कॉची गुणनफल: Difference between revisions

Latest revision as of 11:59, 14 July 2023

गणित में, विशेषकर गणितीय विश्लेषण में, कॉची गुणनफल दो परिमित श्रेणियों का असतत सवलन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन-लुई कॉची के नाम पर रखा गया है।

परिभाषाएँ

कॉची गुणनफल परिमित श्रेणी ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] या पावर श्रेणी पर लागू हो सकता है।^[12]^[13] जब लोग इसे परिमित अनुक्रमों^[14] या परिमित श्रेणी पर लागू करते हैं, तो इसे केवल गैर-शून्य गुणांकों की सीमित संख्या के साथ श्रेणी के गुणनफल की विशेष स्तिथि के रूप में देखा जा सकता है (अलग-अलग सवलन देखें)।

अभिसरण विषयों पर अगले भाग में चर्चा की गई है।

दो अपरिमित श्रेणियों का कॉची गुणनफल

मान लीजिये ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ और ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ जटिल पदों वाली दो परिमित श्रृंखलाएँ हों। इन दो परिमित श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}

जहाँ

c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}

.

द्वि घात श्रेणी का कॉची गुणनफल

निम्नलिखित द्वि घात श्रेणियों पर विचार करें

\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}

और

\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}

जटिल गुणांकों के साथ $\{a_{i}\}$ और $\{b_{j}\}$ . इन द्वि घात श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}

जहाँ

c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}

.

अभिसरण और मर्टेंस प्रमेय

मान लीजिए $(a n) n \geq0$ और $(b n) n \geq0$ वास्तविक या जटिल अनुक्रम हैं। यह फ्रांज मर्टेंस द्वारा सिद्ध किया गया था कि, यदि श्रेणी ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ $A$ में परिवर्तित हो जाती है और ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ $B$ में परिवर्तित हो जाता है, और उनमें से कम से कम एक पूर्ण रूप से परिवर्तित हो जाता है, फिर उनका कॉची गुणनफल $AB$ में परिवर्तित हो जाता है।^[15] प्रमेय अभी भी बानाच बीजगणित में मान्य है (निम्नलिखित प्रमाण की पहली पंक्ति देखें)।

यह दोनों श्रेणियों का अभिसरण होने के लिए पर्याप्त नहीं है; यदि दोनों अनुक्रम सशर्त रूप से अभिसरण हैं, तो कॉची गुणनफल को दो श्रेणियों के गुणनफल की ओर अभिसरण करने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है:

उदाहरण

दो वैकल्पिक श्रेणियों पर विचार करें

a_{n} = b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{}}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-गणित में, विशेषकर [[गणितीय विश्लेषण]] में, कॉची गुणनफल दो परिमित श्रेणियों का असतत सवलन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] के नाम पर रखा गया है।
+गणित में, विशेषकर [[गणितीय विश्लेषण]] में, '''कॉची गुणनफल''' दो परिमित श्रेणियों का असतत सवलन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] के नाम पर रखा गया है।
 ==परिभाषाएँ==
@@ Line 76: / Line 76: @@
 ==सेसारो का प्रमेय==
-<!-- [[Cesàro's theorem]] redirects here -->
+ऐसे स्तिथि में जहां दो अनुक्रम अभिसरण हैं लेकिन पूर्ण रूप से अभिसरण नहीं हैं, कॉची गुणनफल अभी भी सेसरो योग्य है। विशेषतः यदि <math display="inline"> (a_n)_{n \geq 0}</math> <math display="inline"> (b_n)_{n \geq 0}</math>, <math display="inline"> \sum a_n\to A</math> और <math display="inline"> \sum b_n\to B</math> के साथ वास्तविक अनुक्रम हैं तो
-ऐसे मामलों में जहां दो अनुक्रम अभिसरण हैं लेकिन पूर्ण रूप से अभिसरण नहीं हैं, कॉची गुणनफल अभी भी सेसरो योग्य है। विशेषतः यदि <math display="inline"> (a_n)_{n \geq 0}</math> <math display="inline"> (b_n)_{n \geq 0}</math>, <math display="inline"> \sum a_n\to A</math> और <math display="inline"> \sum b_n\to B</math> के साथ वास्तविक अनुक्रम हैं तो<math display="block">\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^N\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}\right)\to AB.</math>
+<math display="block">\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^N\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}\right)\to AB.</math>
 इसे उस स्तिथि में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां दो अनुक्रम अभिसरण नहीं हैं बल्कि केवल सेसरो सारांशित हैं:
@@ Line 93: / Line 94: @@
 ==सामान्यीकरण==
-पूर्वगामी सभी <math display="inline"> \Complex</math> (जटिल संख्या) में अनुक्रमों पर लागू होते हैं। कॉची गुणनफल को <math display="inline"> \R^n</math> रिक्त स्थान ([[यूक्लिडियन स्थान]]) में एक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां गुणन आंतरिक गुणनफल है। इस स्तिथि में, हमारे पास यह परिणाम है कि यदि दो श्रृंखलाएं पूरी तरह से अभिसरित होती हैं तो उनका कॉची गुणनफल पूरी तरह से सीमाओं के आंतरिक गुणनफल में अभिसरण करता है।
+पूर्वगामी सभी <math display="inline"> \Complex</math> (जटिल संख्या) में अनुक्रमों पर लागू होते हैं। '''कॉची गुणनफल''' को <math display="inline"> \R^n</math> रिक्त स्थान ([[यूक्लिडियन स्थान]]) में एक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां गुणन आंतरिक गुणनफल है। इस स्तिथि में, हमारे पास यह परिणाम है कि यदि दो श्रृंखलाएं पूरी तरह से अभिसरित होती हैं तो उनका कॉची गुणनफल पूरी तरह से सीमाओं के आंतरिक गुणनफल में अभिसरण करता है।
 ===परिमित रूप से अनेक परिमित श्रेणियों के गुणनफल ===
@@ Line 111: / Line 112: @@
 अभिसरण, और इसलिए श्रेणी
 <math display="block">\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}</math>पूर्ण रूप से अभिसरण। इसलिए, प्रेरण परिकल्पना से, मर्टेंस ने जो सिद्ध किया, और चरों के नाम बदलने से, हमारे पास है:
-<math display="block">\begin{align}
+इसलिए, सूत्र <math>n+1</math> के लिए भी मान्य है।
-\prod_{j=1}^{n+1} \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right) & = \left( \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{n+1}}}^{=:a_{k_{n+1}}} \right) \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1}} \right) \\
+== फलन के सवलन से संबंध ==
+परिमित अनुक्रम को केवल सीमित रूप से कई गैर-शून्य शब्दों के साथ परिमित अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है, या दूसरे शब्दों में एक फलन के रूप में: <math>f: \N \to \Complex</math> परिमित समर्थन के साथ। परिमित समर्थन के साथ <math>\N</math> पर किसी भी जटिल-मूल्यवान फलन f, g के लिए, कोई भी अपना सवलन ले सकता है:<math display="block">(f * g)(n) = \sum_{i + j = n} f(i) g(j).</math>तब <math display="inline">\sum (f *g)(n)</math>, <math display="inline">\sum f(n)</math> और योग <math display="inline">\sum g(n)</math> के कॉची गुणनफल के समान है।
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_2 = 0}^{k_1} \sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}}^{=:a_{k_1}} \right) \left ( \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{n+1}}}^{=:b_{k_{n+1}}} \right)  \\
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_1} \sum_{k_4 = 0}^{k_3} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_1 - k_3}}^{=:a_{k_1}} \right) \left ( \sum_{k_{2} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{2}}}^{=:b_{n+1,k_{2}}=:b_{k_{2}}} \right)  \\
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty a_{k_1} \right) \left ( \sum_{k_{2} = 0}^\infty b_{k_2} \right)  \\
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1} a_{k_2}b_{k_1 - k_2} \right)  \\
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1} \left ( \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}}^{=:a_{k_2}} \right) \left ( \overbrace{a_{n+1, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1 - k_2}}  \right) \right)  \\
-& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1}  \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}}^{=:a_{k_2}} \overbrace{a_{n+1, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1 - k_2}}   \right)  \\
-& = \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} a_{n+1, k_1 - k_2} \sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_{n+1} = 0}^{k_n} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_n - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}
-\end{align}</math>इसलिए, सूत्र <math>n+1</math> के लिए भी मान्य है।
-== फ़ंक्शंस के सवलन से संबंध ==
-परिमित अनुक्रम को केवल सीमित रूप से कई गैर-शून्य शब्दों के साथ परिमित अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है, या दूसरे शब्दों में एक फ़ंक्शन के रूप में: <math>f: \N \to \Complex</math> परिमित समर्थन के साथ। परिमित समर्थन के साथ <math>\N</math> पर किसी भी जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन f, g के लिए, कोई भी अपना सवलन ले सकता है:<math display="block">(f * g)(n) = \sum_{i + j = n} f(i) g(j).</math>तब <math display="inline">\sum (f *g)(n)</math>, <math display="inline">\sum f(n)</math> और योग <math display="inline">\sum g(n)</math> के कॉची गुणनफल के समान है।
 अधिक सामान्यतः, एक मोनॉइड एस दिया जाता है, कोई [[अर्धसमूह बीजगणित]] बना सकता है एस का <math>\Complex[S]</math>, कन्वल्शन द्वारा दिए गए गुणन के साथ। यदि कोई, उदाहरण के लिए, <math>S = \N^d</math> लेता है, तो <math>\Complex[S]</math> पर गुणन कॉची गुणनफल का उच्च आयाम के लिए सामान्यीकरण है।
@@ Line 282: / Line 265: @@
   | title = From MathWorld – A Wolfram Web Resource
   | url = http://mathworld.wolfram.com/CauchyProduct.html
-}}.[[Category: ऑगस्टिन-लुई कॉची]] [[Category: वास्तविक विश्लेषण]] [[Category: जटिल विश्लेषण]] [[Category: अनुक्रम और श्रृंखला]] [[Category: प्रमाण युक्त लेख]]
+}}.
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 03/07/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:अनुक्रम और श्रृंखला]]
+[[Category:ऑगस्टिन-लुई कॉची]]
+[[Category:जटिल विश्लेषण]]
+[[Category:प्रमाण युक्त लेख]]
+[[Category:वास्तविक विश्लेषण]]

Anonymous

Search

कॉची गुणनफल: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions