अनुमान: Difference between revisions

Latest revision as of 08:02, 14 July 2023

महत्वपूर्ण रेखा Re(s) = 1/2 के साथ रीमैन जीटा फलन का वास्तविक भाग (लाल) और काल्पनिक भाग (नीला)। प्रथम गैर-तुच्छ शून्य Im(s) = ±14.135, ±21.022 और ±25.011 पर देखा जा सकता है। रीमैन परिकल्पना, प्रसिद्ध अनुमान है, जो कहती है कि जीटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा के साथ स्थित हैं।

गणित में, अनुमान प्रस्ताव का एक ऐसा परिणाम है जिसे औपचारिक प्रमाण के बिना अस्थायी आधार पर चयनित किया जा सकता है।^[1]^[2]^[3] कुछ अनुमान, जैसे कि रीमैन परिकल्पना (अभी भी अनुमान) या फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय (एंड्रयू विल्स द्वारा 1995 में सिद्ध किए जाने तक अनुमान), ने गणितीय इतिहास को आकार दिया है क्योंकि उन्हें सिद्ध करने के लिए गणित के नवीन क्षेत्रों का विकास किया गया है।^[4]

महत्वपूर्ण उदाहरण

फर्मेट की अंतिम प्रमेय

इस प्रकार से संख्या सिद्धांत में, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय (कभी-कभी फ़र्मेट का अनुमान कहा जाता है, विशेष रूप से प्राचीन ग्रंथों में) कहता है कि कोई तीन धनात्मक संख्या पूर्णांक $a$ , $b$ , और $c$ दो से अधिक $n$ के किसी भी पूर्णांक मान के लिए समीकरण $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ को संतुष्ट नहीं कर सकते हैं।

अतः इस प्रमेय को प्रथमतः 1637 में अंकगणित की प्रति के लाभ में पियरे डी फर्मेट द्वारा अनुमान लगाया गया था, जहां उन्होंने अनुरोध किया था कि उनके निकट प्रमाण है जो लाभ में फिट होने के लिए बहुत बड़ा था।^[5] फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा जारी किया गया था, और गणितज्ञों के 358 वर्षों के प्रयास के बाद औपचारिक रूप से 1995 में प्रकाशित हुआ था। इस प्रकार से अनसुलझी समस्या ने 19वीं शताब्दी में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के विकास और 20वीं शताब्दी में मॉड्यूलरिटी प्रमेय के प्रमाण को प्रेरित किया था। यह गणित के इतिहास में सबसे उल्लेखनीय प्रमेयों में से है, और इसके प्रमाण से पूर्व यह सबसे जटिल गणितीय समस्याओं के लिए गिनीज बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड्स में सम्मिलित था।^[6]

चार वर्ण प्रमेय

संयुक्त राज्य अमेरिका के राज्यों के प्रतिचित्र का चार-वर्ण (झीलों की उपेक्षा)।

इस प्रकार से गणित में, चार वर्ण प्रमेय, या चार वर्ण प्रतिचित्र प्रमेय, बताता है कि किसी समतल को सन्निहित क्षेत्रों में अलग करने पर, एक आकृति का निर्माण होता है जिसे प्रतिचित्र कहा जाता है, प्रतिचित्र के क्षेत्रों को रंगने के लिए चार से अधिक वर्णों की आवश्यकता नहीं होती है - इसलिए कि किसी भी दो निकटवर्ती क्षेत्रों का वर्ण एक जैसा नहीं है। दो क्षेत्रों को आसन्न कहा जाता है यदि वे सामान्य सीमा साझा करते हैं जो कोण नहीं है, जहां कोण तीन या अधिक क्षेत्रों द्वारा साझा किए गए बिंदु हैं।^[7] उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका के प्रतिचित्र में, यूटा और एरिजोना आसन्न हैं, परन्तु यूटा और न्यू मैक्सिको, जो मात्र एरिजोना और कोलोराडो से संबंधित चार कोण स्मारक साझा करते हैं, नहीं हैं।

अगस्त फर्डिनेंड मोबियस ने 1840 के प्रारम्भ में अपने व्याख्यानों में इस समस्या का उल्लेख किया।^[8] इस प्रकार से यह अनुमान प्रथमतः 23 अक्टूबर, 1852 को प्रस्तावित किया गया था,^[9] जब फ्रांसिस गुथरी ने इंग्लैंड की काउंटियों के प्रतिचित्र को रंगने का प्रयत्न करते हुए देखा कि मात्र चार अलग-अलग वर्णों की आवश्यकता थी। अतः पांच वर्ण प्रमेय, जिसका संक्षिप्त प्रारंभिक प्रमाण है, कहता है कि पांच वर्ण प्रतिचित्र को रंगने के लिए पर्याप्त हैं और 19वीं शताब्दी के अंत में सिद्ध हो गए थे;^[10] यद्यपि, यह सिद्ध करना कि पर्याप्त चार वर्ण अत्यधिक जटिल निकले। 1852 में चार वर्ण प्रमेय के पूर्व कथन के बाद से कई असत्य प्रमाण और असत्य प्रति उदाहरण सामने आए हैं।

चार वर्णों वाली प्रमेय अंततः 1976 में केनेथ एपल और वोल्फगैंग हेकेन द्वारा सिद्ध की गई थी। यह कंप्यूटर-सहायता प्रमाण होने वाला प्रथम प्रमुख प्रमेय था, प्रमेय कंप्यूटर प्रोग्राम की सहायता से सिद्ध हुआ। इस प्रकार से एपेल और हेकेन का दृष्टिकोण यह दिखाते हुए प्रारम्भ हुआ कि 1,936 प्रतिचित्रों का विशेष समूह है, जिनमें से प्रत्येक चार वर्ण प्रमेय के लिए छोटे आकार के प्रति उदाहरण का भाग नहीं हो सकता है (अर्थात, यदि वे प्रकट होते हैं, तो कोई छोटा प्रति-उदाहरण बना सकता है)। अतः एपेल और हेकेन ने विशेष प्रयोजन के कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग यह पुष्टि करने के लिए किया कि इनमें से प्रत्येक प्रतिचित्र में यह गुण था। इसके अतिरिक्त, कोई प्रतिचित्र जो संभावित रूप से प्रति उदाहरण हो सकता है, उसमें भाग होना चाहिए जो इन 1,936 प्रतिचित्रों में से जैसा दिखता है। हाथों के विश्लेषण के सैकड़ों पृष्ठों के साथ इसे दिखाते हुए, एपेल और हेकेन ने निष्कर्ष निकाला कि कोई भी सबसे छोटा प्रति उदाहरण स्थित नहीं है क्योंकि किसी में भी इन 1,936 प्रतिचित्रों में से होना चाहिए, फिर भी सम्मिलित नहीं है। इस विरोधाभास का अर्थ है कि कोई भी प्रति उदाहरण नहीं है और इसलिए प्रमेय सत्य है। प्रारंभ में, उनके प्रमाण को गणितज्ञों द्वारा निश्चित स्वीकार नहीं किया गया था क्योंकि कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण मानव द्वारा हाथ से जांचना संभव नहीं था।^[11] यद्यपि, प्रमाण तब से व्यापक स्वीकृति प्राप्त कर चुका है, यद्यपि संदेह अभी भी बना हुआ है।^[12]

मुख्य अनुमान

इस प्रकार से ज्यामितीय टोपोलॉजी का मुख्य अनुमान (मुख्य अनुमान के लिए जर्मन) एक ऐसा अनुमान है कि त्रिकोणीय स्थान के किसी भी दो त्रिभुज (टोपोलॉजी) में सामान्य शोधन होता है, एकल त्रिभुज जो उन दोनों का उपखंड है। यह मूल रूप से 1908 में अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ और हेनरिक फ्रांज फ्रेडरिक टिट्ज़ द्वारा तैयार किया गया था।^[13]

इस प्रकार से यह अनुमान अब असत्य माना जाता है। गैर-कई गुना संस्करण जॉन मिल्नोर^[14] ने 1961 में रीडमिस्टर टोर्सन का उपयोग करके अस्वीकृत कर दिया था।

अतः कई गुना संस्करण विमाओं m ≤ 3 में सत्य है। स्थिति m = 2 और 3 को क्रमशः 1920 और 1950 के दशक में टिबोर राडो और एडविन ई. मोइज़ द्वारा सिद्ध किया गया था।^[15]

वील अनुमान

इस प्रकार से गणित में, वेइल अनुमान आंद्रे वेल (1949) द्वारा परिमित क्षेत्रों पर बीजगणितीय विविधता पर अंकों की संख्या की गणना से प्राप्त जनक फलन (स्थानीय जीटा-फलन के रूप में जाना जाता है) पर कुछ अत्यधिक प्रभावशाली प्रस्ताव थे।

q अवयवों वाले एक परिमित क्षेत्र पर एक प्रकार V तर्कसंगत बिंदुओं की एक सीमित संख्या होती है, साथ ही उस क्षेत्र वाले q^k अवयवों वाले प्रत्येक परिमित क्षेत्र पर बिंदु होते हैं। जनक फलन में q_k अवयवों के साथ संख्या (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) क्षेत्र पर बिंदुओं की संख्या N_k से प्राप्त गुणांक होते हैं।

इस प्रकार से वेइल ने अनुमान लगाया कि इस प्रकार के जीटा-फलन तर्कसंगत फलन होने चाहिए, कार्यात्मक समीकरण के रूप को संतुष्ट करना चाहिए, और प्रतिबंधित स्थानों में उनके शून्य होने चाहिए। अतः पूर्व दो भागों को रीमैन जीटा फलन और रीमैन परिकल्पना पर अत्यधिक सचेत रूप से तैयार किया गया था। तर्कसंगतता को डवर्क (1960), कार्यात्मक समीकरण ग्रोथेंडिक (1965), द्वारा सिद्ध किया गया था, और रीमैन परिकल्पना का समधर्मी डेलिग्ने (1974) द्वारा सिद्ध किया गया था।

पोंकारे अनुमान

गणित में, पॉइंकेयर अनुमान 3-क्षेत्र के लक्षण वर्णन (गणित) के विषय में एक प्रमेय है, जो अति क्षेत्र है जो इकाई बॉल को चार-विमीय समष्टि में बांधता है। अनुमान कहता है कि:

प्रत्येक मात्र संयोजित, संवृत 3-कई गुना 3-गोले से होमोमोर्फिक है।

इस प्रकार से अनुमान के समतुल्य रूप में होमोमोर्फिज्म की तुलना में समरूपता का स्थूलतर रूप सम्मिलित होता है जिसे समस्थेयता समतुल्य कहा जाता है: यदि 3-कई गुना समस्थेयता 3-क्षेत्र के बराबर है, तो यह आवश्यक रूप से होमोमोर्फिक है।

अतः मूल रूप से 1904 में हेनरी पोंकारे द्वारा अनुमानित, प्रमेय ऐसे स्थान से संबंधित है जो स्थानीय रूप से सामान्य त्रि-विमीय समष्टि के जैसे दिखता है परन्तु सम्बद्ध है, आकार में परिमित है, और किसी भी सीमा का अभाव है (एक संवृत कई गुना 3-कई गुना)। पोंकारे अनुमान का अनुरोध है कि यदि ऐसे स्थान में अतिरिक्त गुण है कि समष्टि में प्रत्येक पथ (टोपोलॉजी) को बिंदु पर निरंतर दृढ़ीकृत किया जा सकता है, तो यह अनिवार्य रूप से त्रि-विमीय क्षेत्र है। कुछ समय के लिए सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान उच्च विमाओं में जाना जाता है।

गणितज्ञों द्वारा लगभग शताब्दी के प्रयास के बाद, त्वरित पेरेलमैन ने 2002 और 2003 में अरक्सीव पर उपलब्ध कराए गए तीन लेखों में अनुमान का प्रमाण प्रस्तुत किया था। इस प्रकार से समस्या को हल करने का प्रयास करने के लिए रिक्की प्रवाह का उपयोग करने के लिए रिचर्ड एस. हैमिल्टन के कार्यक्रम से प्रमाण का पालन किया गया गया था। हैमिल्टन ने बाद में मानक रिक्की प्रवाह का संशोधन प्रस्तुत किया, जिसे सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह कहा जाता है, ताकि नियंत्रित विधि से व्यवस्थित रूप से एकवचन क्षेत्रों को विकसित किया जा सके, परन्तु यह सिद्ध करने में असमर्थ था कि यह विधि तीन विमाओं में परिवर्तित हो गई है।^[16] पेरेलमैन ने प्रमाण के इस भाग को पूर्ण किया। गणितज्ञों के कई समूहों ने सत्यापित किया है कि पेरेलमैन का प्रमाण सत्य है।

इस प्रकार से सिद्ध होने से पूर्व पोंकारे अनुमान, टोपोलॉजी में सबसे महत्वपूर्ण विवृत प्रश्नों में से था।

रीमैन परिकल्पना

अतः गणित में, बर्नहार्ड रीमैन (1859) द्वारा प्रस्तावित रीमैन परिकल्पना का अनुमान है कि रीमैन जीटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्यों का वास्तविक भाग 1/2 है। नाम का उपयोग कुछ निकट संबंधी अनुरूपताओं के लिए भी किया जाता है, जैसे कि परिमित क्षेत्रों पर वक्रों के लिए रीमैन परिकल्पना।

इस प्रकार से रीमैन परिकल्पना अभाज्य संख्याओं के वितरण के विषय में परिणाम बताती है। उपयुक्त सामान्यीकरणों के साथ, कुछ गणितज्ञ इसे शुद्ध गणित की सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या मानते हैं।^[17] अतः रिमेंन परिकल्पना, गोल्डबैक अनुमान के साथ, डेविड हिल्बर्ट की हिल्बर्ट की समस्याओं की सूची में हिल्बर्ट की आठवीं समस्या का भाग है; यह क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं में से एक है।

पी बनाम एनपी समस्या

इस प्रकार से पी बनाम एनपी समस्या कंप्यूटर विज्ञान में अनसुलझी समस्याओं की प्रमुख सूची है। अनौपचारिक रूप से, यह पूछता है कि क्या प्रत्येक समस्या जिसका हल कंप्यूटर द्वारा शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है, कंप्यूटर द्वारा भी शीघ्रता से हल किया जा सकता है; यह व्यापक रूप से अनुमान लगाया जाता है कि उत्तर नहीं है। अनिवार्य रूप से प्रथमतः 1956 में कर्ट गोडेल द्वारा जॉन वॉन न्यूमैन को लिखे गए लेख में इसका उल्लेख किया गया था। गोडेल ने पूछा कि क्या निश्चित एनपी-पूर्ण समस्या को द्विघात या रैखिक समय में हल किया जा सकता है।^[18] अतः P=NP समस्या का यथार्थ कथन 1971 में स्टीफन कुक द्वारा अपने मौलिक लेख "प्रमेय सिद्ध करने की प्रक्रियाओं की जटिलता" में प्रस्तुत किया गया था,^[19] और कई लोगों द्वारा इसे क्षेत्र में सबसे महत्वपूर्ण विवृत समस्या माना जाता है।^[20] क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट द्वारा चुने गए सात मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से एक है, जिसके पूर्व सत्य हल के लिए यूएस $ 1,000,000 का पुरस्कार दिया जाएगा।

अन्य अनुमान

गोल्डबैक का अनुमान
युग्मज अभाज्य अनुमान
कोल्लात्ज़ अनुमान
मैनिन अनुमान
मालदासेना अनुमान
यूलर अनुमान, 18वीं शताब्दी में यूलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, परन्तु जिसके लिए कई प्रतिपादकों (n = 4 से प्रारम्भ) के प्रति उदाहरण 20वीं शताब्दी के मध्य में पाए गए थे
दूसरा हार्डी-लिटिलवुड अनुमान अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित अनुमानों के युग्म है, जिनमें से प्रथम पूर्वोक्त युग्मज अभाज्य अनुमान पर विस्तार करता है। अतः न तो कोई सिद्ध हुआ है और न ही असिद्ध, परन्तु यह सिद्ध हो चुका है कि दोनों साथ सत्य नहीं हो सकते (अर्थात, कम से कम असत्य होना चाहिए)। इस प्रकार से यह सिद्ध नहीं हुआ है कि कौन सा असत्य है, परन्तु यह व्यापक रूप से माना जाता है कि प्रथम अनुमान सत्य है और दूसरा असत्य है।^[21]
लैंगलैंड्स कार्यक्रम^[22] 'एकीकृत अनुमान' के इन विचारों का दूरगामी जाल है जो गणित के विभिन्न उपक्षेत्रों को जोड़ता है (उदाहरण के लिए संख्या सिद्धांत और लाई समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बीच)। इनमें से कुछ अनुमान तब से सिद्ध हो चुके हैं।

अनुमानों का हल

प्रमाण

इस प्रकार से औपचारिक गणित सिद्ध सत्य पर आधारित है। गणित में, सार्वभौमिक रूप से परिमाणित अनुमान का समर्थन करने वाली स्थितियों की संख्या, चाहे वह कितना भी बड़ा क्यों न हो, अनुमान की सत्यता स्थापित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि एकल प्रति उदाहरण अनुमान को तुरंत नीचे ला सकता है। अतः गणितीय लेखिकाएं कभी-कभी अनुसंधान समूहों के साधारण परिणामों को प्रकाशित करती हैं, जिन्होंने पूर्व की तुलना में प्रति उदाहरण के लिए खोज को आगे बढ़ाया है। उदाहरण के लिए, कोल्लात्ज़ अनुमान, जो इस बात से संबंधित है कि पूर्णांकों के कुछ अनुक्रम समाप्त होते हैं या नहीं, 1.2 × 10¹² (एक ट्रिलियन से अधिक) तक सभी पूर्णांकों के लिए परीक्षण किया गया है। यद्यपि, व्यापक खोज के बाद प्रति उदाहरण खोजने में विफलता इस बात का प्रमाण नहीं है कि अनुमान सत्य है - क्योंकि अनुमान असत्य हो सकता है परन्तु बहुत बड़े न्यूनतम प्रति उदाहरण के साथ है।

फिर भी, गणितज्ञ प्रायः अनुमान को साक्ष्य द्वारा दृढ़ता से समर्थित मानते हैं, यद्यपि अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है। वह साक्ष्य विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं, जैसे कि उसके परिणामों का सत्यापन या ज्ञात परिणामों के साथ दृढ अंतर्संबंध हैं।^[23]

इस प्रकार से एक अनुमान को तभी सिद्ध माना जाता है जब यह दिखाया गया हो कि उसका असत्य होना तार्किक रूप से असंभव है। ऐसा करने की विभिन्न विधि हैं; अधिक विवरण के लिए गणितीय उपपत्ति की विधियाँ देखें।

अतः प्रमाण की विधि, लागू होती है जब स्थितियों की मात्र सीमित संख्या होती है जो प्रति-उदाहरण का कारण बन सकती है, पाशविक बल के रूप में जाना जाता है: इस दृष्टिकोण में, सभी संभावित स्थितियों पर विचार किया जाता है और प्रति-उदाहरण नहीं देने के लिए दिखाया जाता है। कुछ अवसरों में, स्थितियों की संख्या अत्यधिक बड़ी होती है, ऐसे में सभी स्थितियों की जांच के लिए पाशविक-बल प्रमाण के लिए व्यावहारिक स्थिति के रूप में कंप्यूटर एल्गोरिदम के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, कंप्यूटर द्वारा चार वर्ण प्रमेय के 1976 और 1997 के पाशविक-बल प्रमाण की वैधता पर प्रारम्भ में संदेह किया गया था, परन्तु अंततः 2005 में प्रमेय-सिद्ध सॉफ़्टवेयर द्वारा इसकी पुष्टि की गई।

अतः जब अनुमान गणितीय प्रमाण हो गया है, तो यह अब अनुमान नहीं है यद्यपि प्रमेय है। कई महत्वपूर्ण प्रमेय एक समय अनुमान थे, जैसे कि ज्यामितिकरण अनुमान (जिसने पॉइनकेयर अनुमान को हल किया), फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय, और अन्य आदि।

खंडन

इस प्रकार से प्रति उदाहरण के माध्यम से अप्रमाणित अनुमानों को कभी-कभी असत्य अनुमानों के रूप में संदर्भित किया जाता है ( पोल्या अनुमान और यूलर की घातों के योग अनुमान)। उत्तरार्द्ध की स्थिति में, एन = 4 स्थिति के लिए पाया गया प्रथम प्रति उदाहरण लाखों में सम्मिलित है, यद्यपि यह बाद में पाया गया है कि न्यूनतम प्रति उदाहरण वस्तुतः छोटा है।

स्वतंत्र अनुमान

इस प्रकार से प्रत्येक अनुमान सत्य या असत्य सिद्ध नहीं होता। सातत्य परिकल्पना, जो कुछ अनंत समूहों की सापेक्ष गणनांक संख्या का पता लगाने का प्रयास करती है, अंततः समूह सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों के सामान्यतः स्वीकृत समूह से स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) के रूप में दिखाया गया था। इसलिए इस कथन को, या इसके निषेध को सुसंगत विधि से नवीन स्वयंसिद्ध के रूप में अपनाना संभव है (जैसा कि यूक्लिड के समानांतर अभिधारणा को ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली में या तो सत्य या असत्य के रूप में लिया जा सकता है)।

इस स्थिति में, यदि कोई प्रमाण इस कथन का उपयोग करता है, तो शोधकर्ता प्रायः नवीन प्रमाण की जांच करेंगे, जिसके लिए परिकल्पना की आवश्यकता नहीं है (उसी प्रकार यह वांछनीय है कि यूक्लिडियन ज्यामिति में कथनों को मात्र तटस्थ ज्यामिति के स्वयंसिद्धों का उपयोग करके सिद्ध किया जाए, अर्थात बिना समानांतर अभिधारणा के है)। अतः व्यवहार में इसका बड़ा अपवाद चयन का स्वयंसिद्ध है, क्योंकि अधिकांश शोधकर्ता सामान्यतः चिंता नहीं करते हैं कि परिणाम की आवश्यकता है या नहीं - जब तक कि वे विशेष रूप से इस स्वयंसिद्ध का अध्ययन नहीं कर रहे हों।

