गणितीय आरेख: Difference between revisions

Revision as of 11:29, 11 July 2023

यूक्लिड के तत्व, एमएस। लूनबर्ग से, 1200 ई

गणितीय आरेख, जैसे किसी फलन के चार्ट और ग्राफ़, मुख्य रूप से गणितीय संबंधों को व्यक्त करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, उदाहरण के लिए, समय के साथ तुलना है।^[1]

गणितीय आरेखों के विशिष्ट प्रकार

आर्गंड आरेख

File:Complex number illustration.svg

अरगंड आरेख.

एक जटिल संख्या को आर्गैंड आरेख नामक आरेख पर सदिश बनाने वाली संख्याओं की जोड़ी के रूप में दर्शाया जा सकता है

जटिल तल को कभी-कभी अरगंड तल भी कहा जाता है क्योंकि इसका उपयोग अरगंड आरेख में किया जाता है। इनका नाम जीन-रॉबर्ट अरगंड (1768-1822) के नाम पर रखा गया है, चूँकि इनका वर्णन सबसे पहले नॉर्वेजियन-डेनिश भूमि सर्वेक्षक और गणितज्ञ कैस्पर वेसल (1745-1818) ने किया था।^[2] आर्गैंड आरेखों का उपयोग अधिकांशतः जटिल तल में किसी गणितीय फलन के ध्रुव (जटिल विश्लेषण) और मूल की स्थिति को प्लॉट करने के लिए किया जाता है।

जटिल तल की अवधारणा जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देती है। जोड़ के अनुसार, वे सदिश (स्थानिक) की तरह जोड़ते हैं। दो जटिल संख्याओं के गुणन को ध्रुवीय निर्देशांक में सबसे सरलता से व्यक्त किया जा सकता है उत्पाद का परिमाण या मापांक दो निरपेक्ष मानों या मापांक का उत्पाद है, और उत्पाद का कोण या तर्क दो कोणों का योग है, या तर्क. विशेष रूप से, मापांक 1 की सम्मिश्र संख्या से गुणा घूर्णन के रूप में कार्य करता है।

File:Butterfly-FFT.png

बटरफ्लाई आरेख

असतत फूरियर रूपांतरण एल्गोरिदम के संदर्भ में, बटरफ्लाई आरेख गणना का हिस्सा है जो छोटे असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) के परिणामों को बड़े डीएफटी में जोड़ता है, या इसके विपरीत (एक बड़े डीएफटी को सबट्रांसफॉर्म में तोड़ता है)। बटरफ्लाई नाम मूलांक-2 स्थिति में डेटा-प्रवाह आरेख के आकार से आता है, जैसा कि नीचे वर्णित है। वही संरचना विटर्बी एल्गोरिदम में भी पाई जा सकती है, जिसका उपयोग छुपे हुए स्तरों के सबसे संभावित अनुक्रम को खोजने के लिए किया जाता है।

बटरफ्लाई आरेख डेटा-प्रवाह आरेख दिखाता है जो इनपुट x (बाएं) को आउटपुट y से जोड़ता है जो रेडिक्स -2 कूली टुकी एफएफटी एल्गोरिदम के बटरफ्लाई चरण के लिए उन (दाएं) पर निर्भर करता है। यह चित्र तुलना के लिए दिखाए गए मॉर्फो (जीनस) की तरह बटरफ्लाई जैसा दिखता है, इसलिए यह नाम है।

File:5 lemma.svg

पांच लेम्मा को दर्शाने वाला क्रमविनिमेय आरेख

क्रमविनिमेय आरेख

गणित में, और विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत में, क्रमविनिमेय आरेख वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) का आरेख है, जिसे शीर्ष के रूप में भी जाना जाता है, और रूपवाद, जिसे तीर या किनारों के रूप में भी जाना जाता है, जैसे कि दो वस्तुओं का चयन करते समय आरेख के माध्यम से कोई भी निर्देशित पथ होता है .

श्रेणी सिद्धांत में क्रमविनिमेय आरेख वही भूमिका निभाते हैं जो बीजगणित में समीकरण निभाते हैं।

File:Hasse diagram of powerset of 3.svg

हस्से आरेख.

हस्से आरेख

हस्से आरेख परिमित आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय का सरल चित्र है, जो आंशिक ऑर्डर की सकर्मक कमी का ग्राफ़ आरेखण बनाता है। सामान्यतः, कोई समुच्चय के प्रत्येक तत्व को पृष्ठ पर शीर्ष के रूप में दर्शाता है और रेखा खंड या वक्र खींचता है जो x से y तक ठीक उसी समय ऊपर जाता है जब x < y होता है और कोई z नहीं होता है जैसे कि x < z < y है। इस स्थिति में, हम कहते हैं कि y संबंध x को आवरण करता है, या y, x का निकटतम उत्तराधिकारी है। हस्से आरेख में, यह आवश्यक है कि वक्र इस प्रकार खींचे जाएं कि प्रत्येक पूर्ण रूप से दो शीर्षों पर मिले: इसके दो समापन बिंदु ऐसा कोई भी आरेख (यह देखते हुए कि शीर्षों को लेबल किया गया है) विशिष्ट रूप से आंशिक क्रम निर्धारित करता है, और किसी भी आंशिक आदेश में अद्वितीय सकर्मक कमी होती है, किन्तु विमान में तत्वों के कई संभावित स्थान होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप किसी दिए गए क्रम के लिए अलग-अलग हासे आरेख हो सकते हैं व्यापक रूप से भिन्न-भिन्न रूप हैं।

File:TrefoilKnot 01.svg

क्नॉट आरेख.

