जीनस (गणित): Difference between revisions

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{{Short description|Number of "holes" of a surface}}[[File:Double torus illustration.png|thumb|जीनस-2 सतह]]गणित में, जीनस (बहुवचन जेनेरा) के कुछ अलग, लेकिन निकट से संबंधित अर्थ होते हैं। सहज रूप से, जीनस [[सतह (टोपोलॉजी)]] के छिद्रों की संख्या है।{{sfn|Popescu-Pampu|2016|loc=Introduction|p=xiii}} गोले का जीनस 0 होता है, जबकि [[ टोरस्र्स ]] का जीनस 1 होता है।
{{Short description|Number of "holes" of a surface}}[[File:Double torus illustration.png|thumb|जीनस-2 सतह]]गणित में, '''जीनस''' (बहुवचन जेनेरा) के कुछ भिन्न, किन्तु निकट से संबंधित अर्थ होते हैं। सहज रूप से, जीनस [[सतह (टोपोलॉजी)]] के छिद्रों की संख्या है।{{sfn|Popescu-Pampu|2016|loc=Introduction|p=xiii}} गोले में जीनस 0 होता है, जबकि [[ टोरस्र्स |टोरस]] टोरस में जीनस 1 होता है।


==टोपोलॉजी==
==टोपोलॉजी==


===समायोज्य सतह===
===समायोज्य सतह===
[[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|इस एनिमेशन में दिखाए गए कॉफ़ी कप और डोनट दोनों का वंश है।]][[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]] का जीनस, ओरिएंटेबल सतह  [[पूर्णांक]] है जो परिणामी [[ कई गुना ]] को डिस्कनेक्ट किए बिना गैर-प्रतिच्छेदी वक्र#टोपोलॉजिकल_वक्र के साथ कटिंग की अधिकतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।<ref>Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.</ref> यह इस पर लगे [[हैंडल (गणित)]] की संख्या के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, इसे [[यूलर विशेषता]] χ के संदर्भ में, Surface_(topology)#Closed_surfaces के लिए संबंध χ = 2 − 2g के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, जहां g जीनस है। बी [[सीमा (टोपोलॉजी)]] घटकों वाली सतहों के लिए, समीकरण χ = 2 − 2g − b पढ़ता है। आम आदमी के शब्दों में, यह किसी वस्तु में छेदों की संख्या है (छेदों की व्याख्या डोनट छेद के अर्थ में की जाती है; खोखले गोले को इस अर्थ में शून्य छेद वाला माना जाएगा)। टोरस में 1 ऐसा छेद होता है, जबकि गोले में 0. ऊपर चित्रित हरी सतह में संबंधित प्रकार के 2 छेद होते हैं।
[[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|इस एनिमेशन में दिखाए गए कॉफ़ी कप और डोनट दोनों का जीनस है।]][[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ समिष्ट]] ओरिएंटेबल सतह का जीनस [[पूर्णांक]] है जो परिणामी [[ कई गुना |मैनिफोल्ड]] को डिस्कनेक्ट किए बिना अप्रतिच्छेदी विवृत सरल वक्रों के साथ कटिंग की अधिकतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।<ref>Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.</ref> यह उस पर लगे [[हैंडल (गणित)]] की संख्या के समान है। वैकल्पिक रूप से, इसे विवृत सतहों के लिए संबंध χ = 2 − 2g के माध्यम से [[यूलर विशेषता]] χ के संदर्भ में, में परिभाषित किया जा सकता है, जहां g जीनस है। b [[सीमा (टोपोलॉजी)]] घटकों वाली सतहों के लिए, समीकरण χ = 2 − 2g − b पढ़ता है। साधारण शब्दों में, यह किसी वस्तु में उपस्थित "छिद्रों" की संख्या है ("छिद्र" की व्याख्या डोनट छिद्र के अर्थ में की जाती है; टोरस गोले को इस अर्थ में शून्य छिद्र वाला माना जाएगा)। टोरस में 1 ऐसा छिद्र होता है, जबकि गोले में 0 ऊपर चित्रित हरे सतह में संबंधित प्रकार के 2 छेद होते हैं।


