण]] और [[गामा वितरण]] क्रमशः p = −1/2 और b = 0 के लिए सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण की विशेष स्थिति हैं।<ref name=JKB/>  विशेष रूप से, प्रपत्र का व्युत्क्रम गाऊसी वितरण


: <math> f(x;\mu,\lambda) = \left[\frac{\lambda}{2 \pi x^3}\right]^{1/2} \exp{ \left( \frac{-\lambda (x-\mu)^2}{2 \mu^2 x} \right)}</math>
: <math> f(x;\mu,\lambda) = \left[\frac{\lambda}{2 \pi x^3}\right]^{1/2} \exp{ \left( \frac{-\lambda (x-\mu)^2}{2 \mu^2 x} \right)}</math>
के साथ एक GIG है <math>a = \lambda/\mu^2</math>, <math>b = \lambda</math>, और <math>p=-1/2</math>. प्रपत्र का एक गामा वितरण
के साथ ''GIG'' है <math>a = \lambda/\mu^2</math>, <math>b = \lambda</math>, और <math>p=-1/2</math>. प्रपत्र का गामा वितरण


: <math>
: <math>
g(x;\alpha,\beta) = \beta^\alpha \frac 1 {\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} </math>
g(x;\alpha,\beta) = \beta^\alpha \frac 1 {\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} </math>
के साथ एक GIG है <math>a = 2 \beta</math>, <math>b = 0</math>, और <math>p = \alpha</math>.
के साथ ''GIG'' है <math>a = 2 \beta</math>, <math>b = 0</math>, और <math>p = \alpha</math> है।


अन्य विशेष मामलों में a = 0 के लिए [[व्युत्क्रम-गामा वितरण]] शामिल है।<ref name=JKB/>
अन्य विशेष स्थिति में a = 0 के लिए [[व्युत्क्रम-गामा वितरण]] सम्मलित है।<ref name=JKB/>




===गौसियन के लिए पूर्व संयुग्म ===
===गौसियन के लिए पूर्ववर्ती संयुग्म ===
[[सामान्य विचरण-माध्य मिश्रण]] में मिश्रण वितरण के रूप में कार्य करते समय जीआईजी वितरण [[सामान्य वितरण]] से पहले संयुग्मित होता है।<ref>Dimitris Karlis, "An EM type algorithm for maximum likelihood estimation of the normal–inverse Gaussian distribution", Statistics & Probability Letters 57 (2002) 43–52.</ref><ref>Barndorf-Nielsen, O.E., 1997. ''Normal Inverse Gaussian Distributions and stochastic volatility modelling''. Scand. J. Statist. 24, 1–13.</ref> कुछ छिपे हुए चर के लिए पूर्व वितरण मान लीजिए <math>z</math>, जीआईजी बनें:
[[सामान्य विचरण-माध्य मिश्रण]] में मिश्रण वितरण के रूप में कार्य करते समय जीआईजी वितरण [[सामान्य वितरण]] से पहले संयुग्मित होता है।<ref>Dimitris Karlis, "An EM type algorithm for maximum likelihood estimation of the normal–inverse Gaussian distribution", Statistics & Probability Letters 57 (2002) 43–52.</ref><ref>Barndorf-Nielsen, O.E., 1997. ''Normal Inverse Gaussian Distributions and stochastic volatility modelling''. Scand. J. Statist. 24, 1–13.</ref> कुछ अदृश्य चर के लिए पूर्ववर्ती वितरण माना <math>z</math> हैं, जो जीआईजी बनाता हैं:
:<math>
:<math>
P(z\mid a,b,p) = \operatorname{GIG}(z\mid a,b,p)
P(z\mid a,b,p) = \operatorname{GIG}(z\mid a,b,p)
</math>
</math>
और वहाँ रहने दो <math>T</math> अवलोकन किए गए डेटा बिंदु, <math>X=x_1,\ldots,x_T</math>, सामान्य संभावना फ़ंक्शन के साथ, वातानुकूलित <math>z:</math>
और माना की <math>T</math> अवलोकन किए गए डेटा बिंदु, <math>X=x_1,\ldots,x_T</math>, सामान्य संभावना फलन के साथ, <math>z</math> पर स्थित किया जाता हैं:
: <math>
: <math>
P(X\mid z,\alpha,\beta) = \prod_{i=1}^T N(x_i\mid\alpha+\beta z,z)
P(X\mid z,\alpha,\beta) = \prod_{i=1}^T N(x_i\mid\alpha+\beta z,z)
</math>
</math>
कहाँ <math>N(x\mid\mu,v)</math> माध्य के साथ सामान्य वितरण है <math>\mu</math> और विचरण <math>v</math>. फिर पीछे के लिए <math>z</math>, दिया गया डेटा भी GIG है:
जहाँ <math>N(x\mid\mu,v)</math> माध्य के साथ सामान्य वितरण <math>\mu</math> और विचरण <math>v</math> है। फिर पीछे के लिए <math>z</math>, दिया गया डेटा भी जीआईजी है:
:<math>
:<math>
P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta) = \text{GIG}\left(z\mid a+T\beta^2,b+S,p-\frac T 2 \right)
P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta) = \text{GIG}\left(z\mid a+T\beta^2,b+S,p-\frac T 2 \right)
</math>
</math>
कहाँ <math>\textstyle S = \sum_{i=1}^T (x_i-\alpha)^2</math>.<ref group=note>Due to the conjugacy, these details can be derived without solving integrals, by noting that  
जहाँ <math>\textstyle S = \sum_{i=1}^T (x_i-\alpha)^2</math> होता है। <ref group="note">Due to the conjugacy, these details can be derived without solving integrals, by noting that  
:<math>P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta)\propto P(z\mid a,b,p)P(X\mid z,\alpha,\beta)</math>.  
:<math>P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta)\propto P(z\mid a,b,p)P(X\mid z,\alpha,\beta)</math>.
Omitting all factors independent of <math>z</math>, the right-hand-side can be simplified to give an ''un-normalized'' GIG distribution, from which the posterior parameters can be identified.</ref>
Omitting all factors independent of <math>z</math>, the right-hand-side can be simplified to give an ''un-normalized'' GIG distribution, from which the posterior parameters can be identified.</ref>