क्नॉट आरेख

क्नॉट सिद्धांत में क्नॉट को देखने और परिवर्तन करने का उपयोगी विधि क्नॉट को समतल पर प्रक्षेपित करना है दीवार पर क्नॉट की छाया डालने के बारे में सोचें प्रक्षेपण की पसंद में छोटी सी गड़बड़ी यह सुनिश्चित करेगी कि यह इंजेक्शन का कार्य है | दोहरे बिंदुओं को छोड़कर, जिन्हें क्रॉसिंग कहा जाता है, एक-से-एक, जहां क्नॉट की छाया बार अनुप्रस्थ रूप से स्वयं को पार करती है ^[3]

प्रत्येक क्रॉसिंग पर हमें यह बताना होगा कि कौन सा भाग खत्म हो गया है और कौन सा नीचे है, जिससे मूल क्नॉट को फिर से बनाने में सक्षम हो सकता है। यह अधिकांशतः नीचे की ओर जाने वाले स्ट्रैंड में दरार बनाकर किया जाता है। यदि आरेख का अनुसरण करते हुए क्नॉट बारी-बारी से स्वयं को ऊपर और नीचे पार करती है, जिससे आरेख क्नॉट के विशेष रूप से अच्छी तरह से अध्ययन किए गए वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है।

File:Venn diagram cmyk.svg

वेन आरेख।

वेन आरेख

एक वेन आरेख गणितीय समुच्चयों का प्रतिनिधित्व करता है: गणितीय आरेख जो समुच्चयों को वृत्तों के रूप में दर्शाता है, जिसमें एक-दूसरे के साथ उनके संबंधों को उनके अतिव्यापी पदों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, जिससे समुच्चयों के बीच सभी संभावित संबंध दिखाए जा सकता है।^[4]

वेन आरेख का निर्माण समतल में खींचे गए सरल बंद वक्रों के संग्रह से किया गया है। इन आरेखों का सिद्धांत यह है कि वर्गों को दूसरे के संबंध में क्षेत्रों द्वारा दर्शाया जाता है जिससे इन वर्गों के सभी संभावित तार्किक संबंधों को ही आरेख में दर्शाया जा सकता है। अर्थात्, आरेख प्रारंभ में वर्गों के किसी भी संभावित संबंध के लिए स्थान छोड़ता है, और वास्तविक या दिए गए संबंध को तब यह इंगित करके निर्दिष्ट किया जा सकता है कि कुछ विशेष क्षेत्र शून्य है या शून्य नहीं है।^[5]

वोरोनोई केंद्ररेखाएँ।

वोरोनोई आरेख

वोरोनोई आरेख मीट्रिक स्थान का विशेष प्रकार का अपघटन है जो अंतरिक्ष में वस्तुओं के निर्दिष्ट अलग समुच्चय की दूरी से निर्धारित होता है, उदाहरण के लिए, बिंदुओं के अलग समुच्चय द्वारा इस आरेख का नाम जॉर्जी वोरोनोई के नाम पर रखा गया है, जिसे पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के बाद वोरोनोई चौकोर , वोरोनोई अपघटन या डिरिचलेट टेसेलेशन भी कहा जाता है।

सबसे सरल स्थिति में, हमें विमान में बिंदुओं एस का समुच्चय दिया गया है, जो वोरोनोई साइटें हैं। प्रत्येक साइट में वोरोनोई सेल V(s) होता है जिसमें किसी भी अन्य साइट की तुलना में s के करीब सभी बिंदु सम्मिलित होते हैं। वोरोनोई आरेख के खंड समतल में वे सभी बिंदु हैं जो दो साइटों से समान दूरी पर हैं। वोरोनोई नोड्स तीन (या अधिक) साइटों के सामान्य दूरी पर स्थित बिंदु हैं

वॉलपेपर समूह आरेख.

वॉलपेपर समूह आरेख

एक वॉलपेपर समूह या समतल समरूपता समूह या समतल क्रिस्टलोग्राफिक समूह, प्रतिरूप में समरूपता के आधार पर, दो-आयामी दोहराव वाले प्रतिरूप का गणितीय वर्गीकरण है। ऐसे प्रतिरूप वास्तुकला और सजावटी कला में अधिकांशतः पाए जाते हैं। 17 संभावित विशिष्ट समूह (गणित) हैं।

वॉलपेपर समूह द्वि-आयामी समरूपता समूह हैं, जो सरल फ्रिज़ समूह और त्रि-आयामी क्रिस्टलोग्राफिक समूहों के बीच जटिलता में मध्यवर्ती हैं, जिन्हें अंतरिक्ष समूह भी कहा जाता है। वॉलपेपर समूह प्रतिरूप को उनकी समरूपता के आधार पर वर्गीकृत करते हैं। सूक्ष्म अंतर अलग-अलग समूहों में समान प्रतिरूप रख सकते हैं, जबकि शैली, रंग, पैमाने या अभिविन्यास में बहुत भिन्न प्रतिरूप ही समूह से संबंधित हो सकते हैं।

यंग आरेख

एक यंग आरेख , जिसे फेरर्स आरेख भी कहा जाता है, इस प्रकार बक्से या सेल का सीमित संग्रह है, जो बाएं-उचित पंक्तियों में व्यवस्थित होता है, जिसमें पंक्ति का आकार अशक्त रूप से घटता है (प्रत्येक पंक्ति की लंबाई उसके पूर्ववर्ती की तुलना में समान या कम होती है)।

यंग आरेख.

