स्टीन मैनिफोल्ड

गणित में, कई जटिल चर और जटिल मैनिफोल्ड के कार्य के सिद्धांत में, स्टीन मैनिफोल्ड n जटिल संख्या आयामों के सदिश समिष्ट का जटिल अर्धमैनिफोल्ड है। इन्हें Karl Stein (1951) द्वारा प्रस्तुत किया गया और उनके नाम पर रखा गया। स्टीन स्पेस स्टीन मैनिफोल्ड के समान है किंतु इसमें विलक्षणताएं होने की अनुमति है। स्टीन रिक्त समिष्ट बीजगणितीय ज्यामिति में एफ़िन विविधता या एफ़िन योजनाओं के अनुरूप हैं।

परिभाषा

कल्पना कीजिये $X$ जटिल आयाम का जटिल विविधता है $n$ और ${\mathcal {O}}(X)$ होलोमोर्फिक फलन की वलय को $X.$ निरूपित किया जाता है, $X$ द्वारा यदि निम्नलिखित नियम पूर्ण होते हैं तो X स्टीन मैनिफोल्ड है:

• $X$ होलोमोर्फिक रूप से उत्तल है, अर्थात प्रत्येक सघन समिष्ट उपसमुच्चय के लिए $K\subset X$, तथाकथित होलोमोर्फिकली उत्तल है,

${\bar {K}}=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},$

$X$ का भी सघन उपसमुच्चय हैं।

• $X$ होलोमोर्फिक रूप से भिन्न करने योग्य है, अर्थात यदि $x\neq y$ में दो बिंदु हैं $X$, तो वहाँ $f\in {\mathcal {O}}(X)$ ऐसा है कि $f(x)\neq f(y).$ उपस्तिथ है।

अजटिल रीमैन सतहें स्टीन मैनिफोल्ड्स हैं

मान लीजिए कि X जुड़ा हुआ, अजटिल रीमैन सतह है। हेनरिक बेन्के और स्टीन (1948) के गहरी प्रमेय का आशय है कि X स्टीन मैनिफोल्ड है।

अन्य परिणाम, जिसका श्रेय हंस ग्राउर्ट और हेल्मुट रोहरल (1956) को दिया जाता है, यह बताता है कि X पर प्रत्येक होलोमोर्फिक सदिश बंडल तुच्छ है। विशेष रूप से, प्रत्येक पंक्ति बंडल तुच्छ है, इसलिए $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0$. घातीय शीफ़ अनुक्रम निम्नलिखित त्रुटिहीन अनुक्रम की ओर ले जाता है:

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

अब कार्टन का प्रमेय B यह दर्शाता $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0$ इसलिए $H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0$ है ,

यह दूसरी कजिन समस्या के समाधान से संबंधित है।

स्टीन मैनिफोल्ड के गुण और उदाहरण

• मानक जटिल समिष्ट $\mathbb {C} ^{n}$ स्टीन मैनिफोल्ड है।

• होलोमोर्फी के प्रत्येक डोमेन में $\mathbb {C} ^{n}$ स्टीन मैनिफोल्ड है।

• यह अधिक सरलता से दिखाया जा सकता है कि स्टीन मैनिफोल्ड का प्रत्येक विवृत जटिल अर्धमैनिफोल्ड भी स्टीन मैनिफोल्ड है।

• स्टीन मैनिफोल्ड्स के लिए एम्बेडिंग प्रमेय निम्नलिखित बताता है: प्रत्येक स्टीन मैनिफोल्ड जटिल आयाम का $X$, $n$ में एम्बेड किया जा सकता है। बायोलोमोर्फिक $\mathbb {C} ^{2n+1}$ उचित मानचित्र द्वारा दिया जाता है।

इन तथ्यों का अर्थ है कि स्टीन मैनिफोल्ड जटिल समिष्ट का विवृत जटिल अर्धमैनिफोल्ड है, जिसकी जटिल संरचना परिवेशीय समिष्ट की है (क्योंकि एम्बेडिंग बिहोलोमोर्फिक है)।

• (जटिल) आयाम n के प्रत्येक स्टीन मैनिफोल्ड में n-आयामी CW-जटिल का होमोटॉपी प्रकार होता है।

• जटिल आयाम में स्टीन की स्थिति को सरल बनाया जा सकता है: जुड़ा हुआ रीमैन सतह स्टीन मैनिफोल्ड है यदि केवल यह कॉम्पैक्ट नहीं है। बेह्नके और स्टीन के कारण, रीमैन सतहों के लिए रनगे प्रमेय के संस्करण का उपयोग करके इसे सिद्ध किया जा सकता है।

• सभी स्टीन कई गुना $X$ होलोमोर्फिक रूप से विस्तारित योग्य है, अर्थात सभी बिंदु के लिए $x\in X$, वहाँ हैं $n$ होलोमोर्फिक फलन सभी पर परिभाषित हैं $X$ जो कुछ संवृत निकटम तक सीमित होने पर समिष्टीय समन्वय प्रणाली $x$ बनाते है।