सप्रतिबन्ध प्रमाण

इस प्रकार से कभी-कभी, अनुमान को परिकल्पना कहा जाता है जब इसे अन्य परिणामों के प्रमाण में धारणा के रूप में बार-बार और बार-बार उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, रिमेंन परिकल्पना संख्या सिद्धांत से अनुमान है कि - अन्य बातों के अतिरिक्त - अभाज्य संख्याओं के वितरण के विषय में भविष्यवाणियां करता है। कुछ संख्या सिद्धांतकारों को संदेह है कि रीमैन परिकल्पना सत्य है। वस्तुतः, इसके अंतिम प्रमाण की प्रत्याशा में, कुछ ने आगे के प्रमाणों को विकसित करना भी प्रारम्भ कर दिया है जो इस अनुमान की सत्यता पर निर्भर हैं। अतः इन्हें सप्रतिबन्ध प्रमाण कहा जाता है: अनुमानित अनुमान प्रमेय की परिकल्पना में कुछ समय के लिए दिखाई देते हैं।

यद्यपि, ये प्रमाण अलग हो जाएंगे यदि यह पता चला कि परिकल्पना असत्य थी, इसलिए इस प्रकार के अनुमानों की सत्यता या असत्यता को सत्यापित करने में अत्यधिक रुचि है।

अन्य विज्ञानों में

इस प्रकार से कार्ल पॉपर ने विज्ञान के दर्शनशास्त्र में अनुमान शब्द के प्रयोग का संचालन किया।^[24] अनुमान परिकल्पना से संबंधित है, जो विज्ञान में परीक्षण योग्य अनुमान को संदर्भित करता है।

यह भी देखें

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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[12] Wilson, Robin (2014). चार रंग पर्याप्त हैं: मानचित्र की समस्या को कैसे हल किया गया (Revised color ed.). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 216–222. ISBN 9780691158228. OCLC 847985591.

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[14] Milnor, John W. (1961). "Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct". Annals of Mathematics. 74 (2): 575–590. doi:10.2307/1970299. JSTOR 1970299. MR 0133127.

[15] Moise, Edwin E. (1977). Geometric Topology in Dimensions 2 and 3. New York: New York : Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90220-3.

[16] Hamilton, Richard S. (1997). "Four-manifolds with positive isotropic curvature". Communications in Analysis and Geometry. 5 (1): 1–92. doi:10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1. MR 1456308. Zbl 0892.53018.

[17] Bombieri, Enrico (2000). "The Riemann Hypothesis – official problem description" (PDF). Clay Mathematics Institute. Retrieved 2019-11-12.

[18] Juris Hartmanis 1989, Gödel, von Neumann, and the P = NP problem, Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101–107

[19] Cook, Stephen (1971). "The complexity of theorem proving procedures". Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. pp. 151–158. doi:10.1145/800157.805047. ISBN 9781450374644. S2CID 7573663.

[20] Lance Fortnow, The status of the P versus NP problem, Communications of the ACM 52 (2009), no. 9, pp. 78–86. doi:10.1145/1562164.1562186

[21] Richards, Ian (1974). "On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes". Bull. Amer. Math. Soc. 80: 419–438. doi:10.1090/S0002-9904-1974-13434-8.

[22] Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil

[23] Franklin, James (2016). "Logical probability and the strength of mathematical conjectures" (PDF). Mathematical Intelligencer. 38 (3): 14–19. doi:10.1007/s00283-015-9612-3. S2CID 30291085. Archived (PDF) from the original on 2017-03-09. Retrieved 30 June 2021.

[24] Popper, Karl (2004). Conjectures and refutations : the growth of scientific knowledge. London: Routledge. ISBN 0-415-28594-1.