प्रत्येक पंक्ति में बक्सों की संख्या सूचीबद्ध करने से विभाजन मिलता है (संख्या सिद्धांत) $\lambda$ धनात्मक पूर्णांक n का, आरेख के बक्सों की कुल संख्या होती है। यंग आरेख $\lambda$ को आकार का कहा जाता है , और इसमें उस विभाजन के समान ही जानकारी होती है। प्रत्येक कॉलम में बक्सों की संख्या सूचीबद्ध करने से और विभाजन मिलता है, संयुग्मित या ट्रांसपोज़ विभाजन $\lambda$ ; मूल आरेख को उसके मुख्य विकर्ण के साथ प्रतिबिंबित करके उस आकृति का यंग आरेख प्राप्त किया जा सकता है।

यंग आरेख 1900 में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के गणितज्ञ अल्फ्रेड यंग (गणितज्ञ) द्वारा प्रस्तुत की गई थी। फिर उन्हें 1903 में जॉर्ज फ्रोबेनियस द्वारा सममित समूह के अध्ययन के लिए प्रयुक्त किया गया था। उनके सिद्धांत को कई गणितज्ञों द्वारा आगे विकसित किया गया था।

अन्य गणितीय चित्र

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Working with diagrams at LearningSpace.
↑ Wessel's memoir was presented to the Danish Academy in 1797; Argand's paper was published in 1806.
(Whittaker, Edmund Taylor; Watson, G.N. (1927). A Course of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions, with an Account of the Principal Transcendental Functions. Cambridge University Press. p. 9. ISBN 978-0-521-58807-2.)
↑ Rolfsen, Dale (1976). गांठें और कड़ियाँ. Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-16-4.
↑ "Venn diagram" Archived 2009-11-07 at the Wayback Machine, Encarta World English Dictionary, North American Edition 2007. Archived 2009-11-01.
↑ Clarence Irving Lewis (1918). A Survey of Symbolic Logic. Republished in part by Dover in 1960. p. 157.

अग्रिम पठन

Barker-Plummer, Dave; Bailin, Sidney C. (1997). "The Role of Diagrams in Mathematical Proofs". Machine Graphics and Vision. 6 (1): 25–56. CiteSeerX 10.1.1.49.4712. (Special Issue on Diagrammatic Representation and Reasoning).
Barker-Plummer, Dave; Bailin, Sidney C. (2001). "On the practical semantics of mathematical diagrams". In Anderson, M. (ed.). Reasoning with Diagrammatic Representations. Springer Verlag. CiteSeerX 10.1.1.30.9246. ISBN 978-1-85233-242-6.
Kidman, G. (2002). "The Accuracy of mathematical diagrams in curriculum materials". In Cockburn, A.; Nardi, E. (eds.). Proceedings of the PME 26. Vol. 3. University of East Anglia. pp. 201–8.
Kulpa, Zenon (2004). "On Diagrammatic Representation of Mathematical Knowledge". In Andréa Asperti; Bancerek, Grzegorz; Trybulec, Andrzej (eds.). Mathematical knowledge management: third international conference, MKM 2004, Białowieża, Poland, September 19–21, 2004 : Proceedings. Springer. pp. 191–204. ISBN 978-3-540-23029-8.
Puphaiboon, K.; Woodcock, A.; Scrivener, S. (25 March 2005). "Design method for developing mathematical diagrams". In Bust, Philip D.; McCabe, P.T. (eds.). Contemporary ergonomics 2005 Proceedings of the International Conference on Contemporary Ergonomics (CE2005). Taylor & Francis. ISBN 978-0-415-37448-4.

बाहरी संबंध

"Diagrams". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Fall 2008.
Kulpa, Zenon. "Diagrammatics: The art of thinking with diagrams". Archived from the original on April 25, 2013.
One of the oldest extant diagrams from Euclid by Otto Neugebauer
Lomas, Dennis (1998). "Diagrams in Mathematical Education: A Philosophical Appraisal". Philosophy of Education Society. Archived from the original on 2011. {{cite web}}: Check date values in: |archive-date= (help)

[1] Working with diagrams at LearningSpace.

[2] Wessel's memoir was presented to the Danish Academy in 1797; Argand's paper was published in 1806.
(Whittaker, Edmund Taylor; Watson, G.N. (1927). A Course of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions, with an Account of the Principal Transcendental Functions. Cambridge University Press. p. 9. ISBN 978-0-521-58807-2.)

[3] Rolfsen, Dale (1976). गांठें और कड़ियाँ. Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-16-4.

[4] "Venn diagram" Archived 2009-11-07 at the Wayback Machine, Encarta World English Dictionary, North American Edition 2007. Archived 2009-11-01.

[5] Clarence Irving Lewis (1918). A Survey of Symbolic Logic. Republished in part by Dover in 1960. p. 157.