उदाहरण के लिए:
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* गोला 'एस'<sup>2</sup>और [[डिस्क (गणित)]] दोनों में जीनस शून्य है।
* गोला '''S'''<sup>2</sup>और [[डिस्क (गणित)]] दोनों में जीनस शून्य है।
* टोरस में जीनस होता है, जैसे हैंडल के साथ कॉफी मग की सतह होती है। यह मजाक का स्रोत है टोपोलॉजिस्ट वे लोग हैं जो अपने कॉफी मग से अपने डोनट का पता नहीं लगा सकते हैं।
* टोरस में जीनस होता है, जैसे हैंडल के साथ कॉफी मग की सतह होती है। यह जोक का स्रोत है टोपोलॉजिस्ट वे लोग हैं जो अपने कॉफी मग से अपने डोनट को ज्ञात नहीं कर सकता हैं।


[[मौलिक बहुभुज]] पर लेख में जीनस जी की सतहों का स्पष्ट निर्माण दिया गया है।
[[मौलिक बहुभुज]] पर लेख में जीनस g की सतहों का स्पष्ट निर्माण दिया गया है।
<gallery widths="100" heights="100" perrow="4" mode="nolines" caption="Genus of orientable surfaces">
<gallery widths="100" heights="100" perrow="4" mode="nolines" caption="Genus of orientable surfaces">
File:Sphere filled blue.svg|[[समतलीय ग्राफ]]़: जीनस 0
File:Sphere filled blue.svg|[[समतलीय ग्राफ]]़: जीनस 0
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सरल शब्दों में, उन्मुख सतह के जीनस का मूल्य उसमें मौजूद छिद्रों की संख्या के बराबर होता है।<ref>{{Cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/Genus.html | title=जाति| last = Weisstein | first = E.W. | website = MathWorld | access-date = 4 June 2021 | url-status = live}}</ref>
सरल शब्दों में, उन्मुख सतह के जीनस का मान उसमें उपस्थित छिद्रों की संख्या के समान होता है।<ref>{{Cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/Genus.html | title=जाति| last = Weisstein | first = E.W. | website = MathWorld | access-date = 4 June 2021 | url-status = live}}</ref>


'''गैर-अभिमुख सतहें'''
'''गैर-अभिमुख सतहें'''


किसी जुड़े हुए, गैर-उन्मुख बंद सतह की [[ उन्मुखता ]] | गैर-ओरिएंटेबल जीनस, डेमिजेनस या यूलर जीनस सकारात्मक पूर्णांक है जो गोले से जुड़े [[क्रॉस-कैप]]्स की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। वैकल्पिक रूप से, इसे यूलर विशेषता χ के संदर्भ में, संबंध χ = 2 - ''k'' के माध्यम से बंद सतह के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जहां ''k'' गैर-उन्मुख जीनस है।
किसी जुड़े हुए, गैर-[[ उन्मुखता |उन्मुखता]] विवृत सतह का गैर-ओरिएंटेबल जीनस, डेमिजेनस या यूलर जीनस सकारात्मक पूर्णांक है जो गोले से जुड़े [[क्रॉस-कैप|क्रॉस-कैप्स]] की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। वैकल्पिक रूप से, इसे यूलर विशेषता χ के संदर्भ में, संबंध χ = 2 - ''k'' के माध्यम से विवृत सतह के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जहां ''k'' गैर-उन्मुख जीनस है।


उदाहरण के लिए:
उदाहरण के लिए:
* [[वास्तविक प्रक्षेप्य तल]] में गैर-उन्मुख जीनस 1 होता है।
* [[वास्तविक प्रक्षेप्य तल]] में गैर-उन्मुख जीनस 1 होता है।
* [[क्लेन बोतल]] में नॉन-ओरिएंटेबल जीनस 2 होता है।
* [[क्लेन बोतल]] में नॉन-ओरिएंटेबल जीनस 2 होता है।