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 {{short description|Proposition in mathematics that is unproven}}
-{{for|text reconstruction|Conjecture (textual criticism)}}
+{{for|पाठ पुनर्निर्माण|अनुमान (पाठ्य आलोचना)}}
-[[File:RiemannCriticalLine.svg|thumb|350px|महत्वपूर्ण रेखा Re(s) = 1/2 के साथ Riemann zeta फ़ंक्शन का वास्तविक भाग (लाल) और काल्पनिक भाग (नीला)। पहला गैर-तुच्छ शून्य Im(s) = ±14.135, ±21.022 और ±25.011 पर देखा जा सकता है। [[रीमैन परिकल्पना]], प्रसिद्ध अनुमान है, जो कहती है कि ज़ेटा फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा के साथ स्थित हैं।]]गणित में, अनुमान [[प्रस्ताव]] का परिणाम है जिसे [[औपचारिक प्रमाण]] के बिना अस्थायी आधार पर पसंद किया जाता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/conjecture|title=Definition of CONJECTURE|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2019-11-12}}</ref><ref>{{cite book|title=Oxford Dictionary of English|edition=2010}}</ref><ref>{{cite book|last1=Schwartz|first1=JL|title=Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics.|date=1995|page=93|url=https://books.google.com/books?id=JyKelnvECc4C&q=%22although+counterpoint+between+the+particular+and+the+general%22&pg=PA93|isbn=9780195115772}}</ref> कुछ अनुमान, जैसे कि रीमैन परिकल्पना (अभी भी अनुमान) या फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय ([[एंड्रयू विल्स]] द्वारा 1995 में सिद्ध किए जाने तक अनुमान), ने गणितीय इतिहास को आकार दिया है क्योंकि उन्हें साबित करने के लिए गणित के नए क्षेत्रों का विकास किया गया है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html|title=Fermat's Last Theorem|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-12}}</ref>
+[[File:RiemannCriticalLine.svg|thumb|350px|महत्वपूर्ण रेखा '''''Re(s) = 1/2''''' के साथ रीमैन जीटा फलन का वास्तविक भाग (लाल) और काल्पनिक भाग (नीला)। प्रथम गैर-तुच्छ शून्य '''Im(s) = ±14.135, ±21.022''' और '''±25.011''' पर देखा जा सकता है। [[रीमैन परिकल्पना]], प्रसिद्ध अनुमान है, जो कहती है कि जीटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा के साथ स्थित हैं।]]गणित में, '''अनुमान''' [[प्रस्ताव]] का एक ऐसा परिणाम है जिसे [[औपचारिक प्रमाण]] के बिना अस्थायी आधार पर चयनित किया जा सकता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/conjecture|title=Definition of CONJECTURE|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2019-11-12}}</ref><ref>{{cite book|title=Oxford Dictionary of English|edition=2010}}</ref><ref>{{cite book|last1=Schwartz|first1=JL|title=Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics.|date=1995|page=93|url=https://books.google.com/books?id=JyKelnvECc4C&q=%22although+counterpoint+between+the+particular+and+the+general%22&pg=PA93|isbn=9780195115772}}</ref> कुछ अनुमान, जैसे कि रीमैन परिकल्पना (अभी भी अनुमान) या फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय ([[एंड्रयू विल्स]] द्वारा 1995 में सिद्ध किए जाने तक अनुमान), ने गणितीय इतिहास को आकार दिया है क्योंकि उन्हें सिद्ध करने के लिए गणित के नवीन क्षेत्रों का विकास किया गया है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html|title=Fermat's Last Theorem|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-12}}</ref>
 == महत्वपूर्ण उदाहरण ==
 === फर्मेट की अंतिम प्रमेय ===
-{{main|Fermat's Last Theorem}}
+{{main|फर्मेट की अंतिम प्रमेय}}
-[[संख्या सिद्धांत]] में, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय (कभी-कभी फ़र्मेट का अनुमान कहा जाता है, विशेष रूप से पुराने ग्रंथों में) कहता है कि कोई तीन [[सकारात्मक संख्या]] [[पूर्णांक]] नहीं <math>a</math>,<math>b</math>, और<math>c</math>समीकरण को संतुष्ट कर सकता है<math>a^n + b^n = c^n</math>के किसी भी पूर्णांक मान के लिए<math>n</math>दो से अधिक।
+इस प्रकार से [[संख्या सिद्धांत]] में, '''फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय''' (कभी-कभी '''फ़र्मेट का अनुमान''' कहा जाता है, विशेष रूप से प्राचीन ग्रंथों में) कहता है कि कोई तीन [[सकारात्मक संख्या|धनात्मक संख्या]] [[पूर्णांक]] <math>a</math>,<math>b</math>, और <math>c</math> दो से अधिक <math>n</math> के किसी भी पूर्णांक मान के लिए समीकरण <math>a^n + b^n = c^n</math>को संतुष्ट नहीं कर सकते हैं।
-इस प्रमेय को पहली बार 1637 में [[अंकगणित]] की प्रति के मार्जिन में [[पियरे डी फर्मेट]] द्वारा अनुमान लगाया गया था, जहां उन्होंने दावा किया था कि उनके पास प्रमाण है जो मार्जिन में फिट होने के लिए बहुत बड़ा था।<ref>{{citation|first=Oystein|last=Ore|title=Number Theory and Its History|year=1988|orig-year=1948|publisher=Dover|isbn=978-0-486-65620-5|pages=[https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey/page/203 203–204]|url=https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey/page/203}}</ref> फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा जारी किया गया था, और गणितज्ञों के 358 वर्षों के प्रयास के बाद औपचारिक रूप से 1995 में प्रकाशित हुआ था। अनसुलझी समस्या ने 19वीं शताब्दी में [[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] के विकास और 20वीं शताब्दी में [[मॉड्यूलरिटी प्रमेय]] के प्रमाण को प्रेरित किया। यह गणित के इतिहास में सबसे उल्लेखनीय प्रमेयों में से है, और इसके प्रमाण से पहले यह सबसे कठिन गणितीय समस्याओं के लिए [[गिनीज बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड्स]] में शामिल था।<ref>{{Cite book|title=The Guinness Book of World Records|publisher=Guinness Publishing Ltd.|year=1995|chapter=Science and Technology}}</ref>
+अतः इस प्रमेय को प्रथमतः 1637 में [[अंकगणित]] की प्रति के लाभ में [[पियरे डी फर्मेट]] द्वारा अनुमान लगाया गया था, जहां उन्होंने अनुरोध किया था कि उनके निकट प्रमाण है जो लाभ में फिट होने के लिए बहुत बड़ा था।<ref>{{citation|first=Oystein|last=Ore|title=Number Theory and Its History|year=1988|orig-year=1948|publisher=Dover|isbn=978-0-486-65620-5|pages=[https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey/page/203 203–204]|url=https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey/page/203}}</ref> फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा जारी किया गया था, और गणितज्ञों के 358 वर्षों के प्रयास के बाद औपचारिक रूप से 1995 में प्रकाशित हुआ था। इस प्रकार से अनसुलझी समस्या ने 19वीं शताब्दी में [[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] के विकास और 20वीं शताब्दी में [[मॉड्यूलरिटी प्रमेय]] के प्रमाण को प्रेरित किया था। यह गणित के इतिहास में सबसे उल्लेखनीय प्रमेयों में से है, और इसके प्रमाण से पूर्व यह सबसे जटिल गणितीय समस्याओं के लिए [[गिनीज बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड्स]] में सम्मिलित था।<ref>{{Cite book|title=The Guinness Book of World Records|publisher=Guinness Publishing Ltd.|year=1995|chapter=Science and Technology}}</ref>
-=== चार रंग प्रमेय ===
+=== चार वर्ण प्रमेय ===
-{{Main|Four color theorem}}
+{{Main|चार वर्ण प्रमेय}}
-[[File:Map of United States vivid colors shown.png|thumb|संयुक्त राज्य अमेरिका के राज्यों के मानचित्र का चार-रंग (झीलों की उपेक्षा)।]]गणित में, [[चार रंग प्रमेय]], या चार रंग नक्शा प्रमेय, बताता है कि किसी समतल को विक्ट: सामीप्य क्षेत्रों में अलग करने से, मानचित्र नामक आकृति का निर्माण होता है, मानचित्र के क्षेत्रों को रंगने के लिए चार से अधिक रंगों की आवश्यकता नहीं होती है। —ताकि किन्हीं दो आसन्न क्षेत्रों का रंग जैसा न हो। दो क्षेत्रों को आसन्न कहा जाता है यदि वे सामान्य सीमा साझा करते हैं जो कोना नहीं है, जहां कोने तीन या अधिक क्षेत्रों द्वारा साझा किए गए बिंदु हैं।<ref>{{cite journal |title=Formal Proof—The Four-Color Theorem |author-link=Georges Gonthier|author=Georges Gonthier |journal=Notices of the AMS |volume=55 |issue=11 |date=December 2008 |pages=1382–1393|quote=From this paper: Definitions: A planar map is a set of pairwise disjoint subsets of the plane, called regions. A simple map is one whose regions are connected open sets. Two regions of a map are adjacent if their respective closures have a common point that is not a corner of the map. A point is a corner of a map if and only if it belongs to the closures of at least three regions. Theorem: The regions of any simple planar map can be colored with only four colors, in such a way that any two adjacent regions have different colors.}}</ref> उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका के मानचित्र में, यूटा और एरिजोना आसन्न हैं, लेकिन यूटा और न्यू मैक्सिको, जो केवल एरिजोना और कोलोराडो से संबंधित फोर कॉर्नर स्मारक साझा करते हैं, नहीं हैं।
+[[File:Map of United States vivid colors shown.png|thumb|संयुक्त राज्य अमेरिका के राज्यों के प्रतिचित्र का चार-वर्ण (झीलों की उपेक्षा)।]]इस प्रकार से गणित में, [[चार रंग प्रमेय|चार वर्ण प्रमेय]], या चार वर्ण प्रतिचित्र प्रमेय, बताता है कि किसी समतल को सन्निहित क्षेत्रों में अलग करने पर, एक आकृति का निर्माण होता है जिसे प्रतिचित्र कहा जाता है, प्रतिचित्र के क्षेत्रों को रंगने के लिए चार से अधिक वर्णों की आवश्यकता नहीं होती है - इसलिए कि किसी भी दो निकटवर्ती क्षेत्रों का वर्ण एक जैसा नहीं है। दो क्षेत्रों को आसन्न कहा जाता है यदि वे सामान्य सीमा साझा करते हैं जो कोण नहीं है, जहां कोण तीन या अधिक क्षेत्रों द्वारा साझा किए गए बिंदु हैं।<ref>{{cite journal |title=Formal Proof—The Four-Color Theorem |author-link=Georges Gonthier|author=Georges Gonthier |journal=Notices of the AMS |volume=55 |issue=11 |date=December 2008 |pages=1382–1393|quote=From this paper: Definitions: A planar map is a set of pairwise disjoint subsets of the plane, called regions. A simple map is one whose regions are connected open sets. Two regions of a map are adjacent if their respective closures have a common point that is not a corner of the map. A point is a corner of a map if and only if it belongs to the closures of at least three regions. Theorem: The regions of any simple planar map can be colored with only four colors, in such a way that any two adjacent regions have different colors.}}</ref> उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका के प्रतिचित्र में, यूटा और एरिजोना आसन्न हैं, परन्तु यूटा और न्यू मैक्सिको, जो मात्र एरिजोना और कोलोराडो से संबंधित चार कोण स्मारक साझा करते हैं, नहीं हैं।
-अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस ने 1840 की शुरुआत में अपने व्याख्यानों में इस समस्या का उल्लेख किया।<ref name="rouse_ball_1960">डब्ल्यू. डब्ल्यू. राउज़ बॉल (1960) द फोर कलर थ्योरम, इन मैथेमेटिकल रिक्रिएशन एंड एसेज, मैकमिलन, न्यूयॉर्क, पीपी 222-232।</ref> यह अनुमान पहली बार 23 अक्टूबर, 1852 को प्रस्तावित किया गया था। रेफरी नाम=मैकेंजी>डोनाल्ड मैकेंजी, मैकेनाइजिंग प्रूफ: कम्प्यूटिंग, रिस्क, एंड ट्रस्ट (एमआईटी प्रेस, 2004) पृष्ठ 103</रेफ> जब [[फ्रांसिस गुथरी]] ने इंग्लैंड की काउंटियों के मानचित्र को रंगने की कोशिश करते हुए देखा कि केवल चार अलग-अलग रंग थे आवश्यकता है। [[पांच रंग प्रमेय]], जिसका संक्षिप्त प्रारंभिक प्रमाण है, कहता है कि पांच रंग मानचित्र को रंगने के लिए पर्याप्त हैं और 19वीं शताब्दी के अंत में सिद्ध हो गए थे; रेफरी>{{Cite journal|last=Heawood|first=P. J.|date=1890|title=मानचित्र-रंग प्रमेय|journal=Quarterly Journal of Mathematics|location=Oxford|volume=24|pages=332–338}}</ref> हालांकि, यह साबित करना कि पर्याप्त चार रंग काफी कठिन निकले। 1852 में चार रंग [[प्रमेय]] के पहले बयान के बाद से कई झूठे प्रमाण और झूठे [[प्रति उदाहरण]] सामने आए हैं।
+अगस्त फर्डिनेंड मोबियस ने 1840 के प्रारम्भ में अपने व्याख्यानों में इस समस्या का उल्लेख किया।<ref name="rouse_ball_1960">डब्ल्यू. डब्ल्यू. राउज़ बॉल (1960) द फोर कलर थ्योरम, इन मैथेमेटिकल रिक्रिएशन एंड एसेज, मैकमिलन, न्यूयॉर्क, पीपी 222-232।</ref> इस प्रकार से यह अनुमान प्रथमतः 23 अक्टूबर, 1852 को प्रस्तावित किया गया था,<ref>रेफरी नाम=मैकेंजी>डोनाल्ड मैकेंजी, मैकेनाइजिंग प्रूफ: कम्प्यूटिंग, रिस्क, एंड ट्रस्ट (एमआईटी प्रेस, 2004) पृष्ठ 103</रेफ></ref> जब [[फ्रांसिस गुथरी]] ने इंग्लैंड की काउंटियों के प्रतिचित्र को रंगने का प्रयत्न करते हुए देखा कि मात्र चार अलग-अलग वर्णों की आवश्यकता थी। अतः [[पांच रंग प्रमेय|पांच वर्ण प्रमेय]], जिसका संक्षिप्त प्रारंभिक प्रमाण है, कहता है कि पांच वर्ण प्रतिचित्र को रंगने के लिए पर्याप्त हैं और 19वीं शताब्दी के अंत में सिद्ध हो गए थे;<ref>रेफरी>{{Cite journal|last=Heawood|first=P. J.|date=1890|title=मानचित्र-रंग प्रमेय|journal=Quarterly Journal of Mathematics|location=Oxford|volume=24|pages=332–338}}<nowiki></ref> यद्यपि, यह सिद्ध करना कि पर्याप्त चार वर्ण अत्यधिक जटिल निकले। 1852 में चार वर्ण [[प्रमेय]] के पूर्व कथन के बाद से कई असत्य प्रमाण और असत्य [[प्रति उदाहरण]] सामने आए हैं।
-चार रंगों वाली प्रमेय अंततः 1976 में [[केनेथ एपल]] और [[वोल्फगैंग हेकेन]] द्वारा सिद्ध की गई थी। यह कंप्यूटर-सहायता प्रमाण होने वाला पहला प्रमुख प्रमेय था # प्रमेय कंप्यूटर प्रोग्राम की मदद से सिद्ध हुआ। एपेल और हेकेन का दृष्टिकोण यह दिखाते हुए शुरू हुआ कि 1,936 नक्शों का विशेष सेट है, जिनमें से प्रत्येक चार रंग प्रमेय के लिए छोटे आकार के प्रति उदाहरण का हिस्सा नहीं हो सकता है (यानी, यदि वे प्रकट होते हैं, तो कोई छोटा प्रति-उदाहरण बना सकता है) ). Appel और Haken ने विशेष प्रयोजन के कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग यह पुष्टि करने के लिए किया कि इनमें से प्रत्येक नक्शे में यह संपत्ति थी। इसके अतिरिक्त, कोई नक्शा जो संभावित रूप से प्रति उदाहरण हो सकता है, उसमें भाग होना चाहिए जो इन 1,936 मानचित्रों में से जैसा दिखता है। हाथों के विश्लेषण के सैकड़ों पृष्ठों के साथ इसे दिखाते हुए, एपेल और हेकेन ने निष्कर्ष निकाला कि कोई भी सबसे छोटा प्रति उदाहरण मौजूद नहीं है क्योंकि किसी में भी इन 1,936 मानचित्रों में से होना चाहिए, फिर भी शामिल नहीं है। इस विरोधाभास का मतलब है कि कोई भी प्रति उदाहरण नहीं है और इसलिए प्रमेय सत्य है। प्रारंभ में, उनके प्रमाण को गणितज्ञों द्वारा बिल्कुल भी स्वीकार नहीं किया गया था क्योंकि कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण मानव द्वारा हाथ से जांचना संभव नहीं था। रेफरी>{{Cite journal|last=Swart|first=E. R.|date=1980|title=चार रंगों की समस्या के दार्शनिक निहितार्थ|journal=The American Mathematical Monthly|volume=87|issue=9|pages=697–702|doi=10.2307/2321855|issn=0002-9890|jstor=2321855}}</ रेफ> हालांकि, सबूत तब से व्यापक स्वीकृति प्राप्त कर चुका है, हालांकि संदेह अभी भी बना हुआ है। रेफरी>{{Cite book|title=चार रंग पर्याप्त हैं: मानचित्र की समस्या को कैसे हल किया गया|last=Wilson|first=Robin|publisher=Princeton University Press|year=2014|isbn=9780691158228|edition=Revised color|location=Princeton, New Jersey|pages=216–222|oclc=847985591}}</रेफरी>
+चार वर्णों वाली प्रमेय अंततः 1976 में [[केनेथ एपल]] और [[वोल्फगैंग हेकेन]] द्वारा सिद्ध की गई थी। यह कंप्यूटर-सहायता प्रमाण होने वाला प्रथम प्रमुख प्रमेय था, प्रमेय कंप्यूटर प्रोग्राम की सहायता से सिद्ध हुआ। इस प्रकार से एपेल और हेकेन का दृष्टिकोण यह दिखाते हुए प्रारम्भ हुआ कि 1,936 प्रतिचित्रों का विशेष समूह है, जिनमें से प्रत्येक चार वर्ण प्रमेय के लिए छोटे आकार के प्रति उदाहरण का भाग नहीं हो सकता है (अर्थात, यदि वे प्रकट होते हैं, तो कोई छोटा प्रति-उदाहरण बना सकता है)। अतः एपेल और हेकेन ने विशेष प्रयोजन के कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग यह पुष्टि करने के लिए किया कि इनमें से प्रत्येक प्रतिचित्र में यह गुण था। इसके अतिरिक्त, कोई प्रतिचित्र जो संभावित रूप से प्रति उदाहरण हो सकता है, उसमें भाग होना चाहिए जो इन 1,936 प्रतिचित्रों में से जैसा दिखता है। हाथों के विश्लेषण के सैकड़ों पृष्ठों के साथ इसे दिखाते हुए, एपेल और हेकेन ने निष्कर्ष निकाला कि कोई भी सबसे छोटा प्रति उदाहरण स्थित नहीं है क्योंकि किसी में भी इन 1,936 प्रतिचित्रों में से होना चाहिए, फिर भी सम्मिलित नहीं है। इस विरोधाभास का अर्थ है कि कोई भी प्रति उदाहरण नहीं है और इसलिए प्रमेय सत्य है। प्रारंभ में, उनके प्रमाण को गणितज्ञों द्वारा निश्चित स्वीकार नहीं किया गया था क्योंकि कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण मानव द्वारा हाथ से जांचना संभव नहीं था।<ref>रेफरी>{{Cite journal|last=Swart|first=E. R.|date=1980|title=चार रंगों की समस्या के दार्शनिक निहितार्थ|journal=The American Mathematical Monthly|volume=87|issue=9|pages=697–702|doi=10.2307/2321855|issn=0002-9890|jstor=2321855}}</ रेफ></ref> यद्यपि, प्रमाण तब से व्यापक स्वीकृति प्राप्त कर चुका है, यद्यपि संदेह अभी भी बना हुआ है।<ref>{{Cite book|title=चार रंग पर्याप्त हैं: मानचित्र की समस्या को कैसे हल किया गया|last=Wilson|first=Robin|publisher=Princeton University Press|year=2014|isbn=9780691158228|edition=Revised color|location=Princeton, New Jersey|pages=216–222|oclc=847985591}}</ref>
 === मुख्य अनुमान ===
-{{main|Hauptvermutung}}
+{{main|मुख्य अनुमान}}
-[[ज्यामितीय टोपोलॉजी]] का हाउप्टवर्मुटुंग ([[मुख्य अनुमान]] के लिए जर्मन) यह अनुमान है कि [[त्रिकोणीय स्थान]] के किसी भी दो त्रिभुज (टोपोलॉजी) में सामान्य शोधन होता है, एकल त्रिभुज जो उन दोनों का उपखंड है। यह मूल रूप से 1908 में [[अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़]] और [[हेनरिक फ्रांज फ्रेडरिक टिट्ज़]] द्वारा तैयार किया गया था।<ref>{{Cite web|url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/haupt/|title=Triangulation and the Hauptvermutung|website=www.maths.ed.ac.uk|access-date=2019-11-12}}</ref>
+इस प्रकार से [[ज्यामितीय टोपोलॉजी]] का मुख्य अनुमान ([[मुख्य अनुमान]] के लिए जर्मन) एक ऐसा अनुमान है कि [[त्रिकोणीय स्थान]] के किसी भी दो त्रिभुज (टोपोलॉजी) में सामान्य शोधन होता है, एकल त्रिभुज जो उन दोनों का उपखंड है। यह मूल रूप से 1908 में [[अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़]] और [[हेनरिक फ्रांज फ्रेडरिक टिट्ज़]] द्वारा तैयार किया गया था।<ref>{{Cite web|url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/haupt/|title=Triangulation and the Hauptvermutung|website=www.maths.ed.ac.uk|access-date=2019-11-12}}</ref>
-यह अनुमान अब झूठा माना जाता है। गैर-कई गुना संस्करण [[जॉन मिल्नोर]] द्वारा अस्वीकृत किया गया था<ref>{{Cite journal|first=John W.|last= Milnor |title=Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct|journal= [[Annals of Mathematics]]|volume=74|year=1961|issue= 2 |pages=575&ndash;590|mr=133127|doi=10.2307/1970299|jstor=1970299}}</ref> 1961 में [[विश्लेषणात्मक मरोड़]] का उपयोग करते हुए।
-[[कई गुना]] संस्करण [[आयाम]]ों में सत्य है {{nowrap|1=''m'' ≤ 3}}. मामले {{nowrap|1=''m'' = 2 and 3}} टिबोर राडो और एडविन ई. मूसा द्वारा प्रदान किए गए थे<ref>{{cite book | last = Moise | first = Edwin E. | title = Geometric Topology in Dimensions 2 and 3 | publisher = New York : Springer-Verlag | location = New York | year = 1977 | isbn = 978-0-387-90220-3 }}</ref> क्रमशः 1920 और 1950 के दशक में।
+इस प्रकार से यह अनुमान अब असत्य माना जाता है। गैर-कई गुना संस्करण [[जॉन मिल्नोर]]<ref>{{Cite journal|first=John W.|last= Milnor |title=Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct|journal= [[Annals of Mathematics]]|volume=74|year=1961|issue= 2 |pages=575&ndash;590|mr=133127|doi=10.2307/1970299|jstor=1970299}}</ref> ने 1961 में [[विश्लेषणात्मक मरोड़|रीडमिस्टर टोर्सन]] का उपयोग करके अस्वीकृत कर दिया था।
+अतः [[कई गुना]] संस्करण [[आयाम|विमाओं]] {{nowrap|1=''m'' ≤ 3}} में सत्य है। स्थिति {{nowrap|1=''m'' = 2 और 3}} को क्रमशः 1920 और 1950 के दशक में टिबोर राडो और एडविन ई. मोइज़ द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>{{cite book | last = Moise | first = Edwin E. | title = Geometric Topology in Dimensions 2 and 3 | publisher = New York : Springer-Verlag | location = New York | year = 1977 | isbn = 978-0-387-90220-3 }}</ref>