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 {{Short description|Visual representation of a mathematical relationship}}
-[[Image:Euclid Lueneburg ms page 8.jpg|thumb|280px|यूक्लिड के तत्व, एमएस। लूनबर्ग से, 1200 ई]]गणितीय आरेख, जैसे किसी फ़ंक्शन के [[चार्ट]] और ग्राफ़, मुख्य रूप से गणितीय संबंधों को व्यक्त करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं - उदाहरण के लिए, समय के साथ तुलना।<ref>[http://openlearn.open.ac.uk/course/view.php?id=2993&topic=all Working with diagrams] at LearningSpace.</ref>
+[[Image:Euclid Lueneburg ms page 8.jpg|thumb|280px|यूक्लिड के तत्व, एमएस। लूनबर्ग से, 1200 ई]]'''गणितीय आरेख''', जैसे किसी फलन के [[चार्ट]] और ग्राफ़, मुख्य रूप से गणितीय संबंधों को व्यक्त करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, उदाहरण के लिए, समय के साथ तुलना है।<ref>[http://openlearn.open.ac.uk/course/view.php?id=2993&topic=all Working with diagrams] at LearningSpace.</ref>
-== गणितीय आरेखों के विशिष्ट प्रकार ==
+== गणितीय आरेखों के विशिष्ट प्रकार                                                                                                         ==
 === आर्गंड आरेख ===
-[[Image:Complex number illustration.svg|thumb|120px|अरगंड आरेख.]]एक [[जटिल संख्या]] को आर्गैंड आरेख नामक आरेख पर वेक्टर बनाने वाली संख्याओं की जोड़ी के रूप में दर्शाया जा सकता है
+[[Image:Complex number illustration.svg|thumb|120px|अरगंड आरेख.]]एक [[जटिल संख्या]] को आर्गैंड आरेख नामक आरेख पर सदिश बनाने वाली संख्याओं की जोड़ी के रूप में दर्शाया जा सकता है
-जटिल तल को कभी-कभी अरगंड तल भी कहा जाता है क्योंकि इसका उपयोग [[अरगंड आरेख]] में किया जाता है। इनका नाम [[जीन-रॉबर्ट अरगंड]] (1768-1822) के नाम पर रखा गया है, हालांकि इनका वर्णन सबसे पहले नॉर्वेजियन-डेनिश भूमि सर्वेक्षक और गणितज्ञ [[कैस्पर वेसल]] (1745-1818) ने किया था।<ref>Wessel's memoir was presented to the Danish Academy in 1797; Argand's paper was published in 1806.<br/>({{cite book |first1=Edmund Taylor |last1=Whittaker |first2=G.N. |last2=Watson |title=[[A Course of Modern Analysis]]: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions, with an Account of the Principal Transcendental Functions |year=1927 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-58807-2 |page=9}})</ref> आर्गैंड आरेखों का उपयोग अक्सर जटिल तल में किसी गणितीय फ़ंक्शन के [[ध्रुव (जटिल विश्लेषण)]] और मूल की स्थिति को प्लॉट करने के लिए किया जाता है।
+जटिल तल को कभी-कभी अरगंड तल भी कहा जाता है क्योंकि इसका उपयोग [[अरगंड आरेख]] में किया जाता है। इनका नाम [[जीन-रॉबर्ट अरगंड]] (1768-1822) के नाम पर रखा गया है, चूँकि इनका वर्णन सबसे पहले नॉर्वेजियन-डेनिश भूमि सर्वेक्षक और गणितज्ञ [[कैस्पर वेसल]] (1745-1818) ने किया था।<ref>Wessel's memoir was presented to the Danish Academy in 1797; Argand's paper was published in 1806.<br/>({{cite book |first1=Edmund Taylor |last1=Whittaker |first2=G.N. |last2=Watson |title=[[A Course of Modern Analysis]]: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions, with an Account of the Principal Transcendental Functions |year=1927 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-58807-2 |page=9}})</ref> आर्गैंड आरेखों का उपयोग अधिकांशतः जटिल तल में किसी गणितीय फलन के [[ध्रुव (जटिल विश्लेषण)]] और मूल की स्थिति को प्लॉट करने के लिए किया जाता है।
-जटिल तल की अवधारणा जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देती है। जोड़ के तहत, वे [[वेक्टर (स्थानिक)]] की तरह जोड़ते हैं। दो जटिल संख्याओं के गुणन को ध्रुवीय निर्देशांक में सबसे आसानी से व्यक्त किया जा सकता है - उत्पाद का परिमाण या मापांक दो निरपेक्ष मानों या मापांक का उत्पाद है, और उत्पाद का कोण या तर्क दो कोणों का योग है, या तर्क. विशेष रूप से, मापांक 1 की सम्मिश्र संख्या से [[गुणा]] घूर्णन के रूप में कार्य करता है।
+जटिल तल की अवधारणा जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देती है। जोड़ के अनुसार, वे [[वेक्टर (स्थानिक)|सदिश (स्थानिक)]] की तरह जोड़ते हैं। दो जटिल संख्याओं के गुणन को ध्रुवीय निर्देशांक में सबसे सरलता से व्यक्त किया जा सकता है उत्पाद का परिमाण या मापांक दो निरपेक्ष मानों या मापांक का उत्पाद है, और उत्पाद का कोण या तर्क दो कोणों का योग है, या तर्क. विशेष रूप से, मापांक 1 की सम्मिश्र संख्या से [[गुणा]] घूर्णन के रूप में कार्य करता है।
-[[Image:Butterfly-FFT.png|thumb|120px|left|तितली आरेख]]