 
===सिचेल वितरण===
===दरांती वितरण===
सिचेल वितरण<ref>Sichel, Herbert S, 1975. "On a distribution law for word frequencies." Journal of the American Statistical Association 70.351a: 542-547.</ref><ref>Stein, Gillian Z., Walter Zucchini, and June M. Juritz, 1987. "Parameter estimation for the Sichel distribution and its multivariate extension." Journal of the American Statistical Association 82.399: 938-944.</ref> परिणाम तब आते हैं जब जीआईजी का उपयोग पॉइसन वितरण मापदंड <math>\lambda</math> के लिए मिश्रण वितरण के रूप में किया जाता है।
सिचेल वितरण<ref>Sichel, Herbert S, 1975. "On a distribution law for word frequencies." Journal of the American Statistical Association 70.351a: 542-547.</ref><ref>Stein, Gillian Z., Walter Zucchini, and June M. Juritz, 1987. "Parameter estimation for the Sichel distribution and its multivariate extension." Journal of the American Statistical Association 82.399: 938-944.</ref> परिणाम तब आते हैं जब जीआईजी का उपयोग पॉइसन वितरण पैरामीटर के लिए मिश्रण वितरण के रूप में किया जाता है <math>\lambda</math>.


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
{{reflist|group=note}}
{{reflist|group=note}}
==संदर्भ==
==संदर्भ==
{{reflist|refs=
{{reflist|refs=
Line 127: Line 125:


}}
}}
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
*उलटा गाऊसी वितरण
*उलटा गाऊसी वितरण
*गामा वितरण
*गामा वितरण
<!-- (This article will continue to be developed, by reference to the [[Normal Distribution]]. -->
{{ProbDistributions|continuous-semi-infinite}}
{{DEFAULTSORT:Generalized Inverse Gaussian Distribution}}
{{DEFAULTSORT:Generalized Inverse Gaussian Distribution}}
श्रेणी:निरंतर वितरण
श्रेणी:घातांकीय पारिवारिक वितरण


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:All articles with unsourced statements|Generalized Inverse Gaussian Distribution]]
[[Category:Created On 08/07/2023]]
[[Category:Articles with unsourced statements from February 2012|Generalized Inverse Gaussian Distribution]]
[[Category:Created On 08/07/2023|Generalized Inverse Gaussian Distribution]]
[[Category:Machine Translated Page|Generalized Inverse Gaussian Distribution]]
[[Category:Pages with script errors|Generalized Inverse Gaussian Distribution]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]

Latest revision as of 19:25, 21 July 2023

सामान्यीकृत व्युत्क्रम गौसिअन
325px| जीआईजी वितरण का प्रायिकता घनत्व स्थान
Parameters वास्तविक a > 0, b > 0, p
Support x > 0
Unknown type
Mean

Mode
Unknown type
MGF
CF

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण (जीआईजी) प्रायिकता घनत्व फलन के साथ निरंतर प्रायिकता वितरण का तीन-मापदंड समूह है

जहां kp दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है, a > 0, b > 0 और p वास्तविक मापदंड हैं। इसका उपयोग भू-सांख्यिकी, सांख्यिकीय भाषाविज्ञान, वित्त आदि में वृहद् स्तर पर किया जाता है। यह वितरण सबसे पहले एटियेन हाल्फेन द्वारा प्रस्तावित किया गया था।[1][2][3] इसे ओले बार्नडॉर्फ-नीलसन ने पुनः खोजा और लोकप्रिय बनाया, जिन्होंने इसे सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण कहा था। बेंट जोर्जेंसन के व्याख्यान टिप्पणियों में इसके सांख्यिकीय गुणों का वर्णन किया गया हैं।[4]