===गांठ===
===कनॉट===
गांठ की गांठ के जीनस (गणित) ''K'' को ''K'' के लिए सभी [[सीफ़र्ट सतह]]ों के न्यूनतम जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref>{{Citation|first=Colin |last= Adams|author-link=Colin Adams (mathematician)|title=The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots |publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2004|isbn=978-0-8218-3678-1}}</ref> हालाँकि, गाँठ की सीफर्ट सतह [[सीमा के साथ कई गुना]] होती है, सीमा गाँठ होती है, यानी।
कनॉट ''K'' के जीनस को ''K'' के लिए सभी [[सीफ़र्ट सतह|सीफ़र्ट सतहों]] के न्यूनतम जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref>{{Citation|first=Colin |last= Adams|author-link=Colin Adams (mathematician)|title=The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots |publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2004|isbn=978-0-8218-3678-1}}</ref> चूँकि, कनॉट की सीफर्ट सतह [[सीमा के साथ कई गुना]] होती है, सीमा कनॉट होती है, अर्थात इकाई वृत के लिए होमियोमोर्फिक ऐसी सतह के जीनस को टू-मैनिफोल्ड के जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है, जो सीमा के साथ इकाई डिस्क को चिपकाकर प्राप्त किया जाता है।
यूनिट सर्कल के लिए होमियोमोर्फिक। ऐसी सतह के जीनस को टू-मैनिफोल्ड के जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है, जो सीमा के साथ यूनिट डिस्क को चिपकाकर प्राप्त किया जाता है।


===[[हैंडलबॉडी]]===
===[[हैंडलबॉडी]]===
3-आयामी हैंडलबॉडी का जीनस पूर्णांक है जो परिणामी मैनिफोल्ड को डिस्कनेक्ट किए बिना एम्बेडेड डिस्क (गणित) के साथ कटिंग की अधिकतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह उस पर लगे हैंडल की संख्या के बराबर है।
3-आयामी हैंडलबॉडी का जीनस पूर्णांक है जो परिणामी मैनिफोल्ड को डिस्कनेक्ट किए बिना एम्बेडेड डिस्क (गणित) के साथ कटिंग की अधिकतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह उस पर लगे हैंडल की संख्या के समान है।


उदाहरण के लिए:
उदाहरण के लिए:
* [[गेंद (गणित)]] का वंश 0 है।
* [[गेंद (गणित)]] का जीनस 0 है।
* ठोस टोरस ''डी''<sup>2</sup>× एस<sup>1</sup>में वंश 1 है।
* ठोस टोरस ''D''<sup>2</sup> × ''S''<sup>1</sup> में जीनस 1 है।


===ग्राफ़ सिद्धांत===
===ग्राफ़ सिद्धांत===
{{Main|Graph embedding}}
{{Main|Graph embedding}}


ग्राफ़ का जीनस (असतत गणित) न्यूनतम पूर्णांक ''n'' है, ताकि ग्राफ़ को ''n'' हैंडल वाले गोले पर खुद को पार किए बिना खींचा जा सके (यानी जीनस ''n'' की  उन्मुख सतह) '). इस प्रकार, समतल ग्राफ़ का जीनस 0 होता है, क्योंकि इसे स्व-क्रॉसिंग के बिना गोले पर खींचा जा सकता है।
ग्राफ़ का जीनस (असतत गणित) न्यूनतम पूर्णांक ''n'' है, जिससे ग्राफ़ को ''n'' हैंडल (अर्थात जीनस n की उन्मुख सतह) गोले पर स्वयं को पार किए बिना खींचा जा सके। इस प्रकार, समतल ग्राफ़ का जीनस 0 होता है, क्योंकि इसे स्व-क्रॉसिंग के बिना गोले पर खींचा जा सकता है।


ग्राफ़ (असतत गणित) का गैर-उन्मुख जीनस न्यूनतम पूर्णांक ''एन'' है, जैसे कि ग्राफ़ को ''एन'' क्रॉस-कैप्स (यानी  गैर-उन्मुख सतह) के साथ गोले पर खुद को पार किए बिना खींचा जा सकता है (गैर-उन्मुख) जीनस ''एन'')। (इस संख्या को डेमिजेनस भी कहा जाता है।)
ग्राफ़ (असतत गणित) का गैर-उन्मुख जीनस न्यूनतम पूर्णांक n है, जैसे कि ग्राफ़ को n क्रॉस-कैप्स (अर्थात गैर-उन्मुख सतह) जीनस n की (गैर-उन्मुख सतह) के साथ गोले पर स्वयं को पार किए बिना खींचा जा सके। (इस संख्या को डेमिजेनस भी कहा जाता है।)