+[[Image:Butterfly-FFT.png|thumb|120px|left|बटरफ्लाई आरेख]]
-=== [[[[तितली]] आरेख]] ===
+=== [[तितली|बटरफ्लाई]] आरेख ===
-[[असतत फूरियर रूपांतरण]] एल्गोरिदम के संदर्भ में, बटरफ्लाई आरेख गणना का हिस्सा है जो छोटे असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) के परिणामों को बड़े डीएफटी में जोड़ता है, या इसके विपरीत (एक बड़े डीएफटी को सबट्रांसफॉर्म में तोड़ता है)। तितली नाम मूलांक-2 मामले में डेटा-प्रवाह आरेख के आकार से आता है, जैसा कि नीचे वर्णित है। वही संरचना [[विटर्बी एल्गोरिदम]] में भी पाई जा सकती है, जिसका उपयोग छुपे हुए राज्यों के सबसे संभावित अनुक्रम को खोजने के लिए किया जाता है।
+[[असतत फूरियर रूपांतरण]] एल्गोरिदम के संदर्भ में, बटरफ्लाई आरेख गणना का हिस्सा है जो छोटे असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) के परिणामों को बड़े डीएफटी में जोड़ता है, या इसके विपरीत (एक बड़े डीएफटी को सबट्रांसफॉर्म में तोड़ता है)। बटरफ्लाई नाम मूलांक-2 स्थिति में डेटा-प्रवाह आरेख के आकार से आता है, जैसा कि नीचे वर्णित है। वही संरचना [[विटर्बी एल्गोरिदम]] में भी पाई जा सकती है, जिसका उपयोग छुपे हुए स्तरों के सबसे संभावित अनुक्रम को खोजने के लिए किया जाता है।
-बटरफ्लाई आरेख डेटा-प्रवाह आरेख दिखाता है जो इनपुट x (बाएं) को आउटपुट y से जोड़ता है जो रेडिक्स -2 कूली-टुकी एफएफटी एल्गोरिदम के बटरफ्लाई चरण के लिए उन (दाएं) पर निर्भर करता है। यह चित्र तुलना के लिए दिखाए गए मॉर्फो (जीनस) की तरह तितली जैसा दिखता है, इसलिए यह नाम है।
+बटरफ्लाई आरेख डेटा-प्रवाह आरेख दिखाता है जो इनपुट x (बाएं) को आउटपुट y से जोड़ता है जो रेडिक्स -2 कूली टुकी एफएफटी एल्गोरिदम के बटरफ्लाई चरण के लिए उन (दाएं) पर निर्भर करता है। यह चित्र तुलना के लिए दिखाए गए मॉर्फो (जीनस) की तरह बटरफ्लाई जैसा दिखता है, इसलिए यह नाम है।
 [[Image:5 lemma.svg|thumb|300px|[[पांच लेम्मा]] को दर्शाने वाला क्रमविनिमेय आरेख]]
 === क्रमविनिमेय आरेख ===
-{{Main|Commutative diagram}}
+{{Main|क्रमविनिमेय आरेख}}
-गणित में, और विशेष रूप से [[श्रेणी सिद्धांत]] में, क्रमविनिमेय आरेख [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] का आरेख है, जिसे शीर्ष के रूप में भी जाना जाता है, और रूपवाद, जिसे तीर या किनारों के रूप में भी जाना जाता है, जैसे कि दो वस्तुओं का चयन करते समय आरेख के माध्यम से कोई भी निर्देशित पथ होता है रचना द्वारा ही परिणाम के लिए.
+गणित में, और विशेष रूप से [[श्रेणी सिद्धांत]] में, क्रमविनिमेय आरेख [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] का आरेख है, जिसे शीर्ष के रूप में भी जाना जाता है, और रूपवाद, जिसे तीर या किनारों के रूप में भी जाना जाता है, जैसे कि दो वस्तुओं का चयन करते समय आरेख के माध्यम से कोई भी निर्देशित पथ होता है .
 श्रेणी सिद्धांत में क्रमविनिमेय आरेख वही भूमिका निभाते हैं जो बीजगणित में समीकरण निभाते हैं।
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 === [[हस्से आरेख]] ===
-हस्से आरेख परिमित आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का सरल चित्र है, जो आंशिक ऑर्डर की [[सकर्मक कमी]] का [[ग्राफ़ आरेखण]] बनाता है। सीधे तौर पर, कोई सेट के प्रत्येक तत्व को पृष्ठ पर शीर्ष के रूप में दर्शाता है और रेखा खंड या वक्र खींचता है जो x से y तक ठीक उसी समय ऊपर जाता है जब x < y होता है और कोई z नहीं होता है जैसे कि x < z < y। इस मामले में, हम कहते हैं कि y संबंध x को कवर करता है, या y, x का निकटतम उत्तराधिकारी है। हस्से आरेख में, यह आवश्यक है कि वक्र इस प्रकार खींचे जाएं कि प्रत्येक बिल्कुल दो शीर्षों पर मिले: इसके दो समापन बिंदु। ऐसा कोई भी आरेख (यह देखते हुए कि शीर्षों को लेबल किया गया है) विशिष्ट रूप से आंशिक क्रम निर्धारित करता है, और किसी भी आंशिक आदेश में अद्वितीय सकर्मक कमी होती है, लेकिन विमान में तत्वों के कई संभावित स्थान होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप किसी दिए गए क्रम के लिए अलग-अलग हासे आरेख हो सकते हैं व्यापक रूप से भिन्न-भिन्न रूप हैं।
+हस्से आरेख परिमित आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय का सरल चित्र है, जो आंशिक ऑर्डर की [[सकर्मक कमी]] का [[ग्राफ़ आरेखण]] बनाता है। सामान्यतः, कोई समुच्चय के प्रत्येक तत्व को पृष्ठ पर शीर्ष के रूप में दर्शाता है और रेखा खंड या वक्र खींचता है जो x से y तक ठीक उसी समय ऊपर जाता है जब x < y होता है और कोई z नहीं होता है जैसे कि x < z < y है। इस स्थिति में, हम कहते हैं कि y संबंध x को आवरण करता है, या y, x का निकटतम उत्तराधिकारी है। हस्से आरेख में, यह आवश्यक है कि वक्र इस प्रकार खींचे जाएं कि प्रत्येक पूर्ण रूप से दो शीर्षों पर मिले: इसके दो समापन बिंदु ऐसा कोई भी आरेख (यह देखते हुए कि शीर्षों को लेबल किया गया है) विशिष्ट रूप से आंशिक क्रम निर्धारित करता है, और किसी भी आंशिक आदेश में अद्वितीय सकर्मक कमी होती है, किन्तु विमान में तत्वों के कई संभावित स्थान होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप किसी दिए गए क्रम के लिए अलग-अलग हासे आरेख हो सकते हैं व्यापक रूप से भिन्न-भिन्न रूप हैं।