गुण

वैकल्पिक मानकीकरण

और को व्यवस्थित कर के, हम वैकल्पिक रूप से जीआईजी वितरण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं

जहाँ जबकि निश्चित मापदंड है प्रवर्धन मापदंड हैं।

सारांश

बार्नडॉर्फ-नील्सन और हेलग्रीन ने सिद्ध किया कि जीआईजी वितरण अनंत विभाज्यता (संभावना) है।[5]


एंट्रॉपी

सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण की एन्ट्रापी इस प्रकार दी गई है[citation needed]

जहाँ क्रम के संबंध में दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फलन का व्युत्पन्न है पर मूल्यांकन किया गया हैं।


विशेषता फलन

यादृच्छिक चर की विशेषता के रूप में दिया गया है (विशेषता फलन की व्युत्पत्ति के लिए, पूरक सामग्री देखा जाता हैं)। [6]

के लिए जहाँ काल्पनिक संख्या को दर्शाता है।

संबंधित वितरण

विशेष मामले

व्युत्क्रम गाऊसी वितरण और गामा वितरण क्रमशः p = −1/2 और b = 0 के लिए सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण की विशेष स्थिति हैं।[7] विशेष रूप से, प्रपत्र का व्युत्क्रम गाऊसी वितरण

के साथ GIG है , , और . प्रपत्र का गामा वितरण

के साथ GIG है , , और है।

अन्य विशेष स्थिति में a = 0 के लिए व्युत्क्रम-गामा वितरण सम्मलित है।[7]


गौसियन के लिए पूर्ववर्ती संयुग्म

सामान्य विचरण-माध्य मिश्रण में मिश्रण वितरण के रूप में कार्य करते समय जीआईजी वितरण सामान्य वितरण से पहले संयुग्मित होता है।[8][9] कुछ अदृश्य चर के लिए पूर्ववर्ती वितरण माना हैं, जो जीआईजी बनाता हैं:

और माना की अवलोकन किए गए डेटा बिंदु, , सामान्य संभावना फलन के साथ, पर स्थित किया जाता हैं:

जहाँ माध्य के साथ सामान्य वितरण और विचरण है। फिर पीछे के लिए , दिया गया डेटा भी जीआईजी है:

जहाँ होता है। [note 1]

सिचेल वितरण

सिचेल वितरण[10][11] परिणाम तब आते हैं जब जीआईजी का उपयोग पॉइसन वितरण मापदंड के लिए मिश्रण वितरण के रूप में किया जाता है।

टिप्पणियाँ

  1. Due to the conjugacy, these details can be derived without solving integrals, by noting that
    .
    Omitting all factors independent of , the right-hand-side can be simplified to give an un-normalized GIG distribution, from which the posterior parameters can be identified.

संदर्भ

  1. Seshadri, V. (1997). "Halphen's laws". In Kotz, S.; Read, C. B.; Banks, D. L. (eds.). Encyclopedia of Statistical Sciences, Update Volume 1. New York: Wiley. pp. 302–306.
  2. Perreault, L.; Bobée, B.; Rasmussen, P. F. (1999). "Halphen Distribution System. I: Mathematical and Statistical Properties". Journal of Hydrologic Engineering. 4 (3): 189. doi:10.1061/(ASCE)1084-0699(1999)4:3(189).
  3. Étienne Halphen was the grandson of the mathematician Georges Henri Halphen.
  4. Jørgensen, Bent (1982). Statistical Properties of the Generalized Inverse Gaussian Distribution. Lecture Notes in Statistics. Vol. 9. New York–Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90665-7. MR 0648107.
  5. O. Barndorff-Nielsen and Christian Halgreen, Infinite Divisibility of the Hyperbolic and Generalized Inverse Gaussian Distributions, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977
  6. Pal, Subhadip; Gaskins, Jeremy (23 May 2022). "Modified Pólya-Gamma data augmentation for Bayesian analysis of directional data". Journal of Statistical Computation and Simulation. 92 (16): 3430–3451. doi:10.1080/00949655.2022.2067853. ISSN 0094-9655. S2CID 249022546.
  7. 7.0 7.1 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, pp. 284–285, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979
  8. Dimitris Karlis, "An EM type algorithm for maximum likelihood estimation of the normal–inverse Gaussian distribution", Statistics & Probability Letters 57 (2002) 43–52.
  9. Barndorf-Nielsen, O.E., 1997. Normal Inverse Gaussian Distributions and stochastic volatility modelling. Scand. J. Statist. 24, 1–13.
  10. Sichel, Herbert S, 1975. "On a distribution law for word frequencies." Journal of the American Statistical Association 70.351a: 542-547.
  11. Stein, Gillian Z., Walter Zucchini, and June M. Juritz, 1987. "Parameter estimation for the Sichel distribution and its multivariate extension." Journal of the American Statistical Association 82.399: 938-944.

यह भी देखें

  • उलटा गाऊसी वितरण
  • गामा वितरण