यूलर जीनस न्यूनतम पूर्णांक ''n'' है, जिससे ग्राफ को ''n'' क्रॉस-कैप वाले गोले पर या ''n/2'' हैंडल वाले गोले पर खुद को क्रॉस किए बिना खींचा जा सकता है।<ref>{{cite book|title=Graphs on surfaces}}</ref>
यूलर जीनस न्यूनतम पूर्णांक ''n'' है, जिससे ग्राफ को ''n'' क्रॉस-कैप वाले गोले पर या ''n/2'' हैंडल वाले गोले पर स्वयं को क्रॉस किए बिना खींचा जा सकता है।<ref>{{cite book|title=Graphs on surfaces}}</ref>
टोपोलॉजिकल ग्राफ़ सिद्धांत में [[समूह (गणित)]] के जीनस की कई परिभाषाएँ हैं। आर्थर टी. व्हाइट ने निम्नलिखित अवधारणा प्रस्तुत की। समूह G का जीनस G के लिए (जुड़े, अप्रत्यक्ष) [[केली ग्राफ]] का न्यूनतम जीनस है।
 
टोपोलॉजिकल ग्राफ़ सिद्धांत में [[समूह (गणित)]] के जीनस की कई परिभाषाएँ हैं। आर्थर टी. व्हाइट ने निम्नलिखित अवधारणा प्रस्तुत की। समूह G का जीनस G के लिए (जुड़े, अप्रत्यक्ष) [[केली ग्राफ]] का न्यूनतम जीनस है।


ग्राफ एम्बेडिंग#कम्प्यूटेशनल जटिलता एनपी-पूर्ण है।<ref>{{cite journal|first1=Carsten |last1=Thomassen |title= ग्राफ़ जीनस समस्या एनपी-पूर्ण है|journal= Journal of Algorithms |year=1989 |issue=4 |volume=10 |pages=568&ndash;576 |issn=0196-6774 |doi=10.1016/0196-6774(89)90006-0 | zbl=0689.68071 }}</ref>
ग्राफ एम्बेडिंग#कम्प्यूटेशनल जटिलता एनपी-पूर्ण है।<ref>{{cite journal|first1=Carsten |last1=Thomassen |title= ग्राफ़ जीनस समस्या एनपी-पूर्ण है|journal= Journal of Algorithms |year=1989 |issue=4 |volume=10 |pages=568&ndash;576 |issn=0196-6774 |doi=10.1016/0196-6774(89)90006-0 | zbl=0689.68071 }}</ref>


== बीजगणितीय ज्यामिति ==
== बीजगणितीय ज्यामिति ==
किसी भी प्रक्षेपी बीजगणितीय [[योजना (गणित)]] ''X'' के जीनस की दो संबंधित परिभाषाएँ हैं: अंकगणितीय जीनस और [[ज्यामितीय जीनस]]।<ref>{{cite book | last=Hirzebruch | first=Friedrich | author-link=Friedrich Hirzebruch | title=बीजगणितीय ज्यामिति में टोपोलॉजिकल विधियाँ| others=Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel | edition=Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd | orig-year=1978 | series=Classics in Mathematics | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1995 | isbn=978-3-540-58663-0 | zbl=0843.14009 }}</ref> जब X [[जटिल संख्या]]ओं की परिभाषा के क्षेत्र (गणित) के साथ [[बीजगणितीय वक्र]] है, और यदि उदाहरण के लिए, बीजीय ज्यामिति से [[अण्डाकार वक्र]] की परिभाषा जीनस 1 के गैर-वचन प्रक्षेप्य वक्र से उस पर दिए गए [[तर्कसंगत बिंदु]] से जुड़ी होती है।
किसी भी प्रक्षेपी बीजगणितीय [[योजना (गणित)]] ''X'' के जीनस की दो संबंधित परिभाषाएँ हैं: अंकगणितीय जीनस और [[ज्यामितीय जीनस]]।<ref>{{cite book | last=Hirzebruch | first=Friedrich | author-link=Friedrich Hirzebruch | title=बीजगणितीय ज्यामिति में टोपोलॉजिकल विधियाँ| others=Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel | edition=Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd | orig-year=1978 | series=Classics in Mathematics | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1995 | isbn=978-3-540-58663-0 | zbl=0843.14009 }}</ref> जब X [[जटिल संख्या]]ओं की परिभाषा के क्षेत्र (गणित) के साथ [[बीजगणितीय वक्र]] है, और यदि उदाहरण के लिए, बीजीय ज्यामिति से [[अण्डाकार वक्र]] की परिभाषा जीनस 1 के गैर-एकवचन प्रक्षेप्य वक्र से उस पर दिए गए [[तर्कसंगत बिंदु]] से जुड़ी होती है।