-[[Image:TrefoilKnot 01.svg|right|thumb|120px|गाँठ आरेख.]]
+[[Image:TrefoilKnot 01.svg|right|thumb|120px|क्नॉट आरेख.]]
-=== गाँठ आरेख ===
+=== क्नॉट आरेख ===
-[[गांठ सिद्धांत]] में गांठों को देखने और हेरफेर करने का उपयोगी तरीका गांठ को समतल पर प्रक्षेपित करना है - दीवार पर गांठ की छाया डालने के बारे में सोचें। प्रक्षेपण की पसंद में छोटी सी गड़बड़ी यह सुनिश्चित करेगी कि यह [[इंजेक्शन का कार्य]] है | दोहरे बिंदुओं को छोड़कर, जिन्हें क्रॉसिंग कहा जाता है, एक-से-एक, जहां गाँठ की छाया बार अनुप्रस्थ रूप से खुद को पार करती है<ref>{{cite book |first=Dale |last=Rolfsen |title=गांठें और कड़ियाँ|url=https://books.google.com/books?id=qFLvAAAAMAAJ |year=1976 |publisher=Publish or Perish |isbn=978-0-914098-16-4}}</ref>
+[[गांठ सिद्धांत|क्नॉट सिद्धांत]] में क्नॉट को देखने और परिवर्तन करने का उपयोगी विधि क्नॉट को समतल पर प्रक्षेपित करना है दीवार पर क्नॉट की छाया डालने के बारे में सोचें प्रक्षेपण की पसंद में छोटी सी गड़बड़ी यह सुनिश्चित करेगी कि यह [[इंजेक्शन का कार्य]] है | दोहरे बिंदुओं को छोड़कर, जिन्हें क्रॉसिंग कहा जाता है, एक-से-एक, जहां क्नॉट की छाया बार अनुप्रस्थ रूप से स्वयं को पार करती है <ref>{{cite book |first=Dale |last=Rolfsen |title=गांठें और कड़ियाँ|url=https://books.google.com/books?id=qFLvAAAAMAAJ |year=1976 |publisher=Publish or Perish |isbn=978-0-914098-16-4}}</ref>
-प्रत्येक क्रॉसिंग पर हमें यह बताना होगा कि कौन सा भाग खत्म हो गया है और कौन सा नीचे है, ताकि मूल गाँठ को फिर से बनाने में सक्षम हो सके। यह अक्सर नीचे की ओर जाने वाले स्ट्रैंड में दरार बनाकर किया जाता है। यदि आरेख का अनुसरण करते हुए गांठ बारी-बारी से खुद को ऊपर और नीचे पार करती है, तो आरेख गांठों के विशेष रूप से अच्छी तरह से अध्ययन किए गए वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है, बारी-बारी से गांठें।
+प्रत्येक क्रॉसिंग पर हमें यह बताना होगा कि कौन सा भाग खत्म हो गया है और कौन सा नीचे है, जिससे मूल क्नॉट को फिर से बनाने में सक्षम हो सकता है। यह अधिकांशतः नीचे की ओर जाने वाले स्ट्रैंड में दरार बनाकर किया जाता है। यदि आरेख का अनुसरण करते हुए क्नॉट बारी-बारी से स्वयं को ऊपर और नीचे पार करती है, जिससे आरेख क्नॉट के विशेष रूप से अच्छी तरह से अध्ययन किए गए वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है।
 [[Image:Venn diagram cmyk.svg|thumb|120px|right|वेन आरेख।]]
 === [[वेन आरेख]] ===
-एक वेन आरेख गणितीय सेटों का प्रतिनिधित्व करता है: गणितीय आरेख जो सेटों को वृत्तों के रूप में दर्शाता है, जिसमें एक-दूसरे के साथ उनके संबंधों को उनके अतिव्यापी पदों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, ताकि सेटों के बीच सभी संभावित संबंध दिखाए जा सकें।<ref>[http://encarta.msn.com/dictionary_1861733754/venn_diagram.html "Venn diagram"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091107154423/http://encarta.msn.com/dictionary_1861733754/Venn_diagram.html |date=2009-11-07 }}, Encarta World English Dictionary, North American Edition 2007. [https://web.archive.org/web/20091107154423/http://encarta.msn.com/dictionary_1861733754/Venn_diagram.html Archived] 2009-11-01.</ref>
+एक वेन आरेख गणितीय समुच्चयों का प्रतिनिधित्व करता है: गणितीय आरेख जो समुच्चयों को वृत्तों के रूप में दर्शाता है, जिसमें एक-दूसरे के साथ उनके संबंधों को उनके अतिव्यापी पदों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, जिससे समुच्चयों के बीच सभी संभावित संबंध दिखाए जा सकता है।<ref>[http://encarta.msn.com/dictionary_1861733754/venn_diagram.html "Venn diagram"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091107154423/http://encarta.msn.com/dictionary_1861733754/Venn_diagram.html |date=2009-11-07 }}, Encarta World English Dictionary, North American Edition 2007. [https://web.archive.org/web/20091107154423/http://encarta.msn.com/dictionary_1861733754/Venn_diagram.html Archived] 2009-11-01.</ref>