• स्टीन मैनिफोल्ड होना (जटिल) दृढ़ता से छद्म उत्तल मैनिफोल्ड होने के समान है। उत्तरार्द्ध का तात्पर्य है कि इसमें दृढ़ता से स्यूडोकोनवेक्स (या प्लुरिसुबार्मोनिक फलन) संपूर्ण फलन है, अर्थात सुचारू वास्तविक फलन $\psi$ पर $X$ (जिसे मोर्स सिद्धांत माना जा सकता है) के साथ $i\partial {\bar {\partial }}\psi >0$, जैसे कि उपसमुच्चय $\{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}$ में सघन हैं प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $X$, $c$ यह तथाकथित लेवी समस्या का समाधान है, जिसका नाम यूजेनियो एलिया लेवी (1911) के नाम पर रखा गया। कार्यक्रम $\psi$ 'स्टीन डोमेन' नामक सीमा के साथ कॉम्पैक्ट जटिल मैनिफोल्ड के संबंधित वर्ग के विचार के लिए स्टीन मैनिफोल्ड के सामान्यीकरण को आमंत्रित करता है। स्टीन डोमेन प्रीइमेज $\{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}$ कुछ लेखक ऐसे मैनिफोल्ड्स को जटिलता से स्यूडोकॉनवेक्स मैनिफोल्ड्स कहते हैं।

• पिछले आइटम से संबंधित, जटिल आयाम 2 में समकक्ष और अधिक टोपोलॉजिकल परिभाषा निम्नलिखित है: स्टीन सतह एक जटिल सतह X है जिसमें X पर वास्तविक-मूल्यवान मोर्स फलन f के महत्वपूर्ण बिंदुओं से दूर होता है, पूर्वछवि के लिए जटिल स्पर्शरेखाओं का क्षेत्र $X_{c}=f^{-1}(c)$ ज्यामिति है जो X_c पर अभिविन्यास प्रेरित करती है सीमा के रूप में सामान्य अभिविन्यास से सहमत होना $f^{-1}(-\infty ,c).$ वह है, $f^{-1}(-\infty ,c)$ X_c की स्टीन सिम्पेक्टिक फिलिंग हैं।

इस प्रकार के मैनिफोल्ड्स के कई और लक्षण उपस्तिथ हैं, विशेष रूप से जटिल संख्याओं में मान लेने वाले उनके कई होलोमोर्फिक फलनों के गुण को कैप्चर करना। उदाहरण के लिए शीफ़ कोहोमोलोजी से संबंधित कार्टन के प्रमेय A और B देखें। आरंभिक प्रोत्साहन विश्लेषणात्मक फलन की (अधिकतम) विश्लेषणात्मक निरंतरता की परिभाषा के क्षेत्र के गुणों का वर्णन करना था।

उपमाओं के GAGA सेट में, स्टीन मैनिफोल्ड्स एफ़िन के अनुरूप हैं।

जटिल विश्लेषण में स्टीन मैनिफोल्ड्स कुछ अर्थों में अण्डाकार मैनिफोल्ड्स से दोहरे होते हैं जो जटिल संख्याओं से कई होलोमोर्फिक फलनों को स्वयं में स्वीकार करते हैं। यह ज्ञात है कि स्टीन मैनिफोल्ड अण्डाकार है यदि केवल तभी जब यह तथाकथित होलोमोर्फिक होमोटॉपी सिद्धांत के अर्थ में फब्रांट हो।

सुचारू मैनिफोल्ड से संबंध

आयाम 2n के प्रत्येक कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड, जिसमें केवल इंडेक्स ≤n के हैंडल होते हैं, इसमें स्टीन संरचना होती है जो n > 2 प्रदान करती है, और जब n = 2 समान होती है, नियमानुसार 2-हैंडल कुछ फ्रेमिंग (थर्स्टन से कम फ्रेमिंग) के साथ जुड़े हों -बेनेक्विन फ़्रेमिंग)। प्रत्येक विवृत स्मूथ 4-मैनिफोल्ड उनकी सामान्य सीमा के साथ चिपके हुए दो स्टीन 4-मैनिफोल्ड का संघ है।

संदर्भ

• Andrist, Rafael (2010). "Stein spaces characterized by their endomorphisms". Transactions of the American Mathematical Society. 363 (5): 2341–2355. doi:10.1090/S0002-9947-2010-05104-9. S2CID 14903691.
• Forster, Otto (1981), Lectures on Riemann surfaces, Graduate Text in Mathematics, vol. 81, New-York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7 (including a proof of Behnke-Stein and Grauert–Röhrl theorems)
• Forstnerič, Franc (2011). Stein Manifolds and Holomorphic Mappings. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics. Vol. 56. doi:10.1007/978-3-642-22250-4. ISBN 978-3-642-22249-8.
• Hörmander, Lars (1990), An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland Mathematical Library, vol. 7, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, MR 1045639 (including a proof of the embedding theorem)
• Gompf, Robert E. (1998), "Handlebody construction of Stein surfaces", Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 148, No. 2, 148 (2): 619–693, arXiv:math/9803019, doi:10.2307/121005, ISSN 0003-486X, JSTOR 121005, MR 1668563, S2CID 17709531 (definitions and constructions of Stein domains and manifolds in dimension 4)
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1979), Theory of Stein spaces, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 236, Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7, MR 0580152
• Ornea, Liviu; Verbitsky, Misha (2010). "Locally conformal Kähler manifolds with potential". Mathematische Annalen. 348: 25–33. doi:10.1007/s00208-009-0463-0. S2CID 10734808.
• Iss'Sa, Hej (1966). "On the Meromorphic Function Field of a Stein Variety". Annals of Mathematics. 83 (1): 34–46. doi:10.2307/1970468. JSTOR 1970468.
• Stein, Karl (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Math. Ann. (in German), 123: 201–222, doi:10.1007/bf02054949, MR 0043219, S2CID 122647212{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
• Zhang, Jing (2006). "Algebraic Stein Varieties". arXiv:math/0610886. Bibcode:2006math.....10886Z. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)