रीमैन-रोच प्रमेय#अनुप्रयोग|रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा, डिग्री का अप्रासंगिक समतल वक्र <math>d</math>  अनुभाग के लुप्त हो रहे स्थान द्वारा दिया गया <math>s \in \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d))</math> ज्यामितीय जीनस है
रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा, डिग्री का अप्रासंगिक समतल वक्र <math>d</math>  अनुभाग के लुप्त समिष्ट द्वारा दिया गया <math>s \in \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d))</math> में ज्यामितीय जीनस है:


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दूसरे शब्दों में, <math>\Phi</math>  [[वलय समरूपता]] है <math>R\to\mathbb{C}</math>, कहाँ <math>R</math> थॉम्स ओरिएंटेड कोबॉर्डिज्म रिंग है।<ref>Charles Rezk - Elliptic cohomology and elliptic curves (Felix Klein lectures, Bonn 2015. Department of Mathematics, University of Illinois, Urbana, IL)</ref>
दूसरे शब्दों में, <math>\Phi</math>  [[वलय समरूपता]] है <math>R\to\mathbb{C}</math>, कहाँ <math>R</math> थॉम्स ओरिएंटेड कोबॉर्डिज्म रिंग है।<ref>Charles Rezk - Elliptic cohomology and elliptic curves (Felix Klein lectures, Bonn 2015. Department of Mathematics, University of Illinois, Urbana, IL)</ref>
वंश <math>\Phi</math> यदि कनेक्टेड कॉम्पैक्ट संरचना के साथ स्पिनर मैनिफोल्ड पर सभी बंडलों के लिए गुणक है <math>\log_{\Phi}</math> जैसे  [[अण्डाकार अभिन्न]] अंग है <math>\log_{\Phi}(x)=\int^{x}_{0}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt</math> कुछ के लिए <math>\delta,\varepsilon\in\mathbb{C}.</math> इस जीनस को अण्डाकार जीनस कहा जाता है।
जीनस <math>\Phi</math> यदि कनेक्टेड कॉम्पैक्ट संरचना के साथ स्पिनर मैनिफोल्ड पर सभी बंडलों के लिए गुणक है <math>\log_{\Phi}</math> जैसे  [[अण्डाकार अभिन्न]] अंग है <math>\log_{\Phi}(x)=\int^{x}_{0}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt</math> कुछ के लिए <math>\delta,\varepsilon\in\mathbb{C}.</math> इस जीनस को अण्डाकार जीनस कहा जाता है।


यूलर विशेषता <math>\chi(M)</math> इस अर्थ में यह  जीनस नहीं है क्योंकि यह सह-बॉर्डिज्म के संबंध में अपरिवर्तनीय नहीं है।
यूलर विशेषता <math>\chi(M)</math> इस अर्थ में यह  जीनस नहीं है क्योंकि यह सह-बॉर्डिज्म के संबंध में अपरिवर्तनीय नहीं है।
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*अंकगणित जाति
*अंकगणित जाति
*ज्यामितीय जाति
*ज्यामितीय जाति
*गुणात्मक अनुक्रम का वंश
*गुणात्मक अनुक्रम का जीनस
* [[द्विघात रूप की जाति]]
* [[द्विघात रूप की जाति]]
*स्पिनर जाति
*स्पिनर जाति

Revision as of 20:43, 13 July 2023

File:Double torus illustration.png
जीनस-2 सतह

गणित में, जीनस (बहुवचन जेनेरा) के कुछ भिन्न, किन्तु निकट से संबंधित अर्थ होते हैं। सहज रूप से, जीनस सतह (टोपोलॉजी) के छिद्रों की संख्या है।[1] गोले में जीनस 0 होता है, जबकि टोरस टोरस में जीनस 1 होता है।

टोपोलॉजी

समायोज्य सतह

File:Mug and Torus morph.gif
इस एनिमेशन में दिखाए गए कॉफ़ी कप और डोनट दोनों का जीनस है।

