कंडक्टर (वर्ग क्षेत्र सिद्धांत)

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, स्थानीय क्षेत्र या वैश्विक क्षेत्र के परिमित विस्तार एबेलियन विस्तार का संवाहक विस्तार में रामीकरण (गणित) का मात्रात्मक माप प्रदान करता है। सुचालक की परिभाषा आर्टिन मानचित्र से संबंधित किया जाता है।

स्थानीय सुचालक

इस प्रकार से मान लीजिए कि L/K गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र का सीमित एबेलियन विस्तार माना जाता है। L/K का चालक ${\mathfrak {f}}(L/K)$ दर्शाया गया है , जैसे कि उच्चतर इकाई समूह सबसे छोटा गैर-नकारात्मक पूर्णांक n है।

$U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,\left(\operatorname {mod} {\mathfrak {m}}_{K}^{n}\right)\right\}$

N_L/K(L^×), में समाहित है जहां N_L/K फ़ील्ड मानक मानचित्र है और ${\mathfrak {m}}_{K}$ K का अधिकतम आदर्श है। समान रूप से, n सबसे छोटा पूर्णांक है जैसे कि स्थानीय आर्टिन मानचित्र $U_{K}^{(n)}$ तुच्छ है . कभी-कभी, सुचालक को ${\mathfrak {m}}_{K}^{n}$ इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जहां n ऊपर जैसा है।

इस प्रकार से किसी विस्तार का संचालक प्रभाव को मापता है। गुणात्मक रूप से, विस्तार अप्रभावित है यदि, और केवल यदि, सुचालक शून्य है, और इसका वश में प्रभाव तभी पड़ता है जब, और केवल तभी, जब सुचालक 1 हो। अधिक स्पष्ट रूप से, सुचालक उच्च प्रभाव वाले समूहों की गैर-तुच्छता की गणना करता है: यदि s सबसे उच्च पूर्णांक होता है जिसके लिए कम संख्या वाला उच्च प्रभाव समूह G_sतो फिर यह गैर-तुच्छ है ${\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _{L/K}(s)+1$, जहाँ η_L/K वह फ़ंक्शन है जो उच्च प्रभाव वाले समूहों की निचली संख्या से ऊपरी संख्या में अनुवाद करता है।

L/K का सुचालक गैलोज़ समूह गैल (L/K) के पात्रों के आर्टिन सुचालक से भी संबंधित होते है। विशेष रूप से,

${\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}=\operatorname {lcm} \limits _{\chi }{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}$

जहां χ गैल ( L/K ) के सभी गुणक चरित्र पर भिन्न होता है, ${\mathfrak {f}}_{\chi }$ χ का आर्टिन सुचालक होता है, और एलसीएम सबसे छोटा सामान्य गुणक होता है।

अधिक सामान्य फ़ील्ड

इस प्रकार से सुचालक को L/K के लिए उसी प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है, जो जरूरी नहीं कि स्थानीय क्षेत्रों का एबेलियन परिमित गैलोज़ विस्तार होता है । चूँकि , यह केवल L^ab/K पर निर्भर करता है मानक सीमा प्रमेय के कारण, L में K का अधिकतम एबेलियन विस्तार, जोकी यह बताता है कि, इस स्थिति में,

$N_{L/K}\left(L^{\times }\right)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left(\left(L^{\text{ab}}\right)^{\times }\right).$

इसके अतिरिक्त, सुचालक को तब परिभाषित किया जा सकता है जब L और के को स्थानीय की तुलना में थोड़ा अधिक सामान्य होने की अनुमति दी जाती है, अर्थात् यदि वे अर्ध-परिमित क्षेत्र | अर्ध-परिमित अवशेष क्षेत्र K साथ पूर्ण मूल्यवान फ़ील्ड होता हैं।

आर्किमिडीयन क्षेत्र

इस प्रकार से अधिकतर वैश्विक सुचालकों के लिए, तुच्छ एक्सटेंशन R/R के सुचालक को 0 के रूप में परिभाषित किया गया है, और एक्सटेंशन C/R के सुचालक को 1 के रूप में परिभाषित किया गया है।

वैश्विक संवाहक

बीजगणितीय संख्या फ़ील्ड

किन्तु आर्टिन मानचित्र का उपयोग करके, संख्या फ़ील्ड के एबेलियन एक्सटेंशन L/K के सुचालक को स्थानीय स्तिथि के समान परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, मान लीजिए θ : I^m → Gal(L/K) वैश्विक आर्टिन मानचित्र बनें जहां मापांक (बीजगणितीय संख्या सिद्धांत) m L/K के लिए परिभाषित मापांक है ; हम कहते हैं कि आर्टिन पारस्परिकता कानून एम के लिए मान्य है यदि θ किरण वर्ग समूह एम के माध्यम से कारक है। हम L/K के सुचालक को परिभाषित करते हैं, जिसे दर्शाया गया है ${\mathfrak {f}}(L/K)$, सभी मापांकों का उच्चतम सामान्य कारक होना जिसके लिए पारस्परिकता कायम है; वस्तुतः पारस्परिकता ${\mathfrak {f}}(L/K)$ कायम रहती है , इसलिए यह सबसे छोटा मापांक माना जाता है।

उदाहरण

• तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र को आधार मानते हुए, क्रोनकर-वेबर प्रमेय में कहा गया है कि बीजगणितीय संख्या क्षेत्र K 'Q' पर एबेलियन है यदि और केवल यदि यह साइक्लोटोमिक क्षेत्र $\mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)$ का उपक्षेत्र है , जहाँ $\zeta _{n}$ एकता की आदिम nवीं जड़ को दर्शाता है। यदि n सबसे छोटा पूर्णांक है जिसके लिए यह धारण करता है, तो K का चालक n है यदि K जटिल संयुग्मन द्वारा तय किया गया है और $n\infty$ अन्यथा।
• मान लीजिए L/K $\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$ जहाँ d वर्गमुक्त पूर्णांक है। तब,

  ${\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d<0\end{cases}}$

जहाँ $\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ के बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है $\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$.

स्थानीय संचालकों और प्रभाव से संबंध

अतः वैश्विक सुचालक स्थानीय सुचालकों का उत्पाद है:

${\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}\left(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.$

परिणामस्वरूप, परिमित अभाज्य L/K में विस्तारित होता है यदि, और केवल यदि, यह ${\mathfrak {f}}(L/K)$ विभाजित होता है . सुचालक में अनंत अभाज्य v होता है यदि, और केवल यदि, v वास्तविक है और L में जटिल हो जाता है।

संदर्भ

• Artin, Emil; Tate, John (2009) [1967], Class field theory, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155
• Cohen, Henri (2000), Advanced topics in computational number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 193, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98727-9
• Janusz, Gerald (1973), Algebraic Number Fields, Pure and Applied Mathematics, vol. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, Zbl 0307.12001
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• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1967), "Local class field theory", in Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht (eds.), Algebraic Number Theory, Proceedings of an instructional conference at the University of Sussex, Brighton, 1965, London: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR 0220701