 === वील अनुमान ===
-{{main|Weil conjectures}}
+{{main|वील अनुमान}}
-गणित में, वेइल अनुमान कुछ अत्यधिक प्रभावशाली प्रस्ताव थे {{harvs|txt|authorlink=André Weil|first=André |last=Weil|year=1949}} [[परिमित क्षेत्र]]ों पर बीजगणितीय विविधता पर अंकों की संख्या की गणना से प्राप्त [[जनरेटिंग फ़ंक्शन]] (स्थानीय जीटा-फ़ंक्शंस के रूप में जाना जाता है) पर।
+इस प्रकार से गणित में, वेइल अनुमान {{harvs|txt|authorlink=André Weil|first=आंद्रे |last=वेल|year=1949}} द्वारा [[परिमित क्षेत्र|परिमित क्षेत्रों]] पर बीजगणितीय विविधता पर अंकों की संख्या की गणना से प्राप्त [[जनरेटिंग फ़ंक्शन|जनक फलन]] (स्थानीय जीटा-फलन के रूप में जाना जाता है) पर कुछ अत्यधिक प्रभावशाली प्रस्ताव थे।
-क्यू तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर किस्म वी में परिमेय बिंदुओं की परिमित संख्या होती है, साथ ही क्यू के साथ हर परिमित क्षेत्र पर अंक होते हैं।<sup>k</sup> उस फ़ील्ड वाले तत्व। जनरेटिंग फ़ंक्शन में संख्या N से प्राप्त गुणांक होते हैं<sub>''k''</sub> क्यू के साथ (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) फ़ील्ड पर अंक<sup>कश्मीर</sup> तत्व।
+'''q''' अवयवों वाले एक परिमित क्षेत्र पर एक प्रकार V तर्कसंगत बिंदुओं की एक सीमित संख्या होती है, साथ ही उस क्षेत्र वाले '''''q<sup>k</sup>''''' अवयवों वाले प्रत्येक परिमित क्षेत्र पर बिंदु होते हैं। जनक फलन में '''q<sub>''k''</sub>''' अवयवों के साथ संख्या (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) क्षेत्र पर बिंदुओं की संख्या '''''N<sub>k</sub>''''' से प्राप्त गुणांक होते हैं।
-वेइल ने अनुमान लगाया कि इस तरह के जीटा-फ़ंक्शन तर्कसंगत फ़ंक्शन होने चाहिए, [[कार्यात्मक समीकरण]] के रूप को संतुष्ट करना चाहिए, और प्रतिबंधित स्थानों में उनके शून्य होने चाहिए। पिछले दो भागों को [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] और रीमैन परिकल्पना पर काफी सचेत रूप से तैयार किया गया था। तर्कसंगतता द्वारा सिद्ध किया गया था {{harvtxt|Dwork|1960}}, द्वारा कार्यात्मक समीकरण {{harvtxt|Grothendieck|1965}}, और रीमैन परिकल्पना के अनुरूप द्वारा सिद्ध किया गया था {{harvtxt|Deligne|1974}}
+इस प्रकार से वेइल ने अनुमान लगाया कि इस प्रकार के जीटा-फलन तर्कसंगत फलन होने चाहिए, [[कार्यात्मक समीकरण]] के रूप को संतुष्ट करना चाहिए, और प्रतिबंधित स्थानों में उनके शून्य होने चाहिए। अतः पूर्व दो भागों को [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन|रीमैन जीटा फलन]] और रीमैन परिकल्पना पर अत्यधिक सचेत रूप से तैयार किया गया था। तर्कसंगतता को {{harvtxt|डवर्क|1960}}, कार्यात्मक समीकरण {{harvtxt|ग्रोथेंडिक|1965}}, द्वारा सिद्ध किया गया था, और रीमैन परिकल्पना का समधर्मी {{harvtxt|डेलिग्ने|1974}} द्वारा सिद्ध किया गया था।
 === पोंकारे अनुमान ===
-{{main|Poincaré conjecture}} गणित में, पॉइंकेयर अनुमान [[3-क्षेत्र]] के लक्षण वर्णन (गणित) के बारे में एक प्रमेय है, जो हाइपरस्फीयर है जो [[यूनिट बॉल]] को चार-आयामी अंतरिक्ष में बांधता है। अनुमान कहता है कि: {{quote|Every [[simply connected]], [[closed manifold|closed]] 3-[[manifold]] is [[homeomorphic]] to the 3-sphere.|sign=|source=}} अनुमान के समतुल्य रूप में होमोमोर्फिज्म की तुलना में समरूपता का मोटा रूप शामिल होता है जिसे होमोटोपी समतुल्य कहा जाता है: यदि [[3-कई गुना]] होमोटोपी 3-क्षेत्र के बराबर है, तो यह आवश्यक रूप से होमोमोर्फिक है।
+{{main|पोंकारे अनुमान}} गणित में, पॉइंकेयर अनुमान [[3-क्षेत्र]] के लक्षण वर्णन (गणित) के विषय में एक प्रमेय है, जो अति क्षेत्र है जो [[इकाई बॉल]] को चार-विमीय समष्टि में बांधता है। अनुमान कहता है कि: {{quote|प्रत्येक [[मात्र संयोजित]], [[संवृत कई गुना|संवृत]] 3-[[कई गुना]] 3-गोले से [[होमोमोर्फिक]] है।|sign=|source=}}
+इस प्रकार से अनुमान के समतुल्य रूप में होमोमोर्फिज्म की तुलना में समरूपता का स्थूलतर रूप सम्मिलित होता है जिसे समस्थेयता समतुल्य कहा जाता है: यदि [[3-कई गुना]] समस्थेयता 3-क्षेत्र के बराबर है, तो यह आवश्यक रूप से होमोमोर्फिक है।
-मूल रूप से 1904 में हेनरी पोंकारे द्वारा अनुमानित, प्रमेय ऐसे स्थान से संबंधित है जो स्थानीय रूप से सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष की तरह दिखता है लेकिन जुड़ा हुआ है, आकार में परिमित है, और किसी भी सीमा का अभाव है (एक [[बंद कई गुना]] 3-कई गुना)। पोंकारे अनुमान का दावा है कि यदि ऐसी जगह में अतिरिक्त संपत्ति है कि अंतरिक्ष में प्रत्येक [[पथ (टोपोलॉजी)]] को बिंदु पर लगातार कड़ा किया जा सकता है, तो यह अनिवार्य रूप से त्रि-आयामी क्षेत्र है। कुछ समय के लिए सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान उच्च आयामों में जाना जाता है।
+अतः मूल रूप से 1904 में हेनरी पोंकारे द्वारा अनुमानित, प्रमेय ऐसे स्थान से संबंधित है जो स्थानीय रूप से सामान्य त्रि-विमीय समष्टि के जैसे दिखता है परन्तु सम्बद्ध है, आकार में परिमित है, और किसी भी सीमा का अभाव है (एक [[बंद कई गुना|संवृत कई गुना]] 3-कई गुना)। पोंकारे अनुमान का अनुरोध है कि यदि ऐसे स्थान में अतिरिक्त गुण है कि समष्टि में प्रत्येक [[पथ (टोपोलॉजी)]] को बिंदु पर निरंतर दृढ़ीकृत किया जा सकता है, तो यह अनिवार्य रूप से त्रि-विमीय क्षेत्र है। कुछ समय के लिए सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान उच्च विमाओं में जाना जाता है।
-गणितज्ञों द्वारा लगभग सदी के प्रयास के बाद, [[त्वरित पेरेलमैन]] ने 2002 और 2003 में [[arXiv]] पर उपलब्ध कराए गए तीन पत्रों में अनुमान का प्रमाण प्रस्तुत किया। समस्या को हल करने का प्रयास करने के लिए [[रिक्की प्रवाह]] का उपयोग करने के लिए रिचर्ड एस। हैमिल्टन के कार्यक्रम से सबूत का पालन किया गया। हैमिल्टन ने बाद में मानक रिक्की प्रवाह का संशोधन पेश किया, जिसे सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह कहा जाता है, ताकि नियंत्रित तरीके से व्यवस्थित रूप से एकवचन क्षेत्रों को विकसित किया जा सके, लेकिन यह साबित करने में असमर्थ था कि यह विधि तीन आयामों में परिवर्तित हो गई है।<ref>{{cite journal | last = Hamilton | first = Richard S. | author-link = Richard S. Hamilton | title = Four-manifolds with positive isotropic curvature | journal = Communications in Analysis and Geometry | volume = 5 | issue = 1 | pages = 1&ndash;92 | year = 1997 | doi =  10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1| mr = 1456308 | zbl = 0892.53018| doi-access = free }}</ref> पेरेलमैन ने सबूत के इस हिस्से को पूरा किया। गणितज्ञों की कई टीमों ने सत्यापित किया है कि पेरेलमैन का प्रमाण सही है।
+गणितज्ञों द्वारा लगभग शताब्दी के प्रयास के बाद, [[त्वरित पेरेलमैन]] ने 2002 और 2003 में [[arXiv|अरक्सीव]] पर उपलब्ध कराए गए तीन लेखों में अनुमान का प्रमाण प्रस्तुत किया था। इस प्रकार से समस्या को हल करने का प्रयास करने के लिए [[रिक्की प्रवाह]] का उपयोग करने के लिए रिचर्ड एस. हैमिल्टन के कार्यक्रम से प्रमाण का पालन किया गया गया था। हैमिल्टन ने बाद में मानक रिक्की प्रवाह का संशोधन प्रस्तुत किया, जिसे सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह कहा जाता है, ताकि नियंत्रित विधि से व्यवस्थित रूप से एकवचन क्षेत्रों को विकसित किया जा सके, परन्तु यह सिद्ध करने में असमर्थ था कि यह विधि तीन विमाओं में परिवर्तित हो गई है।<ref>{{cite journal | last = Hamilton | first = Richard S. | author-link = Richard S. Hamilton | title = Four-manifolds with positive isotropic curvature | journal = Communications in Analysis and Geometry | volume = 5 | issue = 1 | pages = 1&ndash;92 | year = 1997 | doi =  10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1| mr = 1456308 | zbl = 0892.53018| doi-access = free }}</ref> पेरेलमैन ने प्रमाण के इस भाग को पूर्ण किया। गणितज्ञों के कई समूहों ने सत्यापित किया है कि पेरेलमैन का प्रमाण सत्य है।
-सिद्ध होने से पहले पोंकारे अनुमान, [[टोपोलॉजी]] में सबसे महत्वपूर्ण खुले प्रश्नों में से था।
+इस प्रकार से सिद्ध होने से पूर्व पोंकारे अनुमान, [[टोपोलॉजी]] में सबसे महत्वपूर्ण विवृत प्रश्नों में से था।
 === रीमैन परिकल्पना ===
-{{main|Riemann hypothesis}}
+{{main|रीमैन परिकल्पना}}
-गणित में, रीमैन परिकल्पना, द्वारा प्रस्तावित {{harvs|txt|first=Bernhard|last= Riemann|year=1859|author-link=Bernhard Riemann}}, अनुमान है कि Riemann zeta फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ रूटों का [[वास्तविक भाग]] 1/2 है। नाम का उपयोग कुछ निकट संबंधी अनुरूपताओं के लिए भी किया जाता है, जैसे परिमित क्षेत्रों पर घटता के लिए रीमैन परिकल्पना।
-रीमैन परिकल्पना का अर्थ है अभाज्य संख्याओं के वितरण के बारे में परिणाम। उपयुक्त सामान्यीकरणों के साथ, कुछ गणितज्ञ इसे [[शुद्ध गणित]] की सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या मानते हैं।<ref>{{Cite web|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf|title=The Riemann Hypothesis – official problem description|last=Bombieri|first=Enrico|date=2000|website=Clay Mathematics Institute|access-date=2019-11-12}}</ref> रिमेंन परिकल्पना, [[गोल्डबैक अनुमान]] के साथ, [[डेविड हिल्बर्ट]] की हिल्बर्ट की समस्याओं की सूची में हिल्बर्ट की आठवीं समस्या का हिस्सा है; यह [[मिट्टी गणित संस्थान]] [[मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं]] में से है।
+अतः गणित में, {{harvs|txt|first=बर्नहार्ड|last= रीमैन|year=1859|author-link=बर्नहार्ड रीमैन}} द्वारा प्रस्तावित रीमैन परिकल्पना का अनुमान है कि रीमैन जीटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्यों का [[वास्तविक भाग]] 1/2 है। नाम का उपयोग कुछ निकट संबंधी अनुरूपताओं के लिए भी किया जाता है, जैसे कि परिमित क्षेत्रों पर वक्रों के लिए रीमैन परिकल्पना।
+इस प्रकार से रीमैन परिकल्पना अभाज्य संख्याओं के वितरण के विषय में परिणाम बताती है। उपयुक्त सामान्यीकरणों के साथ, कुछ गणितज्ञ इसे [[शुद्ध गणित]] की सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या मानते हैं।<ref>{{Cite web|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf|title=The Riemann Hypothesis – official problem description|last=Bombieri|first=Enrico|date=2000|website=Clay Mathematics Institute|access-date=2019-11-12}}</ref> अतः रिमेंन परिकल्पना, [[गोल्डबैक अनुमान]] के साथ, [[डेविड हिल्बर्ट]] की हिल्बर्ट की समस्याओं की सूची में हिल्बर्ट की आठवीं समस्या का भाग है; यह [[मिट्टी गणित संस्थान|क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट]] [[मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं]] में से एक है।
 === पी बनाम एनपी समस्या ===
-{{main|P versus NP problem}}
+{{main|पी बनाम एनपी समस्या}}
-[[पी बनाम एनपी समस्या]] कंप्यूटर विज्ञान में अनसुलझी समस्याओं की प्रमुख सूची है। अनौपचारिक रूप से, यह पूछता है कि क्या प्रत्येक समस्या जिसका समाधान कंप्यूटर द्वारा शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है, कंप्यूटर द्वारा भी शीघ्रता से हल किया जा सकता है; यह व्यापक रूप से अनुमान लगाया जाता है कि उत्तर नहीं है। अनिवार्य रूप से पहली बार 1956 में कर्ट गोडेल द्वारा [[जॉन वॉन न्यूमैन]] को लिखे गए पत्र में इसका उल्लेख किया गया था। गोडेल ने पूछा कि क्या निश्चित एनपी-पूर्ण समस्या को द्विघात या रैखिक समय में हल किया जा सकता है।<ref>Juris Hartmanis 1989, [http://ecommons.library.cornell.edu/bitstream/1813/6910/1/89-994.pdf Gödel, von Neumann, and the P = NP problem], Bulletin of the
+इस प्रकार से [[पी बनाम एनपी समस्या]] कंप्यूटर विज्ञान में अनसुलझी समस्याओं की प्रमुख सूची है। अनौपचारिक रूप से, यह पूछता है कि क्या प्रत्येक समस्या जिसका हल कंप्यूटर द्वारा शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है, कंप्यूटर द्वारा भी शीघ्रता से हल किया जा सकता है; यह व्यापक रूप से अनुमान लगाया जाता है कि उत्तर नहीं है। अनिवार्य रूप से प्रथमतः 1956 में कर्ट गोडेल द्वारा [[जॉन वॉन न्यूमैन]] को लिखे गए लेख में इसका उल्लेख किया गया था। गोडेल ने पूछा कि क्या निश्चित एनपी-पूर्ण समस्या को द्विघात या रैखिक समय में हल किया जा सकता है।<ref>Juris Hartmanis 1989, [http://ecommons.library.cornell.edu/bitstream/1813/6910/1/89-994.pdf Gödel, von Neumann, and the P = NP problem], Bulletin of the
-European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101–107</ref> पी = एनपी समस्या का सटीक बयान 1971 में [[स्टीफन कुक]] ने अपने सेमिनल पेपर प्रमेय साबित करने की प्रक्रियाओं की जटिलता में पेश किया था।<ref>{{Cite book|last=Cook|first=Stephen|author-link=Stephen Cook|year=1971|chapter=The complexity of theorem proving procedures|chapter-url=http://portal.acm.org/citation.cfm?coll=GUIDE&dl=GUIDE&id=805047|title=Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing|pages=151–158|doi=10.1145/800157.805047|isbn=9781450374644|s2cid=7573663}}</ref> और कई लोगों द्वारा इसे क्षेत्र की सबसे महत्वपूर्ण खुली समस्या माना जाता है।<ref>[[Lance Fortnow]], [https://wayback.archive-it.org/all/20110224135332/http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/pnp-cacm.pdf ''The status of the '''P''' versus '''NP''' problem''], Communications of the ACM 52 (2009), no.&nbsp;9, pp.&nbsp;78–86. {{doi|10.1145/1562164.1562186}}</ref> क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट द्वारा चुने गए सात सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से यह है कि पहले सही समाधान के लिए यूएस $ 1,000,000 का पुरस्कार दिया जाए।
+European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101–107</ref> अतः P=NP समस्या का यथार्थ कथन 1971 में [[स्टीफन कुक]] द्वारा अपने मौलिक लेख "प्रमेय सिद्ध करने की प्रक्रियाओं की जटिलता" में प्रस्तुत किया गया था,<ref>{{Cite book|last=Cook|first=Stephen|author-link=Stephen Cook|year=1971|chapter=The complexity of theorem proving procedures|chapter-url=http://portal.acm.org/citation.cfm?coll=GUIDE&dl=GUIDE&id=805047|title=Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing|pages=151–158|doi=10.1145/800157.805047|isbn=9781450374644|s2cid=7573663}}</ref> और कई लोगों द्वारा इसे क्षेत्र में सबसे महत्वपूर्ण विवृत समस्या माना जाता है।<ref>[[Lance Fortnow]], [https://wayback.archive-it.org/all/20110224135332/http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/pnp-cacm.pdf ''The status of the '''P''' versus '''NP''' problem''], Communications of the ACM 52 (2009), no.&nbsp;9, pp.&nbsp;78–86. {{doi|10.1145/1562164.1562186}}</ref> क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट द्वारा चुने गए सात मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से एक है, जिसके पूर्व सत्य हल के लिए यूएस $ 1,000,000 का पुरस्कार दिया जाएगा।
 === अन्य अनुमान ===
 * गोल्डबैक का अनुमान
-* [[जुड़वां प्रधान अनुमान]]
+* [[जुड़वां प्रधान अनुमान|युग्मज अभाज्य अनुमान]]
-* [[Collatz अनुमान]]
+* [[Collatz अनुमान|कोल्लात्ज़ अनुमान]]
 * मैनिन अनुमान
 * [[मालदासेना अनुमान]]
-* 18वीं शताब्दी में यूलर द्वारा प्रस्तावित यूलर की शक्तियों का योग, लेकिन जिसके लिए कई प्रतिपादकों के लिए प्रति उदाहरण (n = 4 से शुरू) 20वीं शताब्दी के मध्य में पाए गए
+* यूलर अनुमान, 18वीं शताब्दी में यूलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, परन्तु जिसके लिए कई प्रतिपादकों (n = 4 से प्रारम्भ) के प्रति उदाहरण 20वीं शताब्दी के मध्य में पाए गए थे
-* दूसरा हार्डी-लिटिलवुड अनुमान | हार्डी-लिटिलवुड अनुमान अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित अनुमानों की जोड़ी है, जिनमें से पहला पूर्वोक्त जुड़वां प्रधान अनुमान पर विस्तार करता है। न तो कोई सिद्ध हुआ है और न ही असिद्ध, लेकिन यह सिद्ध हो चुका है कि दोनों साथ सत्य नहीं हो सकते (यानी, कम से कम असत्य होना चाहिए)। यह सिद्ध नहीं हुआ है कि कौन सा गलत है, लेकिन यह व्यापक रूप से माना जाता है कि पहला अनुमान सत्य है और दूसरा असत्य है।<ref>{{cite journal | first=Ian | last=Richards | title=On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes | journal=Bull. Amer. Math. Soc. | volume=80 | pages=419–438 | year=1974 | doi=10.1090/S0002-9904-1974-13434-8 | doi-access=free }}</ref>
+* दूसरा हार्डी-लिटिलवुड अनुमान अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित अनुमानों के युग्म है, जिनमें से प्रथम पूर्वोक्त युग्मज अभाज्य अनुमान पर विस्तार करता है। अतः न तो कोई सिद्ध हुआ है और न ही असिद्ध, परन्तु यह सिद्ध हो चुका है कि दोनों साथ सत्य नहीं हो सकते (अर्थात, कम से कम असत्य होना चाहिए)। इस प्रकार से यह सिद्ध नहीं हुआ है कि कौन सा असत्य है, परन्तु यह व्यापक रूप से माना जाता है कि प्रथम अनुमान सत्य है और दूसरा असत्य है।<ref>{{cite journal | first=Ian | last=Richards | title=On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes | journal=Bull. Amer. Math. Soc. | volume=80 | pages=419–438 | year=1974 | doi=10.1090/S0002-9904-1974-13434-8 | doi-access=free }}</ref>
 * [[लैंगलैंड्स कार्यक्रम]]<ref>{{citation|last=Langlands|first=Robert|title=Letter to Prof. Weil|year=1967|url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21}}</ref> '[[एकीकृत अनुमान]]' के इन विचारों का दूरगामी जाल है जो गणित के विभिन्न उपक्षेत्रों को जोड़ता है (उदाहरण के लिए संख्या सिद्धांत और लाई समूहों के [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] के बीच)। इनमें से कुछ अनुमान तब से सिद्ध हो चुके हैं।
-== अनुमानों का समाधान ==
+== अनुमानों का हल ==
 === प्रमाण ===
-औपचारिक गणित सिद्ध सत्य पर आधारित है। गणित में, [[सार्वभौमिक रूप से परिमाणित]] अनुमान का समर्थन करने वाले मामलों की संख्या, चाहे वह कितना भी बड़ा क्यों न हो, अनुमान की सत्यता स्थापित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि एकल प्रति उदाहरण अनुमान को तुरंत नीचे ला सकता है। गणितीय पत्रिकाएं कभी-कभी अनुसंधान टीमों के मामूली परिणामों को प्रकाशित करती हैं, जिन्होंने पहले की तुलना में प्रतिउदाहरण के लिए खोज को आगे बढ़ाया है। उदाहरण के लिए, Collatz अनुमान, जो इस बात से संबंधित है कि पूर्णांकों के कुछ [[अनुक्रम]] समाप्त होते हैं या नहीं, 1.2 × 10 तक सभी पूर्णांकों के लिए परीक्षण किया गया है।<sup>12</sup> (एक ट्रिलियन से अधिक)। हालांकि, व्यापक खोज के बाद प्रतिउदाहरण खोजने में विफलता इस बात का प्रमाण नहीं है कि अनुमान सत्य है - क्योंकि अनुमान गलत हो सकता है लेकिन बहुत बड़े न्यूनतम प्रति उदाहरण के साथ।
+इस प्रकार से औपचारिक गणित सिद्ध सत्य पर आधारित है। गणित में, [[सार्वभौमिक रूप से परिमाणित]] अनुमान का समर्थन करने वाली स्थितियों की संख्या, चाहे वह कितना भी बड़ा क्यों न हो, अनुमान की सत्यता स्थापित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि एकल प्रति उदाहरण अनुमान को तुरंत नीचे ला सकता है। अतः गणितीय लेखिकाएं कभी-कभी अनुसंधान समूहों के साधारण परिणामों को प्रकाशित करती हैं, जिन्होंने पूर्व की तुलना में प्रति उदाहरण के लिए खोज को आगे बढ़ाया है। उदाहरण के लिए, कोल्लात्ज़ अनुमान, जो इस बात से संबंधित है कि पूर्णांकों के कुछ [[अनुक्रम]] समाप्त होते हैं या नहीं, 1.2 × 10<sup>12</sup> (एक ट्रिलियन से अधिक) तक सभी पूर्णांकों के लिए परीक्षण किया गया है। यद्यपि, व्यापक खोज के बाद प्रति उदाहरण खोजने में विफलता इस बात का प्रमाण नहीं है कि अनुमान सत्य है - क्योंकि अनुमान असत्य हो सकता है परन्तु बहुत बड़े न्यूनतम प्रति उदाहरण के साथ है।
-फिर भी, गणितज्ञ अक्सर अनुमान को साक्ष्य द्वारा दृढ़ता से समर्थित मानते हैं, हालांकि अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है। वह साक्ष्य विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं, जैसे कि उसके परिणामों का सत्यापन या ज्ञात परिणामों के साथ मजबूत अंतर्संबंध।<ref>{{cite journal |last1=Franklin |first1=James  |date=2016 |title=Logical probability and the strength of mathematical conjectures |url=https://web.maths.unsw.edu.au/~jim/logicalprobabilitymathintelldraft.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20170309031840/http://web.maths.unsw.edu.au/~jim/logicalprobabilitymathintelldraft.pdf |archive-date=2017-03-09 |url-status=live |journal=Mathematical Intelligencer |volume=38 |issue=3 |pages=14–19 |doi=10.1007/s00283-015-9612-3 |s2cid=30291085 |access-date=30 June 2021}}</ref>
+फिर भी, गणितज्ञ प्रायः अनुमान को साक्ष्य द्वारा दृढ़ता से समर्थित मानते हैं, यद्यपि अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है। वह साक्ष्य विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं, जैसे कि उसके परिणामों का सत्यापन या ज्ञात परिणामों के साथ दृढ अंतर्संबंध हैं।<ref>{{cite journal |last1=Franklin |first1=James  |date=2016 |title=Logical probability and the strength of mathematical conjectures |url=https://web.maths.unsw.edu.au/~jim/logicalprobabilitymathintelldraft.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20170309031840/http://web.maths.unsw.edu.au/~jim/logicalprobabilitymathintelldraft.pdf |archive-date=2017-03-09 |url-status=live |journal=Mathematical Intelligencer |volume=38 |issue=3 |pages=14–19 |doi=10.1007/s00283-015-9612-3 |s2cid=30291085 |access-date=30 June 2021}}</ref>
-एक अनुमान को तभी सिद्ध माना जाता है जब यह दिखाया गया हो कि उसका झूठा होना तार्किक रूप से असंभव है। ऐसा करने के विभिन्न तरीके हैं; अधिक विवरण के लिए गणितीय उपपत्ति#उपपत्ति की विधियाँ देखें।
-सबूत की विधि, लागू होती है जब मामलों की केवल सीमित संख्या होती है जो प्रति-उदाहरण का कारण बन सकती है, [[थकावट से सबूत]] के रूप में जाना जाता है: इस दृष्टिकोण में, सभी संभावित मामलों पर विचार किया जाता है और प्रति-उदाहरण नहीं देने के लिए दिखाया जाता है। कुछ अवसरों में, मामलों की संख्या काफी बड़ी होती है, ऐसे में सभी मामलों की जांच के लिए क्रूर-बल प्रमाण के लिए व्यावहारिक मामले के रूप में कंप्यूटर एल्गोरिदम के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर द्वारा चार रंग प्रमेय के 1976 और 1997 के क्रूर-बल प्रमाण की वैधता पर शुरू में संदेह किया गया था, लेकिन अंततः 2005 में प्रमेय-सिद्ध सॉफ़्टवेयर द्वारा इसकी पुष्टि की गई।
+इस प्रकार से एक अनुमान को तभी सिद्ध माना जाता है जब यह दिखाया गया हो कि उसका असत्य होना तार्किक रूप से असंभव है। ऐसा करने की विभिन्न विधि हैं; अधिक विवरण के लिए गणितीय उपपत्ति की विधियाँ देखें।
-जब अनुमान [[गणितीय प्रमाण]] हो गया है, तो यह अब अनुमान नहीं है बल्कि प्रमेय है। कई महत्वपूर्ण प्रमेय बार अनुमान थे, जैसे कि ज्यामितिकरण अनुमान (जिसने पॉइनकेयर अनुमान को हल किया), फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय, और अन्य।
+अतः प्रमाण की विधि, लागू होती है जब स्थितियों की मात्र सीमित संख्या होती है जो प्रति-उदाहरण का कारण बन सकती है, [[थकावट से सबूत|पाशविक बल]] के रूप में जाना जाता है: इस दृष्टिकोण में, सभी संभावित स्थितियों पर विचार किया जाता है और प्रति-उदाहरण नहीं देने के लिए दिखाया जाता है। कुछ अवसरों में, स्थितियों की संख्या अत्यधिक बड़ी होती है, ऐसे में सभी स्थितियों की जांच के लिए पाशविक-बल प्रमाण के लिए व्यावहारिक स्थिति के रूप में कंप्यूटर एल्गोरिदम के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, कंप्यूटर द्वारा चार वर्ण प्रमेय के 1976 और 1997 के पाशविक-बल प्रमाण की वैधता पर प्रारम्भ में संदेह किया गया था, परन्तु अंततः 2005 में प्रमेय-सिद्ध सॉफ़्टवेयर द्वारा इसकी पुष्टि की गई।
+अतः जब अनुमान [[गणितीय प्रमाण]] हो गया है, तो यह अब अनुमान नहीं है यद्यपि प्रमेय है। कई महत्वपूर्ण प्रमेय एक समय अनुमान थे, जैसे कि ज्यामितिकरण अनुमान (जिसने पॉइनकेयर अनुमान को हल किया), फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय, और अन्य आदि।
 === खंडन ===
-प्रतिउदाहरण के माध्यम से अप्रमाणित अनुमानों को कभी-कभी झूठे अनुमानों के रूप में संदर्भित किया जाता है (cf. पोल्या अनुमान और यूलर की शक्तियों का योग अनुमान)। उत्तरार्द्ध के मामले में, एन = 4 मामले के लिए पाया गया पहला प्रति उदाहरण लाखों में शामिल है, हालांकि यह बाद में पाया गया है कि न्यूनतम प्रति उदाहरण वास्तव में छोटा है।
+इस प्रकार से प्रति उदाहरण के माध्यम से अप्रमाणित अनुमानों को कभी-कभी असत्य अनुमानों के रूप में संदर्भित किया जाता है ( पोल्या अनुमान और यूलर की घातों के योग अनुमान)। उत्तरार्द्ध की स्थिति में, एन = 4 स्थिति के लिए पाया गया प्रथम प्रति उदाहरण लाखों में सम्मिलित है, यद्यपि यह बाद में पाया गया है कि न्यूनतम प्रति उदाहरण वस्तुतः छोटा है।
 === स्वतंत्र अनुमान ===
-हर अनुमान सही या गलत साबित नहीं होता। सातत्य परिकल्पना, जो कुछ [[अनंत सेट]]ों की सापेक्ष कार्डिनल संख्या का पता लगाने की कोशिश करती है, को अंततः सेट सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल [[स्वयंसिद्ध]]ों के आम तौर पर स्वीकृत सेट से [[स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)]] के रूप में दिखाया गया था। इसलिए इस कथन को, या इसके निषेध को सुसंगत तरीके से नए स्वयंसिद्ध के रूप में अपनाना संभव है (जैसा कि [[यूक्लिड]] के [[समानांतर अभिधारणा]] को ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली में या तो सत्य या असत्य के रूप में लिया जा सकता है)।
+इस प्रकार से प्रत्येक अनुमान सत्य या असत्य सिद्ध नहीं होता। सातत्य परिकल्पना, जो कुछ [[अनंत सेट|अनंत समूहों]] की सापेक्ष गणनांक संख्या का पता लगाने का प्रयास करती है, अंततः समूह सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल [[स्वयंसिद्ध|स्वयंसिद्धों]] के सामान्यतः स्वीकृत समूह से [[स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)]] के रूप में दिखाया गया था। इसलिए इस कथन को, या इसके निषेध को सुसंगत विधि से नवीन स्वयंसिद्ध के रूप में अपनाना संभव है (जैसा कि [[यूक्लिड]] के [[समानांतर अभिधारणा]] को ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली में या तो सत्य या असत्य के रूप में लिया जा सकता है)।
-इस मामले में, यदि कोई प्रमाण इस कथन का उपयोग करता है, तो शोधकर्ता अक्सर नए प्रमाण की तलाश करेंगे, जिसके लिए परिकल्पना की आवश्यकता नहीं है (उसी तरह यह वांछनीय है कि [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में बयानों को केवल तटस्थ ज्यामिति के स्वयंसिद्धों का उपयोग करके सिद्ध किया जाए, यानी बिना समानांतर अभिधारणा के)। व्यवहार में इसका बड़ा अपवाद [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] है, क्योंकि अधिकांश शोधकर्ता आमतौर पर चिंता नहीं करते हैं कि परिणाम की आवश्यकता है या नहीं - जब तक कि वे विशेष रूप से इस स्वयंसिद्ध का अध्ययन नहीं कर रहे हों।
+इस स्थिति में, यदि कोई प्रमाण इस कथन का उपयोग करता है, तो शोधकर्ता प्रायः नवीन प्रमाण की जांच करेंगे, जिसके लिए परिकल्पना की आवश्यकता नहीं है (उसी प्रकार यह वांछनीय है कि [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में कथनों को मात्र तटस्थ ज्यामिति के स्वयंसिद्धों का उपयोग करके सिद्ध किया जाए, अर्थात बिना समानांतर अभिधारणा के है)। अतः व्यवहार में इसका बड़ा अपवाद [[पसंद का स्वयंसिद्ध|चयन का स्वयंसिद्ध]] है, क्योंकि अधिकांश शोधकर्ता सामान्यतः चिंता नहीं करते हैं कि परिणाम की आवश्यकता है या नहीं - जब तक कि वे विशेष रूप से इस स्वयंसिद्ध का अध्ययन नहीं कर रहे हों।
-== [[सशर्त प्रमाण]] ==
+== [[सशर्त प्रमाण|सप्रतिबन्ध प्रमाण]] ==
-कभी-कभी, अनुमान को परिकल्पना कहा जाता है जब इसे अन्य परिणामों के प्रमाण में धारणा के रूप में बार-बार और बार-बार उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, रिमेंन परिकल्पना संख्या सिद्धांत से अनुमान है कि - अन्य बातों के अलावा - [[अभाज्य संख्या]]ओं के वितरण के बारे में भविष्यवाणियां करता है। कुछ संख्या सिद्धांतकारों को संदेह है कि रीमैन परिकल्पना सत्य है। वास्तव में, इसके अंतिम प्रमाण की प्रत्याशा में, कुछ ने आगे के प्रमाणों को विकसित करना भी शुरू कर दिया है जो इस अनुमान की सच्चाई पर निर्भर हैं। इन्हें सशर्त प्रमाण कहा जाता है: अनुमानित अनुमान प्रमेय की परिकल्पना में कुछ समय के लिए दिखाई देते हैं।
+इस प्रकार से कभी-कभी, अनुमान को परिकल्पना कहा जाता है जब इसे अन्य परिणामों के प्रमाण में धारणा के रूप में बार-बार और बार-बार उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, रिमेंन परिकल्पना संख्या सिद्धांत से अनुमान है कि - अन्य बातों के अतिरिक्त - [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याओं]] के वितरण के विषय में भविष्यवाणियां करता है। कुछ संख्या सिद्धांतकारों को संदेह है कि रीमैन परिकल्पना सत्य है। वस्तुतः, इसके अंतिम प्रमाण की प्रत्याशा में, कुछ ने आगे के प्रमाणों को विकसित करना भी प्रारम्भ कर दिया है जो इस अनुमान की सत्यता पर निर्भर हैं। अतः इन्हें सप्रतिबन्ध प्रमाण कहा जाता है: अनुमानित अनुमान प्रमेय की परिकल्पना में कुछ समय के लिए दिखाई देते हैं।
-हालाँकि, ये प्रमाण अलग हो जाएंगे यदि यह पता चला कि परिकल्पना झूठी थी, इसलिए इस प्रकार के अनुमानों की सत्यता या असत्यता को सत्यापित करने में काफी रुचि है।
+यद्यपि, ये प्रमाण अलग हो जाएंगे यदि यह पता चला कि परिकल्पना असत्य थी, इसलिए इस प्रकार के अनुमानों की सत्यता या असत्यता को सत्यापित करने में अत्यधिक रुचि है।
 == अन्य विज्ञानों में ==
-[[कार्ल पॉपर]] ने विज्ञान के दर्शनशास्त्र में अनुमान शब्द के प्रयोग का बीड़ा उठाया।<ref>{{cite book|last=Popper|first=Karl|title=Conjectures and refutations : the growth of scientific knowledge|year=2004|publisher=Routledge|location=London|isbn=0-415-28594-1}}</ref> अनुमान [[परिकल्पना]] से संबंधित है, जो [[विज्ञान]] में परीक्षण योग्य अनुमान को संदर्भित करता है।
+इस प्रकार से [[कार्ल पॉपर]] ने विज्ञान के दर्शनशास्त्र में अनुमान शब्द के प्रयोग का संचालन किया।<ref>{{cite book|last=Popper|first=Karl|title=Conjectures and refutations : the growth of scientific knowledge|year=2004|publisher=Routledge|location=London|isbn=0-415-28594-1}}</ref> अनुमान [[परिकल्पना]] से संबंधित है, जो [[विज्ञान]] में परीक्षण योग्य अनुमान को संदर्भित करता है।
 == यह भी देखें ==
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 *[http://garden.irmacs.sfu.ca/ Open Problem Garden]
 *[https://web.archive.org/web/20191107190855/http://www.unsolvedproblems.org/ Unsolved Problems web site]
-[[Category: अनुमान| अनुमान]] [[Category: विज्ञान के दर्शन में अवधारणाएँ]] [[Category: बयान]] [[Category: गणितीय शब्दावली]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
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फर्मेट की अंतिम प्रमेय

चार वर्ण प्रमेय

मुख्य अनुमान

वील अनुमान

पोंकारे अनुमान

रीमैन परिकल्पना

पी बनाम एनपी समस्या

अन्य अनुमान

अनुमानों का हल

प्रमाण

खंडन

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सप्रतिबन्ध प्रमाण

अन्य विज्ञानों में

यह भी देखें

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