जुड़ा हुआ समिष्ट ओरिएंटेबल सतह का जीनस पूर्णांक है जो परिणामी मैनिफोल्ड को डिस्कनेक्ट किए बिना अप्रतिच्छेदी विवृत सरल वक्रों के साथ कटिंग की अधिकतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।[2] यह उस पर लगे हैंडल (गणित) की संख्या के समान है। वैकल्पिक रूप से, इसे विवृत सतहों के लिए संबंध χ = 2 − 2g के माध्यम से यूलर विशेषता χ के संदर्भ में, में परिभाषित किया जा सकता है, जहां g जीनस है। b सीमा (टोपोलॉजी) घटकों वाली सतहों के लिए, समीकरण χ = 2 − 2g − b पढ़ता है। साधारण शब्दों में, यह किसी वस्तु में उपस्थित "छिद्रों" की संख्या है ("छिद्र" की व्याख्या डोनट छिद्र के अर्थ में की जाती है; टोरस गोले को इस अर्थ में शून्य छिद्र वाला माना जाएगा)। टोरस में 1 ऐसा छिद्र होता है, जबकि गोले में 0 ऊपर चित्रित हरे सतह में संबंधित प्रकार के 2 छेद होते हैं।

उदाहरण के लिए:

  • गोला S2और डिस्क (गणित) दोनों में जीनस शून्य है।
  • टोरस में जीनस होता है, जैसे हैंडल के साथ कॉफी मग की सतह होती है। यह जोक का स्रोत है टोपोलॉजिस्ट वे लोग हैं जो अपने कॉफी मग से अपने डोनट को ज्ञात नहीं कर सकता हैं।

मौलिक बहुभुज पर लेख में जीनस g की सतहों का स्पष्ट निर्माण दिया गया है।

सरल शब्दों में, उन्मुख सतह के जीनस का मान उसमें उपस्थित छिद्रों की संख्या के समान होता है।[3]

गैर-अभिमुख सतहें

किसी जुड़े हुए, गैर-उन्मुखता विवृत सतह का गैर-ओरिएंटेबल जीनस, डेमिजेनस या यूलर जीनस सकारात्मक पूर्णांक है जो गोले से जुड़े क्रॉस-कैप्स की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। वैकल्पिक रूप से, इसे यूलर विशेषता χ के संदर्भ में, संबंध χ = 2 - k के माध्यम से विवृत सतह के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जहां k गैर-उन्मुख जीनस है।

उदाहरण के लिए:

कनॉट

कनॉट K के जीनस को K के लिए सभी सीफ़र्ट सतहों के न्यूनतम जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है।[4] चूँकि, कनॉट की सीफर्ट सतह सीमा के साथ कई गुना होती है, सीमा कनॉट होती है, अर्थात इकाई वृत के लिए होमियोमोर्फिक ऐसी सतह के जीनस को टू-मैनिफोल्ड के जीनस के रूप में परिभाषित किया गया है, जो सीमा के साथ इकाई डिस्क को चिपकाकर प्राप्त किया जाता है।

हैंडलबॉडी

3-आयामी हैंडलबॉडी का जीनस पूर्णांक है जो परिणामी मैनिफोल्ड को डिस्कनेक्ट किए बिना एम्बेडेड डिस्क (गणित) के साथ कटिंग की अधिकतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह उस पर लगे हैंडल की संख्या के समान है।

उदाहरण के लिए:

ग्राफ़ सिद्धांत

Main article: Graph embedding

ग्राफ़ का जीनस (असतत गणित) न्यूनतम पूर्णांक n है, जिससे ग्राफ़ को n हैंडल (अर्थात जीनस n की उन्मुख सतह) गोले पर स्वयं को पार किए बिना खींचा जा सके। इस प्रकार, समतल ग्राफ़ का जीनस 0 होता है, क्योंकि इसे स्व-क्रॉसिंग के बिना गोले पर खींचा जा सकता है।

ग्राफ़ (असतत गणित) का गैर-उन्मुख जीनस न्यूनतम पूर्णांक n है, जैसे कि ग्राफ़ को n क्रॉस-कैप्स (अर्थात गैर-उन्मुख सतह) जीनस n की (गैर-उन्मुख सतह) के साथ गोले पर स्वयं को पार किए बिना खींचा जा सके। (इस संख्या को डेमिजेनस भी कहा जाता है।)

यूलर जीनस न्यूनतम पूर्णांक n है, जिससे ग्राफ को n क्रॉस-कैप वाले गोले पर या n/2 हैंडल वाले गोले पर स्वयं को क्रॉस किए बिना खींचा जा सकता है।[5]

टोपोलॉजिकल ग्राफ़ सिद्धांत में समूह (गणित) के जीनस की कई परिभाषाएँ हैं। आर्थर टी. व्हाइट ने निम्नलिखित अवधारणा प्रस्तुत की। समूह G का जीनस G के लिए (जुड़े, अप्रत्यक्ष) केली ग्राफ का न्यूनतम जीनस है।

ग्राफ एम्बेडिंग#कम्प्यूटेशनल जटिलता एनपी-पूर्ण है।[6]

बीजगणितीय ज्यामिति

किसी भी प्रक्षेपी बीजगणितीय योजना (गणित) X के जीनस की दो संबंधित परिभाषाएँ हैं: अंकगणितीय जीनस और ज्यामितीय जीनस।[7] जब X जटिल संख्याओं की परिभाषा के क्षेत्र (गणित) के साथ बीजगणितीय वक्र है, और यदि उदाहरण के लिए, बीजीय ज्यामिति से अण्डाकार वक्र की परिभाषा जीनस 1 के गैर-एकवचन प्रक्षेप्य वक्र से उस पर दिए गए तर्कसंगत बिंदु से जुड़ी होती है।

रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा, डिग्री का अप्रासंगिक समतल वक्र अनुभाग के लुप्त समिष्ट द्वारा दिया गया में ज्यामितीय जीनस है:

जहां ठीक से गणना करने पर s विलक्षणताओं की संख्या है।

विभेदक ज्यामिति

विभेदक ज्यामिति में, उन्मुख कई गुना का जीनस सम्मिश्र संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है शर्तों के अधीन

  • अगर और सहसंबद्ध हैं.

दूसरे शब्दों में, वलय समरूपता है , कहाँ थॉम्स ओरिएंटेड कोबॉर्डिज्म रिंग है।[8] जीनस यदि कनेक्टेड कॉम्पैक्ट संरचना के साथ स्पिनर मैनिफोल्ड पर सभी बंडलों के लिए गुणक है जैसे अण्डाकार अभिन्न अंग है कुछ के लिए इस जीनस को अण्डाकार जीनस कहा जाता है।

यूलर विशेषता इस अर्थ में यह जीनस नहीं है क्योंकि यह सह-बॉर्डिज्म के संबंध में अपरिवर्तनीय नहीं है।

जीव विज्ञान

जीनस की गणना न्यूक्लिक एसिड या प्रोटीन में रासायनिक अंतःक्रियाओं के जाल द्वारा फैलाए गए ग्राफ के लिए भी की जा सकती है। विशेष रूप से, कोई श्रृंखला के साथ जीनस की वृद्धि का अध्ययन कर सकता है। ऐसा फ़ंक्शन (जिसे जीनस ट्रेस कहा जाता है) बायोमोलेक्यूल्स की टोपोलॉजिकल जटिलता और डोमेन संरचना को दर्शाता है।[9]

यह भी देखें

उद्धरण

  1. ↑ Popescu-Pampu 2016, p. xiii, Introduction.
  2. ↑ Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  3. ↑ Weisstein, E.W. "जाति". MathWorld. Retrieved 4 June 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
  4. ↑ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1
  5. ↑ Graphs on surfaces.
  6. ↑ Thomassen, Carsten (1989). "ग्राफ़ जीनस समस्या एनपी-पूर्ण है". Journal of Algorithms. 10 (4): 568–576. doi:10.1016/0196-6774(89)90006-0. ISSN 0196-6774. Zbl 0689.68071.
  7. ↑ Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. बीजगणितीय ज्यामिति में टोपोलॉजिकल विधियाँ. Classics in Mathematics. Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel (Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009.
  8. ↑ Charles Rezk - Elliptic cohomology and elliptic curves (Felix Klein lectures, Bonn 2015. Department of Mathematics, University of Illinois, Urbana, IL)
  9. ↑ Sułkowski, Piotr; Sulkowska, Joanna I.; Dabrowski-Tumanski, Pawel; Andersen, Ebbe Sloth; Geary, Cody; Zając, Sebastian (2018-12-03). "जीनस ट्रेस से बायोमोलेक्यूल्स की टोपोलॉजिकल जटिलता और डोमेन संरचना का पता चलता है". Scientific Reports (in English). 8 (1): 17537. Bibcode:2018NatSR...817537Z. doi:10.1038/s41598-018-35557-3. ISSN 2045-2322. PMC 6277428. PMID 30510290.


संदर्भ

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