-वेन आरेख का निर्माण समतल में खींचे गए सरल बंद वक्रों के संग्रह से किया गया है। इन आरेखों का सिद्धांत यह है कि वर्गों को दूसरे के संबंध में क्षेत्रों द्वारा दर्शाया जाता है ताकि इन वर्गों के सभी संभावित तार्किक संबंधों को ही आरेख में दर्शाया जा सके। अर्थात्, आरेख शुरू में वर्गों के किसी भी संभावित संबंध के लिए जगह छोड़ता है, और वास्तविक या दिए गए संबंध को तब यह इंगित करके निर्दिष्ट किया जा सकता है कि कुछ विशेष क्षेत्र शून्य है या शून्य नहीं है।<ref>[[Clarence Irving Lewis]] (1918). [https://archive.org/details/asurveyofsymboli00lewiuoft ''A Survey of Symbolic Logic'']. Republished in part by Dover in 1960. p.&nbsp;157.</ref>
+वेन आरेख का निर्माण समतल में खींचे गए सरल बंद वक्रों के संग्रह से किया गया है। इन आरेखों का सिद्धांत यह है कि वर्गों को दूसरे के संबंध में क्षेत्रों द्वारा दर्शाया जाता है जिससे इन वर्गों के सभी संभावित तार्किक संबंधों को ही आरेख में दर्शाया जा सकता है। अर्थात्, आरेख प्रारंभ में वर्गों के किसी भी संभावित संबंध के लिए स्थान छोड़ता है, और वास्तविक या दिए गए संबंध को तब यह इंगित करके निर्दिष्ट किया जा सकता है कि कुछ विशेष क्षेत्र शून्य है या शून्य नहीं है।<ref>[[Clarence Irving Lewis]] (1918). [https://archive.org/details/asurveyofsymboli00lewiuoft ''A Survey of Symbolic Logic'']. Republished in part by Dover in 1960. p.&nbsp;157.</ref>
 [[Image:Voronoi centerlines skeleton.gif|left|thumb|120px|वोरोनोई केंद्ररेखाएँ।]]
 === [[वोरोनोई आरेख]] ===
-वोरोनोई आरेख [[मीट्रिक स्थान]] का विशेष प्रकार का अपघटन है जो अंतरिक्ष में वस्तुओं के निर्दिष्ट अलग सेट की दूरी से निर्धारित होता है, उदाहरण के लिए, बिंदुओं के अलग सेट द्वारा। इस आरेख का नाम [[जॉर्जी वोरोनोई]] के नाम पर रखा गया है, जिसे [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] के बाद वोरोनोई [[ चौकोर ]], वोरोनोई अपघटन या डिरिचलेट टेसेलेशन भी कहा जाता है।
+वोरोनोई आरेख [[मीट्रिक स्थान]] का विशेष प्रकार का अपघटन है जो अंतरिक्ष में वस्तुओं के निर्दिष्ट अलग समुच्चय की दूरी से निर्धारित होता है, उदाहरण के लिए, बिंदुओं के अलग समुच्चय द्वारा इस आरेख का नाम [[जॉर्जी वोरोनोई]] के नाम पर रखा गया है, जिसे [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] के बाद वोरोनोई [[ चौकोर ]], वोरोनोई अपघटन या डिरिचलेट टेसेलेशन भी कहा जाता है।
-सबसे सरल मामले में, हमें विमान में बिंदुओं एस का सेट दिया गया है, जो वोरोनोई साइटें हैं। प्रत्येक साइट में वोरोनोई सेल V(s) होता है जिसमें किसी भी अन्य साइट की तुलना में s के करीब सभी बिंदु शामिल होते हैं। वोरोनोई आरेख के खंड समतल में वे सभी बिंदु हैं जो दो साइटों से समान दूरी पर हैं। वोरोनोई नोड्स तीन (या अधिक) साइटों के बराबर दूरी पर स्थित बिंदु हैं
+सबसे सरल स्थिति में, हमें विमान में बिंदुओं एस का समुच्चय दिया गया है, जो वोरोनोई साइटें हैं। प्रत्येक साइट में वोरोनोई सेल V(s) होता है जिसमें किसी भी अन्य साइट की तुलना में s के करीब सभी बिंदु सम्मिलित होते हैं। वोरोनोई आरेख के खंड समतल में वे सभी बिंदु हैं जो दो साइटों से समान दूरी पर हैं। वोरोनोई नोड्स तीन (या अधिक) साइटों के सामान्य दूरी पर स्थित बिंदु हैं
 [[Image:Wallpaper group diagram p4m square.svg|thumb|120px|right|वॉलपेपर समूह आरेख.]]
 === [[वॉलपेपर समूह]] आरेख ===
-एक वॉलपेपर समूह या समतल [[समरूपता समूह]] या समतल [[क्रिस्टलोग्राफिक समूह]], पैटर्न में समरूपता के आधार पर, दो-आयामी दोहराव वाले पैटर्न का गणितीय वर्गीकरण है। ऐसे पैटर्न वास्तुकला और सजावटी कला में अक्सर पाए जाते हैं। 17 संभावित विशिष्ट [[समूह (गणित)]] हैं।
+एक वॉलपेपर समूह या समतल [[समरूपता समूह]] या समतल [[क्रिस्टलोग्राफिक समूह]], प्रतिरूप में समरूपता के आधार पर, दो-आयामी दोहराव वाले प्रतिरूप का गणितीय वर्गीकरण है। ऐसे प्रतिरूप वास्तुकला और सजावटी कला में अधिकांशतः पाए जाते हैं। 17 संभावित विशिष्ट [[समूह (गणित)]] हैं।
-वॉलपेपर समूह द्वि-आयामी समरूपता समूह हैं, जो सरल [[फ्रिज़ समूह]]ों और त्रि-आयामी क्रिस्टलोग्राफिक समूहों के बीच जटिलता में मध्यवर्ती हैं, जिन्हें [[अंतरिक्ष समूह]] भी कहा जाता है। वॉलपेपर समूह पैटर्न को उनकी समरूपता के आधार पर वर्गीकृत करते हैं। सूक्ष्म अंतर अलग-अलग समूहों में समान पैटर्न रख सकते हैं, जबकि शैली, रंग, पैमाने या अभिविन्यास में बहुत भिन्न पैटर्न ही समूह से संबंधित हो सकते हैं।
+वॉलपेपर समूह द्वि-आयामी समरूपता समूह हैं, जो सरल [[फ्रिज़ समूह]] और त्रि-आयामी क्रिस्टलोग्राफिक समूहों के बीच जटिलता में मध्यवर्ती हैं, जिन्हें [[अंतरिक्ष समूह]] भी कहा जाता है। वॉलपेपर समूह प्रतिरूप को उनकी समरूपता के आधार पर वर्गीकृत करते हैं। सूक्ष्म अंतर अलग-अलग समूहों में समान प्रतिरूप रख सकते हैं, जबकि शैली, रंग, पैमाने या अभिविन्यास में बहुत भिन्न प्रतिरूप ही समूह से संबंधित हो सकते हैं।
-=== युवा आरेख ===
+=== यंग आरेख ===
-एक यंग आरेख या यंग झांकी, जिसे [[फेरर्स आरेख]] भी कहा जाता है, बक्से या कोशिकाओं का सीमित संग्रह है, जो बाएं-उचित पंक्तियों में व्यवस्थित होता है, जिसमें पंक्ति का आकार कमजोर रूप से घटता है (प्रत्येक पंक्ति की लंबाई उसके पूर्ववर्ती की तुलना में समान या कम होती है)।
+एक यंग आरेख , जिसे [[फेरर्स आरेख]] भी कहा जाता है, इस प्रकार बक्से या सेल का सीमित संग्रह है, जो बाएं-उचित पंक्तियों में व्यवस्थित होता है, जिसमें पंक्ति का आकार अशक्त रूप से घटता है (प्रत्येक पंक्ति की लंबाई उसके पूर्ववर्ती की तुलना में समान या कम होती है)।
-  [[Image:Young diagram for 541 partition.svg|thumb|120px|left|युवा आरेख.]]प्रत्येक पंक्ति में बक्सों की संख्या सूचीबद्ध करने से विभाजन मिलता है (संख्या सिद्धांत) <math>\lambda</math> धनात्मक पूर्णांक n का, आरेख के बक्सों की कुल संख्या। यंग आरेख को आकार का कहा जाता है <math>\lambda</math>, और इसमें उस विभाजन के समान ही जानकारी होती है। प्रत्येक कॉलम में बक्सों की संख्या सूचीबद्ध करने से और विभाजन मिलता है, संयुग्मित या ''ट्रांसपोज़'' विभाजन <math>\lambda</math>; मूल आरेख को उसके मुख्य विकर्ण के साथ प्रतिबिंबित करके उस आकृति का युवा आरेख प्राप्त किया जा सकता है।
+  [[Image:Young diagram for 541 partition.svg|thumb|120px|left|यंग आरेख.]]प्रत्येक पंक्ति में बक्सों की संख्या सूचीबद्ध करने से विभाजन मिलता है (संख्या सिद्धांत) <math>\lambda</math> धनात्मक पूर्णांक n का, आरेख के बक्सों की कुल संख्या होती है। यंग आरेख <math>\lambda</math> को आकार का कहा जाता है , और इसमें उस विभाजन के समान ही जानकारी होती है। प्रत्येक कॉलम में बक्सों की संख्या सूचीबद्ध करने से और विभाजन मिलता है, संयुग्मित या ''ट्रांसपोज़'' विभाजन <math>\lambda</math>; मूल आरेख को उसके मुख्य विकर्ण के साथ प्रतिबिंबित करके उस आकृति का यंग आरेख प्राप्त किया जा सकता है।
-युवा झांकी 1900 में [[कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय]] के [[गणितज्ञ]] [[अल्फ्रेड यंग (गणितज्ञ)]] द्वारा पेश की गई थी। फिर उन्हें 1903 में [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] द्वारा सममित समूह के अध्ययन के लिए लागू किया गया था। उनके सिद्धांत को कई गणितज्ञों द्वारा आगे विकसित किया गया था।
+यंग आरेख 1900 में [[कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय]] के [[गणितज्ञ]] [[अल्फ्रेड यंग (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रस्तुत की गई थी। फिर उन्हें 1903 में [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] द्वारा सममित समूह के अध्ययन के लिए प्रयुक्त किया गया था। उनके सिद्धांत को कई गणितज्ञों द्वारा आगे विकसित किया गया था।
 === अन्य गणितीय चित्र ===
 * [[क्रेमोना आरेख]]
@@ Line 74: / Line 76: @@
 * [[टेलर आरेख]]
-== यह भी देखें ==
+== यह भी देखें                                                                                                                                                                                                  ==
 *श्रेणी सिद्धांत
 * [[तर्क आरेख]]
-* [[गणितीय शब्दजाल]]
+* [[गणितीय शब्दजाल|गणितीय शब्दावली]]
 * [[गणित का मॉडल]]
 * गणित भाषा के रूप में
@@ Line 83: / Line 85: @@
 *[[सांख्यिकीय मॉडल]]
-== संदर्भ ==
+== संदर्भ                                                                                                                                                                                                                      ==
 {{reflist}}
-== अग्रिम पठन ==
+== अग्रिम पठन                                                                                ==
 *{{cite journal | last1 = Barker-Plummer | first1 = Dave | last2 = Bailin | first2 = Sidney C. | title = The Role of Diagrams in Mathematical Proofs |journal=Machine Graphics and Vision |volume=6 |issue=1 |pages=25–56 |year=1997 |citeseerx=10.1.1.49.4712 }} (Special Issue on Diagrammatic Representation and Reasoning).
 *{{cite book | last1 = Barker-Plummer | first1 = Dave | last2 = Bailin | first2 = Sidney C. | chapter=On the practical semantics of mathematical diagrams |editor=Anderson, M. |title=Reasoning with Diagrammatic Representations | isbn = 978-1-85233-242-6|publisher=[[Springer Verlag]] |year=2001 |citeseerx=10.1.1.30.9246}}

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